# 4.1 Alle en sommige

Je mag niet generaliseren. Als je één domme Amsterdammer tegenkomt wil dat nog niet zeggen dat elke Amsterdammer dom is. Blijkbaar maken we duidelijk onderscheid tussen twee soorten uitspraken:

- Sommige Amsterdammers zijn dom
  Alle Amsterdammers zijn dom.

alle

Uitspraken van de vorm:" Alle a's zijn b's" noemen we universele uitspraken. Natuurlijk hoeft de uitspraak niet letterlijk die vorm te hebben, het gaat erom dat er over alle dingen uit een bepaalde verzameling gezegd wordt dat ze een bepaalde eigenschap hebben. Noem A de verzameling van al die dingen waarover het gaat, en B de verzameling van alle dingen die de betreffende eigenschap hebben, dan wordt er met de uitspraak dus gezegd dat:

- A⊆B

Voorbeelden van universele uitspraken:

- Vogels zijn gewervelde dieren
  - A = verzameling van alle vogels
    B = verzameling van alle gewervelde dieren
  Elk viervoud is even
  - A = de verzameling van viervouden = {0,4,8,12,16,...}
    A⊆E
  het kwadraat van een even getal is even
  - B = de verzameling kwadraten van even getallen = {0, 4, 16, 36, 64, ....}
    B⊆E

sommige

Tegenover universele uitspraken staan existentiële uitspraken, dat zijn beweringen van de vorm "sommige a's zijn b". In zo'n geval is minstens één element van A ook element van B.
In het dagelijks taalgebruik denk je bij "sommige" aan "meerdere" dus een aantal van minstens 2, wij zijn echter al tevreden als er één is.
Voorbeelden van existentiële uitspraken:

- "sommige vogels kunnen vliegen".
  - A = verzameling van alle vogels
    B = verzameling van alle dieren die kunnen vliegen.
  "De vergelijking x2 + 4x - 5 =0 heeft een gehele oplossing in de natuurlijke getallen."
  - A = N = natuurlijke getallen
    B = de verzameling van alle oplossingen van x2 + 4x - 5 =0. ={-5, 1}

Vraagstuk 1

Feedback Existentieel.docx

Vraagstuk 2a

Hieronder staan universele uitspraken "alle a's zijn b" en existentiële uitspraken "sommige a' s zijn b". Kies steeds wat de bijbehorende verzamelingen A en verzameling B zijn.

Daarbij heb je de keuze uit:

M = { x∈N | x is een kwadraat }

E = { x∈N | 2 is een deler van x }

O = { x∈N | 2 is geen deler van x }

P = { x∈N | 3 is een deler van x }

Q = { x∈N | 3 is geen deler van x }

Let op, de bewering hoeft niet waar te zijn!

Klik hier

'niet alle' en 'sommige niet'

Om zeker te weten dat alle Amsterdammers dom zijn, zou je ze allemaal moeten onderzoeken. Zou je maar één Amsterdammer vinden die niet dom is dan was je vermoeden ontkracht. De ontkenning van "alle Amsterdammers zijn dom" is namelijk "sommige Amsterdammers zijn niet dom". En in het algemeen:

niet (alle a zijn b ) | = sommige a zijn niet-b.

Omgekeerd is de ontkenning van een existentiële uitspraak een universele:

niet (sommige a zijn b) | = geen a is b |
| = alle a's zijn niet-b

Vraagstuk 2b