# 2.2 Het verschil tussen 1 en {1}

Let op: 1 en {1} zijn twee verschillende dingen: 1 is een getal, terwijl {1} een verzameling van getallen is, die toevallig maar een element heeft, namelijk het getal 1.

Wel geldt: dus 1 ∈ {1}, maar niet 1 = {1}.

Een ding kan element van veel verschillende verzamelingen zijn. Verzamelingen kunnen zelf weer element van verzamelingen zijn.Voorbeeld: "de teams in de competitie" is een verzameling van verzamelingen van spelers. Een speler is geen element van de competitie, maar een element van een elftal dat element is van de competitie.

Wel geldt dus {1} ∈ {{1},{2}}, maar niet 1 ∈ {{1},{2}}

Deelverzameling

Een verzameling A heet een deelverzameling van B als alle elementen van A in B zitten. Je kunt je de situatie zo voorstellen:

De voorwaarde om deelverzameling te zijn is dat alle elementen van A in B zitten. A mag ook álle elementen van B hebben. Bijvoorbeeld:N ⊆ N.

Vraagstuk 2

In een verzameling kun je dingen met een bepaalde eigenschap weer apart nemen om een deelverzameling te vormen. Bijvoorbeeld: sommige getallen zijn even, samen vormen zij een deelverzameling van N: we schrijven dat als volgt:

- E = { x ∈N | x is even }

lees: "de verzameling van natuurlijke getallen x die even zijn."

Bij deze notatie zetten we voor de | in welke verzameling we kijken, en achter de streep de eigenschap waarin dingen uit die verzameling moeten voldoen om tot de deelverzameling toegelaten te worden.

Voorbeeld beweringen

De volgende beweringen zijn waar, leg steeds uit waarom.

De oplossingen van de beweringen vind je onder het knopje "plaats hier je muis", maar bekijk ze niet te snel.

a. 2 ∈ E
klik hier

b. 3 ∈ { x ∈N | x is oneven }

klik hier

c. { x ∈ {1,2,3,4,5,6} | x is even } = {2,4,6}

klik hier

d. {2,4,8} ⊆ { x ∈ N | x <10}

klik hier

Is elk element van {2,4,8} ook element van { x ∈ N | x <10}?

De elementen van {2,4,8} zijn de getallen 2,4 en 8, die zijn alledrie kleiner dan 10, dus elementen van { x∈ N | x <10}

Vraagstuk 3

Dubbelzinnigheid van "is"

Bij begripsdefinities zien we de dubbelzinnigheid van het woordje "is". Deze speelt ook bij uitspraken over objecten. Vergelijk:

a) 2 is even

b) 2 is 1+1

Bij a) wordt een eigenschap van 2 gegeven, bij b) zijn twee dingen aan elkaar gelijk: 2 en 1+1. Het verschil komt goed tot uitdrukking als we de beweringen in formuletaal weergeven:

a) 2 ∈ E

b) 2 = 1+1