Onder de kwadratuur van een cirkel wordt het volgende verstaan:
Is het mogelijk om bij een gegeven cirkel een vierkant te construeren met alleen gebruik van passer en lineaal waarbij de oppervlakte van het vierkant gelijk is aan die van de cirkel?
Bij een "constructie met passer en lineaal" mag de lineaal alleen worden gebruikt om rechte lijnen mee te tekenen.
Auteur: Rob Brown, CC BY-SA
Geschiedenis
De vraag over de kwadratuur van de cirkel werd al gesteld bij de oude Grieken. Maar wellicht dat het vraagstuk al veel ouder is. Meetkunde is al vroeg ontstaan vanuit praktische vragen in die tijd.
In de tijd van de farao's werden de Egyptenaren al geconfronteerd met jaarlijkse overstromingen van de Nijl. Als het water zich dan had teruggetrokken moesten landgoederen weer opnieuw worden ingemeten. Ze gingen daarom nadenken over oplossingen om dat jaarlijkse meetproces zo eerlijk en efficiënt mogelijk te kunnen uitvoeren. Ziehier de start van de meetkunde.
Het vraagstuk van de kwadratuur van een cirkel is één van vele vraagstukken waarbij alleen een passer en een lineaal mogen worden gebruikt. Zoals al eerder opgemerkt mag de lineaal alleen worden gebruikt als hulpmiddel voor het trekken van rechte lijnen. Een constructie mag dus geen gebruik maken van de schaalverdeling op een lineaal.
Voorbeelden van dergelijke constructievraagstukken zijn:
Bij een gegeven hoek construeren van de deellijn van die hoek
Bij een gegeven hoek \(\alpha\) construeren van een hoek die 1/3 van de grootte van \(\alpha\)
Bij een gegeven kubus construeren van een kubus met dubbele inhoud
Bij een gegeven lijnstuk AB construeren van de lijn middendoor AB, loodrecht op AB
Een aantal van deze vraagstukken werd al snel door de Grieken opgelost. Bijvoorbeeld vraagstukken 1 en 4 waren erg eenvoudig. Maar er bleef een aantal over waar wiskundigen zich millennia lang het hoofd over braken zonder tot oplossingen te komen. Vraagstukken 2, 3 en het vraagstuk over de kwadratuur van de cirkel waren voorbeelden daarvan.
In de 19e eeuw was het de briljante wiskundige Evaroiste Galois (1811-1832) die een methode construeerde waarmee het antwoord kon worden gegeven op al die constructievraagstukken. Hij deed dat door na te denken over oplosbaarheid van polynomiale vergelijkingen. Hij construeerde daartoe getalverzamelingen met bepaalde eigenschappen waarmee hij oplosbaarheid voor een gegeven polynomiale vergelijking kon aantonen. Het knappe was dat deze ogenschijnlijk niet-gerelateerde theorie de sleutel was om op eenvoudige wijze het al dan niet mogelijk zijn van constructievraagstukken te kunnen beantwoorden.
Galois toonde ook aan dat wiskundigen niet altijd wereldvreemde, saaie mensen zijn. Hij liet zich om politieke redenen uitdagen voor een duel. De avond voor het duel realiseerde Galois zich dat het wel eens verkeerd kon aflopen. Hij schreef toen de wiskundige ideeën waar hij mee bezig was op, zodat die niet verloren zouden gaan wanneer hij zou komen te sterven. Inderdaad verloor hij het duel en werd zodanig zwaar gewond dat hij een dag later overleed. Zijn ideeën werden in 1846 door de Franse wiskundige Liouville gepubliceerd.
Hieronder een tweetal voorbeelden van constructies met passer en lineaal.
Constructie van een middelloodlijn op een gegeven lijnstuk AB
Constructie van de deellijn van een gegeven hoek
Is er een oplossing voor de kwadratuur van een cirkel?
Voorbereiding
Om het antwoord op de vraag uit deze sectie te kunnen geven is een aantal begrippen nodig.
Een veelterm of polynoom in een variabele x is een uitdrukking van de vorm: anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0. a0,..,an heten coëfficiënten en zijn willekeurige getallen; n is een natuurlijk getal. Wanneer an <>0 dan heet n de graad van de veelterm. Wanneer n=2, dan heet de veelterm een kwadratische veelterm.
Wanneer alle ai (i=0,..,n) rationale getallen zijn ("breuken"), dan heet de veelterm algebraïsch.
Stel f(x)= anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0. Een getal p heet een oplossing van f(x)=0 als anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0=0
Wanneer een getal p een oplossing is voor een algebraïsche veelterm dan heet p een algebraïsch getal.
Alle "breuken" zijn algebraïsch. Een breuk a/b (b<>0; a,b gehele getallen) is oplossing van de veelterm f(x)=0, met f(x)=x-(a/b)
\(\sqrt{2}\) is een voorbeeld van een algebraïsch getal dat geen breuk is. Het is oplossing van de vergelijking \(x^2-2=0\)
Het antwoord
Het korte antwoord is: NEE
De korte uitleg volgt hier stapsgewijs
Een cirkel met straal r heeft een oppervlakte van \(\pi r^2\)
Het te construeren vierkant zou dan een oppervlakte moeten hebben van \(\pi r^2\)
De zijde van het vierkant is dan de wortel daaruit: \(r \sqrt{\pi }\)
Galois heeft aangetoond dat constructie van een lijnstuk met passer en lineaal alleen kan als de lengte van dat lijnstuk oplossing is van een kwadratische algebraïsche veelterm met gehele coëfficiënten.
De kunst is dus zo'n algebraïsche veelterm f(x) te vinden die \(r \sqrt{\pi }\) als oplossing heeft voor f(x)=0.
Echter: in 1882 werd bewezen dat \(\pi\) en daarmee ook \(r\sqrt{\pi}\)geen algebraIsch getal is.
Er bestaat dus geen algebraìsche veelterm f die \(r\sqrt{\pi}\) als oplossing heeft voor f(x)=0
Het arrangement Kwadratuur van een cirkel is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Robert Schuwer
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2022-12-13 08:42:22
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
