In dit thema staat differentiëren centraal.
Je weet nog niet wat dat is, maar dat ga je dus leren.
Formules van functies kunnen gedifferentieerd worden. De functie die dan ontstaat heet de afgeleide van de functie. Deze afgeleide zegt iets over de mate waarin de functie groeit. In de volgende paragrafen leer je alles over deze groeisnelheid van een functie.
Je zal eerst de gemiddelde groei op een interval bekijken.
Vervolgens gaan we inzoomen, en bekijken we de groei op één moment. Deze groei gaan we linken aan de afgeleide van de functie. Afleiden van een functie wordt differentiëren genoemd. Het differentiëren van een functie gebeurt volgens een aantal regels. Met deze regels kunnen we zelfs erg grote formules differentiëren, wat je ook zal gaan doen. Tot slot leer je ook hoe je de tweede afgeleide kan berekenen en wat je daarmee kan.
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kun je:
de gemiddelde groei op een interval met het differentiequotiënt berekenen.
de groeisnelheid in een grafiek op één punt bepalen met de raaklijn.
de afgeleide functie van een machtsfunctie en van een somfunctie berekenen.
beredeneren wat er met de afgeleide van een functie gebeurt als we hem met een constante vermenigvuldigen, of als we hem verschuiven.
aan de hand van de afgeleide van een functie herkennen of een functie stijgt of daalt.
buigpunten van een functie benoemen en berekenen, en zijn bijbehorende buigraaklijn bepalen.
de tweede afgeleide van een functie berekenen.
Wat ga ik doen?
Het thema 'Differentiëren' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (SLU)
Inleiding
0,5
§ Gemiddelde groei
2
§ Machtsfuncties
2
§ Groeisnelheid op één moment
2
§ Groeisnelheid en helling
2
§ Met een constante
2
§ De afgeleide van de som
2
§ Veeltermfuncties
2
§ De tweede afgeleide
2
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0,5
Diagnostische toets
0,5
Extra opgaven (keuze)
1
Thema-opdracht (keuze)
2
Totaal
±20,5
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Van een functie wordt de gemiddelde groei op het \(\small x\)-interval \(\small [a,b]\) berekend door het differentiequotiënt\({\Delta y \over \Delta x}\) op dat interval uit te rekenen.
De gemiddelde groei is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van het verbindingslijnstuk tussen de twee punten op de grafiek bij \(\small x=a\) en \(\small x=b\).
Bijvoorbeeld: de gemiddelde groei van \(\small y=x^2\) op het \(\small x\)-interval \(\small [a,b]\) is \(\small {\Delta y \over \Delta x}={b^2-a^2 \over b-a}={(b-a)(b+a) \over (b-a)}=b+a\).
Het interval\(\small [3,5]\) is de verzameling getallen tussen \(\small 3\) en \(\small 5\), inclusief \(\small 3\) en \(\small 5\) zelf. De vierkante haken geven aan dat de getallen \(\small 3\) en \(\small 5\) zelf ook mee doen. Bij driehoekige haken doen de randen niet mee. Bijvoorbeeld:
Tijdsinterval \(\small [3,5]\) betekent \(\small 3 \le t \le 5\).
Tijdsinterval \(\small ⟨3,5⟩\) betekent \(\small 3<t<5\).
Snelheid:
De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval bereken je door de afgelegde afstand te delen door de tijd.
De momentane snelheid, of groeisnelheid kun je benaderen door het tijdsinterval erg klein te maken.
De snelheid op een bepaald tijdstip is gelijk aan de helling, of richtingscoëfficiënt van de raaklijn in de afstand-tijd-grafiek.
Machtsfuncties zijn functies waarbij \(\small y\)evenredig is met een macht van \(\small x\), ofwel \(\small y=c \cdot x^n\).
De constante \(\small c\) is de evenredigheidsconstante.
Groeisnelheid op één moment
De groeisnelheid kun je bepalen met het tekenen van de raaklijn in een punt van de grafiek. De groeisnelheid op dat moment is dan de richtingscoëfficiënt van die raaklijn.
Voor elke machtsfunctie \(\small y=x^n\), met \(\small n\) een positief geheel getal, geldt:
de helling van de grafiek in het punt met \(\small x=p\) is \(\small n \cdot p^{n-1}\). Dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.
\(\small y'=n \cdot x^{n-1}\) wordt de afgeleide functie van \(\small y=x^n\) genoemd.
De afgeleide functie wordt ook wel hellingfunctie genoemd.
Differentiëren
Het bepalen van de afgeleide functie bij een gegeven functie heet differentiëren.
De afgeleide functie van een functie \(\small f(x)\) geven we aan met \(\small f'(x)\).
Plus een constante
Als je de grafiek van een functie verticaal verschuift, verandert de helling van de grafiek niet.
Als je bij een functie een constant getal optelt, houd je dezelfde afgeleide functie.
In functienotatie:
Als \(\small g(x)=f(x)+c\), voor een constante \(\small c\),
dan \(\small f'(x)=g'(x)\).
Maal een constante
Als je een functie met \(\small c\) vermenigvuldigt,
wordt zijn grafiek met factor \(\small c\) verticaal opgerekt,
wordt zijn helling overal \(\small c\) keer zo groot
en wordt de afgeleide functie met \(\small c\) vermenigvuldigd.
In functienotatie:
Als \(\small h(x)=c \cdot f(x)\), voor een constante \(\small c\),
dan \(\small h'(x)=c \cdot f'(x)\).
Somregel voor differentiëren
De somfunctie \(\small s\) van twee functies \(\small f\) en \(\small g\) wordt gegeven door: \(\small s(x)=f(x)+g(x)\).
Dan geldt voor de afgeleide functies: \(\small s'(x)=f'(x)+g'(x)\).
Door bovenstaande rekenregels voor differentiëren zijn we in staat alle functies te differentiëren van de vorm \(\small y=a+bx+cx^2+dx^3+\ldots\)
Dit soort functies heten veeltermfuncties.
Bijvoorbeeld:
Als \(\small y=3x^4-2x^3+5x-2\), dan \(\small y'=12x^3-6x^2+5\).
Stijgen, dalen, toppen
In de toppen van de grafiek van een functie \(\small f\) geldt \(\small f'(x)=0.\)
De grafiek is stijgend als \(\small f'(x) \gt 0\).
De grafiek is dalend als \(\small f'(x) \lt 0\).
De kleinste \(\small y\)-waarde die een functie \(\small f\) (op een \(\small x\)-interval) aanneemt, is het minimum van \(\small f\) (op dat interval).
De grootste \(\small y\)-waarde die een functie \(\small f\) (op een \(\small x\)-interval) aanneemt, is het maximum van \(\small f\) (op dat interval).
Hoeken
De hellingshoek van de grafiek in een punt op de grafiek wordt bepaald door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
Voor de hellingshoek \(\small \alpha\) geldt \(\small \text{tan}(\alpha) = \text{richtingscoëfficiënt}\).
De hoek waaronder twee grafieken elkaar snijden is gelijk aan de hoek die de raaklijnen in het snijpunt met elkaar maken.
Buigpunten en tweede afgeleide
We volgen de grafiek hiernaast van links naar rechts.
De grafiek is eerst naar rechts gekromd en later naar links. Daartussen in zit het "omslagpunt"; dat noemen we het buigpunt van de grafiek: vóór het buigpunt is de grafiek van onderen gezien hol en na het buigpunt van boven gezien hol.
In een buigpunt van de grafiek van een functie \(\small f\) bij \(\small x=p\) is de helling maximaal of minimaal.
Dat betekent dat de afgeleide van de hellingfunctie \(\small f'(x)\) bij \(\small x=p\) helling nul heeft.
Ofwel: er moet dan gelden \(\small f''(x)=0\).
De functie \(\small f''(x)\) heet de tweede afgeleide van de functie \(\small f(x)\).
Let op! Er geldt wél: buigpunt bij \(\small x=p \rightarrow f''(p)=0\).
Maar niet per se geldt ook het omgekeerde: het kan zijn dat voor een bepaalde waarde van \(\small p\) geldt dat \(\small f''(p)=0\), maar dat er toch geen buigpunt is bij \(\small x=p\).
De raaklijn in het buigpunt heet buigraaklijn.
De afgeleide en tweede afgeleide hebben ook een betekenis in de natuurkunde, bijvoorbeeld:
Bij een vrije val op aarde geldt bij benadering: \(\small s=5t^2\).
Hierin is \(\small s\) de valweg in \(\small \text{meters}\) en is \(\small t\) de valtijd in \(\small \text{seconden}\).
Als je \(\small s\) differentieert, krijg je de snelheid \(\small v\) (in \(\small \text{m/s}\)): \(\small v=s'=10t\).
Als je \(\small v\) differentieert, krijg je de versnelling \(\small a\) (in \(\small \text{m/s}^2\)): \(\small a=v'=10\).
Je krijgt \(\small a\) door \(\small s\) twee keer te differentiëren: \(\small a=s''\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben. Dit zijn opgaven die je zeker móet kunnen.
Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben. (Maar ook voor hen is het verstandig om een aantal van de 'basis-opgaven' ook te maken.)
Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.
Extra oefening Basis
Extra oefening Plus
Terugblik
Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.
Het arrangement Thema: Differentiëren 1 - 4H Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
afgeleide, arrangeerbaar, differentieren, groeisnelheid, havo 4, stercollectie, wiskunde b
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen.
