Processing math: 100%

Thema: Inleiding differentiëren - 4V Wiskunde B

Thema: Inleiding differentiëren - 4V Wiskunde B

Inleiding

Na de Middeleeuwen kwam in Europa het wetenschappelijke denken weer op gang. De oude Grieken werden bestudeerd, met name de werken van Archimedes. Allerlei problemen stonden in de belangstelling, meestal mechanische of meetkundig van aard.
Vaak kwamen de vragen neer op het berekenen van de steilte van een grafiek, de lengte van een grafiek of de oppervlakte onder een grafiek. Uiteindelijk is hier in de zeventiende eeuw een mooie theorie uit ontstaan: de differentiaal- en integraalrekening.

 

We stellen de drie typen vragen die hierboven werden genoemd voor het eenvoudige voorbeeld van de parabool y=x2.

  • Hoe steil loopt de parabool in het punt (12,14)?

  • Hoe lang is de parabool tussen (0,0) en (1,1)?

  • Hoe groot is de oppervlakte onder de parabool tussen
    x=0 en x=1?

 

Dit soort vragen hoort thuis in de Analyse. In de zeventiende eeuw hielden zich maar enkele intellectuelen daarmee bezig. Tegenwoordig is dit een groot onderdeel van wiskunde B voor het vwo. Een groot verschil tussen toen en nu is de rekenkracht waarover we nu kunnen beschikken: computer, grafische rekenmachine. Dankzij deze snelle rekenapparatuur hebben wij niet de rekenproblemen van de wetenschappers van 3 à 4 eeuwen geleden. Zo kunnen wij gemakkelijk (?) antwoorden op de drie vragen over de parabool vinden. Maar dat zijn wel benaderingen. Het is belangrijk dat je leert hoe en vooral waarom die werken. In die benaderingsmethoden zit de sleutel tot de exacte antwoorden, en daar gaat het ons om. In dit hoofdstuk houden we ons met vragen van het eerste type bezig. De andere vragen komen in vwo5 en vwo6 aan bod.

 
 
 
 
2
 
 
Trajectcontrole

Snelheid
 

Trajectcontrole is een methode die de overheid gebruikt om het naleven van de maximumsnelheid te controleren (uit Wikipedia).

Neem aan: op twee punten die \(\small{1}\) km van elkaar liggen wordt het tijdstip gemeten waarop een voertuig passeert.

Er geldt een maximum snelheid van \(\small{120}\) km/u.

  1. Wat is de minimale tijd die een auto over die afstand moet doen om de maximum snelheidslimiet niet te overtreden?
  2. Wat is er aan te merken op dit soort meting?
Een automobilist rijdt op de eerste \(\small{500}\) m van het traject gemiddeld \(\small{150}\) km/u.
  1. Wat moet zijn gemiddelde snelheid op de tweede \(\small{500}\) meter zijn om niet gesnapt te worden? (\(\small{90}\) km/u is niet het juiste antwoord!)

Rich Text Editor, editor1
 
Snelheid meten

 

Twee foto's vanuit hetzelfde standpunt van dezelfde auto: stilstaand en rijdend. De rijdende auto werd gefotografeerd met een sluitertijd van \(\small \frac{1}{{15}}\) sec. De auto is \(\small 4,36\) meter lang.

 

Op de rechter foto is de auto \(\small{30}\)% langer.

Bereken de snelheid van de auto in km/u.

 

Rich Text Editor, editor2
 

In de voorgaande twee opgaven worden snelheden gemeten.
Beide zijn gemiddelde snelheden. In de tweede opgave heb je een goede benadering voor de snelheid op een bepaald moment, de momentane snelheid genoemd. Wij spreken meestal van groeisnelheid.
In dit hoofdstuk gaat het om het berekenen van groeisnelheid. Dat hoeft niet de snelheid van een auto (in km/u) te zijn, het kan ook de groeisnelheid van kapitaal (in euro per euro) zijn, of de snelheid waarmee een vat leeg loopt (in liter per minuut).

Wat kan ik straks?

In dit hoofdstuk leer je hoe je de groeisnelheid bij een gegeven functie uit moet rekenen, dat heet in wiskundetaal de afgeleide functie bepalen ofwel de functie differentiëren.

Als de functie bijvoorbeeld de in de tijd afgelegde afstand van een voorwerp is, dan is de groeisnelheid de snellheid van het voorwerp.

De groeisnelheid bepalen is eenvoudig als de functie lineair groeit in de tijd, dan is de groeisnelheid namelijk constant. In andere gevallen wordt dat moeilijker.

Je leert met een rekenschema de groeisnelheid te bepalen.

Via rekenschema's leer je bepaalde regels voor differentiëren van functies.

In dit eerste hoofdstuk differentiëren leer je

  • de somregel,
  • de veelvoudregel,
  • machtsfuncties differentiëren,
  • veeltermfuncties differentiëren.

Verder kun je na dit hoofdstuk

  • een vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie opstellen,
  • maximale en minimale waarden van een (veelterm)functie exact berekenen.

Wat kan ik al?

In dit hoofdstuk moet je

  • met veeltermen rekenen (haakjes wegwerken, vereenvoudigen, ontbinden)
  • vergelijkingen oplossen,
  • limieten van gebroken veeltemfuncties berekenen.
  • vergelijkingen van lijnen opstellen
Haakjes wegwerken en vereenvoudigen

De volgende vormen kun je schrijven als \(\small{ax^3+bx^2+cx+d}\).

Geef de getallen \(\small{a}\), \(\small{b}\), \(\small{c}\) en \(\small{d}\).

  1. \(\small{(x-1)(x^2+x+1)=\dots}\)
    \(\small{a=}\)
    \(\small{b=}\)
    \(\small{c=}\)
    \(\small{d=}\)
  2. \(\small{(x-2)^3=\dots}\)
    \(\small{a=}\)
    \(\small{b=}\)
    \(\small{c=}\)
    \(\small{d=}\)
  3. \(\small{(2x-3)(x-1)(x+1)=\dots}\)
    \(\small{a=}\)
    \(\small{b=}\)
    \(\small{c=}\)
    \(\small{d=}\)
  4. \(\small{(2x+1)^2(x-1)=\dots}\)
    \(\small{a=}\)
    \(\small{b=}\)
    \(\small{c=}\)
    \(\small{d=}\)
 
Vergelijkingen oplossen

Los de volgende vergelijkingen in \(\small{x}\) op.

Vul de oplossingen in, in volgorde van grootte, gescheiden door , zonder spaties.

  1. \(\small{x^3-2x^2=3x}\)
  2. \(\small{x^2=64\sqrt x}\) 
  3. \(\small{x^5+9x=10x^3}\)
  4. \(\small{5, 10, 20}\)
  5. \(\small{(x-10)^5=5x(x-10)^3}\)
 
Limieten

Bereken de volgende limieten exact.

Het kan zijn dat een limiet niet bestaat,  \(\small{\infty }\) of \(\small\text-{\infty }\) is. In dat geval vul je in: bn, oe of -oe.

 

 

  1. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 8}}{{x - 2}}}\)
  2. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 2} \frac{{2{x^2} - 8}}{{x - 2}}}\)
  3. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 2} \frac{{2{x^2} + 8}}{{x - 2}}}\)
  4. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} + 8}}{{x - 2}}}\)
  5. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{5{x^3} -80x}}{{x ^2-3x- 4}}}\)
  6. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to \text-\infty} \frac{{5{x^3} -80x}}{{x ^2-3x- 4}}}\)
  7. \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow \text-1} \frac{{5{x^3} -80x}}{{x ^2-3x- 4}}}\)
 
Vergelijkingen van lijjnen opstellen

Geef een vergelijking in de vorm \(y=ax+b\) van de volgende lijnen.

  1. De lijn door de punten \(\small{A(\text-1,12)}\) en \(\small{B(\text10,\text-10)}\) : \(\small{a=}\)\(\small{b=}\)
  2. De lijn door  \(\small{P(\text-3,4)}\) evenwijdig met de lijn \(\small{k: 4x-2y=3}\) : \(\small{a=}\)\(\small{b=}\)
  3. De lijn door  \(\small{Q(\text5,4)}\)  loodrecht op de lijn \(\small{m: x+3y=3}\) : \(\small{a=}\)\(\small{b=}\)
 

Paragrafen

Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.

Paragraaf 1  Groeisnelheid
Paragraaf 2  De afgeleide functie
Paragraaf 3  Som- en veelvoudregel
Paragraaf 4  Meer machtsfuncties afleiden
Paragraaf 5  Veeltermfuncties
Paragraaf 6  Differentieerbaarheid

Afsluiting

Samenvatting

Groeisnelheid

De gemiddelde groeisnelheid (gemiddelde helling) van de functie f op [a,b] is f(b)f(a)ba.

f(b)f(a) noteert men vaak met Δy en ba met Δx.
Men noemt f(b)f(a)ba en ΔyΔx ook wel een differentiequotiënt.
De groeisnelheid van de functie in het punt met eerste coördinaat a is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat a.


Voorbeeld

Gegeven is een tijd-afstand-grafiek bij een bewegend voorwerp. De snelheid van het voorwerp op een bepaald moment is de helling (= richtingscoëfficiënt) van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek.


Je kunt de groeisnelheid uitrekenen met een rekenschema.

Voorbeeld

Gegeven de functie B met B(t)=12t2+2t.
Om de helling van de grafiek van B in het punt met t=3 te benaderen, kun je een rekenschema gebruiken:

t=3

B=10,5

t=3,1_

B=11,005_

Δt=0,1

ΔB=0,505

dus ΔBΔt=5,05.


De helling van de functie f in het punt met eerste coördinaat a is:
limΔx0f(a+Δx)f(a)Δx of limxaf(x)f(a)xa.


We noteren de helling van de functie f in het punt met eerste coördinaat x als f(x).


f heet de afgeleide functie van f.


Een functie differentiëren betekent: de afgeleide van de functie bepalen.

  • Als f(x)>0 voor alle x met a<x<b, dan is f stijgend op het interval [a,b].

  • Als f(x)<0 voor alle x met a<x<b, dan is f dalend op het interval [a,b].

  • Als f(x)=0 voor alle x met a<x<b, dan is f constant op het interval [a,b].

 

Regels voor differentiëren

  • Veelvoudregel

    Veronderstel, er is een getal c zodat g(x)=cf(x) voor alle x, dan g(x)=cf(x) voor alle x.

  • Somregel

    Als f=g+h, dan f=g+h.

  • De afgeleide van een machtsfunctie

    Als f:xxn, dan f:xnxn1
    Deze regel geldt voor positieve gehele n, voor n=12, n=0 en n=1.


Een veeltermfunctie is een functie van de vorm:
y=a+bx+cx2+dx3+.

 

Extremen

Als de functie f een maximum of een minimum bereikt in a, dan noemen we f(a) een extreme waarde.
Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat a van zo'n punt: f(a)=0.


Maar:
als f(a)=0, dan hoeft f(a) geen extreme waarde te zijn;
als f(a) een extreme waarde is, dan hoeft f(a) niet 0 te zijn.


Voorbeeld
De functie x|x| is niet differentieerbaar voor x=0, maar heeft wel een extreme waarde voor x=0.
De functie xx3 heeft afgeleide 0 in 0, maar geen extreme waarde in 0.

 

Voorbeeld

Gegeven de functie f:xx44x3.

  • f(x)=0x3(x4)=0x=0 of x=4, dus de nulpunten van f zijn: 0 en 4.

  • f(x)=4x312x2

  • f(x)=04x2(x3)=0x=0 of x=3. Dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in de punten met eerste coördinaat 0 en 3.
    In 0 is f(x) niet extreem, in 3 is f(x) minimaal, het minimum is f(3)=34433=81108=27.

 

Raaklijn

Gegeven f:x13x3x2+2x+1.

  • Een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met eerste coördinaat 3 vind je als volgt.
    f(3)=133332+23+1=7,
    f(x)=x22x+2, dus f(3)=3223+2=5.
    De raaklijn gaat dus door (3,7) en heeft richtingscoëfficiënt 5.
    De hoogte waarop de lijn de y-as snijdt is: 735=8. Een vergelijking van de raaklijn is: y=5x8.

  • In de punten waar de raaklijn helling 5 heeft, geldt: f(x)=5, dus x22x+2=5x22x3=0(x+1)(x3)=0, dus in de punten met eerste coördinaat 1 en 3.

Diagnostische toets

Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

 

Toets: H6 Inleiding differentiëren

Start

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Basis

Een scheve asymptoot

In de figuur staat de grafiek van de functie \(\small{ f:x→\frac{x^2−2x+1}{x}}\).

  1. Bereken de nulpunten van \(\small{f}\).
  2. Geef een formule voor \(\small{f'(x)}\). Schrijf \(\small{f(x)}\) daarvoor eerst in de vorm: \(\small{ ... \cdot x+...+\frac{\dots}{x}}\)… met de juiste getallen op de stippellijnen.
  3. Bereken langs algebraïsche weg de punten van de grafiek van \(\small{f}\) met een horizontale raaklijn.

Er zijn geen punten op de grafiek van \(\small{f}\) waar de raaklijn richtingscoëfficiënt \(\small{2}\) heeft.

  1. Laat dat langs algebraïsche weg zien.
  2. Bepaal langs algebraïsche weg de punten op de grafiek van waar de raaklijn richtingscoëfficiënt \(\small{3\over4}\) heeft.
  3. Welke waarden kan de richtingscoëfficiënt van een raaklijn aan de grafiek van \(\small{f}\) aannemen?

Naarmate je verder naar rechts of naar links gaat in het plaatje, gaat de grafiek van \(\small{f}\) gaat steeds meer lijken op de gestippelde lijn.

  1. Geef een vergelijking van die lijn en verklaar waarom dat zo is.

 

Rich Text Editor, editor3
 
Optrekkende auto

We bekijken de rit van een optrekkende auto.
\(\small{s}\) is de afstand (in meters) die de auto na \(\small{t}\) sec heeft afgelegd.
Er geldt: \(\small{s=t^2}\).
Op het moment dat de auto een snelheid van \(\small{20}\) m/s heeft bereikt, blijft hij met die snelheid rijden.

Bereken langs algebraïsche weg hoeveel meter de auto na \(\small{s}\) seconden heeft afgelegd.

Rich Text Editor, editor4
 
Een piramide met water vullen

In de figuur is in een kubus met ribbe \(\small 5\) een piramide getekend (met de top in het grondvlak).

Met nog twee van zulke piramides kun je een kubus bouwen. De figuur staat ook op het werkblad.

  1. Geef met kleur aan hoe die drie piramides in de kubus passen. Wat is dus de inhoud van één zo'n piramide?

We gieten water in de piramide. De waterinhoud \(\small{W}\) hangt af van de waterhoogte \(\small{h}\).

  1. Schrijf \(\small{W}\) als functie van \(\small{h}\) en teken de grafiek van \(\small{W}\) als functie van \(\small{h}\)p de GR; kies een geschikt window.

We gaan op vier manieren de groeisnelheid van \(\small{W}\) bepalen als de waterhoogte \(\small{4}\) is.

  1.  
  1. Lees uit de grafiek op de GR de groeisnelheid van \(\small{W}\) als \(\small{h=4}\) af.

  2. Werk uit: \(\small{{\textstyle{1 \over 3}}{(4 + \Delta h)^3} = \ldots + \ldots \cdot \Delta h + \ldots \cdot {(\Delta h)^2} + \ldots \cdot {(\Delta h)^3}}\).
    Bereken nu met een rekenschema de toename \(\small{ΔW}\) als \(\small{h}\) toeneemt van \(\small{4}\) tot \(\small{4+Δh}\):
    laat zien: \(\small{\frac{\Delta W}{\Delta h}=16+4\Delta h+{1\over3}(\Delta h)^2}\) ;
    welke groeisnelheid van \(\small{W}\) als \(\small{h=4}\) volgt hieruit?

  3. Als \(\small{h=4}\) is de wateroppervlakte \(\small{16}\). Kun je hieruit de groeisnelheid vermoeden?

  4. Bepaal de groeisnelheid voor \(\small{h=4}\) met differentiëren.

  1. Bepaal op deze vier manieren ook de groeisnelheid van \(\small{W}\) als \(\small{h=2}\) .

Rich Text Editor, editor5
 
Een kwadratische functie

\(\small{f:x→2x^2−3x+1}\)

  1. Bereken de nulpunten van \(\small{f}\) exact.

Laat \(\small{x}\) toenemen van \(\small{2}\) tot \(\small{2+Δx}\). Dan neemt \(\small{f(x)}\) toe met \(\small{Δf}\).

  1. Laat zien dat \(\small{Δf=2(Δx)^2+5Δx}\).
  2. Bereken\(\small{\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}}}\) exact.
  3. Hoe kun je je antwoord op onderdeel c controleren me t\(\small{f′(x)}\) ?

Er geldt: \(\small{\frac{f(x)−f(a)}{x−a}=2⋅\frac{x^2−a^2}{x−a}−3⋅\frac{x−a}{x−a}}\).

  1. Laat dit langs algebraïsche weg zien.
  2. Bepaal \(\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}}\).

Rich Text Editor, editor6
 
Veelvoudregel toepassen

Bepaal met behulp van de veelvoudregel de afgeleide functie van \(\small{f:x→\frac{2}{x}}\) en van \(\small{g:x→\frac{1}{2x}}\).

Rich Text Editor, editor7
 
Raaklijn aan standaardparabool

Gegeven is de functie \(\small{f:x→x^2 }\) met daarop het punt \(\small{A(a,a^2)}\).
De raaklijn aan de grafiek van \(\small{f }\) in \(\small{A}\) snijdt de \(\small{y}\)-as in het punt \(\small{(0,\text‐a^2)}\).

  1. Toon dat aan langs algebraïsche weg.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van \(\small{f }\) in twee punten \(\small{P}\) en \(\small{Q}\). De raaklijnen in \(\small{P}\) en \(\small{Q}\) snijden elkaar in \(\small{R}\).
De oppervlakte van driehoek \(\small{PQR=20}\).

  1. Bereken de coördinaten van \(\small{R}\) exact.

Rich Text Editor, editor8
 
Kortste verbindingslijnstuk

Gegeven de functies \(\small{f:x \to \sqrt x}\) en \(\small{x \to \text-\frac{1}{x}}\). Zie figuur 1.

figuur 1
figuur 2
 

We bekijken alle mogelijke verticale verbindingslijnstukken \(\small{A}\)AB met \(\small{A}\) op de grafiek van \(\small{A}\)f en \(\small{A}\)B op de grafiek van \(\small{A}\)g.

  1. Laat zien dat \(\small{AB=2{1\over4}}\)als de eerste coördinaat van \(\small{A=4}\).
 

Met de GeoGebra-applet verticaal lijnstuk kun je lijnstuk \(\small{AB}\) verschuiven. Van links naar rechts schuivend zie je het eerst korter en dan weer langer worden.
De grafiek van de lengte \(\small{l}\)l van \(\small{AB}\) als functie van \(\small{x}\) , de eerste coördinaat van \(\small{A}\), is in figuur 2 getekend.

  1. Geef een formule voor \(\small{l(x)}\).

In het punt waar de lengte minimaal is, is de raaklijn aan de grafiek van \(\small{l}\) horizontaal.

  1. Bereken de minimale lengte exact.

Rich Text Editor, editor9
 

Extra oefening Plus

De afgeleide van een exponentiële functie

Bekijk de functie \(\small{f:x→2^x}\).

Bereken de gemiddelde helling van de functie op het interval \(\small{[0;0,01] }\) in twee decimalen. Dit getal noemen we \(\small{h}\).

Dit is een goede benadering voor \(\small{f′(0)}\).

 

Als \(\small{x}\) toeneemt van \(\small{2}\) tot \(\small{2+Δx}\), neemt \(\small{y}\) toe met \(\small{Δy}\).

  1. Laat zien dat \(\small{\frac{Δy}{Δx}=4⋅h}\) als \(\small{Δx=0,01}\)  .

Als \(\small{x}\) toeneemt van \(\small{a}\) tot \(\small{a+Δx}\), neemt \(\small{y}\) toe met \(\small{Δy}\).

  1. Laat zien dat \(\small{\frac{Δy}{Δx}=2a⋅h}\) als \(\small{Δx=0,01}\).
  2. Leg uit dat \(\small{f′(x)≈0,70⋅2^x}\).

Rich Text Editor, editor10
 
Rekken

Een lijn \(\small{k}\) met richtingscoëfficiënt \(\small{a}\) wordt ten opzichte van de \(\small{y}\)-as met de factor \(\small{1\over2}\) vermenigvuldigd.

  1. Druk de richtingscoëfficiënt van de lijn die zo ontstaat uit in \(\small{a}\).

In de figuur hiernaast is de grafiek van de functie \(\small{f: x \to x\sqrt x}\)  getekend. De grafiek van \(\small{g}\) krijg je uit die van \(\small{f}\) door ten opzichte van de

\(\small{y}\)-as met \(\small{1\over2}\) te vermenigvuldigen.

  1. Vul het juiste getal in: \(\small{g(x)=f(\dots x)}\).

In het punt \(\small{P}\) op de grafiek van \(\small{f}\) met eerste coördinaat \(\small{2}\) is de raaklijn aan de grafiek van \(\small{f}\) getekend.

  1. Bereken de richtingscoëffiënt van de raaklijn exact met behulp van de afgeleide van \(\small{f}\).

Nu ken je ook de richtingscoëfficient van de raaklijn in een punt van de grafiek van \(\small{g}\).

  1. Vul de juiste getallen in: \(\small{g'(\dots)=...\cdot f'(2)}\).
  2. In het algemeen geldt: \(\small{g'(\dots)=...\cdot f'(2x)}\).

Je kunt \(\small{g'(x)}\) ook berekenen door \(\small{g(x)}\) als een veelvoud van \(\small{x\sqrt x}\) te schrijven.

  1. Doe dat. Vind je hetzelfde resultaat als in onderdeel e?

 

 

Rich Text Editor, editor11
 
Spiegelen

Een lijn \(\small{k}\)  met richtingscoëfficënt  \(\small{k}\) wordt gespiegeld in de lijn \(\small{y=x}\).

  1. Druk de richtingscoëfficiënt van de lijn die zo ontstaat uit in \(\small{a}\), onderscheid twee gevallen.

We bekijken de functie \(\small{f: x \to {1\over2}x^2+1}\) voor \(\small{x>0}\).

  1. Geef een formule voor \(\small{f_\text{inv}(x)}\).
  2. Teken de grafiek van \(\small{f_\text{inv}}\) op de GR.
  3. Bereken \(\small{f_\text{inv}'(9)}\) exact en controleer met de GR of jouw berekening kan kloppen.

    Rich Text Editor, editor12
     

    Terugblik

    Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

    Heb ik mijn eigen planning gehaald?

    Evaluatie: Terugblik

    Start

    • Het arrangement Thema: Inleiding differentiëren - 4V Wiskunde B is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

      Auteur
      VO-content
      Laatst gewijzigd
      2022-01-03 03:10:41
      Licentie

      Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

      • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
      • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
      • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

      Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

      Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

      Fair Use

      In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

      Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

      Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

      Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

      Toelichting
      Rearrangeerbare opdracht wiskunde stercollectie VO-content wiskunde havo/vwo
      Leerniveau
      VWO 4;
      Eindgebruiker
      leerling/student
      Moeilijkheidsgraad
      gemiddeld
      Trefwoorden
      leerlijn, rearrangeerbare, vo-content

      Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

      Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (z.d.).

      Stramien Wiskunde Stercollectie 2.0

      https://maken.wikiwijs.nl/131786/Stramien_Wiskunde_Stercollectie_2_0

    • Downloaden

      Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

      Metadata

      LTI

      Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

      Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

      Arrangement

      Oefeningen en toetsen

      H6 Inleiding differentiëren

      Terugblik

      IMSCC package

      Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

      QTI

      Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

      Voor developers

      Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.