# 6.1 Als-dan

Beweringen hebben vaak de vorm 'als p dan q'.

Enkele manieren om als-dan in een Nederlandse zin weer te geven:

- Als het regent, dan word je nat.
- Als het regent word je nat.
- Regent het, dan word je nat
- Je wordt nat als het regent
- Zodra het regent word je nat.
- (Wanneer het regent word je nat )

niet persé oorzaak en gevolg

In de wiskunde wordt met als-dan wat anders omgesprongen dan in het dagelijkse taalgebruik. We zullen vanaf nu voor het wiskundige als-dan het teken ⇒ gebruiken, dat implicatiepijl heet.

De betekenis van p⇒q kun je zo omschrijven:

- In alle gevallen waarin p waar is, is q ook waar.

Met p⇒q wordt niet persé bedoeld dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen p en q, dus dat p de oorzaak is van q, en q het gevolg van p. In het dagelijks taalgebruik is dat trouwens ook zo. Bijvoorbeeld:

- Als je in het ziekenhuis ligt, dan is er iets mis met je gezondheid.

Deze uitspraak is (als we een stage met nachtdienst uitsluiten) juist: in alle situaties waarin je in een ziekenhuis ligt zal er een medische reden zijn. Maar het feit dat je in het ziekenhuis ligt, is niet de oorzaak van het ziek-zijn. En niet iedereen die ziek is, wordt opgenomen.

als-dan als universele bewering

Een als-dan bewering is een universele bewering. Bijvoorbeeld: met
als het regent word je nat, wordt eigenlijk gezegd:

- alle momenten dat het regent
  zijn momenten waarop je nat wordt

Dus de verzameling van regenmomenten is een deelverzameling van de verzameling van nat-word-momenten.

Eigenlijk komt het teken ⇒ nooit alleen voor, altijd zijn er variabelen in p en q waarover een universele uitspraak wordt gedaan:

- ∀m
- (op m regent het ⇒ op m word je nat)

Een wiskundiger voorbeeld: het vermoeden van Goldbach luidt:

- Als een getal even is dan is het de som van hoogstens twee priemgetallen.

kun je schrijven als:

- x is even ⇒ x is de som van hoogstens twee priemgetallen

of nog beter:

- ∀x∈Ν
- (x is even ⇒ x is de som van hoogstens twee priemgetallen)

of

- ∀x∈Ν
- (x is even ⇒ ∃y∈Ρ ∃z∈Ρ x=y+z )

Vraagstuk 1

Vraagstuk 2