Logica

Open bestand Uitleg stellingen.docx

Schrijf op bij welke van de bovenstaande punten je nog vragen hebt. Ga daarover een discussie aan.

1.2 Even en oneven

Om je een idee te geven van een wiskundige theorie met axioma's, definities, stellingen en bewijzen, bekijken we de theorie van even en oneven getallen. Dit is het oudste voorbeeld van een wiskundige theorie, ooit ontwikkeld in de school van Pythagoras (vijfde eeuw voor Christus). Hoe de theorie er toen precies uitzag, weten wij niet omdat de volgelingen van Pythagoras een eed moesten zweren dat zij al hun kennis geheim zouden houden. Wij geven een moderne versie.

Als we het hieronder hebben over 'een getal' dan bedoelen we steeds een natuurlijk getal, dus 0, 1, 2, 3, enz..

Definitie 1

Gegeven is getal x

We zeggen: x is even als er een getal z is zodat x = 2 z
We zeggen: x is oneven als er een getal z is zodat x = 2 z + 1

Bijvoorbeeld:

6 is even want 6 is 2 x 3, dus 2 keer een (geheel) getal.
5 is oneven want het is 2 x 2 + 1.

We hebben nu afgesproken wat we bedoelen met "even" en "oneven", maar dat zijn slechts definities. Om te kunnen redeneren hebben we ook waarheden nodig, dingen waar we vanuit mogen gaan. Bijvoorbeeld dat je 1 niet kunt schrijven als ' 2 keer iets", dus dat 1 niet even is. Of algemener: dat getallen niet even en oneven tegelijk kunnen zijn.
Om dat te bewijzen heb je echter een algemene theorie nodig over hele getallen. Daarom kiezen we als uitgangspunt (axioma) in onze theorie:

aanname (axioma)

Voor elk getal x geldt dat het óf even óf oneven is.

Stelling 1

De even en oneven getallen liggen om en om, oftewel: voor elk getal x geldt:

Als x even is, dan is x + 1 oneven.
Als x oneven is, dan is x + 1 even.

Bewijs

Stel x is even, dan is er een getal a zodat x = 2a
- dan x + 1 = 2a + 1
  dus er is een getal z (namelijk a) zodat x + 1 = 2z + 1
  en dus is x + 1 oneven.
Stel x is oneven, dan is er een natuurlijk getal b zodat x = 2b + 1
- dan x + 1 = (2b + 1) +1 = 2b + (1 + 1) =2b + 2 • 1 = 2(b + 1)
  dus er is een getal z (namelijk b + 1) zodat x + 1 = 2z
  dus is x + 1 even

Stelling 2

Gegeven getallen x en y, dan geldt:

is x even en y even dan is x + y even.
is x even en y oneven dan is x + y oneven.
is x oneven en y even dan is x + y oneven.
is x oneven en y oneven dan is x + y even.

We doen nu alleen het bewijs van b), de rest komt hieronder in vraagstuk 2 aan de orde.

Bewijs

Omdat x even is, is er een getal a zodat x = 2a
Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b + 1
Dan geldt: x + y = 2a + 2b + 1 = 2 (a + b) +1
Dus er is een getal z (namelijk a + b) zodat x + y = 2z + 1
dus x + y is oneven.

Vraagstuk 2

Oefening: Even en oneven

Stelling 3

Gegeven getallen x en y, dan geldt:

is x even en y even dan is x • y even.
is x even en y oneven dan is x • y even.
is x oneven en y even dan is x • y even.
is x oneven en y oneven dan is x • y oneven.

Stelling 3d):

Zijn x en y oneven, dan is x • y ook oneven.

Bewijs

Bewijs stelling d):

Omdat x oneven is, is er een getal a zodat x = 2a +1.

Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b +1.

Dan geldt:

Dus er is een getal z (namelijk 2ab + b + a) zodat x • y = 2z +1
dus x • y is oneven.
- x • y = (2a +1) • (2b + 1)
  = (4ab + 2b + 2a) + 1 (na haakjes wegwerken)
  
  = 2 (2ab + b + a) + 1

Vraagstuk 3

Bewijs stelling 3b en lever je antwoord schriftelijk in bij je docent.

Vraagstuk 4

Stelling 4

Gegeven getal x, dan geldt:

Als x is even dan is x² even.
Als x is oneven dan is x² oneven.

Bewijs

Als x is even, dan is er een getal a zodat x = 2a.
Dan is x² = (2a)² = 4a² = 2 • (2a²).
Dus er is een getal z (namelijk 2a²) zodat x² = 2z.
Dus x² is even.
Als x oneven is, dan is er een getal a zodat x = 2a + 1.
Dan is x² = (2a + 1)² = 4a² + 4a + 1 = 2 (2a² + 2a) + 1.
Dus er is een getal z (namelijk 2a² + 2a) zodat x² = 2z + 1.
Dus x² is oneven.

Opdracht:

Leg het bewijs van Stelling 4 a en b aan elkaar uit. Maak hierbij gebruik van de chatfunctie van de e-klas.

H2 Verzamelingen

2.1 Verzamelingen

We kunnen afzonderlijke dingen samennemen en als één geheel beschouwen. Het elftal, de klas, het kaartspel, de colonne, het legioen, de inventaris. De afzonderlijke dingen heten dan de elementen van het geheel, en het geheel heet de verzameling.

Bijvoorbeeld: de getallen 0, 1 ,2, 3... enz. vormen samen de verzameling N der natuurlijke getallen. Notatie:

N = { 0,1,2,3,... }

De dingen die in de verzameling zitten heten de elementen van die verzameling, zo is 2 een element van N ("2 zit in N" ), en dit wordt geschreven als

2 ∈ N.

We gebruiken accolades om de elementen van een verzameling op te sommen. Zo is {1,2,5} de verzameling met als enige drie elementen de getallen 1,2 en 5. Dit is dezelfde als {2,1,5} en als {5,1,2}, de volgorde waarin we de elementen opschrijven verandert namelijk niets aan de verzameling.

Vraagstuk 1

Oefening: Verzamelingen

Open bestand Feedback bij verzamelingen.docx

2.2 Het verschil tussen 1 en {1}

Let op: 1 en {1} zijn twee verschillende dingen: 1 is een getal, terwijl {1} een verzameling van getallen is, die toevallig maar een element heeft, namelijk het getal 1.

Wel geldt: dus 1 ∈ {1}, maar niet 1 = {1}.

Een ding kan element van veel verschillende verzamelingen zijn. Verzamelingen kunnen zelf weer element van verzamelingen zijn.Voorbeeld: "de teams in de competitie" is een verzameling van verzamelingen van spelers. Een speler is geen element van de competitie, maar een element van een elftal dat element is van de competitie.

Wel geldt dus {1} ∈ {{1},{2}}, maar niet 1 ∈ {{1},{2}}

Deelverzameling

Een verzameling A heet een deelverzameling van B als alle elementen van A in B zitten. Je kunt je de situatie zo voorstellen:

De voorwaarde om deelverzameling te zijn is dat alle elementen van A in B zitten. A mag ook álle elementen van B hebben. Bijvoorbeeld:N ⊆ N.

Vraagstuk 2

Oefening: Waar of niet waar?

In een verzameling kun je dingen met een bepaalde eigenschap weer apart nemen om een deelverzameling te vormen. Bijvoorbeeld: sommige getallen zijn even, samen vormen zij een deelverzameling van N: we schrijven dat als volgt:

E = { x ∈N | x is even }

lees: "de verzameling van natuurlijke getallen x die even zijn."

Bij deze notatie zetten we voor de | in welke verzameling we kijken, en achter de streep de eigenschap waarin dingen uit die verzameling moeten voldoen om tot de deelverzameling toegelaten te worden.

Voorbeeld beweringen

De volgende beweringen zijn waar, leg steeds uit waarom.

De oplossingen van de beweringen vind je onder het knopje "plaats hier je muis", maar bekijk ze niet te snel.

a. 2 ∈ E

b. 3 ∈ { x ∈N | x is oneven }

c. { x ∈ {1,2,3,4,5,6} | x is even } = {2,4,6}

d. {2,4,8} ⊆ { x ∈ N | x <10}

Is elk element van {2,4,8} ook element van { x ∈ N | x <10}?

De elementen van {2,4,8} zijn de getallen 2,4 en 8, die zijn alledrie kleiner dan 10, dus elementen van { x∈ N | x <10}

Vraagstuk 3

Oefening: Waar of niet waar?

Dubbelzinnigheid van "is"

Bij begripsdefinities zien we de dubbelzinnigheid van het woordje "is". Deze speelt ook bij uitspraken over objecten. Vergelijk:

a) 2 is even

b) 2 is 1+1

Bij a) wordt een eigenschap van 2 gegeven, bij b) zijn twee dingen aan elkaar gelijk: 2 en 1+1. Het verschil komt goed tot uitdrukking als we de beweringen in formuletaal weergeven:

a) 2 ∈ E

b) 2 = 1+1

H3 Diagrammen

3.1 Diagrammen

Euler-diagram

Een natuurlijk getal is even óf oneven. Drievouden kunnen even zijn (bijv 6) of oneven (bijvoorbeeld 3) Hoe de onderlinge verhoudingen tussen even, oneven en drievoud liggen kun je duidelijk aangeven in een tekening:

Zo'n tekening heet een Euler-diagram. De verzamelingen worden als gebieden voorgesteld die al dan niet in elkaar liggen of overlappen. De precieze vorm of afmeting van de gebieden is niet van belang, het gaat alleen om de overlappingen.

Het diagram zou er dus evengoed zo uit kunnen zien:

Vraag

In welk gebied zit het getal 15?

Vraag

Waar zou de verzameling M = { 2, 4, 8, 16, 32, ...}, dus de machten van twee, in dit diagram thuishoren?

Open bestand Antwoord.docx

3.2 Twee verzamelingen

Bekijken we twee verzamelingen dan kunnen zich drie situaties voordoen:

1. De ene verzameling ligt helemaal binnen de andere. Bijvoorbeeld O en N:

2. De twee verzamelingen hebben elementen gemeen, maar elk heeft ook elementen die de ander niet heeft. Bijvoorbeeld D met O:

3. De twee verzamelingen hebben geen enkel element gemeen, ze heten dan disjunct. Bijvoorbeeld E met O:

4. Natuurlijk is er ook nog een vierde mogelijkheid, namelijk dat de twee verzamelingen blijken samen te vallen, ze zijn dan elk deelverzameling van de ander.

Vraagstuk 1

Het diagram hieronder geeft een overzicht van de verschillende samenwerkingsverbanden in Europa.

Welke van de vier Eulerdiagrammen hoort bij de volgende paren verzamelingen:

A = de landen van de Europese Unie
B = de landen van de Eurozone
A = de Schengenlanden
B = de landen van de Europese Unie
A = de landen van de Europese vrijhandelsassociatie
B = de landen van Europese Douane Unie
A = de landen van de Raad van Europa
B = de landen van de Eurozone

De antwoorden zijn te vinden in het bestand hieronder. Klik hier alleen niet te snel op. Probeer eerst het antwoord zelf te bedenken.

vraagstuk 2

3.3 Venndiagrammen

Voor drie verzamelingen ziet het Venn-diagram er zo uit:

tellen
Euler-diagrammen en Venn-diagrammen zijn handig bij telprobleempjes zoals het volgende:

In een klein café zitten 52 gasten, 40 drinken alcohol, waarvan 7 sterke drank. 30 gasten roken en drinken alcohol, 2 rokers drinken zelfs sterk. Eén gast drinkt geen alcohol en rookt ook niet. Hoeveel gasten rookten wel?

Vraagstuk 3

vraagstuk 4

Katten, katten en katten

In Kitty's huis lopen nogal wat katten rond.

Zeven katten eten geen Kitkat.

Zes katten eten geen KatDiner.

Vijf katten eten geen FreshFood.

Vier katten eten noch Kitkat noch Freshfood.

Drie katten eten noch Kitkat noch Katdiner.

Twee katten eten noch katdiner noch Freshfood.

Eén kat eet noch Kitkat, noch Katdiner, noch Freshfood.

Geen enkele kat eet alle drie de soorten kattenvoer.

Hoeveel katten heeft Kitty? (Pythagoras 1998 nr.3)

Vul het Venn-diagram hieronder in om het raadsel op te lossen.

H4 Alle en sommige

4.1 Alle en sommige

Je mag niet generaliseren. Als je één domme Amsterdammer tegenkomt wil dat nog niet zeggen dat elke Amsterdammer dom is. Blijkbaar maken we duidelijk onderscheid tussen twee soorten uitspraken:

Sommige Amsterdammers zijn dom
Alle Amsterdammers zijn dom.

alle

Uitspraken van de vorm:" Alle a's zijn b's" noemen we universele uitspraken. Natuurlijk hoeft de uitspraak niet letterlijk die vorm te hebben, het gaat erom dat er over alle dingen uit een bepaalde verzameling gezegd wordt dat ze een bepaalde eigenschap hebben. Noem A de verzameling van al die dingen waarover het gaat, en B de verzameling van alle dingen die de betreffende eigenschap hebben, dan wordt er met de uitspraak dus gezegd dat:

A⊆B

Voorbeelden van universele uitspraken:

Vogels zijn gewervelde dieren
- A = verzameling van alle vogels
  B = verzameling van alle gewervelde dieren
Elk viervoud is even
- A = de verzameling van viervouden = {0,4,8,12,16,...}
  A⊆E
het kwadraat van een even getal is even
- B = de verzameling kwadraten van even getallen = {0, 4, 16, 36, 64, ....}
  B⊆E

sommige

Tegenover universele uitspraken staan existentiële uitspraken, dat zijn beweringen van de vorm "sommige a's zijn b". In zo'n geval is minstens één element van A ook element van B.
In het dagelijks taalgebruik denk je bij "sommige" aan "meerdere" dus een aantal van minstens 2, wij zijn echter al tevreden als er één is.
Voorbeelden van existentiële uitspraken:

"sommige vogels kunnen vliegen".
- A = verzameling van alle vogels
  B = verzameling van alle dieren die kunnen vliegen.
"De vergelijking x² + 4x - 5 =0 heeft een gehele oplossing in de natuurlijke getallen."
- A = N = natuurlijke getallen
  B = de verzameling van alle oplossingen van x² + 4x - 5 =0. ={-5, 1}

Vraagstuk 1

Oefening: Exitentiele of Universele uitspraak

Open bestand Feedback Existentieel.docx

Vraagstuk 2a

Hieronder staan universele uitspraken "alle a's zijn b" en existentiële uitspraken "sommige a' s zijn b". Kies steeds wat de bijbehorende verzamelingen A en verzameling B zijn.

Daarbij heb je de keuze uit:

M = { x∈N | x is een kwadraat }

E = { x∈N | 2 is een deler van x }

O = { x∈N | 2 is geen deler van x }

P = { x∈N | 3 is een deler van x }

Q = { x∈N | 3 is geen deler van x }

Let op, de bewering hoeft niet waar te zijn!

Open bestand Weerleggingen.docx

'niet alle' en 'sommige niet'

Om zeker te weten dat alle Amsterdammers dom zijn, zou je ze allemaal moeten onderzoeken. Zou je maar één Amsterdammer vinden die niet dom is dan was je vermoeden ontkracht. De ontkenning van "alle Amsterdammers zijn dom" is namelijk "sommige Amsterdammers zijn niet dom". En in het algemeen:

niet (alle a zijn b )

= sommige a zijn niet-b.

Omgekeerd is de ontkenning van een existentiële uitspraak een universele:

niet (sommige a zijn b)	= geen a is b
	= alle a's zijn niet-b

Vraagstuk 2b

4.2 Bewijzen en weerleggen

Hoe bewijs je een universele bewering " alle a's zijn b's"?

Door van elke a aan te tonen dat hij een b is. Meestal doe je dat door je een willekeurige a voor te stellen, dus een a waarover je niets weet behalve dat hij in A zit. Al redenerend laat je dan zien dat die a een b moet zijn, hoe hij er verder ook uitziet.
- Voorbeeld:
- Bewering: Het kwadraat van een oneven getal is oneven.
  Bewijs:
  Stel x is een oneven getal, dan is er een natuurlijk getal n zodat x=2n+1.
  Dan x² = (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 2 (2n² + 2n)+ 1. Dus ook oneven.
  QED

Hoe weerleg je een universele bewering " alle a's zijn b's"?

Je laat een a zien, die niet b is. Zo'n a heet dan een tegenvoorbeeld.

Voorbeeld:
- Bewering: Alle vijfvouden zijn oneven.
  Weerlegging: Het getal 10 is wel een vijfvoud maar niet oneven. Dus niet alle vijfvouden zijn oneven.

Hoe bewijs je een existentiële bewering "Sommige a's zijn b's "?

Je laat één of meerdere a's zien die b zijn. Eén is al genoeg.

Voorbeeld:
- Bewering: Een drievoud kan even zijn.
  Bewijs: Het getal 6 is een drievoud en het is even.

Hoe weerleg je een existentiële bewering "Sommige a's zijn b's "?

Je laat zien dat geen enkele a een b is, oftewel je bewijst de universele bewering dat elke a niet-b is.

Voorbeeld:
- Bewering: √(-1) bestaat,
  Oftewel er is een getal x zodat x²= -1.
  Weerlegging: Er zijn drie soorten getallen: positieve, negatieve en het getal 0. Als een getal positief is, dan is diens kwadraat ook positief, dus nooit -1.
  Ook als een getal negatief is, is diens kwadraat positief, dus niet gelijk aan -1.
  Het kwadraat van 0 is 0, dus ook 0² is ongelijk aan -1. Kortom van geen enkel getal is het kwadraat gelijk aan -1, dus -1 heeft geen wortel.
QED

Vraagstuk 3

Hieronder staan een aantal uitspraken. Welke uitspraken kunnen in principe weerlegd worden met één enkel tegenvoorbeeld.

(i) Drievouden zijn altijd even.

(ii) Het kwadraat van een oneven getal is even.

(iii) Er betaat een drievoud dat even is.

(iv) Een drievoud kan geen kwadraat zijn.

(v) Het kwadraat van een oneven getal kan even zijn.

H5 Kwantoren

5 Kwantoren

Veel uitspraken hebben zowel een existentieel en een universeel karakter.
Bijvoorbeeld: het spreekwoord

"Op elk potje past een dekseltje".

Hier wordt iets gezegd over de verzameling van potjes en de verzameling van dekseltjes. Over de potjes wordt iets universeels gezegd: "elk potje". Maar over elk potje afzonderlijk wordt iets existentieels gezegd, namelijk dat er een dekseltje bestaat dat op dat potje past.
Met dezelfde woorden kunnen we een heel andere zin maken:

"Eén dekseltje past op elk potje."

waarin ook iets gezegd wordt over alle potjes en sommige dekseltjes, maar wel iets essentieels anders.

In de wiskunde zijn verbanden vaak zo ingewikkeld dat de natuurlijke taal tekort schiet. Om precies aan te geven hoe de variabelen in een zin (zoals hierboven potje en dekseltje) bedoeld zijn wordt gebruik gemaakt van zgnkwantoren. Dat zijn de tekens ∀ en ∃ die van een variabele aangeven of hij universeel of existentieel bedoeld is.

Wil je zeggen dat alle getallen even zijn, dan doe je dat zo:

∀x∈ N

x is even

of als wel duidelijk is dat de x'en uit N komen:

∀x

x is even

Wil je zeggen dat sommige getallen even zijn, dan schrijf je:

∃x

x is even

Kwantoren worden vooral gebruikt als er meerdere variabelen in het spel zijn, zoals in ons voorbeeld hierboven waar er sprake is van 'potje' en 'dekseltje'.

Dekseltje d past op elk potje p zou je zo schrijven:

∀p

d past op p

Dat er een deksel past op potje p schrijf je zo:

∃d

d past op p

Zin 1 wordt dus:

∀p ∃d

d past op p

Terwijl zin 2 wordt:

∃d ∀p

d past op p

Bijvoorbeeld de bewering:

"Als je twee natuurlijke getallen hebt en je trekt het kwadraat van de ene af van de ander, dan krijg je altijd een getal dat groter is dan de som van die twee getallen."

kun je vertalen met:

∀x∈Ν∀y∈Ν
y - x² > x+y .

En om

" Elk natuurlijk getal is te schrijven als de som van twee priemgetallen"

te vertalen, neem P = {x ∈ N | x is priem}, dan:

∀x∈Ν∃p∈Ρ∃q∈Ρ
x = p + q

Vraagstuk 1

Vraagstuk 2

Oefening: Waar of niet waar?

Vraagstuk 3

De variabelen x en y staan voor alle mensen in een groot bedrijf.

Vul een X in op de juiste plaats.

Vraagstuk 4

Geef in je eigen woorden een Nederlandse zin voor de volgende beweringen:

(de variabelen x en y staan voor alle mensen in een groot bedrijf)

a) ∃x ∃ y x is de baas van y

b) ∃y ∀ x x is de baas van y

c) ∃y ∀ x y is de baas van x

en controleer jouw zinnen.

H6 Als-dan

6.1 Als-dan

Beweringen hebben vaak de vorm 'als p dan q'.

Enkele manieren om als-dan in een Nederlandse zin weer te geven:

Als het regent, dan word je nat.
Als het regent word je nat.
Regent het, dan word je nat
Je wordt nat als het regent
Zodra het regent word je nat.
(Wanneer het regent word je nat )

niet persé oorzaak en gevolg

In de wiskunde wordt met als-dan wat anders omgesprongen dan in het dagelijkse taalgebruik. We zullen vanaf nu voor het wiskundige als-dan het teken ⇒ gebruiken, dat implicatiepijl heet.

De betekenis van p⇒q kun je zo omschrijven:

In alle gevallen waarin p waar is, is q ook waar.

Met p⇒q wordt niet persé bedoeld dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen p en q, dus dat p de oorzaak is van q, en q het gevolg van p. In het dagelijks taalgebruik is dat trouwens ook zo. Bijvoorbeeld:

Als je in het ziekenhuis ligt, dan is er iets mis met je gezondheid.

Deze uitspraak is (als we een stage met nachtdienst uitsluiten) juist: in alle situaties waarin je in een ziekenhuis ligt zal er een medische reden zijn. Maar het feit dat je in het ziekenhuis ligt, is niet de oorzaak van het ziek-zijn. En niet iedereen die ziek is, wordt opgenomen.

als-dan als universele bewering

Een als-dan bewering is een universele bewering. Bijvoorbeeld: met
als het regent word je nat, wordt eigenlijk gezegd:

alle momenten dat het regent
zijn momenten waarop je nat wordt

Dus de verzameling van regenmomenten is een deelverzameling van de verzameling van nat-word-momenten.

Eigenlijk komt het teken ⇒ nooit alleen voor, altijd zijn er variabelen in p en q waarover een universele uitspraak wordt gedaan:

∀m
(op m regent het ⇒ op m word je nat)

Een wiskundiger voorbeeld: het vermoeden van Goldbach luidt:

Als een getal even is dan is het de som van hoogstens twee priemgetallen.

kun je schrijven als:

x is even ⇒ x is de som van hoogstens twee priemgetallen

of nog beter:

∀x∈Ν
(x is even ⇒ x is de som van hoogstens twee priemgetallen)

∀x∈Ν
(x is even ⇒ ∃y∈Ρ ∃z∈Ρ x=y+z )

Vraagstuk 1

Oefening: Beweringen

Vraagstuk 2

Oefening: Als-dan beweringen

6.2 Flauwe als-dan

Er zijn twee flauwe manieren waarop p⇒q vanzelf waar wordt, terwijl er geen enkel verband tussen p en q hoeft te bestaan. Vooral hier wijkt p⇒q af van het dagelijkse als-dan.

GEVAL 1: P IS NOOIT WAAR

Dan is p⇒q vanzelf waar, immers met alle situaties dat p geldt zijn we gauw klaar: er zijn er gewoon geen. Dus je hoeft niets na te gaan. Bijvoorbeeld:

kun je rustig zeggen tegen iemand die toch nooit zal slagen. Je zult je belofte dan kunnen houden, zonder je hoed op te hoeven eten.

Ander voorbeeld: de bewering

wordt beschouwd als een ware bewering omdat 0=1 nooit gelden kan. In al die nooit voorkomendegevallen is een cirkel een vierkant.

- "Als jij slaagt voor je rijexamen dan eet ik mijn hoed op."
- "als 0=1 dan is een cirkel een vierkant."

GEVAL 2: Q IS ALTIJD WAAR

Als q altijd waar is, dan is q zeker ook waar in die situaties waarin p waar is. Dus als q altijd waar is, dan is p⇒q het ook.

Bijvoorbeeld de bewering

is waar, want in elke situatie waarin 6 even is, is 2 even, immers 2 is altijd even.

- "Als 6 even is dan is 2 even."
Intuïtief zou je deze uitspraak misschien afkeuren, omdat het even zijn van 6 niets te maken heeft met het even zijn van 2.

Merk op dat in de twee gevallen hierboven je eigenlijk nooit een als-dan-bewering zou gebruiken. Als p nooit waar is, dan heeft het geen zin om te spreken over "als p...". En als q altijd waar is dan zeg je gewoon "q" in plaats van "als p dan q".
In wiskundig verband zijn deze gevallen echter wel van belang; ze duiken op als je bij bepaalde definities of stellingen consequent wil zijn.
Bijvoorbeeld: per definitie is A een deelverzameling van B als

∀x
x∈A⇒x∈B

Wat doe je als A geen elementen heeft? Op grond van geval 1 zeg je dan: situatie x∈A komt nooit voor, dus isx∈A⇒x∈B waar, dus is A een deelverzameling van B.
Een tweede reden om dergelijke gevallen te bekijken heeft te maken met de methode van waarheidstafels die we verderop in hoofdstuk 8 gaan zien.

Vraagstuk 3

Oefening: Waar of niet waar?

Open bestand Antwoord vraagstuk 5.docx

6.3 Het omgekeerde q ⇒ p

Het omgekeerde van een bewering p ⇒ q is de bewering q⇒p (of p⇐q).
Als p⇒q waar is, dan hoeft q⇒p het niet te zijn.

Bijvoorbeeld:

x >5 ⇒ x>2

is waar, maar

x>2 ⇒ x>5

klopt niet (3 is een tegenvoorbeeld).

Vraagstuk 4

In dagelijks taalgebruik wordt een als-dan bewering vaak door elkaar gehaald met de omgekeerde bewering.

Bijvoorbeeld:

A: Meid, wat ziet die plant van je er slecht uit!
Als je hem niet goed verzorgt, dan kwijnt-ie weg.
(slecht verzorgen ⇒ wegkwijnen)

B: Ik verzorg hem wel goed!

Eigenlijk bedoelt A (en zo voelt B het blijkbaar): "Als hij wegkwijnt dan verzorg je hem niet goed."
(slecht verzorgen ⇐ wegkwijnen)

Vraagstuk 5

Geef voorbeelden van eigenschappen p en q van natuurlijke getallen zodat:

wel p⇒q maar niet q⇒p
wel p⇒q maar niet (niet p)⇒(niet q)
niet p⇒q en niet q⇒p.

Kies voor p en q:

x is even
x is oneven
x is drievoud
x is macht van 2

de contrapositie (niet q)⇒(niet p)

Stel dat alle sinaasappels oranje zijn, en stel je hebt een vrucht die niet oranje is. Dan weet je zeker dat het geen sinaasappel is, want dan zou hij oranje moeten zijn.
Dus: als een vrucht een sinaasappel is, dan is hij oranje. En dan weet je ook: als een vrucht niet oranje is, dan is hij geen sinaasappel.
Algemeen: als p⇒q waar is, dan is (niet q)⇒(niet p) het ook.
De bewering (niet q)⇒(niet p) heet de contrapositie van p⇒q.
Let op: p en q zijn omgewisseld en hebben een "niet" erbij.

Stelling: Als p⇒q dan (niet q)⇒(niet p)
Bewijs: Er is gegeven: p⇒q, dus in alle gevallen dat p waar is, geldt ook q. Om te bewijzen dat: (nietq)⇒(niet p) beginnen we met alle gevallen dat niet q waar is.
Als nou in die gevallen p waar is, dan geldt (volgens het gegeven p⇒q) dat ook q waar is.
Dus we begonnen met alle gevallen dat niet q waar is, en vinden nu (via "als p waar") dat q waar is. Dat kan niet kloppen.
Dus is het niet p. Kortom als je niet q hebt, krijg je niet p.
QED

Vraagstuk 6

6.4 Een als-dan bewering weerleggen

Wat is de ontkenning van "Als het regent word je nat"?
Besef goed dat een als-dan bewering eigenlijk een universele bewering is:

In alle situaties dat het regent, word je nat.

De ontkenning is dan:

Er zijn situaties waarin het wel regent maar waarin je niet nat wordt.

Om p⇒q te weerleggen moet je dus een situatie aangeven waarin p wel geldt maar q niet.

Vraagstuk 7

Met wat voor tegenvoorbeeld kan de volgende bewering weerlegd worden:

(Druk pas op de "Klik hier" knop als je minstens 2 tegenvoorbeelden hebt genoemd)

Als een land een hoofdstad heeft waarvan de naam begint met een P, dan begint de naam van het land niet met een K.
Als in een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor delen dan zijn overstaande zijden gelijk.
Als twee lijnen elkaar snijden, dan snijdt elke derde lijn minstens een van de twee.

Open bestand Antwoord vraagstuk 7.docx

Een als-dan bewering bewijzen

De verbinding als-dan heeft te maken met hypothetisch redeneren: Met p⇒q bedoelen in de wiskunde meestal dat: als je p mag aannemen, dan volgt q vanzelf.
Een bewijs van p⇒q begint daarom altijd met "stel p" of "Neem aan dat p" of "Neem alle gevallen waarin p waar is"en het vervolg moet dan leiden tot q.

Stelling: p ⇒q

Bewijs:

Stel p,
dan heb je ook p' _{_{en omdat _{_{je ook nog weet p'' _{krijg je met F ook C. Nu weet je dat q en p' D geven. Kortom we hebben E. Passen we nu inductie toe op het gegeven p en E, dan volgt F. Tenslotte is het ook nog onmogelijk en dus met q' dat ook F. Volgens Stelling 2.1 geldt dat zodra F geldt,}

ook q geldt,}}

immers we weten dat K en L}.

Concluderen wij dat}
dus q.

Kortom:p=>q

QED

Vraagstuk 8

Geef aan of je denkt dat je onderstaande beweringen moet bewijzen of weerleggen met een tegenvoorbeeld.

Als van een getal de som van de cijfers even is, dan is het getal even.
Als een getal eindigt op een 0 of een 5 dan is het een vijfvoud.
Als in een driehoek de som van de hoeken 180^ois, dan is de driehoek gelijkbenig.
Als twee opeenvolgende natuurlijke getallen allebei priem zijn, dan is hun som een vijfvoud.

Open bestand Antwoord vraagstuk 8.docx

Vraagstuk 9

Oefening: Juist of verkeerd?

Wason selectietest

Deze test komt uit de psychologische testleer. We hebben 6 varianten gemaakt, probeer of je ze achtereenvolgens kunt maken.

H7 Dubbele implicaties

7.1 Dubbele implicatie

Als p⇒ q en q⇒ p allebei waar zijn, dan schrijven we p ⇔ q en dat wordt wel uitgesproken als:

p dan en slechts dan als q

p desda q
p is gelijkgeldig met q

Een uitspraak van de vorm p⇔q heet ook wel: een dubbele implicatie of equivalentie.
Het betekent: in alle gevallen dat p geldt, geldt ook q, en ook omgekeerd: in alle gevallen dat q geldt, geldt ook p. Er is een precieze overlap tussen de gevallen dat p geldt en dat q geldt.

Voorbeeld

Bij een driehoek met zijden a, b en c:

als a²=b²+c², dan heeft de driehoek een rechte hoek tussen zijden b en c.
als de driehoek een rechte hoek heeft tussen zijden b en c, dan a²=b²+c².

Dus bij een driehoek met zijden a, b en c:
voor zijden a, b en c geldt a²=b²+c²⇔ er is een rechte hoek tussen zijden b en c.

Voorbeeld

Voor een natuurlijk getal x:

als x een zesvoud is, dan is x zowel even als een drievoud.
als x zowel even als een drievoud is, dan is x een zesvoud.

Dus voor een natuurlijk getal x:
x is een zesvoud⇔ x is zowel even als een drievoud.

Nodige en voldoende voorwaarde

Een kenmerk p heet een nodige voorwaarde voor q, als q niet kan optreden zonder dat p op-treedt. Dus zodra q optreedt heb je altijd p, dus q⇒p.
Kenmerk p heet een voldoende voorwaarde voor q als, om q te krijgen het voldoende is om p te hebben. Dus zodra je p hebt, krijg je q, dus p⇒q.
Een voorwaarde is nodig en voldoende als hij gelijkgeldig is met q.
Bijvoorbeeld:

"gelijke zijden" is een nodige voorwaarde voor een vierhoek om vierkant te zijn, maar die voorwaarde is niet voldoende.

Vraagstuk 1

Hieronder staan vier voorwaarden.
Per voorwaarde kun je aangeven of hij nodig is, voldoende is, allebei of geen van beide.
Plaats een X bij de juiste voorwaarde.

7.2 Pijlen bij het oplossen van vergelijkingen

Bij het oplossen van vergelijkingen worden vaak pijltjes gebruikt.

x² - 5x + 6 = 0 ⇔ (x - 2) (x - 3) = 0 ⇔ x - 2 = 0 of x - 3 = 0 ⇔ x = 2 of x = 3

Daarmee is de vergelijking opgelost. Het idee is namelijk dat je laat zien dat

x² - 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 of x = 3

Wil x dus voldoen aan de vergelijking links, dan moet x voldoen aan de vergelijking rechts. Dus x is een oplossing als x=2 of als x=3. Andersom als x gelijk aan 2 of 3 is, dan voldoet hij aan de vergelijking.

Sommige stappen in het oplossen van vergelijkingen zijn echter niet omkeerbaar. Bekijk de volgende uitwerking:

x+2=x⇒(x+2)2=x2⇔x+2=x2⇔x2−x−2=0⇔ x = -1 of x = 2

Hierin is de eerste stap niet omkeerbaar. Voor x=−1 is x+2=x niet waar, want er staat dan 1=−1 , terwijl(x+2)2 wel waar is, want dat komt neer op 1 = 1.
De serie stappen levert wel:

x+2=x
⇒ x=-1 ∨ x = 2

Hier staat dat áls x een oplossing is, x gelijk aan -1 of 2 is. Maar of -1 en 2 wel echt oplossingen zijn, moet je nog controleren. En dan blijkt dat -1 vals is.

Bij het oplossen van een vergelijking met een wortel is het vaak handig beide leden te kwadrateren. Maar let op, door het kwadrateren verlies je equivalentie en zul je de gevonden mogelijke oplossingen moeten controleren.

x=y⇒x2=y2

maar niet

x² = y² ⇒ x = y

Als twee getallen gelijk zijn, dan zijn hun kwadraten ook gelijk. Maar als de kwadraten van twee getallen gelijk zijn, dan zijn het nog geen gelijke getallen, bijvoorbeeld (-1)² = (1)² is waar, maar 1 = -1 is niet waar.

Vraagstuk 2

Onderzoek welke implicatiepijl(en) ingevuld kunnen worden zodat er een ware bewering ontstaat. Als de dubbele implicatie mag, kies die dan. De variabelen x,y en c staan voor willekeurige reële getallen.

Vraagstuk 3

Wat is er precies fout aan het onderstaande 'bewijs'?
Vervang de foute dubbele implicatie door de juiste enkele pijl.

Stelling : 2 = 3

Bewijs : 4 -10 = 9 -15

         ⇔4−10+254=9−15+254
         ⇔22−2⋅2⋅(52)+254=32−2⋅3⋅(52)+254
         ⇔(2−52)2=(3−52)2
         ⇔2−52=3−52
         ⇔2=3                                  QED

7.3 Begripsdefinities en de dubbele implicatie

Begripsdefinities en desda

Vergelijk:

Een bakker is een mens,
Een bakker is iemand die beroepshalve brood bakt.

Bij 1 wordt iets over bakkers verteld, bij 2 wordt uitgelegd wat een bakker is. Zin 2 is een definitie van het begrip bakker. Het verschil is in dagelijkse taal niet aan te geven, in de wiskunde met pijlen wel:

x is een bakker ⇒ x is een mens
x is een bakker ⇔ x is iemand die beroepshalve brood bakt.

Bij een goede definitie gaat het altijd om desda: het begrip dat je definieert moet altijd kunnen vervangen worden door waar het mee gedefinieerd wordt.

Dubbelzinnigheid van "is"

Bij begripsdefinities zien we de dubbelzinnigheid van het woordje "is". Deze speelt ook bij uitspraken over objecten. Vergelijk:

2 is even
2 is 1+1

Bij a) wordt een eigenschap van 2 gegeven, bij b) zijn twee dingen aan elkaar gelijk: 2 en 1+1. Het verschil komt goed tot uitdrukking als we de beweringen in formuletaal weergeven:

2∈Ε
2 = 1 + 1

Vraagstuk 4

Oefening: Wel of geen definitie

Vraagstuk 5

Oefening: Gelijkheid of verzameling

Vraagstuk 6

Soms proberen mensen het probleem met de dubbele pijlen te omzeilen door het woordje "dus" te gebruiken. Maar ook dan kan het misgaan.

Welk woordje "dus" is in het onderstaande bewijs niet terecht:

H8 Waarheidstafels

8.1 Waarheidstafels

Inleiding

Een propositie is een bewering.
Beweringen kunnen opgebouwd zijn uit deelbeweringen:

Ik ben Corry en ik lees de Story.
Johnny wist het niet, of hij is het vergeten.
Als x priem is, dan is x groter dan 25.

Die delen zijn dan aan elkaar gezet met voegwoorden (connectieven). In wiskundige teksten kom je de volgende voegwoorden regelmatig tegen:

en, of, niet, of..of.., als ...dan ..., ... dan en slechts dan als ...

Merk op: we noemen een koppel als "als... dan..." een voegwoord, terwijl het in onze taal bestaat uit twee woorden.
Logisch redeneren komt voor een deel neer op het omgaan met deze voegwoorden. In deze paragraaf leer je complexe situaties met veel van dergelijke voegwoorden overzichtelijker te maken met behulp van waarheidstafels.

Vraagstuk 1

Oefening: Bewering

Twee soorten of

Het voegwoord of heeft in het dagelijks taalgebruik twee betekenissen.

Wilt U thee of koffie ?                                 uitsluitend: slechts één van beide
  Ja lekker, koffie alsjeblieft.

Wilt U melk of suiker in Uw koffie?              insluitend: mag ook allebei
  Allebei graag.

In de eerste vraag is het de bedoeling dat je kiest tussen thee en koffie, je hoort niet allebei te kiezen. Hier is sprake van "uitsluitend" of. Duidelijker wordt dit als volgt aangegeven:

Wilt U thee of wilt U koffie
Nee, Thee òf koffie
Nee: òf thee òf koffie.

In de tweede vraag wordt een insluitend of gebruikt: nu mag je wel allebei kiezen. Hier gaat het om "insluitend" of. Hiervoor wordt in schrijftaal ookwel "en/of" gebruikt.

tafels voor en, niet, of en òf-òf

Voor willekeurige beweringen schrijven we in deze paragraaf letters p, q, r. Deze letters noemen we propositieletters: ze zijn variabelen die beweringen voorstellen, zoals een x een getal voorstelt.
Voor de verschillende voegwoorden zullen we symbolen invoeren om zo samengestelde beweringen te kunnen schrijven.
De woorden en en niet hebben in de wiskunde geen andere betekenis dan in het dagelijks leven. In formuletaal worden ze met de volgende symbolen aangegeven:

p ∧ q	p en q
¬p	niet p

Voor de twee soorten of hebben we in de wiskunde aparte tekens:

p ∨ q	insluitend of	p is waar, q is waar of ze zijn allebei waar.
p ∨ q	uitsluitend of	p is waar en q niet, danwel q is waar en p niet.

We kunnen ook de betekenis van de verschillende voegwoorden aangeven in tabellen. In de tabel staan alle mogelijke combinaties die er zijn voor p en q waar of onwaar. Voor waar gebruiken we 1, voor onwaar een 0.
Vaak wordt in plaats van 0 en 1 gewerkt met w en o voor 'waar' en 'onwaar', of t en f voor 'true' en 'false'.

In de derde regel zie je bijvoorbeeld dat als p onwaar, en q waar is, de bewering p∧q onwaar is, terwijl de beweringen p∨q en p∨q dan wel waar zijn.

Vraagstuk 2a

Oefening: Waar of niet waar

Vraagstuk 2b

Oefening: Beweringen

8.2 De tafel voor als-dan

de tafel voor als-dan

Bij de waarheidstabel voor als-dan is belangrijk te beseffen dat p⇒q op twee flauwe manieren waar werd (zie les 6):

geval 1: p is onwaar
geval 2: q is waar

Besef dat p en q staan voor concrete bewering die of waar of onwaar zijn. Dan is "nooit waar" en "onwaar" hetzelfde.
De enige situatie waarin p⇒q niet klopt, is als p waar is, maar q niet. De tabel wordt dus als volgt:

p	q	p⇒q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

volgens geval 1: want q is waar

volgens geval 1 en 2: want p is onwaar, q is waar

volgens geval 2: want p is onwaar

als-dan als universele bewering

In de waarheidstafels komt de betekenis van als-dan niet goed uit, omdat als-dan eigenlijk een universele bewering is, en P⇒Q voor gesloten beweringen zelden voorkomt.
Gewoonlijk gaat het om een hele serie situaties x (momenten, getallen, personen enz.) waarin P(x) en Q(x) soms wel en soms niet waar zijn. Om te zien of P⇒Q universeel waar is moet je dan alle gevallen x apart bekijken en steeds nagaan of P(x)⇒Q(x) klopt. Die gevallen apart zijn dan steeds flauwe gevallen.

Het volgende voorbeeld maakt duidelijk waar het om gaat:

Vraagstuk 3

Controleer de bewering p ⇒ q
p = dit getal is een zesvoud
q = dit getal is even
door de tabel in te vullen.

Schrijf een 0 voor "onwaar" en een 1 voor "waar".

tafel voor dan en slechts dan als

Wat betreft de tabel van de dubbele implicatie moet je beseffen dat p⇔q waar is als p en q of allebei waar of allebei onwaar zijn.

p	q	p⇒q	q⇒p	p⇔q
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

8.3 Tafels voor samenstellingen

propositionele formules

Een propositionele formule is een soort schema voor een samengestelde bewering. De beweringen zijn door letters vervangen, en de voegwoorden zijn geschreven met symbolen. Bijvoorbeeld (p∨q) ∨ (p∧q) is een propositionele formule.
Wat betreft haakjes-weglaten gelden de volgende afspraken:

Het teken ¬ bindt het sterkste,
dan komen samen ∧, ∨ en v;
en dan komen samen ⇒, ⇐ en ⇔.

Dus

q⇒¬p∨q is eigenlijk q⇒((¬p)∨q)

Zijn twee tekens even sterk dan gaat het linker teken voor het rechter.
Dus

q∨p∧q is eigenlijk (q∨p)∧q.

de wetten van De Morgan

Iemand vraagt je "wilt U koffie of thee" en je zegt "Nee" dan betekent dat, dat je geen koffie wilt EN geen thee. Zo zie je dat

¬(A∨B) is ¬A∧¬B.

Zo is de ontkenning van een en-bewering een of-bewering:

¬(A∧B) is ¬A∨¬B.

Deze twee regels heten de wetten van De Morgan.

Waarheidstafel van een formule

Bij een formule kun je de waarheidstafel maken. Daarin staat aangegeven in welke situaties de formule waar danwel onwaar wordt.
Wij gaan als voorbeeld de waarheidstafel opstellen van de formule: q⇒¬pvq.

Tautologie

Een tautologie is een uitspraak die puur op grond van zijn vorm altijd waar is. Bijvoorbeeld:

Als ik lieg dan lieg ik.

Dit is altijd waar, onafhankelijk van de vraag of ik wel of niet lieg.
Iedere uitspraak van de vorm p⇒p is sowieso waar, oftewel: de formule p⇒p is een tautologie.
Tautologieën kun je opsporen met behulp van waarheidstafels. Immers een tautologie is een formule die in alle regels een 1 krijgt. Hierboven bleek dat de formule q⇒¬pvq geen tautologie is.

8.4 Waarheidstafels met drie propositieletters

Een voorbeeld met drie propositieletters

Is (p⇒q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) een tautologie?

We stellen de waarheidstafel van de formule op, om te zien of hij in alle gevallen de waarde 1 krijgt.
In de formule komen de drie letters p, q en r voor. Er zijn dan dus 8 mogelijkheden voor p,q en r om waar en/of onwaar te zijn. Dat betekent dat de tabel 8 regels krijgt. Verder hebben we voor alle deelformules aparte kolommen nodig.

8.5 Opgaven

Vraagstuk 4

a. Schrijf alle haakjes in de volgende formules:

1. P∧Q ⇒ R⇔P ∧ ¬Q ∨R

2. P⇒Q∧¬R⇔P∧¬Q⇒R

b. Laat zoveel mogelijk haakjes weg:

1. ((P⇒ (Q∧ ¬ (P))) ⇔ ¬ (P∧ ¬Q))

2. ((P∨ ¬(Q∧¬(P))) ∧ ¬(P⇒(¬Q)))

De antwoorden zijn terug te vinden onder de knop "klik hier", maar bekijk deze niet te snel. Probeer de vragen eerst zelf op te lossen.

Vraagstuk 5

Als je een waarheidstafel wilt maken voor onderstaande formules, hoeveel en welke kolommen moet je dan maken?

a. (Q∨P) ∧¬P⇒¬(Q⇒P)
b. P∧ ¬ (Q∨ ¬P) ⇒ (PvQ)
c. ((P⇒Q)⇒(P⇒R))⇒(Q⇒R)
d. (P⇒Q∧¬P) ⇔¬P∧¬Q

Voorbeeld: voor de formule

P∧¬Q⇔¬(Q⇒P)

heb je in de waarheidstafel zes kolommen nodig en wel voor:

P, Q, ¬Q, P∧¬Q, Q⇒P, P∧¬Q⇔¬(Q⇒P)

Vraagstuk 6

Oefening: Tautologieën

8.6 Waarheidstabulator

De Waarheidstabulator van Jan Jaspars (UvA)

Met de waarheidstabulator kun je formules maken met de drie letters p, q en r. Bestudeer eerst hoe je de waarheidstabulator bedient. Merk op dat in plaats van de tekens voor de logische operatoren woorden als "en", "of", "niet", "alsdan" en "desda (dan en slechts dan)" worden gebruikt.
Tik een formule in met behulp van de knoppen links onderaan. Elke keer verschijnt wat je intikt in de vakjes boven de paarse streep. In de bovenste rij 'invoerknoppen' staan de propositieletters p, q en r en de haakjes en de negatie ("niet"). Daaronder vind je de logische voegwoorden. De betekenis van "en", "of" en "alsdan" zullen duidelijk zijn. "desda" staat voor 'dan en slechts dan als', de gewoonlijke Nederlandse omschrijving van equivalentie. De "noch"-knop betekent dat p noch q waar is, notatie pXq. De "uitsluitende of" ( v ) is helaas niet aanwezig.
Maak je een fout tijdens het invoeren van je formule, dan kun je van achteren naar voren symbolen verwijderen met de knop "DEL". Wil je helemaal opnieuw beginnen, gebruik dan de knop "CLEAR".

Haakjes

Formules met te weinig haakjes vindt deze machine niet prettig. Zo weet hij niet wat je bedoelt als je p->q->p intikt. Het kan betekenen dat je (p->q)->p in gedachten had, maar het kan ook zijn dat je p->(q->p) voor ogen had. Dit zijn verschillende formules. Vergeet dus de haakjes niet!

De machine op gang brengen

Als je formule volledig is breng je de waarheidstabel op gang door op "PUT" te klikken. De linkerkolommen in de tabel sommen nu alle relevante situaties (valuaties of modellen) op: alle 0,1-mogelijkheden. Bovendien worden deze verschillende waarden onder de verschillende propositieletters in je formule aangebracht. Om het lezen van de tabel te vergemakkelijken worden ook de haakjes in de tabel gekopieerd.
Vervolg nu met "STEP" in te drukken. De machine gaat nu vanaf de linkerkant op zoek naar het eerste voegwoord wat hij kan toepassen. Hij berekent de resultaten en zet deze neer in de kolom onder het symbool dat bij dit voegwoord hoort.
Deze 0,1-waarden worden afgebeeld met een rode achtergrond, terwijl de kolommen die hierbij als invoer dienen een gele achtergrond krijgen. Als je weer "STEP" indrukt, dan worden de veranderde waarheidswaarden wit en wordt het volgende voegwoord opgezocht. Blijf nu op "STEP" drukken totdat de tabel helemaal vol is.

Vraagstuk 7

Oefening: Tautologieën

Vraagstuk 8

Creëer een formule met de letters P en Q die gelijkwaardig is aan (P∨Q) en controleer met de waarheidstabulator of jouw formule de juiste waarheidstafel geeft:

p	q	pvq
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

H9 Syllogismen

9.1 Syllogismen 1

Redeneren

De Griekse filosoof Aristoteles (384 - 322 voor Christus) wordt wel de grondlegger van de logica genoemd. Hij dacht onder andere na over geldige manieren van redeneren. Hij vroeg zich af wanneer een uitspraak (zin) waar was. Volgens hem is een zin waar als hij overeenkomt met de werkelijkheid. Hij stelde dat een zin waar is als hij is af te leiden uit ware zinnen. Zo'n afleiding noemen we een syllogisme.

Aristoteles bedacht geldige en ongeldige syllogismes. Hierboven zie je een voorbeeld van een geldig syllogisme. Boven de streep staan twee zinnen die waar zijn, de premissen. Onder de streep staat deconclusie. Een syllogisme is geldig als het altijd zo is dat als de twee premissen waar zijn ook de conclusie waar is. Aristoteles ging er vanuit dat er basisprincipes zijn, die je niet
hoeft te bewijzen, en dat alle ware zinnen daaruit af te leiden zijn.

Vraagstuk 1

Oefening: Syllogismes

Wanneer is zo'n syllogisme geldig? Kun je dat aan de structuur van de zinnen zien?

Aristoteles deelde de syllogismen in soorten in en bedacht welke wel en welke niet geldig waren.

Om de syllogismen in te kunnen delen kijk je naar de structuur van de zinnen.

Het syllogisme over Socrates bijvoorbeeld heeft een structuur zoals hieronder aangegeven. De woorden in de premisse die de structuur bepalen blijven staan, de andere woorden worden vervangen door letters:

M = de verzameling mensen

St = de verzameling sterfelijken

Soc = Socrates

Kijk naar het volgende:

Alle apen zijn zoogdieren.
Sneeuwvlokje is een aap.
Sneeuwvlokje is een zoogdier.

Dit kun je omzetten in dezelfde structuur als in het syllogisme over Socrates:

Z = de verzameling zoogdieren
A = de verzameling apen
Sn = Sneeuwvlokje

∀x∈A x∈Z
Sn∈A .

Sn∈Z

Vraagstuk 2

Geef aan welke van de volgende syllogismes geldig zijn.

Geef naast de syllogismen van de vorige opgave op dezelfde manier de structuur weer met de tekens ∈, " en ∃.

Kijk eventueel nog eens terug in paragrafen 4 (Alle en sommige) en 5 (kwantoren)

Klik op het knopje "klik hier" voor het antwoord. (Probeer de antwoorden eerst zelf te bedenken en klik niet te snel door naar het antwoord).

Open bestand Antwoord vraagstuk 5.docx

Als we een structuur hebben, kunnen we iets zeggen over de geldigheid van een syllogisme met deze structuur. We kunnen bijvoorbeeld zeggen dat het syllogisme over Socrates waar is en bovendien dat alle syllogismen met dezelfde structuur ook waar zijn. Dus als we in de structuur de letters door andere woorden vervangen, krijgen we weer een geldig syllogisme.

Vraagstuk 3

Gebruik de structuren van de vorige opgave om nieuwe syllogismen (in woorden) te maken met dezelfde structuur. Stuur ze per chat naar je mede-leerlingen en wacht af of zij ze geldig (of ongeldig) vinden.

Vraagstuk 4

Bedenk zelf een structuur voor een syllogisme dat geldig is en een structuur van een ongeldig syllogisme. Verzin bij allebei een voorbeeld. Stuur ze per chat naar je mede-leerlingen en wacht af of zij ze geldig (of ongeldig) vinden.

9.2 Syllogismen 2

Stoïcijnse logica

De Stoïcijnen waren volgelingen van Zeno (335 - 265 voor Christus), een Griekse wijsgeer. De Stoïcijnen kenden vijf fundamentele redeneerschema's. Deze redeneerschema's staan hieronder.

Elk redeneerschema heeft een bepaalde structuur.

Met behulp van de redeneerschema's kun je beredeneren of iets het geval is.

Vraagstuk 5

Bepaal van elk van deze vijf redeneerschema's de structuur. Gebruik de symbolen

¬ (niet)

∧ (en)

∨ (insluitend of)

∨ (uitsluitend of)

⇒ (als.. dan..)

Vraagstuk 6

Beantwoord met behulp van deze redeneerschema's de volgende vragen.

Als Hans jarig is, geeft hij een feest. Hans is jarig. Geeft hij een feest?

Als Heleen jarig is geeft zij een feest. Heleen geeft geen feest. Is zij jarig?

We gaan niet zowel naar Frankrijk als naar Spanje op vakantie. We gaan naar Frankrijk op vakantie. Gaan we ook naar Spanje?

We gaan ofwel voetballen ofwel naar de film. We gaan voetballen. Gaan we ook naar de film?

We krijgen ofwel chips of pinda's. We krijgen geen pinda's. Krijgen we wel chips?

Open bestand Antwoord vraagstuk 6

Vraagstuk 7

Je hebt in dit hoofdstuk kennis gemaakt met Griekse filosofen uit de Klassieke Oudheid zoals Aristoteles en Zeno. Zij hadden flinke hun meningsverschillen. In deze uitgebreidere opdracht moet je informatie gaan zoeken. Kies één onderwerp, bijvoorbeeld:

een filosoof,
een stroming van een groep filosofen (platonisten, stoïcijnen, pythagoreërs, enz.)
een filosofisch uitgangspunt (dualisme, idealisme, reductionisme, of iets dergelijks)

en reserveer jouw onderwerp via de chat zodat je mede-leerlingen een ander onderwerp moeten kiezen. Schrijf een essay van maximaal 500 woorden over jouw onderwerp.

Let op: je onderwerp moet gaan over de Klassieke Oudheid en je moet duidelijk maken wat jouw onderwerp met Logica te maken heeft.

Kijk voor een extra syllogisme test op: http://www.123test.nl/syllogismen/

H10 Logische puzzels

10.1 Logische puzzels

Bij veel puzzels en spelletjes moet je logisch redeneren. Je moet nadenken over stappen die je één-voor-één achter elkaar moet zetten. Als je een spel met een tegenstander speelt, dan moet je ook anticiperen op mogelijke tegenstrategieën.
Hier vind je een hele serie puzzels http://www.puzzle.dse.nl/index_nl.html waarvoor je logisch moet redeneren.

Maar niet elke puzzel wordt een 'logische puzzel' genoemd. Bij logische puzzels gaat het typisch om het afleiden van de ware situatie uit een aantal raadselachtige gegevens. In dit hoofdstuk ga je aan de slag met twee soorten logische puzzels:

logigrammen
raadsels rondom de prinses en de tijger.

Je leert om deze op een systematische manier aan te pakken, dus zonder gokken of bluffen

10.2 Logigram

Een logigram is een bepaald type logische puzzel. Er zijn diverse websites met informatie over logigrammen. In dit hoofdstuk gebruik je de propositielogica om zelf een (niet al te eenvoudige!) logigram te ontwerpen.

Print het volgende document uit: Logigram. Hierin wordt het oplossen van een logigram besproken. Op de print kun je met een pen jouw oplossingen invullen.

Open bestand Logigram

Los de twee logigrammen uit dit document op.

Ontwerp jouw eigen logigram. Voor meer informatie over logigrammen, klik naar Wikipedia.

Wissel uit met een mede-leerling: probeer elkaars Logigram op te lossen. Schrijf vervolgens samen een kort verslag over jullie puzzel-ervaring. Geef van beide logigrammen:
- een lege versie en de oplossing,
- enkele achtergronden die de maker in gedachten had
- commentaar van degene die het moest proberen op te lossen.

10.3 Prinses en tijger

We gaan in dit cursusdeel kijken naar het probleem van de prinses of de tijger.
Een gevangene kan kiezen tussen twee deuren. Achter elke deur is een kamer met een prinses of een tijger. Het is dus mogelijk dat achter beide deuren een tijger zit of achter beide deuren een
prinses.
Op elke deur hangt een bordje met daarop een zin die waar of onwaar kan zijn.
Verder wordt de gevangene iets verteld over de waarheid van deze zinnen.
De gevangene moet door goed redeneren een deur vinden waar zeker een prinses achter zit.

Situatie 1

Hiernaast zie je de bordjes op de twee deuren.
De gevangene krijgt te horen dat één van de twee zinnen waar is en de andere onwaar.

Is het mogelijk dat de zin op deur 1 waar is en dus de zin op deur 2 onwaar?
Zo ja, wie zit er dan achter de deur 1? En wie achter deur 2?

Is het mogelijk dat de zin op deur 1 onwaar is en dus de zin op deur 2 waar?
Zo ja, wie zit er dan achter de deur 1? En wie achter deur 2?

Achter welke deur zit een prinses?

Je raakt nogal snel in de war van alle mogelijkheden en onmogelijkheden. Daarom gaan we onderzoeken of je dit probleem ook systematisch met behulp van de propositielogica kunt aanpakken.
We maken eerst een vertaalsleutel:

p1 = Achter deur 1 zit een prinses
p2 = Achter deur 2 zit een prinses

Vraagstuk 1

Waarom is het niet nodig om de zinnen Achter deur 1 zit een tijger en Achter deur 2 zit een tijger in de vertaalsleutel op te nemen?

Vraagstuk 2a

Vertaal nu de twee zinnen op de bordjes naar de propositielogica en maak een waarheidstafel waarin deze twee zinnen staan.

Vraagstuk 2b

Bij deze situatie kreeg de gevangene te horen dat één van de twee zinnen waar is en de andere onwaar. Lees nu in jouw waarheidstabel af welke waarheidswaarden voor p1 en p2 de situatie correct maken.

Vraagstuk 3

Bedenk voor elk van de volgende situaties voor welke waarheidswaarden ze geldig zijn.
Probeer de oplossing eerst te beredeneren. Als je er niet uitkomt maak je een waarheidstafel voor de zinnen op de bordjes.

De zinnen op de deuren zijn beide waar of beide onwaar.

De zinnen zijn beide waar of beide onwaar.

Als er een prinses in kamer 1 zit, dan is de zin op deur 1 waar; als er een tijger in zit, dan is de zin onwaar.

Als er een tijger in kamer 2 zit, dan is de zin op deur 2 waar; als er een prinses in zit, dan is de zin onwaar.

De gevangene krijgt hetzelfde te horen als in situatie 4.

De gevangene krijgt hetzelfde te horen als in situatie 4.

De gevangene krijgt hetzelfde te horen als in situatie 4.

Situatie 8

Op één van beide bordjes staat: In deze kamer zit een tijger.
Op het andere bordje staat: In beide kamers zit een tijger.
De bordjes zijn van de deur gevallen.
De gevangene krijgt hetzelfde te horen als in situatie 4.

Open bestand Practicum SIM-PL

Het probleem van de prinses en de tijger is inmiddels een "klassieker", met diverse filmpjes op Youtube, zie bijvoorbeeld:

10.4 Sprookje

Lees onderstaand sprookje en neem een vel proefwerkpapier.
Schrijf daarop je oplossing van elke proef MET EEN GOEDE UITLEG.

Cijfer = aantal correcte oplossingen -2

Sprookje

Een gevangene moet kiezen uit twee kamers; in de ene kamer zit een prinses, in de andere een tijger. Kiest hij de prinses, dan mag hij haar trouwen; kiest hij de tijger, dan wordt hij opgegeten.

De beslissing wordt gelukkig niet aan het toeval overgelaten. Op de deuren van de kamers worden bordjes geplaatst, waar de gevangene het een en ander kan afleiden. Een slimme gevangene, die logisch redeneert, kan zo zijn leven redden - en krijgt nog een bruid op de koop toe!

DE EERSTE DAG

De eerste dag worden er drie proeven genomen. In alle drie de gevallen zou, in principe, in de ene kamer een prinses zitten en in de andere kamer een tijger. Maar er kon in elke kamer een tijger zitten, en het was ook mogelijk dat beide kamers prinsessen zouden herbergen. maar in elk geval kon er in één kamer nooit meer dan één prinses of één tijger zitten.

1. De eerste proef

Als er nu in beide kamers tijgers zitten, zei de gevangene, > wat moet ik dan doen?

Tja, dan heb je pech, zei de koning.

En als er nu in elke kamer een prinses zit?

Dan zit je natuurlijk op fluweel.

"Maar hoe weet ik nu wat de goede kamer is?", vroeg de gevangene benauwd.

De koning wees op de bordjes op de deuren van de kamers:

1. In deze kamer zit een prinses en in de andere kamer zit een tijger.

2. In een van deze kamers zit een prinses en in een van deze kamers zit een tijger.

"Is het waar wat er op de bordjes staat?", vroeg de gevangene.

"Ééen ervan is waar, en één is niet waar", zei de koning.

Als jij de gevangene was, welke deur zou je dan opendoen (waarbij ik voor het gemak maar aanneem dat je de prinses boven de tijger verkiest.)

2. De tweede proef

Gelukkig slaagde de eerste gevangene erin zijn leven te redden. Er kwamen nieuwe bordjes op de deuren, en daarmee overeenkomstig werd de bezetting van de kamers (zo nodig) gewijzigd. De bordjes zagen er nu zo uit.

1. In minstens een van deze twee kamers zit een prinses.

2. In de andere kamer zit een tijger.

"Zijn ze waar of niet waar?", vroeg de tweede gevangene.

"Ze zijn of alle twee waar, of geen van beide waar", zei de koning.

Welke kamer moest de gevangene nu kiezen?

3. De derde proef

Bij deze proef, legde de koning uit, waren de bordjes weer beide waar of beide niet waar.

Dit zijn de bordjes:

1. Op zijn minst een van de volgende uitspraken is waar:

Er zit een tijger in deze kamer.

Er zit een prinses in de andere kamer.

2. In de andere kamer zit een prinses.

Zit er nu een prinses of een tijger in de eerste kamer? En hoe staat het met de andere kamer?

DE TWEEDE DAG.

Bij alle vijf proeven die deze dag gehouden worden geldt het volgende:

wanner er in kamer 1 een prinses zou zitten, dan zou het bordje van die kamer waar zijn,

maar zat er een tijger, dan was het niet waar.

In kamer 2 is de situatie omgekeerd:

zou daar een prinses zitten, dan is het bordje niet waar,

en zit er een tijger, dan is het bordje op de deur wel waar.

Opnieuw is het mogelijk dat er prinsessen in beide kamers zitten, of tijgers in beide kamers, of dat er een prinses zit in de ene kamer en een tijger in de andere, maar niet meer dan één prinses of één tijger per kamer.

4. De vierde proef.

Nadat de koning bovenstaande regels had uitgelegd, wees hij op de twee bordjes:

1. In beide kamers zit een prinses.

2. In beide kamers zit een prinses.

Welke kamer moet de gevangene kiezen?

5. De vijfde proef.

Dezelfde regels blijven van toepassing. Dit zijn de bordjes:

1. In minstens één kamer zit een prinses.

2. In de andere kamer zit een prinses.

Wat zou u kiezen?

6. De zesde proef

De koning was heel trots op deze puzzel, en ook op de volgende. Dit zijn de bordjes:

1. Welke kamer u ook kiest, het maakt geen verschil

2. In de andere kamer zit een prinses.

Wat moet de gevangene doen?

7. De zevende proef.

Dit zijn de bordjes:

1. Het maakt wel degelijk verschil welke kamer u kiest.

2. U kunt beter de andere kamer kiezen.

Wat moet de gevangene doen?

8. De achtste proef

"Er zitten geen bordjes op de deuren!", riep de gevangene.

"Ja, ja, kalm maar", zei de koning. "De bordjes zijn net klaar, maar we hebben nog geen tijd gehad om ze erop te spijkeren. Kijk, daar zijn ze":

In deze kamer zit een tijger.

In elke kamer zit een tijger.

De koning zat even in gedachten verzonken; toen vroeg hij: "Weet je het al?"

"Ik wacht tot u de bordjes laat aanbrengen", zei de gevangene.

"Nee, dat is niet nodig", zei de koning. "Je kunt dit zonder die informatie oplossen. Maar bedenk wel dat nog steeds de regel van deze dag geldt, namelijk; als er een prinses in de linker kamer zit, dan is het bordje op die kamer waar; zit er een tijger, dan is het bordje niet waar. En het omgekeerde geldt voor de rechter kamer".

Wat is de oplossing?

DE DERDE DAG

We nemen nu drie kamers, en dan zetten we een prinses in een van de kamers en in elk van de andere twee kamers stoppen we een tijger!

9. De negende proef

Dit zijn de bordjes:

1. In deze kamer zit een tijger.

2. In deze kamer zit een prinses.

3. Er zit een tijger in kamer 2.

Hoogstens één van deze drie bordjes is waar, zei de koning.

Waar zat de prinses?

10. De tiende proef.

De koning vertelde de gevangene dat het bordje op de kamer met de prinses waar was, en dat minstens én van de twee andere bordjes onwaar was.

Dit zijn de bordjes:

1. Er zit een tijger in kamer 2.

2. In deze kamer zit een tijger.

3. Er zit een tijger in kamer 1.

Wat moet de gevangene doen?

11. Eerste, tweede en derde keus.

De koning had weer eens een nieuwigheidje bedacht en legde dit keer aan de gevangene uit da er in ??n kamer een prinses zat, en in één kamer een tijger; de derde kamer was leeg.

Het bordje op de kamer met de prinses was waar, het bordje op de kamer met de tijger was niet waar, en het bordje op de lege kamer kon waar zijn of niet waar zijn.

Dit zijn de bordjes:

1. Kamer 3 is leeg.

2. De tijger zit in kamer 1.

3. Deze kamer is leeg.

Nu kenden deze prinses en deze gevangene elkaar, en de gevangene wilde haar trouwen. Hoewel de lege kamer natuurlijk te verkiezen was boven die met de tijger, zou de gevangene het liefst de kamer met de prinses kiezen. Waar zat de prinses en waar de tijger?

DE VIERDE DAG

Nu zijn er maar liefst negen kamers!

De koning legde uit dat er maar één kamer met een prinses was; elk van de acht andere kamers was of leeg, of voorzien van een tijger. Het bordje op de kamer met de prinses was waar. Bordjes op kamers met tijgers waren niet waar en bordjes op lege kamers konden waar of niet waar zijn.

Dit zijn de bordjes:

1. De prinses zit in een kamer met een oneven nummer.

2. Deze kamer is leeg.

3. Op zijn minst een van de volgende twee uitspraken is waar:

- bordje 5 is waar

- bordje 7 is waar.

4. Bordje 1 is niet waar.

5. Op zijn minst een van de volgende twee uitspraken is waar:

- bordje 2 is waar

- bordje 4 is waar

6. Bordje 3 is niet waar.

7. De prinses zit niet in kamer 1.

8. in deze kamer zit een tijger en kamer 9 is leeg.

9. Hier zit een tijger en bordje 6 is niet waar.

Lange tijd bestuurde de gevangene de negen bordjes. Eindelijk zei hij: "Dit probleem is niet op te lossen. Dat is niet eerlijk!"

Ja, dat weet ik, lachte de koning.

"Grappig hoor", zei de gevangene. "U moet me op zijn minst een echte kans geven. Vertelt u me nou alleen maar of kamer 8 leeg is of niet".

"Eigenlijk heb je wel gelijk; een onoplosbaar probleem is niet leuk", zei de koning, en hij vertelde hem of kamer 8 leeg was of niet; daarop kon de gevangene vaststellen waar de prinses zat.

Waar zat ze nu?

(N.B. Bordjes met twee uitspraken worden alleen beschouwd als waar, wanneer beide beweringen waar zijn.)

H11 Logische schakelingen

11 Logische schakelingen

Logische schakelingen met SIM-PL

Logica wordt veel toegepast en ook goed zichtbaar bij elektronische schakelingen. Het programma SIM-PL simuleert dergelijke schakelingen. Je kunt ze er betrekkelijk eenvoudig mee bouwen. Download eerst via de link hierboven bij het onderdeel Software de nieuwste versie van SIM-PL. Je kunt ook naar Webstart gaan en het programma rechtsreeks opstarten via het internet.

Aanwijzing vooraf: zorg ervoor dat je de Componenten hebt gedownload bij "Voortgezet onderwijs" en in een eigen mapje "ComponentenVO" opslaat. Werk nu het Practicum SIM-PL door dat je hier aantreft: Practicum SIM-PL

H12 Turingmachines

12 Turingmachines

Lees deze tekst over de achtergronden en de werking van Turingmachines.

Open bestand Turing-machine.doc

Het gaat daarbij om zowel een korte beschrijving van het verband met de logica en de grondslagen van de wiskunde (waarover je in die tekst het nodige leest) als het beschrijven van de werking van een voorbeeld van een Turingmachine en het ontwerpen van een Turingmachine.

Opdracht

Schrijf een artikel over Turing-machines waarin:

je kort iets vertelt over het hoe en waarom van Turing-machines;
je de werking van de turmac "Laffe hyena" beschrijft;
je de turmac "Kopieer" ontwerpt (zie bijlage 1);

Open bestand Bijlage 1.doc

je zelf minstens één andere Turing-machine (kies uit de gegeven mogelijk-heden in bijlage 1) ontwerpt;
je beschrijft hoe je twee Turing-machines logisch kunt schakelen (kies uit parallel of in serie, zie bijlage 2).

Open bestand Bijlage 2.doc

UITWERKING

Het ontwerp van een turmac bestaat uit meer dan alleen het programma zelf. Hieronder volgt puntsgewijs waar je bij de beschrijving van een turmac aan moet denken:

Geef zonodig een nadere specificatie van de taak van je turmac, inclusief de vorm waarin invoer geleverd wordt. Extra eisen aan de invoer gelden als kwaliteitsvermindering.
Schrijf het idee voor het programma in woorden.
Geef het alfabet van de turmac. Bij de opdrachten is het alfabet soms al vastgelegd. Zo niet, dan mag je het ook uitbreiden.
Geef de instructietabel.
Geef de procesgraaf.
Geef de instructietabel in kopieerbare vorm voor invoer in een applet.
Beschrijf de tests die je gedaan hebt (invoer, uitvoer), inclusief gevonden fouten en verbeteringen naar aanleiding van zo'n test.
Beschouwing over mogelijke verbeteringen van jullie programma.

De turmac's worden beoordeeld op:

correctheid (doen ze wat vereist was);
overzichtelijkheid (goede keuze en groepering van de diverse standen);
beknoptheid (geen onnodige standen).

D-toets

Eindopdracht

Over deze module

Is logica iets voor jou?

In de module Logica krijg je met verschillende zaken te maken. Het vakgebied van de Logica bevindt zich op het snijvlak van Waarheidsvinding, Filosofie, Informatica, Artificiële Intelligentie, Techniek, Wiskunde en ... Puzzels!

Waarheidsvinding = Logica is de algemeen geaccepteerde manier om waarheid te achterhalen. In debatten, in de rechtsspraak. In debatten, in de rechtspraak, in de wetenschap.

Filosofie =Logica werd al gebruikt in de Klassieke Oudheid. Aristoteles (384-322 v. Chr) wordt algemeen beschouwd als de grondlegger van de Logica.

Informatica = Bij het programmeren van computers, en als je met Google werkt, maak je gebruik van NOT, AND en OR en andere connectieven. Deze taal komt uit de Logica.

Artificiële Intelligentie = Het logisch redenieren is grotendeels te automatiseren. Daardoor hebben we nu gecomputeriseerde psychiaters en andere hulpverlerens, die op basis van inputkenmerken een snelle en slimme zoektocht door grote databanken kunnen maken om vervolgens een diagnose te stellen.

Techniek = Electronische schakelingen lijken op voegwoorden. Daardoor kun je met Logische Schakelingen koppelingen aanbrengen tussen bijvoorbeeld sensoren.

Wiskunde = In de wiskunde wordt veel geredeneerd en worden eigenschappen van wiskundige objecten bewezen. De grondslagen van de wiskunde bouwen dus op Logica.

Puzzels = Hoe kun je het probleem van de Wolf-en-Geit logisch aanpakken? Allerlei puzzels vergen logische redeneerstappen en vaak kunnen puzzels met een systematische aanpak worden opgelost. Als je ook gaat nadenken over de strategieën van je tegenstander ("Ik denk dat jij denkt dat ik nu de zwarte pion kies.") dan kom je op het gebied van de Modale Logica.

Denk alvast eens na over de volgende problemen.

Vragen

Oefening: Vragen