Thema: Verbanden - Wiskunde B

Inleiding

In het dagelijkse leven komen veel machtige verbanden voor, dat zijn verbanden van de vorm

\(\small{y = a \cdot {x^b}}\) voor zekere getallen \(\small{a}\) en \(\small{b}\).

Het tijdschrift NATUUR&TECHNIEK heeft hier zelfs een boek aan gewijd: De maat van het leven.

Bij veel diersoorten is bijvoorbeeld de lichaamsoppervlakte \(\small{y}\) evenredig met de lichaamsmassa \(\small{x}\). Hierbij is \(\small{a=\frac{2}{3}}\).

In dit hoofdstuk kom je meer van dit soort verbanden tegen.

Dergelijke verbanden maken het bijvoorbeeld mogelijk om het gewicht van een

Tyrannosaurus rex te schatten bij de vondst van een bot.

In deze paragraaf kijken we naar allerlei soorten verbanden.
En naar een aantal belangrijke eigenschappen die bij deze verbanden horen. We gaan ook grafieken van verbanden transformeren: oprekken en/of verschuiven. Wat is het effect op de formule?
En als je een grafiek spiegelt in de lijn \(\small y=x\) blijkt er ook iets speciaals te gebeuren.

Wat kan ik straks?

In dit hoofdstuk komen machtige verbanden aan de orde, dat zijn verbanden tussen positieve \(\small{x}\) en \(\small{y}\) van de vorm \(\small{y=a\cdot x^b}\) voor zekere getallen \(\small{a}\) en \(\small{b}\).

Je leert:

met bepaalde gegevens een machtig verband opstellen,
werken met machtige verbanden bijvoorbeeld \(\small{y}\) uitrekenen als je \(\small{x}\) kent,
van een machtig verband vaststellen of het afnemend of toenemend stijgend is,
bij een formule van een machtig verband de grafiek tekenen en omgekeerd,

hoe de formule van een functie verandert als je de grafiek van die functie verschuift of uitrekt,
met lineair gebroken functies te werken,
de inverse van een functie te bepalen (het omgekeerde verband),

In de Rekentechniek leer je:

hoe je een veeltermfunctie in \(\small{x}\) moet delen door \(\small{x-a}\),
de horizontale en verticale asymptoten van een rationale veeltermfunctie bepalen,
nagaan of een rationale veeltermfunctie perforaties heeft.

Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt kun je

Je leert ook hoe je de formule van een functie moet veranderen als

de grafiek verschoven wordt,
de grafiek gerekt wordt.

Omgekeerd kun je ook bepalen hoe je de grafiek van een een functie moet verschuiven of rekken als de formule verandert.

Verder maak je kennis met gebroken veeltermfuncties. Dat zijn bijvoorbeeld zo'n functies: \(\small{y=\frac{x^2+2x-3}{x+7}}\) .

Speciaal komen gebroken lineaire functies aan bod, die zijn van de vorm: \(\small{y=\frac{ax+b}{cx+d}}\).

Je leert:

de grafiek van zo'n functie te tekenen,
daarbij speciaal te letten op asymptoten en perforaties
limieten berekenen

Ook leer je de inverse van een functie te bepalen.

In de Rekentechniek wordt er dieper ingegaan op het berekenen van limieten.

Wat kan ik al?

Je kunt

een uitdrukking zonder gebroken en negatieve exponenten schrijven en omgekeerd;
de regels voor het rekenen met machten toepassen, ook als de exponenten negatief of gebroken zijn;
bepaalde formules omzetten in een ketting van machientjes en omgekeerd;
bij een ketting van machientjes (of bewerking) de inverse bewerking vinden;
de grafiek van een kwadratische functie tekenen en omgekeerd;
de formule bij de grafiek van een kwadratische bepalen.

Wat ga ik doen?

Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt kun je

met bepaalde gegevens een machtig verband opstellen,
van een machtig verband vaststellen of het afnemend of toenemend stijgend is,
bij een formule van een machtig verband de grafiek tekenen en omgekeerd,
vergelijkingen van de vorm \(\small{x^p=q}\) oplossen.

Je leert ook hoe je de formule van een functie moet veranderen als

de grafiek verschoven wordt,
de grafiek gerekt wordt.

Omgekeerd kun je ook bepalen hoe je de grafiek van een een functie moet verschuiven of rekken als de formule verandert.

Verder maak je kennis met gebroken veeltermfuncties. Dat zijn bijvoorbeeld zo'n functies: \(\small{y=\frac{x^2+2x-3}{x+7}}\) .

Speciaal komen gebroken lineaire functies aan bod, die zijn van de vorm: \(\small{y=\frac{ax+b}{cx+d}}\).

Je leert:

de grafiek van zo'n functie te tekenen,
daarbij speciaal te letten op asymptoten en perforaties
limieten berekenen

Ook leer je de inverse van een functie te bepalen.

In de Rekentechniek wordt er dieper ingegaan op het berekenen van limieten.

Paragrafen

Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.

De eerste paragraaf 'rekentechniek' bevat essentiële algebraïsche vaardigheden die je in de andere paragrafen nodig hebt. Dus het lijkt verstandig om eerst deze paragraaf door te werken.

Paragraaf 0 Rekentechniek

Paragraaf 1 Machtige verbanden

Paragraaf 2 Functies in samenhang

Paragraaf 3 Gebroken functies

Paragraaf 4 Inverse functies

Paragraaf 5 Limieten

Afsluiting

Samenvatting

Machtige verbanden

Een machtsfunctie is een functie van de vorm \(y=a⋅x^b\), voor zekere waarden van \(a\) en \(b\). Tenzij anders vermeld, nemen we voor het domein van deze functie de positieve getallen.

De grafiek van \(y=a⋅x^b\), met \(a>0\) is afnemend stijgend als \(0<b<1\) en toenemend stijgend als \(b>1\).

Je kunt vergelijkingen met machtsfucties exact oplossen door het linkerlid en het rechterlid tot dezelfde macht te verheffen. Immers: \({x^b} = a \Leftrightarrow {({x^b})^{\frac{1}{b}}} = {a^{\frac{1}{b}}}\) en hieruit volgt \(x = {a^{\frac{1}{b}}}\) (\(x\) en \(a\) positief en \(b≠0\)).

Voorbeeld
Los exact op: \({(\frac{1}{2}x)^{‐3}} = {x^{1\frac{1}{2}}}\). Schrijf je antwoord zonder gebroken en negatieve exponenten.

Oplossing

\({(\frac{1}{2}x)^{‐3}}\)	\(=\)	\({x^{1\frac{1}{2}}}\)	Haakjes wegwerken
\({2^3} \cdot {x^{‐3}}\)	\(=\)	\({x^{1\frac{1}{2}}}\)	Deel door \({x^{‐3}}\)
\({2^3}\)	\(=\)	\({x^{4\frac{1}{2}}}\)	Als \(x^b=a\) dan \(x = {a^{\frac{1}{b}}}\)
\(x\)	\(=\)	\({({2^3})^{\frac{2}{9}}} = {2^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{4}\)

Functies in samenhang

Gegeven een functie \(f\).

Neem aan: \(g(x)=f(ax)\) met \(a≠0\).
De grafiek van \(g\) krijg je dan door de grafiek van \(f\) horizontaal met \(\frac{1}{a}\) te vermenigvuldigen.
Neem aan: \(g(x)=a⋅f(x)\).
De grafiek van \(g\) krijg je dan door de grafiek van \(f\) verticaal met \(a\) te vermenigvuldigen.
Neem aan: \(g(x)=f(x+a)\) met \(a>0\).
Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\) \(a\) eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: \(g(x)=f(x−a)\) met \(a>0\).
Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\) \(a\) eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: \(g(x)=f(x)+a\) met \(a>0\). Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\) \(a\) eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: \(g(x)=f(x)−a\) met \(a>0\). Je krijgt de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\) \(a\) eenheden naar beneden te schuiven.

Gebroken functies

De standaardhyperbool is de grafiek van de functie \(y = \frac{1}{x}\). Deze grafiek heeft twee asymptoten: de \(x\)-as en de \(y\)-as.
De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.

Een gebroken lineaire functie is van de vorm: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) voor zekere getallen \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\). De grafiek van deze functie is een hyperbool (behalve als \(c=0\) of \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)). De asymptoten van \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) zoek je als volgt.

De horizontale asymptoot vind je door voor \(x\) grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen. Als \(y\) dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.
De verticale asymptoot kan voorkomen bij die \(x\) waarvoor de noemer \(0\) is. Vul voor \(x\) waarden in die de noemer bijna \(0\) maken; wordt \(y\) dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze \(x\).

Voorbeeld

De grafiek van de functie \(f:x \to \frac{{1 - x}}{{2 + x}}\) is een hyperbool. Dit toon je als volgt aan.
Je kunt \(\frac{{1 - x}}{{2 + x}}\) schrijven als \(‐1 + \frac{3}{{2 + x}}\). Hiervoor geldt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow ‐2} f(x) = \infty \) en \(\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow ‐2} f(x) = ‐\infty\),
dus \(x=‐2\) is de verticale asymptoot,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = ‐1\) en \(\mathop {\lim }\limits_{x \to ‐\infty } f(x) = ‐1\),
dus \(y=‐1\) is de horizontale asymptoot.

Voorbeeld

De grafiek van de functie \(f:x \to \frac{1}{{‐x + 3}}\) ontstaat uit de standaardhyperbool door:

eerst te vermenigvuldigen en dan te verschuiven,

\(y\)

\(=\)

\(\frac{1}{x}\)

horizontaal (of verticaal) vermenigvuldigen met \(‐1\) (spiegelen in een van de assen)

\(y\)

\(=\)

\(‐\frac{1}{x}\)

\(3\) eenheden naar rechts schuiven

\(y\)

\(=\)

\(‐\frac{1}{{x - 3}}\)

of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen,

\(y\)

\(=\)

\(\frac{1}{x}\)

\(3\) eenheden naar rechts schuiven

\(y\)

\(=\)

\(\frac{1}{{x - 3}}\)

verticaal vermenigvuldigen met \(‐1\) (spiegelen in de \(x\)-as)

\(y\)

\(=\)

\(‐\frac{1}{{x - 3}}\)

of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen (anders).

\(y\)	\(=\)	\(\frac{1}{x}\)	\(3\) eenheden naar links schuiven
\(y\)	\(=\)	\(\frac{1}{{x + 3}}\)	horizontaal vermenigvuldigen met \(‐1\) (spiegelen in de \(y\)-as)
\(y\)	\(=\)	\(\frac{1}{‐{x + 3}} = ‐\frac{1}{{x - 3}}\)

Domein en bereik

Gegeven is een functie \(f\).
Alle getallen die in de functie \(f\) kunnen worden ingevoerd vormen het domein van de functie.
Alle getallen die de functie \(f\) daarbij als uitvoer heeft, vormen het bereik van de functie.

Voorbeelden

Het domein van de functie \(f\) met \(f(x) = 1 + \sqrt {x + 2}\) bestaat uit alle getallen \(x\) met \(x≥‐2\).
Het bereik bestaat uit alle getallen \(y\) met \(y≥1\).

Het domein van de functie \(g\) met \(g(x) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) bestaat uit alle getallen \(x\) met \(x≠3\).
Het bereik bestaat uit alle getallen \(y\) met \(y≠2\).

Het domein van de functie \(h\) met \(h(x) = \frac{{2x + 2}}{{x + 1}}\) bestaat uit alle getallen \(x\) met \(x≠‐1\).
Het bereik bestaat alleen uit het getal \(2\).

De inverse functie

De functie \(g\) is de inverse van \(f\) als \(g\) de werking van \(f\) neutraliseert, dus als:
\(x→f→g→y=x\)
Dus \(g(f(x))=x\) voor alle \(x\) uit het domein van \(f\).
We noteren de inverse van \(f\) met \(f^{‐1}\) of inv \(f\).

Niet elke functie heeft een inverse, bijvoorbeeld elke kwadratische functie.

Vaak kun je van een functie de inverse vinden door hem te schrijven als een ketting van elementaire machientjes en deze ketting van achter naar voren te doorlopen met inverse machientjes.

Voorbeeld
We bepalen de inverse functie \(g\) van de functie \(f\) met \(f(x) = ‐(3\sqrt x - 5)\).
De functie \(f\) is de volgende ketting:
\(x \to [{\mathbf{WORTEL}}] \to [{\mathbf{MAAL}}{\text{ }}{\mathbf{3}}] \to [{\mathbf{MIN}}{\text{ }}{\mathbf{5}}] \to [{\mathbf{TEGEN}}] \to f\left( x \right)\).

Door de ketting van achter naar voren te doorlopen, met inverse functies, vind je de functie \(g\):
\(g\left( x \right) \leftarrow [{\mathbf{KWADRAAT}}] \leftarrow [{\mathbf{DEEL}}{\text{ }}{\mathbf{DOOR}}{\text{ }}{\mathbf{3}}] \leftarrow [{\mathbf{PLUS}}{\text{ }}{\mathbf{5}}] \leftarrow [{\mathbf{TEGEN}}] \leftarrow x\).
Dus \(g(x) = {\left( {\frac{{‐x + 5}}{3}} \right)^2}\).

Limieten

Gegeven is de functie \(f:x \to \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).

Het domein bestaat uit alle getallen \(x\), behalve \(x=1\).

Omdat \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 2) = ‐1\) bestaat, heeft de grafiek van \(f\) een perforatie \((1,‐1)\).

Gegeven is de functie \(g:x \to \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} \right|}}\).

Het domein van \(g\) bestaat uit alle getallen \(x\), behalve \(x=1\).

Er geldt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 1} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 1} (x - 2) = ‐1\),
\(\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{‐x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} ((‐x + 2) = 1\).

Conclusie: \(\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} \,g(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 1} \,g(x)\), dus \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\) bestaat niet. De grafiek van \(g\) maakt een 'sprong' bij \(x=1\).

Diagnostische toets

Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

Toets: H3 Verbanden

Start

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Basis

Extra oefening Plus

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

Evaluatie: Terugblik

Start

Colofon
Het arrangement Thema: Verbanden - Wiskunde B is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

VO-content

Laatst gewijzigd

2022-01-03 02:20:55

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

Fair Use

In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting

Rearrangeerbare opdracht wiskunde stercollectie VO-content wiskunde havo/vwo

Leerniveau

VWO 4;

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Trefwoorden

leerlijn, rearrangeerbare, vo-content

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (z.d.).

Stramien Wiskunde Stercollectie 2.0

https://maken.wikiwijs.nl/131786/Stramien_Wiskunde_Stercollectie_2_0

Thema: Verbanden - Wiskunde B

nl

VO-content

2022-01-03 02:20:55

Rearrangeerbare opdracht wiskunde stercollectie VO-content wiskunde havo/vwo

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

VWO 4

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/e2026706-0829-4a4c-b726-9409b6f407e1

leerling/student

leerlijn, rearrangeerbare, vo-content
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

Oefeningen en toetsen

H3 Verbanden

Terugblik

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

QTI

Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

Versie 2.1 (NL)

H3 Verbanden

Terugblik

Versie 3.0 bèta

H3 Verbanden

Terugblik

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van