## Samenvatting

Groeisnelheid

De gemiddelde groeisnelheid (gemiddelde helling) van de functie op is .
noteert men vaak met en met .
Men noemt en ook wel een differentiequotiënt.
De groeisnelheid van de functie in het punt met eerste coördinaat is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat .

Voorbeeld

Gegeven is een tijd-afstand-grafiek bij een bewegend voorwerp. De snelheid van het voorwerp op een bepaald moment is de helling (= richtingscoëfficiënt) van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek.

Je kunt de groeisnelheid uitrekenen met een rekenschema.

Voorbeeld

Gegeven de functie met .
Om de helling van de grafiek van in het punt met te benaderen, kun je een rekenschema gebruiken:

dus .

De helling van de functie in het punt met eerste coördinaat is:
of .

We noteren de helling van de functie in het punt met eerste coördinaat als .

heet de afgeleide functie van .

Een functie differentiëren betekent: de afgeleide van de functie bepalen.

- Als voor alle met , dan is stijgend op het interval .

- Als voor alle met , dan is dalend op het interval .

- Als voor alle met , dan is constant op het interval .

Regels voor differentiëren

- Veelvoudregel

  Veronderstel, er is een getal zodat voor alle , dan voor alle .

- Somregel

  Als , dan .

- De afgeleide van een machtsfunctie

  Als , dan
  Deze regel geldt voor positieve gehele , voor , en .

Een veeltermfunctie is een functie van de vorm:
.

Extremen

Als de functie een maximum of een minimum bereikt in , dan noemen we een extreme waarde.
Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat van zo'n punt: .

Maar:
als , dan hoeft geen extreme waarde te zijn;
als een extreme waarde is, dan hoeft niet te zijn.

Voorbeeld
De functie is niet differentieerbaar voor , maar heeft wel een extreme waarde voor .
De functie heeft afgeleide in , maar geen extreme waarde in .

Voorbeeld

Gegeven de functie .

- of , dus de nulpunten van zijn: en .

- of . Dus de grafiek van heeft een horizontale raaklijn in de punten met eerste coördinaat en .
  In is niet extreem, in is minimaal, het minimum is .

Raaklijn

Gegeven .

- Een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van in het punt met eerste coördinaat vind je als volgt.
  ,
  , dus .
  De raaklijn gaat dus door en heeft richtingscoëfficiënt .
  De hoogte waarop de lijn de -as snijdt is: . Een vergelijking van de raaklijn is: .

- In de punten waar de raaklijn helling heeft, geldt: , dus , dus in de punten met eerste coördinaat en .