Na de Middeleeuwen kwam in Europa het wetenschappelijke denken weer op gang. De oude Grieken werden bestudeerd, met name de werken van Archimedes. Allerlei problemen stonden in de belangstelling, meestal mechanische of meetkundig van aard.
Vaak kwamen de vragen neer op het berekenen van de steilte van een grafiek, de lengte van een grafiek of de oppervlakte onder een grafiek. Uiteindelijk is hier in de zeventiende eeuw een mooie theorie uit ontstaan: de differentiaal- en integraalrekening.
We stellen de drie typen vragen die hierboven werden genoemd voor het eenvoudige voorbeeld van de parabool \(\small{y=x^2}\).
Hoe steil loopt de parabool in het punt \(\small{(12,14)}\)?
Hoe lang is de parabool tussen \(\small (0,0)\) en \(\small (1,1)\)?
Hoe groot is de oppervlakte onder de parabool tussen \(\small{x=0}\) en \(\small{x=1}\)?
Dit soort vragen hoort thuis in de Analyse. In de zeventiende eeuw hielden zich maar enkele intellectuelen daarmee bezig. Tegenwoordig is dit een groot onderdeel van wiskunde B voor het vwo. Een groot verschil tussen toen en nu is de rekenkracht waarover we nu kunnen beschikken: computer, grafische rekenmachine. Dankzij deze snelle rekenapparatuur hebben wij niet de rekenproblemen van de wetenschappers van 3 à 4 eeuwen geleden. Zo kunnen wij gemakkelijk (?) antwoorden op de drie vragen over de parabool vinden. Maar dat zijn wel benaderingen. Het is belangrijk dat je leert hoe en vooral waarom die werken. In die benaderingsmethoden zit de sleutel tot de exacte antwoorden, en daar gaat het ons om. In dit hoofdstuk houden we ons met vragen van het eerste type bezig. De andere vragen komen in vwo5 en vwo6 aan bod.
2
In de voorgaande twee opgaven worden snelheden gemeten.
Beide zijn gemiddelde snelheden. In de tweede opgave heb je een goede benadering voor de snelheid op een bepaald moment, de momentane snelheid genoemd. Wij spreken meestal van groeisnelheid.
In dit hoofdstuk gaat het om het berekenen van groeisnelheid. Dat hoeft niet de snelheid van een auto (in km/u) te zijn, het kan ook de groeisnelheid van kapitaal (in euro per euro) zijn, of de snelheid waarmee een vat leeg loopt (in liter per minuut).
Wat kan ik straks?
In dit hoofdstuk leer je hoe je de groeisnelheid bij een gegeven functie uit moet rekenen, dat heet in wiskundetaal de afgeleide functie bepalen ofwel de functie differentiëren.
Als de functie bijvoorbeeld de in de tijd afgelegde afstand van een voorwerp is, dan is de groeisnelheid de snellheid van het voorwerp.
De groeisnelheid bepalen is eenvoudig als de functie lineair groeit in de tijd, dan is de groeisnelheid namelijk constant. In andere gevallen wordt dat moeilijker.
Je leert met een rekenschema de groeisnelheid te bepalen.
Via rekenschema's leer je bepaalde regels voor differentiëren van functies.
In dit eerste hoofdstuk differentiëren leer je
de somregel,
de veelvoudregel,
machtsfuncties differentiëren,
veeltermfuncties differentiëren.
Verder kun je na dit hoofdstuk
een vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie opstellen,
maximale en minimale waarden van een (veelterm)functie exact berekenen.
Wat kan ik al?
In dit hoofdstuk moet je
met veeltermen rekenen (haakjes wegwerken, vereenvoudigen, ontbinden)
vergelijkingen oplossen,
limieten van gebroken veeltemfuncties berekenen.
vergelijkingen van lijnen opstellen
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
De gemiddelde groeisnelheid (gemiddelde helling) van de functie \(\small f\) op \(\small [a,b]\) is \(\small \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\).
\(\small f(b)−f(a)\) noteert men vaak met \(\small Δy\) en \(\small b−a\) met \(\small Δx\).
Men noemt \(\small \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\) en \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) ook wel een differentiequotiënt.
De groeisnelheid van de functie in het punt met eerste coördinaat \(\small a\) is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat \(\small a\).
Voorbeeld
Gegeven is een tijd-afstand-grafiek bij een bewegend voorwerp. De snelheid van het voorwerp op een bepaald moment is de helling (= richtingscoëfficiënt) van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek.
Je kunt de groeisnelheid uitrekenen met een rekenschema.
Voorbeeld
Gegeven de functie \(\small B\) met \(\small B(t) = \frac{1}{2}{t^2} + 2t\).
Om de helling van de grafiek van \(\small B\) in het punt met \(\small t=3\) te benaderen, kun je een rekenschema gebruiken:
\(\small t=3\)
\(→\)
\(\small B=10,5\)
\(\small \underline {t = 3,1}\)
\(→\)
\(\small \underline {B = 11,005}\)
\(\small Δt=0,1\)
\(→\)
\(\small ΔB=0,505\)
dus \(\small \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = 5,05\).
De helling van de functie \(\small f\) in het punt met eerste coördinaat \(\small a\) is: \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}\) of \(\small \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\).
We noteren de helling van de functie \(\small f\) in het punt met eerste coördinaat \(\small x\) als \(\small f′(x)\).
\(\small f′\) heet de afgeleide functie van \(\small f\).
Een functie differentiëren betekent: de afgeleide van de functie bepalen.
Als \(\small f′(x)>0\) voor alle \(\small x\) met \(\small a<x<b\), dan is \(\small f\) stijgend op het interval \(\small [a,b]\).
Als \(\small f′(x)<0\) voor alle \(\small x\) met \(\small a<x<b\), dan is \(\small f\) dalend op het interval \(\small [a,b]\).
Als \(\small f′(x)=0\) voor alle \(\small x\) met \(\small a<x<b\), dan is \(\small f\) constant op het interval \(\small [a,b]\).
Regels voor differentiëren
Veelvoudregel
Veronderstel, er is een getal \(\small c\) zodat \(\small g(x)=c⋅f(x)\) voor alle \(\small x\), dan \(\small g′(x)=c⋅f′(x)\) voor alle \(\small x\).
Somregel
Als \(\small f=g+h\), dan \(\small f′=g′+h′\).
De afgeleide van een machtsfunctie
Als \(\small f:x→x^n\), dan \(\small f:x \to n \cdot {x^{n - 1}}\)
Deze regel geldt voor positieve gehele \(\small n\), voor \(\small n = \frac{1}{2}\), \(\small n=0\) en \(\small n=‐1\).
Een veeltermfunctie is een functie van de vorm: \(\small y = a + bx + c{x^2} + d{x^3} + \ldots\).
Extremen
Als de functie \(\small f\) een maximum of een minimum bereikt in \(\small a\), dan noemen we \(\small f(a)\) een extreme waarde.
Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat \(\small a\) van zo'n punt: \(\small f′(a)=0\).
Maar:
als \(\small f′(a)=0\), dan hoeft \(\small f(a)\) geen extreme waarde te zijn;
als \(\small f(a)\) een extreme waarde is, dan hoeft \(\small f′(a)\) niet \(\small 0\) te zijn.
Voorbeeld
De functie \(\small x→|x|\) is niet differentieerbaar voor \(\small x=0\), maar heeft wel een extreme waarde voor \(\small x=0\).
De functie \(\small x→x^3\) heeft afgeleide \(\small 0\) in \(\small 0\), maar geen extreme waarde in \(\small 0\).
Voorbeeld
Gegeven de functie \(\small f:x \to {x^4} - 4{x^3}\).
\(\small f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^3}(x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) of \(\small x=4\), dus de nulpunten van \(\small f\) zijn: \(\small 0\) en \(\small 4\).
\(\small f'(x) = 4{x^3} - 12{x^2}\)
\(\small f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^2}(x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) of \(\small x=3\). Dus de grafiek van \(\small f\) heeft een horizontale raaklijn in de punten met eerste coördinaat \(\small 0\) en \(\small 3\).
In \(\small 0\) is \(\small f(x)\) niet extreem, in \(\small 3\) is \(\small f(x)\) minimaal, het minimum is \(\small f(3) = {3^4} - 4 \cdot {3^3} = 81 - 108 =‐ 27\).
Een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van \(\small f\) in het punt met eerste coördinaat \(\small 3\) vind je als volgt. \(\small f(3) = \frac{1}{3} \cdot {3^3} - {3^2} + 2 \cdot 3 + 1 = 7\), \(\small f'(x) = {x^2} - 2x + 2\), dus \(\small f′(3)=3^2−2⋅3+2=5\).
De raaklijn gaat dus door \(\small (3,7)\) en heeft richtingscoëfficiënt \(\small 5\).
De hoogte waarop de lijn de \(\small y\)-as snijdt is: \(\small 7−3⋅5=‐8\). Een vergelijking van de raaklijn is: \(\small y=5x−8\).
In de punten waar de raaklijn helling \(\small 5\) heeft, geldt: \(\small f′(x)=5\), dus \(\small {x^2} - 2x + 2 = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 3) = 0\), dus in de punten met eerste coördinaat \(\small ‐1\) en \(\small 3\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Inleiding differentiëren - 4V Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
In dit hoofdstuk moet je
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
