H6 inleiding differentiëren

Toets: H6 Inleiding differentiëren

Introductie

Algemene informatie

Titel: H6 Inleiding differentiëren
Aantal vragen: 4
Maximaal te behalen punten: 4
Punten nodig om te slagen: 3

Start

Hiernaast staat de grafiek van de functie $\small{f}$ met $\small{f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2}$ .

Bepaal met behulp van de grafiek zo goed mogelijk het punt waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek $\small{\text-3}$ is. Licht je werkwijze toe.
Bereken de coördinaten van het punt uit onderdeel a met behulp van de afgeleide.
Bereken het maximum en het minimum van exact.

We bekijken $\small{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ .

Wat is de grootste waarde van $\small{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ als je voor $\small{x}$ alle mogelijke waarden uit het interval $\small{[2,3]}$ invult. Lees dat af uit de grafiek van $\small{f}$ . Licht je werkwijze toe.
Wat is $\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ ? Bepaal je antwoord langs algebraïsche weg zonder een 'deling' te maken.
Voor welke waarden van $\small{p}$ heeft de vergelijking in $\small{x}$ : $\small{{x^3} - 3{x^2} + 2 = p}$ drie oplossingen? Licht je antwoord toe. Je mag geen GR gebruiken!

Vorige Volgende

In het punt $\small{L}$ op de $\small{x}$ -as bevindt zich een puntvormige lichtbron. De afstand van $\small{L}$ tot de oorsprong $\small{O(0,0)}$ noemen we $\small{x}$ . De schaduw $\small{S}$ van het punt $\small{P(4,1)}$ ligt op de $\small{y}$ -as (dat is dus het projectiescherm). De afstand van $\small{S}$ tot $\small{O}$ noemen we $\small{y}$ . Er geldt: $\small{y = \frac{x}{{x - 4}}}$ .

Toon dit met gelijkvormigheid aan.

Als $\small{x=8}$ , dan $\small{y=2}$ . We laten $\small{x}$ toenemen tot $\small{2+\Delta x}$ , dan neemt $\small{y}$ toe tot $\small{2+\Delta y}$ .

Toon met een berekening aan dat $\small{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{{\text{ - }}1}}{{4 + \Delta x}}}$ .
Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt $\small{(8,2)}$ ?

Het lampje wordt over de $\small{x}$ -as naar rechts bewogen. Het gaat met een snelheid van $\small{20}$ cm/s door $\small{(8,0)}$ .

Met welke snelheid gaat de schaduw door $\small{(0,2)}$ ?

Vorige Volgende

De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.

Vraag 1

Hiernaast staat de grafiek van de functie $\small{f}$ met $\small{f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2}$ .

Bepaal met behulp van de grafiek zo goed mogelijk het punt waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek $\small{\text-3}$ is. Licht je werkwijze toe.
Bereken de coördinaten van het punt uit onderdeel a met behulp van de afgeleide.
Bereken het maximum en het minimum van exact.

We bekijken $\small{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ .

Wat is de grootste waarde van $\small{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ als je voor $\small{x}$ alle mogelijke waarden uit het interval $\small{[2,3]}$ invult. Lees dat af uit de grafiek van $\small{f}$ . Licht je werkwijze toe.
Wat is $\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ ? Bepaal je antwoord langs algebraïsche weg zonder een 'deling' te maken.
Voor welke waarden van $\small{p}$ heeft de vergelijking in $\small{x}$ : $\small{{x^3} - 3{x^2} + 2 = p}$ drie oplossingen? Licht je antwoord toe. Je mag geen GR gebruiken!

Juist antwoord / Uitleg

Teken een lijn $\small{k}$ met helling $\small{\text-3}$ en schuif die naar de grafiek, totdat $\small{k}$ de grafiek van $\small{f}$ raakt. Dat gebeurt in $\small{(1,0)}$ .
Er geldt: $\small{f'(x) = 3{x^2} - 6x}$ .
$\small{f'(x) = 3{x^2} - 6x = {\text{ - }}3 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1}$ en $\small{f(1) = 0}$ , dus het punt is $\small{(1,0)}$ .
Dan: $\small{f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0}$ . Dus (met behulp van de grafiek) $\small{\text{max}f(x) = f(0) = 2}$ en

minimum $\small{\text{min}f(x) = f(2) = \text - {\rm{2}}}$ .
De helling van het lijnstuk $\small{AX}$ met $\small{A(1,0)}$ en

$\small{X}$ op de grafiek van $\small{f}$ met eerste coördinaat $\small{x}$ is $\small{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$ . Die is maximaal als $\small{x = 3}$ en wel: $\small{\text1}$ .
Dat is $\small{f'(1) = {\text{ - }}3}$ .
Met andere woorden de horizontale lijn op hoogte $\small{p}$ moet drie snijpunten met de grafiek hebben.
Dus $\small{{\text{ - }}2 < p < 2}$ .

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 2

Gegeven is de functie $\small{f}$ met $\small{f(x) = \frac{1}{x}}$ .

Zoals bekend geldt: $\small{f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}}$ .

Laat zien dat $\small{f(x) - f(a)}$ te schrijven is als $\small{\frac{{a - x}}{{xa}}}$ .
Hoe volgt hieruit dat $\small{\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = {\text{ - }}\frac{1}{{xa}}}$ ?
Geef een formule voor $\small{f'(a)}$ .
Laat zien dat de regel:
als $\small{f:x \to {x^n}}$ , dan $\small{f':x \to n \cdot {x^{n - 1}}}$
ook voor $\small{n=\text-1}$ geldt.
Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $\small{f}$ in $\small{(2,{1\over2})}$ .

Juist antwoord / Uitleg

$\small{f(x) - f(a) = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} \right) \cdot \frac{{xa}}{{xa}} = \left( {a - x} \right) \cdot \frac{1}{{xa}}}$ , klopt.
$\small{\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \frac{{a - x}}{{\left( {x - a} \right)xa}} = \frac{{{\text{ - }}(x - a)}}{{\left( {x - a} \right)xa}} = {\text{ - }}\frac{1}{{xa}}}$
$\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\text{ - }}\frac{1}{{xa}} = {\text{ - }}\frac{1}{{{a^2}}}}$
Als $\small{n=\text-1}$ , dan $\small{n \cdot {x^{n - 1}} = {\text{ - }}1 \cdot {x^{{\text{ - }}2}} = {\text{ - }}\frac{1}{{{x^2}}}}$ , klopt.
De helling is $\small{f'(2) = {\text{ - }}{\textstyle{1 \over 4}}}$ , dus een vergelijking is: $\small{y = {\text{ - }}{\textstyle{1 \over 4}}x + b}$ ; de raaklijn gaat door $\small{(2,{1\over2})}$ , dus een vergelijking is: $\small{y = {\text{ - }}{\textstyle{1 \over 4}}x + 1}$ .

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 3

Toon dit met gelijkvormigheid aan.

Als $\small{x=8}$ , dan $\small{y=2}$ . We laten $\small{x}$ toenemen tot $\small{2+\Delta x}$ , dan neemt $\small{y}$ toe tot $\small{2+\Delta y}$ .

Toon met een berekening aan dat $\small{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{{\text{ - }}1}}{{4 + \Delta x}}}$ .
Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt $\small{(8,2)}$ ?

Het lampje wordt over de $\small{x}$ -as naar rechts bewogen. Het gaat met een snelheid van $\small{20}$ cm/s door $\small{(8,0)}$ .

Met welke snelheid gaat de schaduw door $\small{(0,2)}$ ?

Juist antwoord / Uitleg

Zie figuur: de driehoeken $\small{PQL}$ en $\small{SOL}$ zijn gelijkvormig, dus: $\small{\frac{{OS}}{{PQ}} = \frac{{OL}}{{QL}}}$ , dus $\small{\frac{y}{1} = \frac{x}{{x - 4}}}$ .
$\small{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{{\textstyle{{8 + \Delta x} \over {4 + \Delta x}}} - 2}}{{\Delta x}} \cdot \frac{{4 + \Delta x}}{{4 + \Delta x}} = \frac{{8 + \Delta x - 2(4 + \Delta x)}}{{\Delta x(4 + \Delta x)}} = \frac{{{\text{ - }}\Delta x}}{{\left( {4 + \Delta x} \right)\Delta x}} = \frac{{{\text{ - }}1}}{{4 + \Delta x}}}$
Als $\small{\Delta x \to 0}$ , dan $\small{\frac{{{\text{ - }}1}}{{4 + \Delta x}} \to {\text{ - }}{\textstyle{1 \over 4}}}$ , dus de richtingscoëfficiënt is $\small{\text-{1\over 4}}$
Met $\small{{1\over4}\cdot20=5}$ cm s^-1 (naar beneden)

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 4

Gegeven zijn de functies $\small{f}$ en $\small{g}$ . De grafieken staan in de figuur.

Bereken de nulpunten van $\small{g}$ exact.
Bereken exact de eerste coördinaat van het punt op de grafiek van $\small{f}$ waar de raaklijn horizontaal is.

De verticale lijn $\small{x=p}$ , voor een of ander getal $\small{p > 0}$ snijdt de grafieken van $\small{f}$ en $\small{g}$ in $\small{P}$ en $\small{Q}$ .

De raaklijn in $\small{P}$ aan de grafiek van $\small{f}$ is evenwijdig aan de raaklijn in $\small{Q}$ aan de grafiek van $\small{g}$ .

Bereken $\small{p}$ exact.

Juist antwoord / Uitleg

$\small{f(x) = 0 \Leftrightarrow {\textstyle{1 \over 4}}{x^2} - 2\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0{\text{ of }}{x^{1{\textstyle{1 \over 2}}}} = 8 \Leftrightarrow x = 0{\text{ of }}x = {8^{{\textstyle{2 \over 3}}}} = 4}$
$\small{f'(x) = {\textstyle{1 \over 2}}x - \frac{1}{{\sqrt x }}\;\;f'(x) = 0 \Leftrightarrow x\sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = {2^{{\textstyle{2 \over 3}}}} = \sqrt[3]{2}}$
Dan $\small{f'(p) = g'(p) \Leftrightarrow {\textstyle{1 \over 2}}p - \frac{1}{{\sqrt p }} = {\text{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}p \Leftrightarrow \sqrt p = p}$ , dus $\small{p=1}$ .

Gegeven antwoord

0% (0)

Straks nakijken op de afgedrukte evaluatie