# 5 Kwantoren

Veel uitspraken hebben zowel een existentieel en een universeel karakter.
Bijvoorbeeld: het spreekwoord

- "Op elk potje past een dekseltje".

Hier wordt iets gezegd over de verzameling van potjes en de verzameling van dekseltjes. Over de potjes wordt iets universeels gezegd: "elk potje". Maar over elk potje afzonderlijk wordt iets existentieels gezegd, namelijk dat er een dekseltje bestaat dat op dat potje past.
Met dezelfde woorden kunnen we een heel andere zin maken:

- "Eén dekseltje past op elk potje."

waarin ook iets gezegd wordt over alle potjes en sommige dekseltjes, maar wel iets essentieels anders.

In de wiskunde zijn verbanden vaak zo ingewikkeld dat de natuurlijke taal tekort schiet. Om precies aan te geven hoe de variabelen in een zin (zoals hierboven potje en dekseltje) bedoeld zijn wordt gebruik gemaakt van zgnkwantoren. Dat zijn de tekens ∀ en ∃ die van een variabele aangeven of hij universeel of existentieel bedoeld is.

Wil je zeggen dat alle getallen even zijn, dan doe je dat zo:

∀x∈ N | x is even

of als wel duidelijk is dat de x'en uit N komen:

∀x | x is even

Wil je zeggen dat sommige getallen even zijn, dan schrijf je:

∃x | x is even

Kwantoren worden vooral gebruikt als er meerdere variabelen in het spel zijn, zoals in ons voorbeeld hierboven waar er sprake is van 'potje' en 'dekseltje'.

Dekseltje d past op elk potje p zou je zo schrijven:

∀p | d past op p |

Dat er een deksel past op potje p schrijf je zo:

∃d | d past op p |

Zin 1 wordt dus:

∀p ∃d | d past op p |

Terwijl zin 2 wordt:

∃d ∀p | d past op p |

Bijvoorbeeld de bewering:

- "Als je twee natuurlijke getallen hebt en je trekt het kwadraat van de ene af van de ander, dan krijg je altijd een getal dat groter is dan de som van die twee getallen."

kun je vertalen met:

- ∀x∈Ν∀y∈Ν
- y - x2 > x+y .

En om

- " Elk natuurlijk getal is te schrijven als de som van twee priemgetallen"

te vertalen, neem P = {x ∈ N | x is priem}, dan:

- ∀x∈Ν∃p∈Ρ∃q∈Ρ
- x = p + q

Vraagstuk 1

Vraagstuk 2

Vraagstuk 3

De variabelen x en y staan voor alle mensen in een groot bedrijf.

Vul een X in op de juiste plaats.

klik hier

Vraagstuk 4

Geef in je eigen woorden een Nederlandse zin voor de volgende beweringen:

(de variabelen x en y staan voor alle mensen in een groot bedrijf)

a) ∃x ∃ y x is de baas van y

b) ∃y ∀ x x is de baas van y

c) ∃y ∀ x y is de baas van x

en controleer jouw zinnen.

klik hier