H3 verbanden - Wikiwijs Maken

Toets: H3 Verbanden

Introductie

Algemene informatie

Titel: H3 Verbanden
Aantal vragen: 6
Maximaal te behalen punten: 6
Punten nodig om te slagen: 4

Start

De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.

Vraag 1

Voor het positieve getal $\small{x}$ geldt: $\small{x^{3 \over 5}=1000}$ .

Bereken $\small{x}$ zonder je rekenmachine te gebruiken.
Schrijf je berekening op.

Voor het positieve getal $\small{y}$ geldt: $\small{\sqrt[3]{y} = 4y}$ .

Bereken $\small{y}$ exact.
Schrijf je berekening op.

Juist antwoord / Uitleg

$\small{x^{3 \over 5}=1000 \Leftrightarrow x=1000^{5 \over 3}=10^{3\cdot {5\over 3}}=10^5=100.000}$
$\small{\sqrt[3]{y} = 4y \Leftrightarrow{y^{1 \over 3}}=4y \Leftrightarrow{y^{\text-{2 \over 3}}}=4 \Leftrightarrow y=4^{\text-{3 \over 2}} }$ , dus $\small{y=2^{\text-{2\cdot {3 \over2}}}=2^{\text-{3}}={1 \over 8}}$

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 2

Het vermogen dat een windmolen levert hangt af van hoe hard het waait en hoe groot de rotor is.

Voor een zeker type windmolen geldt:

$\small{p = 0,00013 \cdot {v^3} \cdot {d^2}}$

Hierbij is $\small{p}$ het vermogen in kilowatt, $\small{v}$ de windsnelheid in m/s en $\small{d}$ de diameter van de rotor.

Stel dat de windmolen een rotordiameter heeft van $\small{10}$ meter.

Bereken de windsnelheid waarbij de windmolen een vermogen levert van $\small{10}$ kilowatt in één decimaal nauwkeurig.

Als de diameter half zo groot is, moet het harder waaien om hetzelfde vermogen te krijgen.

Bereken exact hoeveel keer zo hard moet het dan waaien om hetzelfde vermogen te krijgen.

Juist antwoord / Uitleg

$\small{10 = 0,00013 \cdot {v^3} \cdot {10^2} \Leftrightarrow v = \sqrt[3]{{{{0,0013}^{ \text- 1}}}} = 9,16...}$ , dus $\small{9,2}$ m/s
Noem de nodige windsnelheid $\small{w}$ , dan is het vermogen bij halve diameter: $\small{p = 0,00013 \cdot {w^3} \cdot {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}d} \right)^2}}$ , dus $\small{{w^3} = 4{v^3}}$ , dus $\small{w = \sqrt[3]{4} \cdot v}$ keer zo groot.

Dus het moet $\sqrt[3]{4}$ keer zo hard waaien.

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 3

Gegeven is de functie $\small{f:x \to \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - x}}}$ .

Wat is het domein van de functie?

De grafiek van $\small{f}$ heeft een perforatie.

Toon dat aan en bepaal de coördinaten van de perforatie langs algebraïsche weg.

De grafiek van $\small{f}$ heeft een horizontale en een verticale asymptoot.

Geef van elk van die asymptoten een vergelijking en schrijf de bijbehorende limieten op.

Gegeven is de functie $\small{g:x \to {\rm{\text - }}x + 5}$ .

Teken de grafieken van $\small{f}$ en $\small{g}$ op de GR.
Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de grafieken van $\small{f}$ en $\small{g}$ exact.
Voor welke $x$ geldt: $\small{f(x) \le g(x)}$ ? Licht je antwoord toe.

Juist antwoord / Uitleg

Het domein bestaat uit alle getallen, behalve $\small{0}$ en $\small{1}$ .
$\small{{x^2} + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)}$ , dus $\small{{x^2} + 2x - 3 = 0}$ als $\small{x=1}$
$\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3}}{x} = 4}$ , dus perforatie $\small{(1,4)}$ .
$\small{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = 1}$ , dus horizontale asymptoot $\small{y=1}$ .

en $\small{\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 0} f(x) = \infty }$ , dus de $\small{y}$ -as is verticale asymptoot.
-
$\small{\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - x}} = {\text{ - }}x + 5}$ , dus $\small{\frac{{x + 3}}{x} = {\rm\text{ - }}x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0}$ , dus $\small{x=3}$ , dan snijpunt $(3,2)$ .
Uit de grafieken en het vorige onderdeel volgt: $\small{x < 0}$ of $\small{1 < x \le 3}$ .

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 4

Gegeven zijn de functies $\small f:x \to \sqrt x$ en $\small g:x \to \sqrt {2x + 3}$ .

De grafiek van $\small{g}$ ontstaat uit die van $\small{f}$ door eerst horizontaal te verschuiven en dan horizontaal te vermenigvuldigen.

Hoe?

De grafiek van $\small{g}$ ontstaat uit die van $\small{f}$ door eerst horizontaal te vermenigvuldigen en dan horizontaal te verschuiven.

Hoe?
Geef een formule voor de inverse functie van $\small{g}$ .

Juist antwoord / Uitleg

$\small{3}$ eenheden naar links en dan horizontaal $\small{1 \over 2}$ met vermenigvuldigen.
Horizontaal met $\small{1 \over 2}$ vermenigvuldigen en dan $\small{1{1 \over 2}}$ eenheid naar links schuiven.
$\small{g}$ is de ketting: MAAL $\small{2}$ →PLUS $\small{3}$ →WORTEL, dus is de ketting
KWAD→MIN $\small{3}$ →DD $\small{2}$ , dus $\small{{g_{{\rm{inv}}}}:x \to {\textstyle{1 \over 2}}\left( {{x^2} - 3} \right)}$ .

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 5

Hieronder staat de grafiek van de functie $\small{f}$ De snijpunten met de $\small{x}$ -as zijn $\small{(\text-6,0)}$ en $\small{(6,0)}$ en met de $\small{y}$ -as $\small{(0,3)}$ .

De grafiek van $\small{f}$ ontstaat uit die van $\small{x \to |x|}$ door (eventueel) meerdere keren) te verschuiven en te vermenigvuldigen.

Hoe?
Geef een formule voor $\small{f(x)}$ .

$\small{k}$ is de lijn met vergelijking $\small{y = {\textstyle{1 \over 3}}x - 22}$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $\small{f}$ met $\small{k}$ .

Juist antwoord / Uitleg

Bijvoorbeeld:
Eerst spiegelen in de $\small{x}$ -as, dan $\small{3}$ eenheden omhoog schuiven en vervolgens horizontaal met $\small{2}$ vermenigvuldigen.
Of:
Eerst $\small{3}$ eenheden omlaag schuiven, dan spiegelen in de $\small{x}$ -as vervolgens horizontaal met $\small{2}$ vermenigvuldigen.
Hierbij hoort de formule $\small{f(x) = 3 - \left| {{\textstyle{1 \over 2}}x} \right|}$ .
Als $\small{x>0}$ dan $\small{3 - {\textstyle{1 \over 2}}x = {\textstyle{1 \over 3}}x - 22 \Leftrightarrow {\textstyle{5 \over 6}}x = 25 \Leftrightarrow x = 30}$ en
als $\small{x<0}$ dan $\small{3 + {\textstyle{1 \over 2}}x = {\textstyle{1 \over 3}}x - 22 \Leftrightarrow {\textstyle{1 \over 6}}x = {\rm \text{ - }}25 \Leftrightarrow x = {\rm \text{ - }}150}$ , dus de snijpunten zijn $\small{(30,\text-12)}$ en $\small{(\text-150,\text-72)}$ .

Gegeven antwoord

0% (0)

Vraag 6

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$\small{x - \sqrt {x + 10} + 10 = 0}$
$\small{x = 2\sqrt {x + 1} + 2}$

Juist antwoord / Uitleg

$\small{x - \sqrt {x + 10} + 10 = 0 \Leftrightarrow x + 10 = \sqrt {x + 10} \Leftrightarrow \\x + 10 = 1{\text{ of }}x + 10 = 0 \text {,}}$
dus $\small{x = {\text{ - }}9{\text{ of }}x = {\text{ - 10}}}$ .
NB Bij de tweede dubbele pijl is toegepast: $\small{{y^2} = y \Leftrightarrow y = 0{\text{ of }}y = 1{\rm{ }}}$ waarbij $\small{y=\sqrt{x+10}}$ .
$\small{x = 2\sqrt {x + 1} + 2 \Leftrightarrow x - 2 = 2\sqrt {x + 1} }$ Kwadrateren geeft: $\small{{(x - 2)^2} = 4(x + 1) \Leftrightarrow {x^2} - 8x = 0}$
1. Dus $\small{x=8}$ , want $\small{x=0}$ voldoet niet.

Gegeven antwoord

0% (0)

Straks nakijken op de afgedrukte evaluatie