Groeisnelheid
De gemiddelde groeisnelheid (gemiddelde helling) van de functie op
is
.
noteert men vaak met
en
met
.
Men noemt en
ook wel een differentiequotiënt.
De groeisnelheid van de functie in het punt met eerste coördinaat is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat
.
Voorbeeld
Gegeven is een tijd-afstand-grafiek bij een bewegend voorwerp. De snelheid van het voorwerp op een bepaald moment is de helling (= richtingscoëfficiënt) van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek.
Je kunt de groeisnelheid uitrekenen met een rekenschema.
Voorbeeld
Gegeven de functie met
.
Om de helling van de grafiek van in het punt met
te benaderen, kun je een rekenschema gebruiken:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dus .
De helling van de functie in het punt met eerste coördinaat
is:
of
.
We noteren de helling van de functie in het punt met eerste coördinaat
als
.
heet de afgeleide functie van
.
Een functie differentiëren betekent: de afgeleide van de functie bepalen.
Als voor alle
met
, dan is
stijgend op het interval
.
Als voor alle
met
, dan is
dalend op het interval
.
Als voor alle
met
, dan is
constant op het interval
.
Regels voor differentiëren
Veelvoudregel
Veronderstel, er is een getal zodat
voor alle
, dan
voor alle
.
Somregel
Als , dan
.
De afgeleide van een machtsfunctie
Als , dan
Deze regel geldt voor positieve gehele , voor
,
en
.
Een veeltermfunctie is een functie van de vorm:
.
Extremen
Als de functie een maximum of een minimum bereikt in
, dan noemen we
een extreme waarde.
Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat van zo'n punt:
.
Maar:
als , dan hoeft
geen extreme waarde te zijn;
als een extreme waarde is, dan hoeft
niet
te zijn.
Voorbeeld
De functie is niet differentieerbaar voor
, maar heeft wel een extreme waarde voor
.
De functie heeft afgeleide
in
, maar geen extreme waarde in
.
Voorbeeld
Gegeven de functie .
of
, dus de nulpunten van
zijn:
en
.
of
. Dus de grafiek van
heeft een horizontale raaklijn in de punten met eerste coördinaat
en
.
In is
niet extreem, in
is
minimaal, het minimum is
.
Raaklijn
Gegeven .
Een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van in het punt met eerste coördinaat
vind je als volgt.
,
, dus
.
De raaklijn gaat dus door en heeft richtingscoëfficiënt
.
De hoogte waarop de lijn de -as snijdt is:
. Een vergelijking van de raaklijn is:
.
In de punten waar de raaklijn helling heeft, geldt:
, dus
, dus in de punten met eerste coördinaat
en
.