# 6.3 De stelling

Tegen het eind van de negentiende eeuw hadden wiskundigen een steeds duidelijker beeld van oppervlakken. Zij kwamen tot de conclusie dat alle mogelijke gesloten oppervlakken netjes op te sommen zijn in twee oneindige rijen. Dit leidde tot de classificatie van gesloten oppervlakken. De twee rijen zijn:

De oriënteerbare oppervlakken: Dit zijn de sfeer S2 en vervolgens alle oppervlakken die worden gemaakt door handvatten toe te voegen aan de sfeer.

De oriënteerbare oppervlakken

De niet-oriënteerbare oppervlakken die kunnen worden gemaakt door kruismutsen aan de sfeer toe te voegen.

De niet-oriënteerbare oppervlakken

Het is verrassend dat elk oppervlak topologisch equivalent is aan een oppervlak uit een van deze twee rijen die zo eenvoudig vanuit de sfeer kunnen worden gemaakt.

Elk oppervlak? Hoe zit het de oppervlakken met rand, zoals de cilinder of de Möbiusband? En hoe zit het met bijvoorbeeld het oneindig vlak? Het is tijd om even stil te staan over wat er met oppervlak bedoeld wordt en welke oppervlakken we precies willen classificeren.

Gesloten oppervlakken

Wij gaan er vanuit dat een willekeurig oppervlak kan worden gemaakt door driehoekjes aan elkaar te plakken. Eerder is al genoemd dat elk oppervlak op deze manier gemaakt kan worden, ook als je de technische wiskundige definitie als uitganspunt neemt.

Vervolgens gaat de stelling over samenhangende, gesloten oppervlakken. Dit zijn per definitie samenhangende, compacte oppervlakken zonder rand.

Oppervlak

In de technische definitie van oppervlak is alles wiskundig heel precies opgeschreven en daardoor pas na behoorlijke wiskundige training goed te lezen. Maar het idee is als volgt: Stel dat een of ander wezen in een ruimte zou leven. Als dit wezen dan een klein stukje van de ruimte zou verkennen en hij dit kleine stukje niet kan onderscheiden van een stukje van het platte vlak leeft hij in een oppervlak. Maar pas op! Het wezen mag zijn expeditie in elk willekeurig punt beginnen. Dit betekent dus dat geen enkel stuk van de ruimte er lokaal uitziet als bijvoorbeeld een lijn of een geïsoleerd punt. Doordat het wezen maar een klein stukje verkent, ziet hij geen globale eigenschappen van de ruimte zoals dat de ruimte in zichzelf sluit zoals bijvoorbeeld een torus of sfeer doen.

Oppervlakken heten ook wel tweedimensionale variëteiten. Het woord variëteit drukt uit dat de ruimte er op elk punt hetzelfde uitziet, tweedimensionaal betekent dat het vanuit elk punt net het platte vlak lijkt. Als een ruimte vanuit elk punt op een lijn lijkt, noemen we het een eendimensionale variëteit. Een voorbeeld is de cirkel.

Rand We hebben al een aantal oppervlakken gezien die niet in elk punt op het platte vlak lijken, maar die een rand hebben. Op de rand lijkt het oppervlak op een stukje vlak waar de helft vanaf is geknipt. Normaal zou een wezen naar voren en achter kunnen, en naar links en naar rechts, maar op de rand is één van deze richtingen afgesloten.

Een klein stukje van de rand lijkt op een stukje lijn. De rand van een oppervlak is dus een eendimensionale variëteit. In één dimensie komt het begrip rand overeen met een eindpunt van een (stuk) lijn.

Samenhangend betekent dat het oppervlak uit een enkel deel bestaat. Als je als Flatlander in het oppervlak zou leven kun je in elk punt van het oppervlak komen. Eenvoudige voorbeelden van niet samenhangende oppervlakken zijn simpelweg twee of meer kopieën van een sfeer, of een sfeer en een torus etc, samen als één oppervlak gezien. Wiskundig is er niks mis mee ook deze niet-samenhangende objecten als oppervlak te zien, maar als je alle samenhangende oppervlakken hebt geclassificeerd weet je ook wat de niet-samenhangende oppervlakken zijn, namelijk alle combinaties van twee of meer samenhangende oppervlakken. Bovendien zijn niet samenhangende oppervlakken geen nuttig model voor Flatland aangezien A Square er nooit achter kan komen hoe het deel van Flatland eruitziet waar hij niet kan komen.

Gesloten is de wiskundige term voor eindig en zonder rand, of beter gezegd compact en zonder rand. Compact houdt in dat het oppervlak is gemaakt uit een eindig aantal driehoeken. Dit sluit bijvoorbeeld het oneindige vlak uit. De oppervlakken met rand worden uitgesloten omdat deze eenvoudig te maken zijn uit de oppervlakken zonder rand door cirkelschijfjes uit te knippen.

Als we een gesloten en getrianguleerd oppervlak hebben kunnen we de driehoeken altijd aan elkaar plakken tot een enkel veelhoek. Dit zal dan ook ons uitganspunt zijn om de classificatiestelling te bewijzen. De zijden van dit veelhoek zijn via een letterschema op de rand geïdentificeerd. Omdat het oppervlak geen rand heeft komt elke letter precies twee keer voor.

Zo kom je van een getrianguleerd oppervlak naar een bouwplaat en vervolgens naar een woord waarin alle letters precies twee maal voorkomen.

Meervoudige selectie

Eigenschappen