In het dagelijkse leven komen veel machtige verbanden voor, dat zijn verbanden van de vorm
\(\small{y = a \cdot {x^b}}\) voor zekere getallen \(\small{a}\) en \(\small{b}\).
Het tijdschrift NATUUR&TECHNIEK heeft hier zelfs een boek aan gewijd: De maat van het leven.
Bij veel diersoorten is bijvoorbeeld de lichaamsoppervlakte \(\small{y}\) evenredig met de lichaamsmassa \(\small{x}\). Hierbij is \(\small{a=\frac{2}{3}}\).
In dit hoofdstuk kom je meer van dit soort verbanden tegen.
Dergelijke verbanden maken het bijvoorbeeld mogelijk om het gewicht van een
Tyrannosaurus rex te schatten bij de vondst van een bot.
In deze paragraaf kijken we naar allerlei soorten verbanden.
En naar een aantal belangrijke eigenschappen die bij deze verbanden horen. We gaan ook grafieken van verbanden transformeren: oprekken en/of verschuiven. Wat is het effect op de formule?
En als je een grafiek spiegelt in de lijn \(\small y=x\) blijkt er ook iets speciaals te gebeuren.
Wat kan ik straks?
In dit hoofdstuk komen machtige verbanden aan de orde, dat zijn verbanden tussen positieve \(\small{x}\) en \(\small{y}\) van de vorm \(\small{y=a\cdot x^b}\) voor zekere getallen \(\small{a}\) en \(\small{b}\).
Je leert:
met bepaalde gegevens een machtig verband opstellen,
werken met machtige verbanden bijvoorbeeld \(\small{y}\) uitrekenen als je \(\small{x}\) kent,
van een machtig verband vaststellen of het afnemend of toenemend stijgend is,
bij een formule van een machtig verband de grafiek tekenen en omgekeerd,
hoe de formule van een functie verandert als je de grafiek van die functie verschuift of uitrekt,
met lineair gebroken functies te werken,
de inverse van een functie te bepalen (het omgekeerde verband),
In de Rekentechniek leer je:
hoe je een veeltermfunctie in \(\small{x}\) moet delen door \(\small{x-a}\),
de horizontale en verticale asymptoten van een rationale veeltermfunctie bepalen,
nagaan of een rationale veeltermfunctie perforaties heeft.
Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt kun je
Je leert ook hoe je de formule van een functie moet veranderen als
de grafiek verschoven wordt,
de grafiek gerekt wordt.
Omgekeerd kun je ook bepalen hoe je de grafiek van een een functie moet verschuiven of rekken als de formule verandert.
Verder maak je kennis met gebroken veeltermfuncties. Dat zijn bijvoorbeeld zo'n functies: \(\small{y=\frac{x^2+2x-3}{x+7}}\) .
Speciaal komen gebroken lineaire functies aan bod, die zijn van de vorm: \(\small{y=\frac{ax+b}{cx+d}}\).
Je leert:
de grafiek van zo'n functie te tekenen,
daarbij speciaal te letten op asymptoten en perforaties
limieten berekenen
Ook leer je de inverse van een functie te bepalen.
In de Rekentechniekwordt er dieper ingegaan op het berekenen van limieten.
Wat kan ik al?
Je kunt
een uitdrukking zonder gebroken en negatieve exponenten schrijven en omgekeerd;
de regels voor het rekenen met machten toepassen, ook als de exponenten negatief of gebroken zijn;
bepaalde formules omzetten in een ketting van machientjes en omgekeerd;
bij een ketting van machientjes (of bewerking) de inverse bewerking vinden;
de grafiek van een kwadratische functie tekenen en omgekeerd;
de formule bij de grafiek van een kwadratische bepalen.
Wat ga ik doen?
In dit hoofdstuk komen machtige verbanden aan de orde, dat zijn verbanden tussen positieve \(\small{x}\) en \(\small{y}\) van de vorm \(\small{y=a\cdot x^b}\) voor zekere getallen \(\small{a}\) en \(\small{b}\).
Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt kun je
met bepaalde gegevens een machtig verband opstellen,
van een machtig verband vaststellen of het afnemend of toenemend stijgend is,
bij een formule van een machtig verband de grafiek tekenen en omgekeerd,
vergelijkingen van de vorm \(\small{x^p=q}\) oplossen.
Je leert ook hoe je de formule van een functie moet veranderen als
de grafiek verschoven wordt,
de grafiek gerekt wordt.
Omgekeerd kun je ook bepalen hoe je de grafiek van een een functie moet verschuiven of rekken als de formule verandert.
Verder maak je kennis met gebroken veeltermfuncties. Dat zijn bijvoorbeeld zo'n functies: \(\small{y=\frac{x^2+2x-3}{x+7}}\) .
Speciaal komen gebroken lineaire functies aan bod, die zijn van de vorm: \(\small{y=\frac{ax+b}{cx+d}}\).
Je leert:
de grafiek van zo'n functie te tekenen,
daarbij speciaal te letten op asymptoten en perforaties
limieten berekenen
Ook leer je de inverse van een functie te bepalen.
In de Rekentechniekwordt er dieper ingegaan op het berekenen van limieten.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
De eerste paragraaf 'rekentechniek' bevat essentiële algebraïsche vaardigheden die je in de andere paragrafen nodig hebt. Dus het lijkt verstandig om eerst deze paragraaf door te werken.
Een machtsfunctie is een functie van de vorm \(y=a⋅x^b\), voor zekere waarden van \(a\) en \(b\). Tenzij anders vermeld, nemen we voor het domein van deze functie de positieve getallen.
De grafiek van \(y=a⋅x^b\), met \(a>0\) is afnemend stijgend als \(0<b<1\) en toenemend stijgend als \(b>1\).
Je kunt vergelijkingen met machtsfucties exact oplossen door het linkerlid en het rechterlid tot dezelfde macht te verheffen. Immers: \({x^b} = a \Leftrightarrow {({x^b})^{\frac{1}{b}}} = {a^{\frac{1}{b}}}\) en hieruit volgt \(x = {a^{\frac{1}{b}}}\) (\(x\) en \(a\) positief en \(b≠0\)).
Voorbeeld
Los exact op: \({(\frac{1}{2}x)^{‐3}} = {x^{1\frac{1}{2}}}\). Schrijf je antwoord zonder gebroken en negatieve exponenten.
Neem aan: \(g(x)=f(ax)\) met \(a≠0\).
De grafiek van \(g\) krijg je dan door de grafiek van \(f\)horizontaal met \(\frac{1}{a}\) te vermenigvuldigen.
Neem aan: \(g(x)=a⋅f(x)\).
De grafiek van \(g\) krijg je dan door de grafiek van \(f\)verticaal met \(a\) te vermenigvuldigen.
Neem aan: \(g(x)=f(x+a)\) met \(a>0\).
Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\)\(a\) eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: \(g(x)=f(x−a)\) met \(a>0\).
Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\)\(a\) eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: \(g(x)=f(x)+a\) met \(a>0\). Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\)\(a\) eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: \(g(x)=f(x)−a\) met \(a>0\). Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\)\(a\) eenheden naar beneden te schuiven.
Gebroken functies
De standaardhyperbool is de grafiek van de functie \(y = \frac{1}{x}\). Deze grafiek heeft twee asymptoten: de \(x\)-as en de \(y\)-as.
De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.
Een gebroken lineaire functie is van de vorm: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) voor zekere getallen \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\). De grafiek van deze functie is een hyperbool (behalve als \(c=0\) of \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)). De asymptoten van \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) zoek je als volgt.
De horizontale asymptoot vind je door voor \(x\) grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen. Als \(y\) dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.
De verticale asymptoot kan voorkomen bij die \(x\) waarvoor de noemer \(0\) is. Vul voor \(x\) waarden in die de noemer bijna \(0\) maken; wordt \(y\) dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze \(x\).
Voorbeeld
De grafiek van de functie \(f:x \to \frac{{1 - x}}{{2 + x}}\) is een hyperbool. Dit toon je als volgt aan.
Je kunt \(\frac{{1 - x}}{{2 + x}}\) schrijven als \(‐1 + \frac{3}{{2 + x}}\). Hiervoor geldt:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow ‐2} f(x) = \infty \) en \(\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow ‐2} f(x) = ‐\infty\),
dus \(x=‐2\) is de verticale asymptoot,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = ‐1\) en \(\mathop {\lim }\limits_{x \to ‐\infty } f(x) = ‐1\),
dus \(y=‐1\) is de horizontale asymptoot.
Voorbeeld
De grafiek van de functie \(f:x \to \frac{1}{{‐x + 3}}\) ontstaat uit de standaardhyperbool door:
eerst te vermenigvuldigen en dan te verschuiven,
\(y\)
\(=\)
\(\frac{1}{x}\)
horizontaal (of verticaal) vermenigvuldigen met \(‐1\) (spiegelen in een van de assen)
\(y\)
\(=\)
\(‐\frac{1}{x}\)
\(3\) eenheden naar rechts schuiven
\(y\)
\(=\)
\(‐\frac{1}{{x - 3}}\)
of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen,
\(y\)
\(=\)
\(\frac{1}{x}\)
\(3\) eenheden naar rechts schuiven
\(y\)
\(=\)
\(\frac{1}{{x - 3}}\)
verticaal vermenigvuldigen met \(‐1\) (spiegelen in de \(x\)-as)
\(y\)
\(=\)
\(‐\frac{1}{{x - 3}}\)
of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen (anders).
\(y\)
\(=\)
\(\frac{1}{x}\)
\(3\) eenheden naar links schuiven
\(y\)
\(=\)
\(\frac{1}{{x + 3}}\)
horizontaal vermenigvuldigen met \(‐1\) (spiegelen in de \(y\)-as)
\(y\)
\(=\)
\(\frac{1}{‐{x + 3}} = ‐\frac{1}{{x - 3}}\)
Domein en bereik
Gegeven is een functie \(f\).
Alle getallen die in de functie \(f\) kunnen worden ingevoerd vormen het domein van de functie.
Alle getallen die de functie \(f\) daarbij als uitvoer heeft, vormen het bereik van de functie.
Voorbeelden
Het domein van de functie \(f\) met \(f(x) = 1 + \sqrt {x + 2}\) bestaat uit alle getallen \(x\) met \(x≥‐2\).
Het bereik bestaat uit alle getallen \(y\) met \(y≥1\).
Het domein van de functie \(g\) met \(g(x) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) bestaat uit alle getallen \(x\) met \(x≠3\).
Het bereik bestaat uit alle getallen \(y\) met \(y≠2\).
Het domein van de functie \(h\) met \(h(x) = \frac{{2x + 2}}{{x + 1}}\) bestaat uit alle getallen \(x\) met \(x≠‐1\).
Het bereik bestaat alleen uit het getal \(2\).
De inverse functie
De functie \(g\) is de inverse van \(f\) als \(g\) de werking van \(f\) neutraliseert, dus als: \(x→f→g→y=x\)
Dus \(g(f(x))=x\) voor alle \(x\) uit het domein van \(f\).
We noteren de inverse van \(f\) met \(f^{‐1}\) of inv \(f\).
Niet elke functie heeft een inverse, bijvoorbeeld elke kwadratische functie.
Vaak kun je van een functie de inverse vinden door hem te schrijven als een ketting van elementaire machientjes en deze ketting van achter naar voren te doorlopen met inverse machientjes.
Voorbeeld
We bepalen de inverse functie \(g\) van de functie \(f\) met \(f(x) = ‐(3\sqrt x - 5)\).
De functie \(f\) is de volgende ketting: \(x \to [{\mathbf{WORTEL}}] \to [{\mathbf{MAAL}}{\text{ }}{\mathbf{3}}] \to [{\mathbf{MIN}}{\text{ }}{\mathbf{5}}] \to [{\mathbf{TEGEN}}] \to f\left( x \right)\).
Door de ketting van achter naar voren te doorlopen, met inverse functies, vind je de functie \(g\): \(g\left( x \right) \leftarrow [{\mathbf{KWADRAAT}}] \leftarrow [{\mathbf{DEEL}}{\text{ }}{\mathbf{DOOR}}{\text{ }}{\mathbf{3}}] \leftarrow [{\mathbf{PLUS}}{\text{ }}{\mathbf{5}}] \leftarrow [{\mathbf{TEGEN}}] \leftarrow x\).
Dus \(g(x) = {\left( {\frac{{‐x + 5}}{3}} \right)^2}\).
Limieten
Gegeven is de functie \(f:x \to \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).
Het domein bestaat uit alle getallen \(x\), behalve \(x=1\).
Omdat \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 2) = ‐1\) bestaat, heeft de grafiek van \(f\) een perforatie \((1,‐1)\).
Gegeven is de functie \(g:x \to \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} \right|}}\).
Het domein van \(g\) bestaat uit alle getallen \(x\), behalve \(x=1\).
Conclusie: \(\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} \,g(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 1} \,g(x)\), dus \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\) bestaat niet. De grafiek van \(g\) maakt een 'sprong' bij \(x=1\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Verbanden - Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
In het dagelijkse leven komen veel machtige verbanden voor, dat zijn verbanden van de vorm
Dergelijke verbanden maken het bijvoorbeeld mogelijk om het gewicht van een
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Een machtsfunctie is een functie van de vorm 
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
