TopWis Poincaré gaat over topologie, een deel van de wiskunde dat ook wel rubbermeetkunde wordt genoemd, omdat alleen de meetkundige eigenschappen worden onderzocht waarbij afstand geen rol speelt. Objecten in de topologie, zoals oppervlakken, worden daarmee beschouwd alsof ze van rubber zijn gemaakt.
In deze e-klas neem je de rol aan van A Square, wiskundige in het tweedimensionale Flatland. Op een dag raakt A Square geïnteresseerd in de vraag welke vorm Flatland eigenlijk heeft. De zoektocht van A Square komt neer op het topologisch willen classificeren (indelen) van van alle mogelijke oppervlakken. Dit leidt ons uiteindelijk tot de classificatiestelling voor gesloten oppervlakken.
De aanleiding voor TopWis Poincaré was het oplossen van het Poincaré vermoeden door Grigori Perelman in 2002/03. Dit wiskundige vermoeden is in 1905 geformuleerd door de groot Frans wiskundige Jules Henri Poincaré (1854 -1912). Het speelt een belangrijke rol bij de vraag wat de mogelijke vormen zijn van een driedimensionale ruimte, het 3D-equivalent van de vraag wat alle oppervlakken zijn.
Studiewijzer
De e-klas van TopWis Poincaré bestaat uit acht lessen onderverdeeld in een aantal paragrafen. De lessen kunnen zelfstandig worden uitgevoerd.
Deze e-klas bevat:
Veel korte opdrachtjes omjezelf te testen.
Een microtoetsje (onder 'toetsen') aan het begin van les 2 tot en met 8 over de belangrijkste begrippen van de les ervoor.
Een aantal inleveropgaven (als extra bestand bijgevoegd) waarin wordt gevraagd een aantal opgaven over de stof uit te werken en in te leveren.
Een eindopdracht (in het lesmateriaal) waarin wordt gevraagd een filmpje, of andere presentatie te maken gerelateerd aan de lesstof en het vermoeden van Poincaré.
De syllabus van de lessenserie TopWis Poincaré die parallel aan deze e-klas is ontwikkeld.
We stellen voor dat je als volgt aan de slag gaat:
Maak het microtoetsje van de vorige les (als aanwezig).
De docent behandelt eventueel een niet goed begrepen begrip uit het microtoetsje, wanneer blijkt dat dit nodig is.
Werk de (volgende) les door. Test jezelf met de korte opdrachtjes.
Benodigdheden
In het lesmateriaal wordt verwezen naar de applicatie Torus Games van Jeff Weeks. De applicatie is te downloaden ophttp://www.geometrygames.org/. Verder wordt er soms gevraagd om met schaar en papier te werken.
Bij de eindopdracht is een lijst met bronnen opgenomen. Veel is via internet te downloaden, maar de boeken zullen bijvoorbeeld uit de bibliotheek moeten worden gehaald.
Lesoverzicht
Les
Naam
Kernbegrippen
1
Flatland
Flatland, oppervlakken, topologie, classificeren
2
Bouwplaten
bouwplaten van oppervlakken, bolschil, torus, identificatieschema, intrinsieke vs. extrinsieke eigenschappen
3
Links en rechts in Flatland
Oriëntatie-omkerend pad, oriënteerbaarheid, Möbiusband, fles van Klein, het projectieve vlak, kurkentrekkerregel
Henri Poincaré, Grigori Perelman, William Thurston, Richard Hamilton, vermoeden en stelling
Bronnen
TopWis Poincaré:
De Topwis Poincaré syllabus te vinden bij de extra bestanden bij deze e-klas. Deze e-klas is gebasseerd op de syllabus Topwis Poincaré, in de syllabus vind je uitgebreidere informatie en een aantal eindopdrachten die je kunt gebruiken voor inspiratie voor de eindopdracht of als basis van een profielwerkstuk.
Boeken:
The Poincaré Conjecture – Donal O'Shea. Dit boek bespreekt de geschiedenis van het vermoeden van Poincaré in groot detail. Ook wordt de aanloop naar de formulering van het vermoeden, het vermoeden zelf en de oplossing op een begrijpelijke en inhoudelijk goede manier verwoord.
The Shape of Space – Jeffrey R. Weeks. In dit vermakelijke en goed geschreven boek, bespreekt Jeffrey Weeks topologie, meetkunde en de mogelijke vormen van het universum. Het boek staat vol met opgaven en kan zeer geschikt zijn voor het maken van een profielwerkstuk.
The millennium problems: the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time – Keith J. Devlin. Boek dat inhoudelijk uitleg geeft over de zeven Millenium problemen.
Allan Hatchers boek 'Algebraic Topology' te downloaden op Manifold destiny: een artikel verschenen in de New Yorker over het bewijs van Perelman en een controverse die nog even opwaaide door de Chinese wiskundige Yau. Dit artikel heeft ook een wikipedia pagina: http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold_Destiny
Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-manifolds van John Milnor. Dit artikel gaat over de wiskundige geschiedenis van het Poincaré vermoeden, het is geschreven door een wiskundige en is behoorlijk technisch. Dit zal niet helemaal te begrijpen zijn, maar geeft een goed beeld van wiskundige terminologie en ook een globaal beeld van het vermoeden van Poincaré.
Zoek ook naar filmpjes op YouTube (er staan veel Engelstalige filmpjes op)
http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space: (de Engelse wikipedia site is een stuk informatiever dan de Nederlandse) -- Hier vind je informatie over 'enkelvoudige samenhang' (simply connectednes).
In de komende acht lessen van TopWis Poincaré maak je kennis met topologie, de wiskunde van ruimte. Les 1 tot en met 6 gaan over oppervlakken, les 7 en 8 over drie dimensies en het vermoeden van Poincaré.
In de lessen zijn vragen opgenomen die je helpen met het begrijpen van het materiaal. Aan het begin van de les zul je meestal worden gevraagd om een microtoetsje te doen. Dit zijn hele korte toetsjes waarin de kernpunten van de vorige les aan bod komen.
De afsluiting van de e-klas bestaat uit een aantal inleveropgaven en het maken van een eindopdracht.
Heb je je ooit voorgesteld hoe het is om in een vlak te leven? In deze les kruip je in de huid van Pacman en van Flatlanders die leven in een tweedimensionale (2D) wereld. Je maakt kennis met de vierkante A Square die op zoek gaat naar de vorm van het oppervlak waarin hij leeft. Het classificeren van oppervlakken is een vraagstuk binnen de topologie, een tak van de wiskunde waarin alle objecten van rubber zijn. Topologie is het eigenlijke onderwerp van deze e-klas. Je leert wat topologie is en leert de eerste voorbeelden van oppervlakken kennen die in de topologie bestudeerd worden.
1.1 Pacman
Pacman is een bekend spel uit de begindagen van de computerspellen. Speel het spel hieronder en beantwoord de vraag.
Op de website geometrygames.org van Jeff Weeks staat veel software die is gerelateerd aan het onderwerp van deze e-klas. Hieronder zie je een screenshot van de applicatie Torus Games. Gebruik de applicatie om de vragen te beantwoorden. Als deze nog niet op je computer staat, download de applicatie dan van de website van Jeff Weeks. Kies onder Language voor Nederlands.
Torus Games
Selecteer het spel Pool in de Torus Games. De pooltafel heeft bij dit spel geen randen. Als ballen het scherm uit rollen komen ze op een andere plek weer het scherm in. Je zou kunnen zeggen dat de zijden van het scherm aan elkaar zijn geplakt. Hieronder staan met pijlen een aantal mogelijke manieren van plakken aangegeven.
1.2 A Square
In 1884 schreef Edwin Abbott Abbott een dun boekje over Flatland, een tweedimensionale platte wereld, waarin driehoeken, vierkanten, andere veelhoeken en cirkels leven. In deze lessenserie zullen we samen met de Flatlandse wiskundige A Square op onderzoek gaan. A Square is vierkant.
In het boekje Flatland maakt A Square kennis met verschillende dimensies. In een droom (of visioen) komt hij bij het 0-dimensionale Pointland waar een nogal zelfingenomen punt alleenheerser is over dit land met maar één inwoner. Vervolgens komt hij bij het 1-dimensionale Lineland. Ook deze ruimte wordt bestuurd door een ietwat typische monarch. Later komt A Square ook nog in contact met Spherius die hem laat zien dat ook Flatland deel uitmaakt van een groter geheel, het driedimensionale Spaceland. Maar eerst een citaat uit Flatland, over de koning van Lineland.
<span style="border-collapse: separate;" #000000"="">"It seemed that this poor ignorant Monarch—as he called himself—was persuaded that the Straight Line which he called his Kingdom, and in which he passed his existence, constituted the whole of the world, and indeed the whole of Space. Not being able either to move or to see, save in his Straight Line, he had no conception of anything out of it."
"Until the moment when I placed my mouth in his World, he had neither seen me, nor heard anything except confused sounds beating against, what I called his side, but what he called his INSIDE or STOMACH; nor had he even now the least conception of the region from which I had come. Outside his World, or Line, all was a blank to him; nay, not even a blank, for a blank implies Space; say, rather, all was non-existent."
Flatland is ook verfilmd, hieronder kun je de trailer bekijken.
Nu we kennis hebben gemaakt met A Square, Lineland en Flatland, is het tijd om ons in gedachten te verplaatsen naar Flatland. Aangezien A Square in een vlakke ruimte woont ziet hij van driedimensionale objecten slechts de doorsnede met het vlak waarin hij woont. Hieronder kun je een kort filmpje bekijken van Spherius die Flatland bezoekt.
Hier zie je een bovenaanzicht van Flatland, waar een blauwe Sfeer doorheen reist.
Klik op het scherm om het filmpje opnieuw af te spelen.
Hier zie je dezelfde gebeurtenis in drie dimensies. Gebruik de volgende toetsen; 'a' om te roteren. 'p' om te pauseren. 'r' om opnieuw af te spelen.
Driedimensionale bezoekers in Flatland
Door de ogen van A Square
Aangezien A Square in een tweedimensionale ruimte leeft, kunnen we wat hij ziet op een lijn tekekenen. Ga maar na, wat wij zien kunnen we op een foto afbeelden. Als je in een vlak leeft, kun je wat je ziet op een lijn tekenen. Hieronder is dit geïllustreerd.
Links de Flatlanders en rechts wat de rode Flatlander ziet.
Hieronder is een serie foto's van A Square getekend van het bezoek van twee verschillende blauwe driedimensionale wezens.
De wezens waren één van de volgende vier figuren:
a. een bol
b. een tetraëder
c. een kegel
d. een kubus
Reflectie
Hoe ziet het eruit wanneer een kubus door Flatland reist, waarbij de kubus eerst met 1 punt het vlak snijdt?
Plaats hier je muis
1.3 Topologie
Topologie is een belangrijk onderwerp binnen deze e-klas. Topologie is een wiskundig vakgebied waarvan het ontstaan wel aan Henri Poincaré (1854 - 1912) wordt toegedicht. Later meer over hem en een beroemd wiskundig vermoeden dat naar hem is vernoemd.
Tegenwoordig is topologie een groot, belangrijk en invloedrijk deel van de wiskunde, dat toepassingen en inzichten biedt ver buiten de wiskunde.
A Square gaat op zoek naar de mogelijke vorm van Flatland. Dit komt overeen met de vraag uit de topologie "welke oppervlakken zijn er eigenlijk?". Om deze vraag te beantwoorden moeten we eerst nadenken over wat we eigenlijk met vorm bedoelen. Wanneer noemen we twee ruimtes hetzelfde? Wat zijn de criteria om vormen in de wereld te classificeren?
De Wereld classificeren
Mensen verdelen de wereld constant in verschillende klassen. Ga maar na: De CD’s in de CD-winkel zijn gerangschikt naar genre, of soms op alfabetische volgorde van de artiest. Als leerling zit je in een bepaalde klas, bijvoorbeeld 6v-b. Boeken zijn onderverdeeld in romans, poëzie, kookboeken, reisverhalen, boeketreeksen, non-fictie, et cetera.
Dezelfde dingen worden niet altijd op dezelfde manier ingedeeld. Soms is de onderverdeling grover dan anders. Het toilet in een restaurant verdeelt mensen in mannen en vrouwen, bij gewichtheffen worden de deelnemers daarnaast ook nog ingedeeld in gewichtsklassen.
Bedenk vijf verschillende criteria waarop je foto's op je computer kunt indelen.
Topologie geeft een antwoord op de vraag hoe vormen te classificeren. In de topologie worden meetkundige objecten in verschillende klassen ingedeeld. Voorbeelden van meetkundige objecten zijn cirkels, driehoeken en andere figuren in het vlak. Maar ook het oppervlak van een bol, een gevulde bol, of het oppervlak van donut zijn voorbeelden van meetkundige objecten.
We delen de meetkundige objecten in de topologie in door alleen de ''topologisch relevante eigenschappen'' van de objecten te beschouwen en alle ''topologisch irrelevante'' eigenschappen te negeren. Grofweg betekent dat, dat we alle informatie over afstand vergeten. Je mag objecten dus uitrekken en vervormen zonder dat er topologisch iets verandert. Zo komen objecten die bepaalde fundamentele eigenschappen met elkaar delen in dezelfde klasse.
Meetkundige objecten in dezelfde topologische klasse zien we als gelijk. De wiskundige term hiervoor is homeomorf. Voorbeelden van topologische (niet-)homeomorfe objecten zijn:
Het alfabet classificeren
In deze opgave delen we de letters van het alfabet in op topologische gelijkheid.
A B C D E F G
H I J K L M N O P
Q R S T U V W X Y Z
Bedenk voor jezelf welke letter in dezelfde topologische klasse zitten en beantwoord daarna de vragen.
Oppervlakken zijn voorbeelden van wiskundige ruimtes. Het oppervlak van de aarde noemen we een bolschil. Ook hier zijn we alleen geïnteresseerd in de topologische eigenschappen, de aarde is natuurlijk eigenlijk niet helemaal een bolschil; afgezien van het feit dat de aarde iets afgevlakt is bij de noord- en zuidpool, zijn er ook allerlei bergen en dalen. Net als in de vorige paragraaf kunnen we oppervlakken uitrekken en vervormen. We moeten alleen oppassen dat we geen scheuren maken. We kunnen deze eigenschappen nabootsen door met heel flexibel rubber te werken of met klei. We moeten bij de laatste wel in gedachten houden dat we nu alleen geinteresseerd zijn in het oppervlak en niet in de inhoud.
Klei
Kun je dit plaatje
veranderen in
zonder de klei te scheuren, oftewel op een topologische manier?
In deze activiteit bekijken we de oppervlakken van onderstaande alledaagse voorwerpen. We kunnen een topologische indeling maken.
a. Hoe zou jij de oppervlakken van een voetbal, een donut, een rugbybal en een koffiekopje topologisch indelen? b. Maak een lijst van vijf objecten om je heen met het topologische oppervlak van een bol en een lijst met vijf objecten met het topologische oppervlak van een donut.
We hebben het in deze les gehad over Pacman, torus games, Flatland en nu over oppervlakken. Wat hebben deze onderwerpen met elkaar te maken? We kunnen het computerscherm bij Pacman of de torus games beschouwen als een topologische ruimte. Al deze spellen spelen zich af op een vierkant waarvan we in gedachte de tegenoverliggende zijden aan elkaar hebben geplakt. Maar wat zou er gebeuren als we “in gedachte” weglaten en de zijden echt gaan plakken?
Eigenlijk spelen we Pacman op het oppervlak van een donut! Dit oppervlak noemen wiskundigen de torus.
Flatland
Flatlanders leven in Flatland, maar is Flatland wel zo plat? Misschien leven zij wel in een bolschil of een torus. Kun je zelf andere alternatieven bedenken voor de vorm van Flatland?
In deze lessen kom je er achter welke oppervlakken er allemaal zijn en hoe je deze op een goede manier kunt classificeren.
Les 2 Bouwplaten
Les 2 Bouwplaten
Deze les gaat over bouwplaten voor oppervlakken. A Square ontdekt dat hij met bouwplaten of kaarten een voorstelling van een Flatland met een andere vorm dan een oneindig vlak kan maken. Je gaat bekijken welke bouwplaten je allemaal van een vierkant kunt maken en je zult zien dat niet elke bouwplaat een ander oppervlak levert. Verder gaan we in op het onderwerp inbedden. Als je als topoloog bent geïnteresseerd in het classificeren van oppervlakken, wil je dat doen op basis van intrinsieke eigenschappen. We zullen zien dat hetzelfde oppervlak er soms heel anders uitziet doordat we het op een andere manier inbedden (voorstellen) in 3D.
Maak nu eerst de microtoets van les 1.
2.1 A Square op onderzoek
Nadat A Square heeft gedroomd over Lineland bedenkt hij dat Lineland ook een cirkel zou kunnen zijn zonder dat de Koning of een andere bewoner dit door zou hebben. De bewoners van Lineland zien immers maar een klein stukje van hun ruimte.
Misschien dat de kaart van Lineland er volgens de koning zo uitziet;
Maar in werkelijkheid zouden de Linelanders ook op een klein stukje van een cirkel kunnen wonen.
Om hierachter te komen zou een rode lijnlander de cirkel rond moeten lopen om de andere rode lijnlander te ontmoeten. Ook kan een lijnlander kaarten tekenen van gebieden waar hij of zij geweest is en aangeven welke kaarten in elkaar overlopen. Zo kunnen de Linelanders uiteindelijk zien dat de kaarten een cirkel opleveren. Ze kunnen zich nog steeds niks voorstellen bij de vorm van een cirkel, aangezien ze geen tweedimensionale objecten kunnen voorstellen, maar ze weten wel dat wanneer ze maar lang genoeg doorlopen, ze weer terug komen op hun beginpunt.
A Square bedenkt nu dat hij ook platte kaarten van zijn land kan maken, hij geeft met pijltjes en letters aan welke randen op elkaar geplakt moeten worden. Alhoewel hij zich niet voor kan stellen hoe de ruimte er na plakken in drie dimensies uit zal zien, kan hij zich wel voorstellen hoe hij door deze ruimtes zou bewegen.
A Square vraagt zich af welke mogelijke vormen Flatland allemaal zou kunnen hebben. Hij heeft natuurlijk geen 3D voorstellingsvermogen zoals wij, dus zelfs bij de meest eenvoudige kaarten kan hij zich moeilijk een voorstelling maken. Jij zult A Square af en toe moeten helpen bij zijn onderzoekingen naar de vorm van Flatland.
In deze les zullen wij verschillende kaarten van A Square bekijken en aangezien wij de derde dimensie wel kunnen zien kunnen we ook bekijken welke vormen horen bij deze kaarten. Zijn kaarten vormen een bouwplaatvan een oppervlak.
2.2 Het plakken van een vierkant
Door de zijden van een vierkant aan elkaar te plakken kunnen we oppervlakken maken. Het simpelste voorbeeld is het plakken van een torus (donutvorm). In het plaatje hieronder is met pijlen en letters aangegeven hoe de zijden op elkaar geplakt moeten worden. Dit noemen we een bouwplaat.
De torus
Bekijk het volgende filmpje en leg uit wat dit met het plakschema hierboven te maken heeft.
Er zijn een heel aantal verschillende manieren om de zijdes van een vierkant te plakken. Hieronder zijn alle verschillende mogelijkheden weergegeven.
Invuloefening
Hieronder zie je nog twee plakschema's, maar deze staan eigenlijk ook al in het bovenstaande overzicht. Ga na welke met welke plakschema's ze overeenkomen.
Plakschema F is waarschijnlijk het makkelijkst voor te stellen, dit is een cilinder. Ga maar na, als je de zijden van een stuk papier op elkaar plakt dan krijg je inderdaad een cilinder.
Het plakschema bij B levert topologisch gezien een schijfje op, zoals je in onderstaande figuur kunt zien.
Plaatje C hebben we al eerder gezien, dat is de torus.
Waar/Niet waar-vraag
Probeer zelf oppervlak A te maken van een strook papier. Dit oppervlak wordt door wiskundigen de Möbiusband genoemd.
De cilinder heeft een binnenkant en een buitenkant. De Möbiusband heeft dat niet.
Meerkeuzevraag
De meeste oppervlakken die we tegenkomen hebben naast een naam ook een verkorte notatie. De notatie voor de torus is T2, de bolschil wordt aangegeven met S2.
Reflectie
De T in T2 staat voor torus, waar denk je dat de S in S2 voor staat? (Zoek, als je deze niet weet, de engelse naam voor dit oppervlak op.)
Bouwplaten zijn een handige manier om een oppervlak te representeren. Met een bouwplaat bedoelen we een plat figuur - een of meerdere veelhoek(en) - waarbij we aangeven waar we randen of punten op elkaar plakken. Hieronder staan nog enkele voorbeelden van bouwplaten:
Verschillende bouwplaten kunnen hetzelfde oppervlak voorstellen. We kunnen de bouwplaten "knippen en plakken" zonder dat het oppervlak dat ze voorstelt verandert:
1. Je mag overal knippen zolang je maar aangeeft hoe je de stukken weer aan elkaar plakt.
2. Laat richtingen intact.
3. Je mag soms twee pijlen samenvoegen, namelijk wanneer je twee keer dezelfde volgorde tegenkomt.
Welk oppervlak is het?
De volgende bouwplaat ken je nog niet:
Maar als we het plakken zouden uitvoeren krijg je een oppervlak dat je al eerder bent tegengekomen. Pak pen, papier, een schaar en plakband.
Knip een zeshoek en zet bij de zijden een pijltje en een letter overeenkomend met het plaatje hierboven.
Knip de zeshoek in zes stukken zoals hieronder aangegeven:
Geef bij randen van de stukken I tot en met VI aan hoe ze op elkaar geplakt moeten worden.
Plak de stukken I tot en met VI tot een vierkant (zodat het plakken van de randen klopt natuurlijk). Welke bouwplaat heb je nu? Dus welk oppervlak correspondeert met de zeshoekige bouwplaat?
Identificatieschema's
We kunnen vaak kort noteren over welke bouwplaat we het hebben. Als we een bouwplaat hebben waarvan we de identificaties met letters op de rand aangeven, kunnen we het identificatieschema samenvatten als “woord”. (Hoekpunten zijn dan impliciet geïdentificeerd). We schrijven de letters zoals we ze tegenkomen als we met de klok mee langs de zijden van het veelhoek lopen. De oriëntatie van de pijl geven we aan door klein -1 rechts boven de letter te schrijven als de pijl “tegen de klok in” wijst. Het identificatieschema van de torus kunnen we daarmee noteren als aba-1b-1 (spreek uit: a, b, a-invers, b-invers).
De torus heeft identificatieschema aba-1b-1.
Het maakt natuurlijk niet uit in welk hoekpunt we beginnen met het aflezen van het identificatieschema. De torus heeft ook identificatieschema bab-1a-1, oftewel aba-1b-1= bab-1a-1. Je mag ook besluiten in tegengestelde richting te lopen. Het oppervlak verandert dan nog steeds niet, dus we zien weer dat aba-1b-1 = bab-1a-1. We noemen identificatieschema's altijd gelijk wanneer zij hetzelfde oppervlak maken. Daarbij mogen we ook best de namen van de zijden veranderen, dus; bab-1a-1 = cdc-1d-1.
Topologen (wiskundigen die zich met ruimte bezighouden) willen altijd weten wat de eigenschappen van de ruimte zelf zijn, onafhankelijk van de keuze die gemaakt is om de ruimte voor te stellen.
De eigenschappen van de ruimte zelf noemen we intrinsieke eigenschappen. Dit zijn de eigenschappen die te onderzoeken zijn door een bewoner van de ruimte. Eigenschappen die dit niet zijn heten extrinsiek.
A Square
In de zoektocht van A Square naar de mogelijke vormen van Flatland onderzoekt hij allerlei eigenschappen. Is het voor A Square mogelijk om eigenschappen te onderzoeken die niet intrinsiek zijn?
In het vervolg noemen we twee ruimtes gelijk op basis van hun intrinsieke en topologische eigenschappen.
Dezelfde ruimte is vaak op veel manieren voor te stellen. De volgende geknoopte torus ziet er bijvoorbeeld heel anders uit dan de standaard "donut" of de bouwplaat.
Al deze tori (meervoud van torus) beschouwen we als dezelfde ruimte. Het verschil tussen het oppervlak van een donut en deze geknoopte torus zit in de manier waarop we dit oppervlak voorstellen in een omhullende driedimensionale ruimte.
Het voorstellen van een ruimte in een omhullende ruimte heet inbedden. De geknoopte torus en het oppervlak van een donut zijn twee verschillende inbeddingen van hetzelfde oppervlak. Eigenschappen die afhangen van de inbedding zijn extrinsiek.
Waar/Niet waar
Invuloefening
Les 3 Links en rechts in Flatland
Les 3 Links en rechts in Flatland
Als kind leer je op een bepaald moment wat links en wat rechts is en vanaf dan staat het voor de rest van je leven vast. Maar in bepaalde oppervlakken zijn er paden die links en rechts omdraaien. Dat geeft vreemde effecten. Er zijn ook driedimensionale ruimtes voorstelbaar waarin dit gebeurt. In dat geval draait de kurkentrekkerregel om.
Maak nu eerst de microtoets van Les 2.
3.1 Een teken
Op aanraden van A Square zijn er ontdekkingsmissies Flatland ingestuurd om te verkennen en Flatland in kaart te brengen. Het vierkant zelf denkt ondertussen verder over de mogelijkheden van zijn tweedimensionale wereld. Hij ontdekt dat hij eenvoudig veel verschillende kaarten kan maken, veel meer dan voor Lineland. Altijd al meer geïnteresseerd in de theoretische dan in de praktische kant van zaken laat hij de berichten van de verkenningsploegen voor wat ze zijn, maar gaat hij verder met de vraag wat alle mogelijke verschillende vormen van Flatland zijn. Wanneer zijn deze echt verschillend? "Ik kan zo veel kaarten maken als ik wil, maar misschien zijn het gewoon andere weergaves van dezelfde vorm? Hmmm..."
A Square heeft vier verschillende kaarten getekend:
Hij weet niet zeker of deze ruimten verschillend zijn of hetzelfde. En dan bedenkt hij dat hij eigenschappen kan onderzoeken, niet van de kaart maar van het Flatland dat de kaart voorstelt! Als deze eigenschappen verschillen, of zoals hij in zichzelf mompelt "als de twee Flatlands nou verschillende natuurwetten hebben" weet hij zeker dat de kaarten ook echt verschillende Flatlands voorstellen.
Wij weten natuurlijk dat de twee rechterkaarten de torus en de bolschil, die we ook wel sfeer noemen, zijn. De andere twee kennen wij nog niet. Deze twee oppervlakken hebben een merkwaardige eigenschap.
Activiteit
Speel de bovenstaande Applet A Square. Je kunt A Square besturen met de pijltjestoetsen en met 'r' draai je A Square. Kun je een eigenschap verzinnen die A Square zelf zou kunnen opmerken?
A Square besluit Flatland te onderzoeken op deze eigenschap. Om te kunnen zien of zijn ruimte oriënteerbaar is of niet, laat hij een teken achter op zijn beginplek.
Een teken in Flatland
A Square vraagt zich af in welke ruimte hij leeft. Hij maakt een teken "Hallo". Flatland is zoals hieronder aangegeven.
Vervolgens wandelt A Square naar het Noorden, over het teken "Hallo", tot hij voor de tweede keer een teken tegenkomt. In welke van de volgende plaatjes wordt de situatie na de wandeling weergegeven? In welk oppervlak leeft Flatland?
In de vorige paragraaf ontdekte A Square dat er rondwandelingen waren in Flatland waarna links en rechts ineens waren omgedraaid. Een rondwandeling in een ruimte die een spiegeling teweegbrengt noemen we eenoriëntatie omkerend pad.
Als een ruimte geen oriëntatie omkerende paden heeft heet de ruimte oriënteerbaar. Als er wel een oriëntatie omkerend pad in de ruimte is noemen we de ruimte niet-oriënteerbaar.
Na eenmaal een oriëntatie omkerend pad te hebben doorlopen ziet de wereld er vreemd uit; uithangborden zijn in spiegelschrift geschreven, verkeer rijdt aan de verkeerde kant van de weg, en je linker- en rechterhand zijn van rol verwisseld.
Illusie
Draait de vrouw linksom of rechtsom?
Wat is er na het volgen van een oriëntatie omkerend pad aan het beeld veranderd?
In een niet-oriënteerbare ruimte zijn allerlei grappen mogelijk. Zo kun je 's nachts stiekem de rechterschoen van een vriend stelen, deze meenemen langs een oriëntatie omkerend pad en terugzetten als linkerschoen.
Bedenk nog twee trucs die je met oriëntatie omkerende paden kunt uithalen.
In oppervlakken is oriënteerbaarheid makkelijk te testen. Een oppervlak is niet-oriënteerbaar als, en alleen dan, het oppervlak een kopie van de Möbiusband bevat. Je kunt zelf bedenken waarom dat waar is. Stel je maar voor dat een flatlander een heel lang spandoek meeneemt langs een oriëntatie omkerend pad. Hoe plakt hij de uiteinden aan elkaar?
A Square
Hoe zou A Square zijn kaarten indelen aan de hand van het begrip oriënteerbaarheid?
Eerder zag je dat de Möbiusband, geplakt van bijvoorbeeld papier, eenzijdig is. Als mier of ander beest kun je door een rondje te lopen van de "binnenkant" naar de "buitenkant" komen. Anders gezegd, de binnenkant is de buitenkant, oftewel het onderscheid tussen binnen en buitenkant is onzinnig.
Maar is dit geen intrinsieke eigenschap. Een Flatlander in een Möbiusband kan zich niks voorstellen bij binnen- en buitenkant. Niet-oriënteerbaarheid is de intrinsieke eigenschap die een Flatlander zou gebruiken om de Möbiusband te herkennen.
3.3 Niet-oriënteerbare oppervlakken
De Möbiusband is het prototype niet-oriënteerbaar oppervlak, zou je kunnen zeggen. Elk ander oppervlak dat niet oriënteerbaar is bevat immers een kopie van de Möbiusband. Op internet zijn veel filmpjes met de Möbiusband te vinden. Bijvoorbeeld:
Maar de Möbiusband heeft een rand. Daarmee is de Möbiusband geen ideale kandidaat als model voor Flatland. Wat betekent het als het universum van A Square een rand heeft?
De fles van Klein is een voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. We geven de fles van Klein aan met K2. De bouwplaat ervan heb je al gezien:
Dit oppervlak is niet in de driedimensionale ruimte voor te stellen zonder dat het zichzelf doorsnijdt.
De fles van Klein is een veel terugkerend voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. Dé bouwsteen van de niet-oriënteerbare oppervlakken blijkt echter het projectieve vlak. Als bouwplaat kunnen we het projectieve vlak als volgt voorstellen:
Net als bij de fles van Klein is het fysiek plakken van de bouwplaat niet mogelijk zonder zelfdoorsnijding. Hier een afbeelding met zelfdoorsnijding:
3.4 De kurkentrekkerregel
Oriëntatie in drie dimensies heeft veel van doen met de kurkentrekkerregel.
Deze komt vaak kijken bij natuurkunde. Een elektrische stroom door een stroomdraad roept een magneetveld op. Als je de rechterduim in de richting van de stroom steekt loopt het magneetveld rond in de richting van je vingers.
Deze kurkentrekker- of rechterhandregel is precies wat om zou draaien na een oriëntatie omkerend pad. Dan zou je ineens de linker-handregel moeten toepassen.
Sommige processen in de natuur hebben een voorkeur voor linkshandigheid of rechtshandigheid. Elektromagnetisme is er dus één van. Ook heb je rechtsdraaiende en linksdraaiende moleculen. Het woord voor links- en rechtshandigheid is chiraliteit.
Les 4 De Eulerkarakteristiek
Les 4 De Eulerkarakteristiek
In deze les krijgt A Square een boodschap van de wiskundige Euler. Die vertelt hem over een getal dat je aan een oppervlak kunt toekennen dat alleen afhangt van de topologie. Deze Eulerkarakteristiek zal een belangrijke rol voor hem spelen. Jij leert wat de Platonische lichamen zijn en hoe je de Eulerkarakteristiek berekent.
Maak nu eerst de microtoets van Les 3.
4.1 Het opdelen van Flatland
Nu A Square de torus en sfeer kan onderscheiden van het projectieve vlak en de fles van Klein, is hij op zoek naar meer eigenschappen om een fijnere indeling te maken. Hij vermoedt namelijk (en terecht) dat de sfeer en de torus verschillende oppervlakken zijn. Hij weet alleen niet hoe hij dit wiskundig hard kan maken.
Gelukkig bereikt hem op een dag een bericht van de wiskundige Leonhard Euler:
Beste A Square,
Ik heb gehoord over uw zoektocht naar de vorm van Flatland. Ik ben zelf ook geinteresseerd in de vorm van verschillende ruimten en heb een invariant bedacht. Deze invariant kunt u op de volgende manier berekenen. Tel alle punten van uw oppervlak, noem deze V, tel alle zijden en noem deze E, en tel tot slot alle vlakken, noem deze F. Bereken nu het volgende getal V – E + F. Dit getal hangt niet af van de manier waarop je een oppervlak in vlakken verdeelt, en is daarom een invariant voor oppervlakken. De Eulerkarakteristiek van de sfeer is bijvoorbeeld 2.
Succes met uw verdere werk,
Vriendelijke groet,
Leonhard Euler.
A Square gaat meteen aan de slag, hij pakt zijn kaart de sfeer erbij en begint te tellen.
A. Square telt 4 hoekpunten, 2 lijnen en 1 vlak, en rekent uit 4 – 2 + 1 = 3? Maar Euler zei toch dat de Eulerkarakteristiek van een sfeer 2 was?
Om de tip van Euler te volgen moet A Square zijn kaarten op de een of andere manier opdelen in veelhoeken. Oppervlakken worden vaak voorgesteld als aan elkaar geplakte veelhoeken. Het meest bekende voorbeeld is de kubus. Topologisch is dit de sfeer, maar deze is nu verdeeld in zes vierkanten.
Het voorstellen van oppervlakken als aan elkaar geplakte veelhoeken kent een lange traditie. Oppervlakken als de kubus staan al veel langer in de belangstelling van wiskundigen. Zelfs in de Griekse oudheid waren wiskundigen en filosofen hier al mee bezig (zie de volgende paragraaf).
Toen men zich met oppervlakken ging bezighouden, bleek het voorstellen van oppervlakken als aan elkaar geplakte veelhoeken veel voordelen te hebben. Men ging er vaak van uit dat de oppervlakken waren verdeeld in driehoekjes. Het is niet moeilijk om in te zien dat elke veelhoek verder verdeeld kan worden in driehoeken en de drie is het minimale aantal hoeken van een veelhoek. Vandaar dat de driehoek goed dienst kan doen als elementaire bouwsteen.
Oppervlakken die in driehoeken verdeeld zijn, noemt men getrianguleerd en men spreekt wel van een triangulatie (triangulation).
In 1925 is door T. Rado bewezen dat elk oppervlak een triangulatie heeft (uitgaande van de abstracte definitie van oppervlak die wij niet behandelen). Maar dit bewijs is technisch en moelijk. We gaan verder niet in op deze technische details.
4.2 Platonische lichamen
De bekendste constructie van oppervlakken uit veelvlakken zijn de Platonische lichamen. Deze oppervlakken zijn topologisch allen gelijk aan een bolschil, maar gemaakt met uitsluitend regelmatige veelhoeken. Hieronder staat een stuk afkomstig van het Nederlandse Wikipedia-artikel over Platonische lichamen.
Er zijn ontaarde regelmatige veelvlakken denkbaar. Komen er in elk hoekpunt slechts twee vlakken samen, dan ontstaat er een regelmatig tweevlak. Een regelmatig tweevlak bestaat uit twee identieke veelhoeken die op elkaar zijn geplakt. De inhoud is nul.
Laat men in elk hoekpunt zes driehoeken, vier vierkanten of drie zeshoeken samen komen, dan ontstaat er een vlakvulling, die men kan zien als een regelmatig oneindigvlak.
Deze constructies worden niet beschouwd als veelvlakken, omdat een veelvlak een positieve en eindige inhoud moet hebben.
Hoekpunten, ribben en zijvlakken
Een verband?
Zie je een verband in de hoekpunten, ribben en zijvlakken van een Platonisch lichaam?
Van een oppervlak opgedeeld in veelvlakken kun je het aantal hoekpunten, randen en vlakken tellen. We spreken de volgende notatie af:
V = hoekpunten (vertices)
E = randen (edges)
F = vlakken (faces)
Neem bijvoorbeeld de kubus. Deze is opgebouwd uit zes vierkanten.
Voor de kubus geldt dus V = 8, E = 12 en F = 6. In de vorige paragraaf ben je er als het goed is achtergekomen dat voor alle platonische lichamen geldt dat V - E + F = 2.
Stel dat een oppervlak M is opgedeeld in veelhoeken. Het getal V - E + F wordt de Eulerkarakteristiek van M genoemd. De notatie is . Dus
De Eulerkarakteristiek blijkt alleen af te hangen van de topologie van het oppervlak M, niet van de manier waarop het oppervlak in veelvlakken is verdeeld.
De torus
Het volgende filmpje laat zien dat de Eulerkarakteristiek niet afhangt van hoe je een boloppervlak verdeelt in veelvlakken.
Echt formeel bewijzen dat de Eulerkarakteristiek een topologische invariant is (alleen afhankelijk van de topologie) zullen we niet doen. Zie dit stukje uit een andere e-learning module om te weten waarom niet.
4.4 De Eulerkarakteristiek van bouwplaten
De Eulerkarakteristiek is direct te berekenen van de bouwplaat van een oppervlak. Daarbij moet je goed opletten dat punten en lijnen die op elkaar zijn geplakt maar één keer worden meegeteld.
We nemen de volgende bouwplaat van de torus als voorbeeld.
Het aantal vlakken is 1. Dit geldt voor de meeste bouwplaten. Het aantal zijden (ribben) is 2 omdat de boven- en onderkant zijn geïdentificeerd. En er is maar 1 hoekpunt! In het volgende plaatje kun je het punt, de twee zijden (rood en blauw) en het vlak zien zoals ze op het oppervlak van een donut terechtkomen.
Je kunt ook nog eens het filmpje van Les 1 bekijken waarin de torus wordt gevouwen. Je ziet dat nu ook geldt dat punten - lijnen + vlakken = 1 - 2 + 1 = 0 de Eulerkarakteristiek van de torus geeft. Zo kun je altijd met een bouwplaat de Eulerkarakteristiek berekenen van het oppervlak. Daarbij moet je opletten dat je geen punten of zijdes dubbel telt.
Bouwplaten
Les 5 Handvatten en kruismutsen
Les 5 Handvatten en kruismutsen
In deze les ga je oppervlakken aan elkaar plakken om nieuwe oppervlakken te vormen. Zo zal je handvatten en kruismutsen aan de sfeer toevoegen.
Maak nu eerst de microtoets van Les 4.
5.1 De samenhangende som
Je kunt twee oppervlakken altijd aan elkaar plakken en een nieuw oppervlak maken. Stel je hebt twee oppervlakken, A en B. Je haalt een schijfje uit zowel A als B en de overgebleven randcirkels plak je op elkaar. Het nieuwe oppervlak noemen we de samenhangende som van A en B en noteren we met A # B.
De samenhangende som nemen van een oppervlak met de torus wordt wel het toevoegen van een handvat genoemd. Zie je waarom?
Hier zie je nog een illustratie van een samenhangende som:
In het bovenstaande filmpje wordt de samenhangende som geïllustreerd.
X # bolschil = ?
In het filmpje is te zien dat de samenhangende som van twee bolschillen (sphere, in het Nederlands ook wel sfeer genoemd) topologisch weer een bolschil oplevert.
Als je een willekeurig oppervlak X hebt en je neemt de samenhangende som met een bolschil S, wat krijg je dan?
Je kunt je afvragen wat er gebeurt met de Eulerkarakteristiek als je de samenhangende som van twee oppervlakken neemt. Aan het eind van het filmpje wordt de samenhangende som van twee bolschillen genomen door uit allebei een driehoek weg te knippen in plaats van een cirkelschijf. Topologisch zijn de schijf en een driehoek natuurlijk gelijk, dus dit is prima. Vervolgens worden de randen van de twee driehoeken op elkaar geplakt.
Eulerkarakteristiek
Tel hoeveel punten, zijden en vlakken het "kost" om uit oppervlakken A en B, gemaakt door de zijden van driehoekjes aan elkaar te lijmen, elk een driehoek te verwijderen en vervolgens de randen van de twee driehoeken op elkaar te plakken. Concludeer dat voor de Eulerkarakteristiek geldt dat
Controleer dat de formule consistent is met je antwoord bij "X # Bolschil = ?".
5.2 Kruismutsen
De samenhangende som nemen met een torus, oftewel het toevoegen van een handvat, is goed voor te stellen. Het is alsof je een extra buis aan het oppervlak plakt. Maar voor niet-oriënteerbare oppervlakken is ook het nemen van de samenhangende som met het projectieve vlak of de fles van Klein belangrijk.
De samenhangende som nemen met een projectief vlak of een Kleinse fles is echter lastiger voor te stellen, aangezien deze oppervlakken zelf al lastiger voor te stellen zijn.
Toch zijn er goede manieren om hierover na te denken. Het toevoegen van een projectief vlak wordt ook wel het toevoegen van een kruismuts genoemd, terwijl het toevoegen van een fles van Klein overeenkomt met het toevoegen van een kruishandvat. Aan het eind van deze les zullen we zien waarom kruismutsen en kruishandvatten overeenkomen met het nemen van de samenhangende som met het projectieve vlak en de fles van Klein. We gaan nu eerst bekijken wat kruismutsen en kruishandvatten zijn.
Kruishandvatten
Het toevoegen van een kruishandvat aan een oppervlak gaat als volgt: we knippen twee ronde gaten in het oppervlak en ritsen de randen van deze gaten, twee cirkels, vervolgens aan elkaar.
We doen dit zoals in onderstaand plaatje aangegeven is.
In plaatje A zie je dat de ritsen dezelfde oriëntatie hebben. Wanneer we de randen een stukje uit het oppervlak trekken moeten we één van de pijpjes door zichzelf heentrekken, anders kunnen we de ritsen niet op elkaar aan laten sluiten. Vervolgens hebben de ritsen dezelfde oriëntatie gekregen, en kunnen wij die aan elkaar ritsen.
We noemen het handvat dat ontstaat een kruishandvat aangezien één helft gekruist is.
Kruishandvatten
Hoe moet je plaatje A aanpassen om een gewone handvat te krijgen?
Om een kruismuts toe te voegen knippen we slechts één rond gat in ons oppervlak. We voegen nu een rits toe op de randcirkel die ontstaan is. De makkelijkste manier om dit te doen is weergegeven in onderstaande figuur;
We zien hier dat de rits het oppervlak mooi dichtritst alsof er geen gat geweest is. We zien hier dat de twee kanten van de rits in hetzelfde punt beginnen en tegengestelde richting hebben. We kunnen de twee kanten echter ook dezelfde richting geven zoals aangegeven is in plaatje A hieronder.
Wanneer we beginnen met ritsen lijkt alles makkelijk te gaan (plaatje B en C) maar om de rits helemaal dicht te ritsen moet het oppervlak zichzelf doorsnijden; we krijgen een kruismuts zoals te zien is in plaatje D.
Begrijp je de constructie van kruishandvatten en kruismutsen? Je kunt eventueel nog de volgende online artikelen (in het Engels) raadplegen voor meer informatie en plaatjes:
We kunnen de samenhangende som ook direct van bouwplaten nemen. De nieuwe bouwplaat is vaak eenvoudig te tekenen.
Als voorbeeld nemen we twee keer de bouwplaat van de torus en halen uit elk een schijfje op de volgende manier:
De bouwplaten kunnen we fatsoeneren tot
Als je het identificatieschema op de rand goed bekijkt zie je immers dat de twee uiteinden van de pijl e impliciet met elkaar zijn geïdentificeerd. Als je ze fysiek op elkaar plakt krijg je de eerdere tekening terug.
De twee e-pijlen plakken we vervolgens op elkaar:
Je krijgt een bouwplaat met acht zijden waarin twee keer achter elkaar het identificatieschema voor de torus voorkomt.Tekenen we de bouwplaat als regelmatige achthoek dan krijgen we:
We weten nu dat deze bouwplaat de samenhangende som van twee tori is. Blijkbaar kun je de bouwplaat in drie dimensies plakken tot:
Eigenlijk kun je meestal de samenhangende som van twee bouwplaten maken als een bouwplaat waarbij een deel van de zijden met de eerste bouwplaat correspondeert en het andere deel met de andere bouwplaat. De enige conditie is dat je de rand van de uitgeknipte schijfjes tot extra, nieuwe rand van de bouwplaat kunt vervormen.
5.4 Een overwachte gelijkheid
Het toevoegen van handvatten, kruishandvatten en kruismutsen geeft de mogelijkheid om, van een gegeven oppervlak, een hele serie nieuwe oppervlakken te maken.
Stel dat we met een bolschil beginnen. Deze noteren we met S2. Een handvat toevoegen is gelijk aan de samenhangende som nemen met de torus T2. Omdat S2#T2=T2, geeft dit de serie
In een plaatje ziet deze serie er als volgt uit:
We kunnen ook kruismutsen aan S2 toevoegen. Dit geeft ook nog eens de serie
Deze serie kunnen we tekenen als:
We kunnen ook kruishandvatten toevoegen en zo een hele serie van samenhangende sommen van de fles van Klein maken:
Je kunt handvatten, kruismutsen en kruishandvatten natuurlijk ook combineren. Zo krijg je bijvoorbeeld het oppervlak
en nog veel meer. Het zou fijn zijn om wat orde in deze overvloed aan oppervlakken aan te brengen.
Een kruishandvat is gelijk aan twee kruismutsen
De eerste versimpelende gelijkheid die we kunnen aantonen is dat P2#P2=K2, oftewel twee kruismutsen is gelijk aan een kruishandvat.
Dit is te zien aan het volgende plaatje met ritsen:
In plaatje A zie je een vierkant gat uit een oppervlak gehaald met op de randen een identificatieschema als van de fles van Klein. Dit is gelijk aan de samenhangende som met de fles van Klein. Als je vervolgens de stappen A, B, C volgt zie je dat dit gelijk is aan een kruishandvat. Als je daarentegen A, D, E, F, G, H, I doorloopt zie je hoe dit gelijk is aan twee kruismutsen.
Bouwplaten
Je kunt de gelijkheid K2=P2#P2 ook zelf aantonen met het knippen en plakken van bouwplaten. Begin met de volgende bouwplaat voor P2#P2 (teken deze voor jezelf en overtuig jezelf ervan dat dit inderdaad P2#P2voorstelt). Knip zoals aangegeven met de stippellijnen en plak de stukken tot de bouwplaat van K2. Teken het resultaat.
Nu we weten dat K2=P2#P2 vereenvoudigt de lijst van makkelijk te maken oppervlakken door handvatten et cetera aan een bolschil toe te voegen aanzienlijk. Alle K2's kunnen we vervangen voor twee P2's. De oppervlakken die uit S2 te maken zijn door handvatten en kruismutsen toe te voegen staan in de volgende tabel. Kruishandvatten voegen hier niets aan toe.
S2
P2
P2# P2
P2#P2#P2
...
T2
T2#P2
T2#P2#P2
T2#P2#P2#P2
...
T2#T2
T2#T2#P2
T2#T2#P2#P2
T2#T2#P2#P2#P2
...
T2#T2#T2
T2#T2#T2#P2
T2#T2#T2#P2#P2
T2#T2#T2#P2#P2#P2
...
T2#T2#T2#T2
T2#T2#T2#T2#P2
T2#T2#T2#T2#P2#P2
T2#T2#T2#T2#P2#P2#P2
...
...
...
...
...
...
Naar beneden neemt het aantal kopieën van de torus T2 telkens met één toe, naar rechts het aantal kopieën van het projectieve vlak P2.
Staan er in deze tabel oppervlakken dubbel? Is het bijvoorbeeld zo dat T2#P2=P2#P2#P2? Het verrassende antwoord hierop is JA en er geldt inderdaad dat T2#P2=P2#P2#P2!
In de volgende afbeelding staat weergegeven hoe een kruismuts een handvat in een kruishandvat transformeert:
Invuloefening
De regel P2 # T2 = P2 # K2 is erg handig, maar de illustratie in het bovenstaande plaatje is misschien voldoende overtuigend. Je kunt de regel bewijzen met het behulp van bouwplaten. Het is het beste dit eerst zelf te proberen.
Bewijs
Als bouwplaat van P2 # T2 nemen we een zeshoek met de zijden geïdentificeerd volgens het schema aabcb-1c-1. Je kunt deze door twee keer te knippen en te plakken omvormen tot een zeshoek waarvan de zijden zijn geplakt volgens eedcd-1c, een bouwplaat voor P2 # K2.
Laat zien hoe je moet knippen en plakken om de volgende gelijkheden aan te tonen.
In deze les volbrengt A Square zijn zelfopgelegde taak om alle mogelijke vormen van Flatland te achterhalen. Dit komt overeen met een belangrijk wiskundig resultaat: De classificatiestelling van gesloten oppervlakken. Je zult leren wat deze stelling inhoudt en hoe je hem kunt bewijzen.
Maak nu eerst de microtoets van Les 5.
6.1 Een vermoeden
A Square heeft sinds het bericht van Euler inmiddels helemaal in de gaten hoe hij de Eulerkarakteristiek van oppervlakken berekent. Hij is met name geïnteresseerd in oppervlakken zonder rand, aangezien hij vermoedt dat Flatland geen rand heeft. Onderstaand zie je alle kaarten die A Square bedacht heeft met als bouwplaat een vierkant. We hebben in Les 1 gezien dat dit alle mogelijkheden zijn voor een vierkante bouwplaat en een ruimte zonder rand.
Hieronder vind je de berekeningen van A Square van de Eulerkarakteristiek van deze kaarten.
Hij merkt op dat A,B en F dezelfde Eulerkarakteristiek hebben maar dat A verschilt van B en F omdat A oriënteerbaar is en B en F allebei niet. Verder merkt hij op dat C en E beide niet-oriënteerbaar zijn en bovendien dezelfde Eulerkarakteristiek hebben.
Hij weet nu dus zeker dat hij zijn kaarten als volgt kan indelen:
Oriënteerbaar
Niet oriënteerbaar
Eulerkarakteristiek 0
A
B, F
Eulerkarakteristiek 1
E, C
Eulerkarakteristiek 2
D
Maar hij vraagt zich af of B en F nu dan ook gelijk zijn of tóch verschillend. En net zo voor E en C weet hij het nog niet zeker.
Opdracht
Leg aan A Square uit hoe hij met knippen en plakken in kan zien dat B en F beide de fles van Klein zijn en dat E en C gelijk zijn aan het projectieve vlak.
Na jouw verhelderende uitleg bekijkt A Square zijn overige kaarten met meerdere zijden nogmaals. Na een heleboel geknip en geplak komt hij tot de conclusie dat al zijn kaarten uniek bepaald zijn door te bepalen of ze oriënteerbaar zijn en de Eulerkarakteristiek uit te rekenen. Hij vraagt zich af of dit voor alle oppervlakken waar is?
Hij heeft natuurlijk maar een eindig aantal kaarten getekend en bestudeerd. Hij kan niet met zekerheid zeggen dat er geen twee kaarten te vinden zijn die echt verschillende ruimten voorstellen maar wel dezelfde Eulerkarakteristiek hebben en ofwel beide oriënteerbaar zijn ofwel beide niet oriënteerbaar zijn.
Hij beschrijft zijn vermoeden als volgt:
"Wanneer twee oppervlakken beide orienteerbaar zijn en gelijke Eulerkarakteristiek hebben zijn ze ook daadwerkelijk gelijk. En net zo wanneer twee oppervlakken beide niet oriënteerbaar zijn en gelijke Eulerkarakteristiek hebben, dan zijn ze ook gelijk."
In deze les zul je inzien dat A Square gelijk heeft en zal het bewijs van zijn vermoeden geformuleerd worden. Daarmee wordt het vermoeden een stelling bekend als de classificatiestelling voor gesloten oppervlakken.
6.2 Eindige ruimte zonder rand
We hebben al veel oppervlakken met rand gezien, bijvoorbeeld de cilinder, cirkelschijf en Möbiusband. Als A Square in een cirkelschijf zou wonen dan zou hij in de randpunten merken dat “een richting afgesloten” is. (zie de illustratie hieronder)
Het is moeilijk voor te stellen om in een ruimte met rand te leven, hoe ziet deze rand eruit? Wat is er na de rand? Misschien heb je wel eens nagedacht over de vorm van het universum? Misschien is het wel oneindig groot? Maar dat lijkt onmogelijk, heeft het universum dan een rand, en hoe ziet dit er dan uit?
Er is echter ook een andere mogelijkheid, er zijn ook eindige ruimtes zonder rand.
Bij nette oppervlakken zonder rand staat iedere letter precies twee keer in het identificatieschema. Wanneer een letter drie keer voorkomt levert dit een lijn op waar drie vlakken bij elkaar komen. Dit is wiskundig geen (net) oppervlak.
Wanneer iedere letter twee of minder keer voorkomt in een woord, krijgen we een mooie ruimte, met of zonder rand.
6.3 De stelling
Tegen het eind van de negentiende eeuw hadden wiskundigen een steeds duidelijker beeld van oppervlakken. Zij kwamen tot de conclusie dat alle mogelijke geslotenoppervlakken netjes op te sommen zijn in twee oneindige rijen. Dit leidde tot de classificatie van gesloten oppervlakken. De twee rijen zijn:
De oriënteerbare oppervlakken: Dit zijn de sfeer S2 en vervolgens alle oppervlakken die worden gemaakt door handvatten toe te voegen aan de sfeer.
De oriënteerbare oppervlakken
De niet-oriënteerbare oppervlakken die kunnen worden gemaakt door kruismutsen aan de sfeer toe te voegen.
De niet-oriënteerbare oppervlakken
Het is verrassend dat elk oppervlak topologisch equivalent is aan een oppervlak uit een van deze twee rijen die zo eenvoudig vanuit de sfeer kunnen worden gemaakt.
Elk oppervlak? Hoe zit het de oppervlakken met rand, zoals de cilinder of de Möbiusband? En hoe zit het met bijvoorbeeld het oneindig vlak? Het is tijd om even stil te staan over wat er met oppervlak bedoeld wordt en welke oppervlakken we precies willen classificeren.
Gesloten oppervlakken
Wij gaan er vanuit dat een willekeurig oppervlak kan worden gemaakt door driehoekjes aan elkaar te plakken.Eerder is al genoemd dat elk oppervlak op deze manier gemaakt kan worden, ook als je de technische wiskundige definitie als uitganspunt neemt.
Vervolgens gaat de stelling over samenhangende, gesloten oppervlakken. Dit zijn per definitie samenhangende, compacte oppervlakken zonder rand.
Oppervlak
In de technische definitie van oppervlak is alles wiskundig heel precies opgeschreven en daardoor pas na behoorlijke wiskundige training goed te lezen. Maar het idee is als volgt: Stel dat een of ander wezen in een ruimte zou leven. Als dit wezen dan een klein stukje van de ruimte zou verkennen en hij dit kleine stukje niet kan onderscheiden van een stukje van het platte vlak leeft hij in een oppervlak. Maar pas op! Het wezen mag zijn expeditie in elk willekeurig punt beginnen. Dit betekent dus dat geen enkel stuk van de ruimte er lokaal uitziet als bijvoorbeeld een lijn of een geïsoleerd punt. Doordat het wezen maar een klein stukje verkent, ziet hij geen globale eigenschappen van de ruimte zoals dat de ruimte in zichzelf sluit zoals bijvoorbeeld een torus of sfeer doen.
Oppervlakken heten ook wel tweedimensionale variëteiten. Het woord variëteit drukt uit dat de ruimte er op elk punt hetzelfde uitziet, tweedimensionaal betekent dat het vanuit elk punt net het platte vlak lijkt. Als een ruimte vanuit elk punt op een lijn lijkt, noemen we het een eendimensionale variëteit. Een voorbeeld is de cirkel.
Rand We hebben al een aantal oppervlakken gezien die niet in elk punt op het platte vlak lijken, maar die een rand hebben. Op de rand lijkt het oppervlak op een stukje vlak waar de helft vanaf is geknipt. Normaal zou een wezen naar voren en achter kunnen, en naar links en naar rechts, maar op de rand is één van deze richtingen afgesloten.
Een klein stukje van de rand lijkt op een stukje lijn. De rand van een oppervlak is dus een eendimensionale variëteit. In één dimensie komt het begrip rand overeen met een eindpunt van een (stuk) lijn.
Samenhangend betekent dat het oppervlak uit een enkel deel bestaat. Als je als Flatlander in het oppervlak zou leven kun je in elk punt van het oppervlak komen. Eenvoudige voorbeelden van niet samenhangende oppervlakken zijn simpelweg twee of meer kopieën van een sfeer, of een sfeer en een torus etc, samen als één oppervlak gezien. Wiskundig is er niks mis mee ook deze niet-samenhangende objecten als oppervlak te zien, maar als je alle samenhangende oppervlakken hebt geclassificeerd weet je ook wat de niet-samenhangende oppervlakken zijn, namelijk alle combinaties van twee of meer samenhangende oppervlakken. Bovendien zijn niet samenhangende oppervlakken geen nuttig model voor Flatland aangezien A Square er nooit achter kan komen hoe het deel van Flatland eruitziet waar hij niet kan komen.
Gesloten is de wiskundige term voor eindig en zonder rand, of beter gezegd compact en zonder rand. Compact houdt in dat het oppervlak is gemaakt uit een eindig aantal driehoeken. Dit sluit bijvoorbeeld het oneindige vlak uit. De oppervlakken met rand worden uitgesloten omdat deze eenvoudig te maken zijn uit de oppervlakken zonder rand door cirkelschijfjes uit te knippen.
Als we een gesloten en getrianguleerd oppervlak hebben kunnen we de driehoeken altijd aan elkaar plakken tot een enkel veelhoek. Dit zal dan ook ons uitganspunt zijn om de classificatiestelling te bewijzen. De zijden van dit veelhoek zijn via een letterschema op de rand geïdentificeerd. Omdat het oppervlak geen rand heeft komt elke letter precies twee keer voor.
Zo kom je van een getrianguleerd oppervlak naar een bouwplaat en vervolgens naar een woord waarin alle letters precies twee maal voorkomen.
Het bewijs van de classificatiestelling laat in stappen zien dat we het woord dat bij de bouwplaat hoort kunnen reduceren tot een standaardvorm, waar “P2-delen”, bijvoorbeeld aa, afgewisseld worden met “T2-delen” van de vorm aba-1b-1. Daarmee wordt aangetoond dat het oppervlak homeomorf is aan de samenhangende som van P2’s en T2’s. Als er een P2 in voorkomt kunnen we T2 vervangen door P2 # P2 dankzij de gelijkheid P2 # T2 = P2# P2 # P2. Als er geen P2-stukken voorkomen hebben we de samenhangende som van tori met een identificatieschema met alleen maar stukken van de vorm aba-1b-1achter elkaar. De laatste mogelijkheid is dat deze ook niet voorkomen. Het woord is dan “leeg”, wat betekent dat het oppervlak homeomorf is met S2.
Bewijs:
Stap 1: Verwijder alle stukken van de vorm aa-1 uit het woord.
Stap 2: Ga over op een bouwplaat waarvan alle hoekpunten met elkaar zijn geïdentificeerd. Dit kan als volgt: Stel dat de hoekpunten van het veelhoek zijn geïdentificeerd zijn in twee groepen, groen (G) en paars (P). Ergens moeten er een groen en een paars punt naast elkaar liggen. Vervolgens kunnen we de volgende bewerking uitvoeren om een paars punt voor een groen punt in te ruilen:
Ga door totdat alle punten groen zijn. Verwijder alle aa-1stukken (dit kan nodig zijn om de laatste paarse punten weg te halen).
Stap 3: Voeg alle P2-achtige stukken samen. Dat wil zeggen, als er een letter twee keer met dezelfde oriëntatie voorkomt (als ...a...a... of als ...a-1...a-1...) kunnen we met knippen en plakken een P2-stuk in elkaar zetten:
De letters X en Y staan voor een willekeurig aantal randen met letters. Bijvoorbeeld X = bdb, Y = d.
Met deze plaatjes leiden we de regel aXaY = ccXY-1 af. We kunnen de c's nu eventueel weer veranderen in a's, aangezien dit slechts aangeeft dat deze randen op elkaar geplakt worden. Dan vinden we de regel; aXaY =aaXY-1. Pas deze regel zovaak mogelijk toe, totdat alle “aa-paren” zijn samengevoegd. Herhaal stap 1 als nodig.
Stap 4: Als laatste voegen we de T2-achtige stukken samen. Zoek naar zijden die voorkomen in de volgorde a ... b ... a-1 ... b-1 ... .
Deze stap heeft twee keer knippen nodig. We knippen langs c en plakken langs b. Vervolgens knippen we langsd en plakken langs a1. Het nieuwe veelhoek heeft geen zijdes met a en b meer, maar wel een sequentie cdc-1c-1zoals de torus.
Als we klaar zijn met deze stap hebben we een identificatieschema met alleen maar P2-stukken en T2-stukken gekregen. We hebben immers alle aa-paren samengevoegd, net als zijden van de vorm aba-1b-1. Het enige dat nog zou kunnen gebeuren is dat een a-a-1 paar slechts is gescheiden door paren van letters, bijvoorbeeld als inabba-1cc. Maar dan zijn niet alle hoekpunten geïdentificeerd, dus deze situatie is uitgesloten door stap 2.
Als de zijden a en a-1 alleen door identificatieparen worden gescheiden zijn niet alle hoekpunten geïdentificeerd.
Hier volgt nog eens een tabel met, per stap, de regel die is afgeleid in symbolen weergegeven.
Stap 1.
aa-1XY
=
XY
Stap 2.
aXba-1Y
=
cbXc-1Y
Stap 3.
aXaY
=
ccXY-1
Stap 4.
aXbYa-1Zb-1W
=
cdc-1d-1XYZW
Reductieregels voor bouwplaten
Les 7 Spaceland
Les 7 Spaceland
Na de succesvolle zoektocht van A Square in twee dimensies maken we de stap naar drie dimensies. Spherius, de driedimensionale vriend van A Square, raakt geïnteresseerd in de mogelijke vormen van driedimensionale ruimte. Je zult een aantal van deze ruimtes zelf mogen doorvliegen met de applicatie Curved Spaces. De 3-sfeer is een belangrijke driedimensionale ruimte. Op deze ruimte gaan we wat verder in.
Maak nu eerst de microtoets van Les 6.
7.1 Spherius
Misschien herinner je je Spherius nog uit de eerste les. Hij komt uit Spaceland en is een bol. Na de droom van A Square over Pointland en Lineland, de droom die hem heeft aangespoord om zich bezig te gaan houden met de vorm van Flatland, komt Spherius op bezoek om hem te vertellen over de derde dimensie.
A Square is ondersteboven van het inzicht dat Spherius hem geeft door hem te introduceren in Spaceland. Dit was nog voordat A Square de classificatiestelling ontdekte. Ineens begreep hij veel beter wat hij zich bij "de vorm" van Flatland kon voorstellen. Maar door zijn droom over Pointland en Lineland en het besef dat er een driedimensionale ruimte is waar hij nooit van had durven dromen, komt hij op het idee dat er misschien dan ook wel een vierdimensionale ruimte is. En waarom ook niet een vijfdimensionale, of zelfs zes...
A Square zag niet in waarom deze rij "kubussen" van oplopende dimensie (punt, lijn, vierkant, kubus,...) na dimensie drie zou stoppen.
Hij vroeg of Spherius hier iets vanaf wist. Spherius reageerde bot dat zoiets toch niet mogelijk kan zijn. Hij die zich vrij in drie dimensies beweegt weet toch wel beter! Hij had A Square weer achtergelaten in Flatland waar deze met hernieuwde moed verder ging met zijn classificatie van oppervlakken.
Na verloop van tijd zat het Spherius toch dwars dat hij zo bot had gereageerd en ook dat hij eigenlijk niet zeker was van zijn antwoord op de vraag van A Square. Misschien bestaat er wel een vierde dimensie. Aangezien hij A Square een aardig figuur vond, besloot hij de wiskundige Flatlander nogmaals op te zoeken.
Wat is dit?
Zoek met behulp van internet uit wat het volgende filmpje voorstelt en geef een uitleg.
Hint: Google op tesseract of hypercube. Voor uitleg kun je dit filmpje bekijken.
A Square was blij verrast Spherius terug te zien. Hij viel Spherius helemaal niet meer lastig met vier- en vijfdimensionale werelden, hij was dolenthousiast over het bewijs van zijn classificatiestelling van oppervlakken. Spherius was toen hij Flatland verliet een stuk beter gehumeurd, waarom zou hij zich druk maken over de vierde en de vijfde dimensie; hij wist eigenlijk niet eens hoe zijn eigen drie dimensionale ruimte er precies uitzag! Hij besloot net als A Square bouwplaten te tekenen. In plaats van vierkanten met geïdentificeerde randen, tekende hij kubussen waarvan hij aangaf hoe de vlakken op elkaar geplakt moeten worden.
Al gauw kwam Spherius tot de conclusie, dat ook dit een zeer ingewikkeld vraagstuk was. Voor zijn eigen gemoedsrust besloot hij ook deze zaak te vergeten en A Square niet meer te bezoeken.
In deze les zullen ook wij een aantal driedimensionale ruimten bestuderen en daarmee ook een idee krijgen van de mogelijkheden voor de vorm van ons eigen universum.
7.2 Het plakken van een kubus
Hier behandelen we een aantal aspecten van het plakken van een kubus.
De 3-torus
De torus kan gemaakt worden door tegenoverliggende zijden van een vierkant op elkaar te plakken. Net zo kunnen we tegenoverliggende vlakken van een kubus op elkaar plakken. De ruimte die we dan krijgen noemen we de 3-torus (T3). Plak tegenoverliggende zijden op elkaar zodat tegenoverliggende punten zijn geïdentificeerd:
We kunnen ons niet goed voorstellen hoe deze ruimte er uit zou zien in 4-dimensies wanneer we de zijden daadwerkelijk op elkaar plakken. Maar net als A Square kunnen we wel nadenken over eigenschappen van deze ruimte. Bovendien kunnen we ons wel voorstellen wat voor gekke dingen er kunnen gebeuren als het universum deze vorm zou hebben.
Reflectie
Stel dat we een ruimteschip op ontdekkingsreis sturen door het universum, het ruimteschip reist steeds in dezelfde richting vanaf de aarde. Na een lange tocht zien de astronauten een planeet die er bewoonbaar uitziet. Wanneer ze dichterbij komen zien ze tot hun grote verbazing dat ze terug zijn op aarde.
Kun je dit verklaren als we ervan uitgaan dat het universum de vorm van een 3-torus heeft?
We kunnen een kubus ook op andere manier plakken, we kunnen de onderzijde bijvoorbeeld gespiegeld op de onderzijde plakken, zie ook het plaatje hieronder.
Deze piraat mist zijn rechterbeen, hij loopt een rondje door het 'plafond' terug naar zijn huidige positie. Welk been is van hout volgens de piraat? En welk been is van hout volgens een toeschouwer?
De wiskundige Jeff Weeks heeft een aantal wiskundige spellen en applicaties gemaakt. In deze les zullen we kijken naar zijn programma Curved Spaces.
Een Screenshot uit Curved Spaces
Dit programma is gemaakt om verschillende driedimensionale ruimten te visualiseren, zoals bijvoorbeeld de 3-torus en de andere ruimtes die we in de vorige les besproken hebben.
In de vorige les hebben we gezien dat we net als bij oppervlakken paden kunnen vinden in een 3D ruimte waarbij de oriëntatie verandert. De piraat had een houten rechterbeen, maar voor toeschouwers veranderde dit nadat hij een oriëntatie omkerend pad doorlopen had.
Activiteit
Ga naar http://www.geometrygames.org/ en download het programma Curved Spaces. Wanneer je het programma hebt uitgepakt kun je het meteen opstarten. Selecteer de map Basic en de ruimte 3-torus.
Met de pijltjes naar links en rechts maak je de ribben dunner en dikker, met omhoog en omlaag ga je sneller en langzamer en door met de muis op het scherm te klikken kun je vervolgens sturen met de muis.
Herken je het plakschema uit vorige les?
Acitviteit
Bekijk verschillende ruimtes in het programma Curved Spaces:
--> File Open... kies een bestand uit de map Basic, Flat, Hyperbolic of Elliptic.
Bekijk verschillende ruimten en onderzoek of ze oriënteerbaar zijn of niet.
Zoek vijf oriënteerbare en vijf niet-oriënteerbare ruimten.
Hint: Je kunt de aarde vervangen door een gyroscoop in het menu View Centerpiece. Op deze manier is het makkelijker om te zien of je van oriëntatie veranderd bent. Denk aan de kurkentrekkerregel.
7.4 De 3-sfeer
We hebben gezien dat een bolschil in zekere zin het makkelijkste eindige oppervlak is. We kunnen alle andere oppervlakken krijgen door handvatten en kruishandvatten toe te voegen aan de bolschil, door middel van het nemen van de samenhangende som. De makkelijkste eindige driedimensionale ruimte is de 3-sfeer, deze les gaat over deze ruimte.
Net als de serie; punt, lijn, vlak, kubus, 4D-hyperkubus, …. hebben we ook een serie voor de cirkel en de bolschil.
Deze serie wordt gegeven door; twee punten, cirkel, bolschil, 3-sfeer, 4-sfeer etc.
De manier waarop deze ruimtes gedefinieerd zijn is als volgt:
• De 0-sfeer zijn de punten op afstand 1 van de oorsprong in een lijn.
• De 1-sfeer (cirkel) bestaat uit de punten op afstand 1 van de oorsprong in het vlak.
• De 2-sfeer (bolschil) zijn de punten op afstand 1 van de oorsprong in de driedimensionale ruimte.
De 3-sfeer bestaat dan ook uit alle punten op afstand 1 van de oorsprong in een vierdimensionale ruimte. Dit is moeilijk voorstelbaar voor ons, maar we kunnen wel weer een bouwplaat maken van deze ruimte.
Reflectie
Nog een andere serie ruimten is de volgende; interval, disk (cirkelschijf), gevulde bol.
Welke eigenschap hebben de punten in deze figuren? (Hint: lijkt erg op de eigenschap van de sferen)
We gaan deze bouwplaat maken naar analogie met de 1-sfeer en de 2-sfeer. De 1-sfeer kan gemaakt worden door twee intervallen, als volgt op elkaar te plakken:
De 2-sfeer kan gemaakt worden door twee disken op elkaar te plakken:
Net zo kunnen we de 3-sfeer die we met S3 voorstellen door twee gevulde bollen op elkaar te plakken. Plakken komt neer op de volgende eigenschap: als je bij de ene bol op een bepaald punt door de randsfeer naar buiten gaat, kom je op hetzelfde punt van de randsfeer bij de andere bol naar binnen.
De 3-sfeer
Het plakken van de randen (twee keer een bolschil) hebben we aangegeven met een grote letter A.
Les 8 Het vermoeden van Poincaré
Les 8 Het vermoeden van Poincaré
Deze afsluitende les gaat over Henri Poincaré en het Poincaré vermoeden. Dit vermoeden en de oplossing ervan vormde de aanleiding voor het ontwikkelen van deze lessen. Aan het eind van deze les is het de bedoeling dat je een afsluitende opdracht maakt die iets met het Poincaré vermoeden te maken heeft. Deze staan in 8.3 onder eindopdrachten. Daar staan ook bronnen genoemd.
Maar maak nu eerst de allerlaatste microtoets, die van les 7.
8.1 Poincaré en zijn vermoeden
Het vermoeden van Poincaré is een beroemd probleem uit de topologie dat bijna honderd jaar onbewezen heeft bestaan. Hieronder een filmpje van het Australische programma Catalyst als korte introductie.
De Franse wiskundige Henri Poincaré hield zich, net als ons fictieve figuur Spherius, bezig met de vorm van driedimensionale ruimten. Hij was een van de pioniers op het gebied van topologie. Naar aanleiding van de classificatiestelling voor oppervlakken vroeg hij zich af of iets soortgelijks ook mogelijk was voor driedimensionale ruimten. De complexiteit van driedimensionale ruimten bleek echter een stuk groter te zijn dan die van oppervlakken. Het leek een onbegonnen werk om deze te classificeren.
Poincaré richtte zich daarom in eerste instantie op de 'simpelste' eindige, driedimensionale ruimte zonder rand, namelijk de drie sfeer S3. We voegen hier het woordje eindig toe omdat we niet naar de driedimensionale Euclidische ruimte willen kijken. Hij vroeg zich af op welke manier we deze ruimte kunnen herkennen. Het beroemde vermoeden dat uit zijn nieuwsgierigheid voortvloeide kwam bekend te staan als het vermoeden van Poincaré.
Het vermoeden van Poincaré luidt als volgt:
Elke enkelvoudig samenhangende, gesloten 3-variëteit is homeomorf met de 3-sfeer S3.
We zullen nu een korte toelichting geven op wat hier eigenlijk staat.
• Met een 3-variëteit bedoelen wiskundigen een mooie driedimensionale ruimte. Dit betekent dat de ruimte er vanuit elk punt uitziet als de driedimensionale ruimte die wij kennen, net als de cirkel er vanuit elk punt uitziet als een lijn voor een Linelander, en elk oppervlak er vanuit ieder punt net zo uitziet als een plat vlak voor de Flatlander.
• We noemen een variëteit gesloten wanneer deze eindig (compact) is en geen rand heeft.
• Twee ruimten zijn homeomorf wanneer ze topologisch gelijk zijn.
• De 3-sfeer hebben we in de vorige les besproken.
Een ruimte heet enkelvoudig samenhangend wanneer deze “geen gaten” bevat. Maar voor een wiskundige moet het “geen gaten” dan wel intrinsiek geformuleerd zijn. Poincaré bedacht om gaten te onderzoeken door het samentrekken van lusjes. Wanneer deze nooit blijven hangen en altijd helemaal ingetrokken kunnen worden, zijn er blijkbaar geen gaten in de ruimte.
Het vermoeden van Poincaré is sinds 2003 geen vermoeden meer, maar een stelling. Dankzij werk van de Russische wiskundige Grigori Perelman is het Poincaré vermoeden namelijk bewezen.
8.2 Van vermoeden tot stelling
Geschiedenis
Henri Poincaré werkte rond 1900 aan de fundamenten van wat later algebraïsche topologie zou gaan heten. Hij zette zijn werk uiteen in het boek Analysis Situs, wat hij aanvulde met een aantal supplementen. Poincaré beweerde op een gegeven moment dat de homologie (zoiets als de Eulerkarakteristiek) voldoende is om een 3-sfeer te herkennen. Hij dacht dat je, als je een willekeurige 3D gesloten variëteit zou maken, de homologie uit kon rekenen en op de homologie van de 3-sfeer zou uitkomen, zeker zou weten dat je onbewust de 3-sfeer had geconstrueerd. Deze claim blijkt niet te kloppen. Hij kwam er zelf achter dat hij het mis had, door een tegenvoorbeeld te geven. Vervolgens stelde hij de volgende vraag:
Zou het zo kunnen zijn dat er een gesloten 3-variëteit bestaat die enkelvoudig samenhangend is, maar niet homeomorf met de 3-sfeer?
Poincaré heeft zelf nooit een antwoord gegeven, maar de positieve formulering van deze vraag is het Poincaré vermoeden gaan heten.
In de bijna honderd jaar dat het Poincaré vermoeden onbewezen heeft bestaan hebben veel wiskundigen zich er het hoofd over gebroken. Soms dacht iemand het bewezen te hebben, maar telkens bleek het bewijs toch niet te kloppen. Nieuwe, vermeende bewijzen werden sceptisch ontvangen door de wiskundige gemeenschap. Telkens terecht. De wiskundige John R. Stallings schreef zelfs een artikel met de titel How not to prove the Poincaré conjecture te vinden op zijn website. (Schik niet als je een keer een blik werpt op dit artikel, dit is een echt wiskundig onderzoeksartikel, dus dat ziet er moeilijk uit!)
Rond 1980 zorgde de geniale William Thurston voor een revolutionaire versnelling van het begrip van driedimensionale ruimtes. Hij wist met meetkundige technieken een heel nieuw licht op driedimensionale topologie te werpen. Zijn resultaten motiveerde hem tot het formuleren van een vermoeden dat bekend staat als het Thurston Geometrisatie vermoeden. Dit vermoeden is zelfs groter dan het Poincaré vermoeden, in de zin dat het het Poincaré vermoeden impliceert. Hij stelt een manier voor om alle gesloten 3-variëteiten te classificeren. William Thurston is misschien nog wel meer de A Square van Spaceland dan Poincaré.
Soms werkt het zo dat meer algemene dingen in de wiskunde meer opschieten dan speciale gevallen en dankzij de arbeid van veel wiskundigen kwam men verder met het Geometrisatie vermoeden van Thurston. Het was dan ook in deze context dat de Grigori Perelman aan het werk was. In 2002 en 2003 publiceerde hij drie artikelen op het internet. Deze brachten een schok teweeg in de wiskundige gemeenschap. Hoewel de artikelen erg beknopt en maar voor weinigen te lezen waren, leek het er op dat ze een bewijs van het Poincaré vermoeden gaven en zelfs van het volledige Geometrisatie vermoeden.
Drie jaar lang zijn kenners in het vakgebied bezig geweest om de artikelen van Perelman helemaal uit te pluizen. Elk argument hielden zij onder de loep. Alle tussenstappen werden ingevuld. Maar het bewijs hield stand. Het Poincaré vermoeden was bewezen.
Perelman kreeg voor zijn werk de hoogste onderscheiding in de wiskunde, de Fields Medal (vergelijkbaar met de Nobel prijs). Maar ondanks aandringen van de organisatie weigerde hij de prijs in ontvangst te nemen. Hij was zelfs niet op de ceremonie.
Het Clay Mathematics Institute heeft het Poincaré vermoeden opgenomen in de lijst Millennium problemen. Voor het bewijs staat een miljoen dollar uitgeloofd. De kans is groot dat, als het miljoen aan Perelman wordt toegekend, hij ook deze prijs aan zich voorbij laat gaan.
De methode
Het bewijs dat Perelman uteindelijk leverde voor het Poincaré vermoeden lijkt weinig op de wiskunde die we in deze module hebben behandeld. Het is op een bepaalde manier dan ook een gruwel voor veel topologen.
In het bewijs begint Perelman heel algemeen met een driedimensionale ruimte. Hij bekijkt deze niet alleen topologisch, maar ook meetkundig. Maar de ruimte kan allerlei rare krommingen hebben. Dus zowel topologisch als meetkundig kan de ruimte vreemd in elkaar steken.
Vervolgens past hij de Ricciflow toe op de meetkunde van de ruimte. Deze door Richard Hamilton geïntroduceerde methode strijkt de kromming van de ruimte langzaam glad. Dit wordt wiskundig weergegeven in een dynamisch model zoals natuurkundigen dat veel gebruiken, bijvoorbeeld om de verspreiding van warmte door een medium te moduleren.
Doordat de kromming steeds egaler verdeeld wordt, krijg je op den duur stukken die mooi egaal gekromd zijn. Deze stukken zijn dan te herkennen aan de meetkunde die ze bezitten zoals geformuleerd in het geometrisatievermoeden.
De Ricciflow toegepast op een oppervlak. Bij oppervlakken ontstaan geen singulariteiten.
Maar tussen de stukken kunnen allerlei vreemde dingen gebeuren als de kromming oneindig wordt. Hier breekt de ruimte als het ware in tweeën. Wiskundigen noemen deze plekken singulariteiten en vinden dat meestal enge dingen. Perelman heeft laten zien dat de singulariteiten van de Ricciflow niet té eng zijn. De breuken die ontstaan bij de singulariteiten zijn wiskundig netjes, een beetje zoals sommige wonden netjes zijn en makkelijk te hechten en andere niet. Een pak van zijn hart.
8.3 Eindopdrachten
We hebben nu alle stof behandeld en zijn toe aan de afsluiting van deze e-klas. Het is nu de bedoeling dat je het materiaal uit de e-klas verwerkt tot een filmpje, of in overleg met je docent een ander presentatieproduct. Dit kan bijvoorbeeld zijn:
• een poster
• een lied/rap
• een powerpointpresentatie waarin je gebruik maakt van verschillende media
• of andere eigen creatieve ideeën
De eindpresentatie moet in ieder geval een link maken met het vermoeden van Poincaré en er moet ook iets wiskundigs aan te pas komen. Verder ben je vrij om een creatieve invulling aan deze opdracht te geven. Tips: kies een duidelijk onderwerp voor je presentatie waar je verder op in gaat. Dat voorkomt dat het te algemeen wordt en dan hoef je niet alle informatie door te nemen. Haal hetgene dat voor jou belangrijk is er uit. Hieronder staan suggesties voor een aantal onderwerpen.
1. De Geschiedenis van het vermoeden van Poincaré: Bespreek de verschillende wiskundigen die betrokken zijn geweest bij de vorming van het vermoeden, de voortgang en het bewijs en leg uit wat ze hebben bijgedragen.
2. Enkelvoudige samenhang: Zoek op wat enkelvoudig samenhang is en leg met een aantal voorbeelden uit wat het begrip betekent. Je kunt ter inspiratie eindopdracht 2 uit de Topwis Poincaré syllabus gebruiken. Vergeet niet het verband te leggen met het vermoeden van Poincaré.
3. Classificatie van oppervlakken: Bespreek de classificatie van oppervlakken en leg uit wat dit te maken heeft met het vermoeden van Poincaré. Je kunt in de bronnen ook kijken of je nog iets met de meetkundige classificatie van oppervlakken kunt doen.
4. Perelman en de Fields Medal: Vind zo veel mogelijk informatie over de Fields medal en Grigori Perelman. Zijn er al eerder Fields Medals uitgereikt die te maken hadden met het Poincaré vermoeden?
5. Clay Mathematics Institute en de Millenium Problemen: Zoek uit wat de Millennium problemen zijn, waarom ze in het leven geroepen zijn, en wat de status van de problemen op het moment is. Ken je nog andere van deze problemen?
6. Het Poincaré vermoeden in andere dimensies: Wat is het Poincaré vermoeden in twee dimensies? Ga hier verder op in. Je zult iets over enkelvoudige samenhang moeten opzoeken. Er bestaat ook een generalisatie van het Poincaré vermoeden naar vier, vijf en hogere dimensies. Zoek hier iets over uit. Kun je hier wijs uit worden (pas op, wordt lastig). Wanneer zijn de hogere dimensies bewezen en vind je dit opvallend? Er wordt wel eens gezegd dat hogere dimensies makkelijker zijn omdat er meer ruimte is. Is het Poincaré vermoeden waar in één dimensie?
7. Niet-Euclidische meetkunde (* lastig onderwerp)
Je kunt hiervoor gebruik maken van eindopdracht 3 uit de syllabus TopWis Poincaré. Bespreek het verband tussen niet-Euclidische meetkunde en het bewijs van het Poincaré vermoeden.
Ter inspiratie is de film The Spell of the Poincaré een aanrader. Deze documentaire van een uur is opgenomen in de bextra bestanden bij deze e-klas.
Verder zijn ook de volgende bronnen nuttig:
Bronnen
De Topwis Poincaré syllabus te vinden bij de extra bestanden bij deze e-klas. Deze e-klas is gebasseerd op de syllabus Topwis Poincaré, in de syllabus vind je uitgebreidere informatie en een aantal eindopdrachten die je kunt gebruiken voor inspiratie voor de eindopdracht of als basis van een profielwerkstuk.
Boeken:
The Poincaré Conjecture – Donal O'Shea. Dit boek bespreekt de geschiedenis van het vermoeden van Poincaré in groot detail. Ook wordt de aanloop naar de formulering van het vermoeden, het vermoeden zelf en de oplossing op een begrijpelijke en inhoudelijk goede manier verwoord.
The Shape of Space – Jeffrey R. Weeks. In dit vermakelijke en goed geschreven boek, bespreekt Jeffrey Weeks topologie, meetkunde en de mogelijke vormen van het universum. Het boek staat vol met opgaven en kan zeer geschikt zijn voor het maken van een profielwerkstuk.
The millennium problems: the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time – Keith J. Devlin.Boek dat inhoudelijk uitleg geeft over de zeven Millenium problemen.
Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-manifolds van John Milnor. Dit artikel gaat over de wiskundige geschiedenis van het Poincaré vermoeden, het is geschreven door een wiskundige en is behoorlijk technisch. Dit zal niet helemaal te begrijpen zijn, maar geeft een goed beeld van wiskundige terminologie en ook een globaal beeld van het vermoeden van Poincaré.
Zoek ook naar filmpjes op YouTube (er staan veel Engelstalige filmpjes op)
http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space: (de Engelse wikipedia site is een stuk informatiever dan de Nederlandse) -- Hier vind je informatie over 'enkelvoudige samenhang' (simply connectednes).
Het arrangement TopWis Poincaré is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-01-27 14:17:42
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
klik hier voor tekening eerste vraag.
. Dus
geldt dat
