# 8.3 Eindopdrachten

We hebben nu alle stof behandeld en zijn toe aan de afsluiting van deze e-klas. Het is nu de bedoeling dat je het materiaal uit de e-klas verwerkt tot een filmpje, of in overleg met je docent een ander presentatieproduct. Dit kan bijvoorbeeld zijn:
• een poster
• een lied/rap
• een powerpointpresentatie waarin je gebruik maakt van verschillende media
• of andere eigen creatieve ideeën
De eindpresentatie moet in ieder geval een link maken met het vermoeden van Poincaré en er moet ook iets wiskundigs aan te pas komen. Verder ben je vrij om een creatieve invulling aan deze opdracht te geven. Tips: kies een duidelijk onderwerp voor je presentatie waar je verder op in gaat. Dat voorkomt dat het te algemeen wordt en dan hoef je niet alle informatie door te nemen. Haal hetgene dat voor jou belangrijk is er uit. Hieronder staan suggesties voor een aantal onderwerpen.

1. De Geschiedenis van het vermoeden van Poincaré: Bespreek de verschillende wiskundigen die betrokken zijn geweest bij de vorming van het vermoeden, de voortgang en het bewijs en leg uit wat ze hebben bijgedragen.

2. Enkelvoudige samenhang: Zoek op wat enkelvoudig samenhang is en leg met een aantal voorbeelden uit wat het begrip betekent. Je kunt ter inspiratie eindopdracht 2 uit de Topwis Poincaré syllabus gebruiken. Vergeet niet het verband te leggen met het vermoeden van Poincaré.

3. Classificatie van oppervlakken: Bespreek de classificatie van oppervlakken en leg uit wat dit te maken heeft met het vermoeden van Poincaré. Je kunt in de bronnen ook kijken of je nog iets met de meetkundige classificatie van oppervlakken kunt doen.
4. Perelman en de Fields Medal: Vind zo veel mogelijk informatie over de Fields medal en Grigori Perelman. Zijn er al eerder Fields Medals uitgereikt die te maken hadden met het Poincaré vermoeden?

5. Clay Mathematics Institute en de Millenium Problemen: Zoek uit wat de Millennium problemen zijn, waarom ze in het leven geroepen zijn, en wat de status van de problemen op het moment is. Ken je nog andere van deze problemen?

6. Het Poincaré vermoeden in andere dimensies: Wat is het Poincaré vermoeden in twee dimensies? Ga hier verder op in. Je zult iets over enkelvoudige samenhang moeten opzoeken. Er bestaat ook een generalisatie van het Poincaré vermoeden naar vier, vijf en hogere dimensies. Zoek hier iets over uit. Kun je hier wijs uit worden (pas op, wordt lastig). Wanneer zijn de hogere dimensies bewezen en vind je dit opvallend? Er wordt wel eens gezegd dat hogere dimensies makkelijker zijn omdat er meer ruimte is. Is het Poincaré vermoeden waar in één dimensie?

7. Niet-Euclidische meetkunde (* lastig onderwerp)
Je kunt hiervoor gebruik maken van eindopdracht 3 uit de syllabus TopWis Poincaré. Bespreek het verband tussen niet-Euclidische meetkunde en het bewijs van het Poincaré vermoeden.

Ter inspiratie is de film The Spell of the Poincaré een aanrader. Deze documentaire van een uur is opgenomen in de bextra bestanden bij deze e-klas.
Verder zijn ook de volgende bronnen nuttig:

Bronnen

- De Topwis Poincaré syllabus te vinden bij de extra bestanden bij deze e-klas. Deze e-klas is gebasseerd op de syllabus Topwis Poincaré, in de syllabus vind je uitgebreidere informatie en een aantal eindopdrachten die je kunt gebruiken voor inspiratie voor de eindopdracht of als basis van een profielwerkstuk.

Boeken:

- The Poincaré Conjecture – Donal O'Shea. Dit boek bespreekt de geschiedenis van het vermoeden van Poincaré in groot detail. Ook wordt de aanloop naar de formulering van het vermoeden, het vermoeden zelf en de oplossing op een begrijpelijke en inhoudelijk goede manier verwoord.
- The Shape of Space – Jeffrey R. Weeks. In dit vermakelijke en goed geschreven boek, bespreekt Jeffrey Weeks topologie, meetkunde en de mogelijke vormen van het universum. Het boek staat vol met opgaven en kan zeer geschikt zijn voor het maken van een profielwerkstuk.
- The millennium problems: the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time – Keith J. Devlin.Boek dat inhoudelijk uitleg geeft over de zeven Millenium problemen.
- Allan Hatchers boek 'Algebraic Topology' te downloaden op Manifold destiny: een artikel verschenen in de New Yorker over het bewijs van Perelman en een controverse die nog even opwaaide door de Chinese wiskundige Yau. http://www.cornell.edu/search/?q=Algebraic+Topology&btnG=go&site=math.cornell.edu

Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-manifolds van John Milnor. Dit artikel gaat over de wiskundige geschiedenis van het Poincaré vermoeden, het is geschreven door een wiskundige en is behoorlijk technisch. Dit zal niet helemaal te begrijpen zijn, maar geeft een goed beeld van wiskundige terminologie en ook een globaal beeld van het vermoeden van Poincaré.

Op internet:

- http://nl.wikipedia.org/wiki/Vermoeden_van_Poincar%C3%A9: (kijk ook naar de Engelse wikipedia site over 'The Poincaré Conjecture') -- Algemene informatie over het vermoeden van Poincaré.
  - Zoek ook naar filmpjes op YouTube (er staan veel Engelstalige filmpjes op)
  - http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space: (de Engelse wikipedia site is een stuk informatiever dan de Nederlandse) -- Hier vind je informatie over 'enkelvoudige samenhang' (simply connectednes).
- http://www.britannica.com/EBchecked/topic/599686/topology/258070/Basic-concepts-of-general-topology
  Informatie over enkelvoudige samenhang, topologie en algebraïsche topologie.
- http://www.claymath.org/
  De website van het Clay Mathematics Institute.

Hier is nog een woordenlijst Nederlands-Engels voor enkele belangrijke begrippen
Woordenlijst:

Nederlands | Engels
enkelvoudig samenhangend | simply connected
gesloten | closed
homeomorf | homeomophic
homeomorfisme | homeomorfism
homologie | homology
homotopie | homotopy
oppervlak | surface
rand | boundary
sfeer | sphere
variëteit | manifold
vermeetkundigingsvermoeden | geometrization conjecture