Machtige verbanden
Een machtsfunctie is een functie van de vorm
, voor zekere waarden van
en
. Tenzij anders vermeld, nemen we voor het domein van deze functie de positieve getallen.
De grafiek van , met
is afnemend stijgend als
en toenemend stijgend als
.
Je kunt vergelijkingen met machtsfucties exact oplossen door het linkerlid en het rechterlid tot dezelfde macht te verheffen. Immers: en hieruit volgt
(
en
positief en
).
Voorbeeld
Los exact op: . Schrijf je antwoord zonder gebroken en negatieve exponenten.
Oplossing
Haakjes wegwerken |
|||
Deel door |
|||
Als |
|||
Functies in samenhang
Gegeven een functie .
Neem aan: met
.
De grafiek van krijg je dan door de grafiek van
horizontaal met
te vermenigvuldigen.
Neem aan: .
De grafiek van krijg je dan door de grafiek van
verticaal met
te vermenigvuldigen.
Neem aan: met
.
Je krijgt de grafiek van door de grafiek van
eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: met
.
Je krijgt de grafiek van door de grafiek van
eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: met
. Je krijgt de grafiek van
door de grafiek van
eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: met
. Je krijgt de grafiek van
door de grafiek van
eenheden naar beneden te schuiven.
Gebroken functies
De standaardhyperbool is de grafiek van de functie . Deze grafiek heeft twee asymptoten: de
-as en de
-as.
De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.
Een gebroken lineaire functie is van de vorm: voor zekere getallen
,
,
en
. De grafiek van deze functie is een hyperbool (behalve als
of
). De asymptoten van
zoek je als volgt.
De horizontale asymptoot vind je door voor grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen. Als
dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.
De verticale asymptoot kan voorkomen bij die waarvoor de noemer
is. Vul voor
waarden in die de noemer bijna
maken; wordt
dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze
.
Voorbeeld
De grafiek van de functie is een hyperbool. Dit toon je als volgt aan.
Je kunt schrijven als
. Hiervoor geldt:
en
,
dus is de verticale asymptoot,
en
,
dus is de horizontale asymptoot.
Voorbeeld
De grafiek van de functie ontstaat uit de standaardhyperbool door:
eerst te vermenigvuldigen en dan te verschuiven,
|
|
|
horizontaal (of verticaal) vermenigvuldigen met |
|
|
|
|
|
|
|
of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen,
|
|
|
|
|
|
|
verticaal vermenigvuldigen met |
|
|
|
of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen (anders).
|
|
|
|
|
|
|
horizontaal vermenigvuldigen met |
|
|
|
Domein en bereik
Gegeven is een functie .
Alle getallen die in de functie kunnen worden ingevoerd vormen het domein van de functie.
Alle getallen die de functie daarbij als uitvoer heeft, vormen het bereik van de functie.
Voorbeelden
Het domein van de functie met
bestaat uit alle getallen
met
.
Het bereik bestaat uit alle getallen met
.
Het domein van de functie met
bestaat uit alle getallen
met
.
Het bereik bestaat uit alle getallen met
.
Het domein van de functie met
bestaat uit alle getallen
met
.
Het bereik bestaat alleen uit het getal .
De inverse functie
De functie is de inverse van
als
de werking van
neutraliseert, dus als:
Dus voor alle
uit het domein van
.
We noteren de inverse van met
of inv
.
Niet elke functie heeft een inverse, bijvoorbeeld elke kwadratische functie.
Vaak kun je van een functie de inverse vinden door hem te schrijven als een ketting van elementaire machientjes en deze ketting van achter naar voren te doorlopen met inverse machientjes.
Voorbeeld
We bepalen de inverse functie van de functie
met
.
De functie is de volgende ketting:
.
Door de ketting van achter naar voren te doorlopen, met inverse functies, vind je de functie :
.
Dus .
Limieten
Gegeven is de functie .
Het domein bestaat uit alle getallen , behalve
.
Omdat bestaat, heeft de grafiek van
een perforatie
.
Gegeven is de functie .
Het domein van bestaat uit alle getallen
, behalve
.
Er geldt:
,
.
Conclusie: , dus
bestaat niet. De grafiek van
maakt een 'sprong' bij
.