1. Inleiding
De laatste tijd wordt veel gesproken over wiskundige denkactiviteiten, soms afgekort tot WDA. Maar wat zijn dit eigenlijk, waarom staan ze nu zo prominent op de agenda en hoe geef je denkactiviteiten handen en voeten in de onderwijspraktijk? Het materiaal op deze site is verzameld ten behoeve van docent-opleiders van de Nederlandse lerarenopleidingen wiskunde. Onder het kopje Suggesties voor de lerarenopleiding, vind je aanwijzingen voor het gebruik van dit materiaal met de studenten.
Het volgende filmpje toont het eindresultaat van een NWO-onderzoek naar wiskundig denken en vormt daarmee een mooie opstap voor deze website:
Drie docenten en een hoogleraar introduceren het thema Wiskundig denken.
2. (Her)ontwerpen
Inleiding op activiteiten
In dit blokje ligt de nadruk op het ontwerpen en herontwerpen van opdrachten om het wiskundig denken te bevorderen.
In de TED-talk laat Dan Meyer zien hoe hij een bestaande opdracht herontwerpt. Deze film kan dienen als introductie op het thema, als inspiratie en als startpunt van discussie.
- Aan de hand van een speeddate-opdracht ervaren studenten dat het herformuleren van schoolboekopdrachten bij leerlingen rijkere denkactiviteiten kan uitlokken.
- Studenten benoemen het soort denken dat dan plaatsvindt en bespreken hoe zij de opgaven nog denkactiverender kunnen maken. Om te illustreren hoe dit proces van denkactiverender maken is er een video waarin twee opleiders modelleren hoe je dit zou kunnen doen.
Het blijkt niet zo moeilijk te zijn om bestaande opdrachten denkactiever te maken. In het kernartikel hieronder vind je een aantal concrete tips en bronnen. Je zou dit met studenten kunnen doornemen en vervolgens oefenen in het toepassen op hun eigen schoolboeken. Als subthema's komen twee uitgebreidere werkvormen aan bod.
Activiteit: De kunst van het herontwerpen afkijken bij een expert
Dan Meyer: filmpje TED-talk Math class needs a makeover.
Dan Meyer demonstreert op een inspirerende manier hoe je een opdracht uit een wiskundeboek 'denkactiverender' kan maken.
Geef de studenten de volgende opdrachten:
1) Vóór het kijken van de TED-talk:
Presenteer een paar stellingen over de houding van leerlingen ten opzichte van wiskunde, zoals: "Leerlingen vinden het leuk om wiskundige problemen aan te pakken", of "Leerlingen willen in één stap het antwoord weten", "leerlingen willen direct een formule gebruiken" en laat de studenten daarop reageren. Vraag hen vervolgens om zelf een paar stellingen in die trant te formuleren vanuit hun eigen praktijk. Bij voorkeur leggen de studenten de stellingen vooraf voor aan hun leerlingen.
Toelichting: De bedoeling van deze opdracht is om explicieter zicht te krijgen op de houding van leerlingen in het VO tegenover wiskunde.
2) Kijkopdracht tijdens de video:
Geef de studenten vooraf de volgende kijkvragen mee: "Wat doet Dan Meyer met opdrachten uit het boek om leerlingen meer aan het denken te krijgen?" en "Wat voor houding tegenover wiskunde wil Dan Meyer dat leerlingen ontwikkelen?"
3) Na het kijken van de video:
Geef de opdracht aan de studenten om, met de TED-talk als inspiratiebron voor herontwerp een opdracht uit het wiskunde boek te kiezen en deze op dezelfde manier te "verbouwen" zoals Dan Meyer dat heeft gedaan.
Activiteit: Benoemen van wiskundig denken dat wordt uitgelokt door opdrachten
De volgende bladen kunnen op (ten minste) twee manieren worden gebruikt:
- In een speeddate werkvorm:
1) 5 rondes van 10 minuten, waarbij iedere student z'n eigen "route" krijgt en idealiter iedere ronde in een andere samenstelling van 4 studenten werkt; op de tafels (genummerd A tm ....) grote posters die al in 5 vakken verdeeld zijn, voor ronde 1 tm 5. Als die aan het eind naast elkaar gehangen worden heb je direct overzicht over de resultaten van de verschillende rondes.
2) iedere ronde (laat een signaal gaan na 10 minuten, voor de wissel) krijgt ieder groepje hetzelfde materiaal. De opdracht in iedere ronde luidt:
MAAK EN BESPREEK: waar zitten de verschillen tussen de "schoolboek-opdracht" en de "wiskundig denken-opdracht".
SCHRIJF OP DE POSTER: tot welk soort denken zet de "wiskundig denken"-opdracht aan? (Gebruik hierbij woorden die verbonden zijn aan wiskundig denken, zoals redeneren, modelleren, etc.)
ALS JE NOG TIJD HEBT: wees creatief: hoe zou je de "wiskundig denken"-opdracht nog kunnen aanpassen om ander/meer wiskundig denken te stimuleren?
3) Daarna volgt een klassikale bespreking van de inzichten op de posters.
- Door de opgaven te verdelen en de studenten te vragen om deze thuis te bestuderen en bevindingen op een padlet te plaatsen. Deze padlet wordt dan in de les besproken.
Speeddate ronde 1: classificatie
Speeddate ronde 2: representatie
Speeddate ronde 3: beoordelen van wiskundige uitspraken
Speeddate ronde 4: omkeervragen en vragen creëren
Speeddate ronde 5: redeneren
Activiteit: Analyseren van een classificatieopdracht
Deze opdracht bestrijkt twee bijeenkomsten. Studenten doen in groepjes een classificatieopdracht en reflecteren hierop. Vervolgens lezen ze thuis een artikel en ontwerpen op grond daarvan een denkactieve opdracht bij hun eigen schoolboek. In de tweede bijeenkomst worden deze geëvalueerd.
3. Wiskundig denken in de klas
Inleiding op activiteiten
In dit blokje ligt de nadruk op het ondersteunen van wiskundig denken in lessituaties en in het bijzonder op de rol van de leraar hierbij. Het geven van denkactiverende wiskundelessen vraagt een daaraan aangepaste houding en rol van de docent. Zo is bijvoorbeeld om een leerling aan het denken te zetten, het stellen van vragen belangrijker dan het geven van antwoorden. Ook opvattingen over wiskunde en wiskundeonderwijs spelen een rol: gaat het om het vinden van de goede antwoorden ('answer getting') of om het nadenken, leggen van verbanden en zien van patronen en het oplossen van problemen? Een veilig en stimulerend leerklimaat waarin leerlingen zich uitgenodigd voelen mee te denken is een voorwaarde. In de Handreiking denkactiverende wiskundelessen wordt op p.12 t/m 24 de rol van de docent beschreven en worden handvatten geboden voor het handelen in de klas. Laat studenten in ieder geval deze pagina's lezen: dat kan voor, tijdens, tussen of na de drie hieronder beschreven activiteiten.
Activiteit: Analyseren hoe leerlingen wiskundig denken
In de volgende drie filmpjes staat steeds een opgave centraal die uitnodigt tot wiskundig denken. De opgave is apart toegevoegd. De filmpjes bestaan uit drie onderdelen: (1) docentanalyse vooraf, (2) interview met een leerling die de opgave heeft gemaakt, (3) docentreflectie (m.u.v. het eerste filmpje over vwo 3).
De activiteit voor de studenten kan de volgende opbouw hebben:
- Laat de studenten van tevoren de opgave(n) bestuderen en zelf maken.
- Laat ze onderdeel (1), de analyse, zelf doen (thuis of in een bijeenkomst). Het gaat daarbij om vragen als: Wat verwacht je dat de leerling doet? Hoe denk je dat deze de opdracht aanpakt? Welke vorm van wiskundig denken wordt aangesproken? Waar en waarmee verwacht je dat de leerling problemen heeft?
- Vervolgens kunnen de studenten deel (2) kijken om te zien wat de leerling heeft gedaan.
- Laat ze de reflectie uit onderdeel (3) eerst zelf uitvoeren: ze vergelijken hun eigen analyse die ze vooraf maakten, met dat wat de leerling heeft gedaan.
- Daarna kan deel 3 van het filmpje worden bekeken en worden gereflecteerd op de verschillen in inzicht tussen de 'experts' en de studenten.
Er zijn verschillende manieren om deze activiteit tijdens een bijeenkomst uit te voeren met studenten. We beschrijven er twee:
1. Behandel de opgaven na elkaar in drie rondes: een ronde voor elke opgave. Bij de analyse en de reflectie kun je een werkvorm als Denken, Delen, Uitwisselen inzetten.
2. Maak drie groepen studenten. Elke groep krijgt een van de drie opgaven en doorloopt de stappen hierboven. Vorm hierna 'expertgroepen' met tenminste één expert voor elke opgave per groep. Vraag de studenten hun bevindingen te delen. Kijk met de hele groep terug op de opbrengst.
Ervaringen met WDA in 3 vwo meetkunde [auteur: Egbert-jan Jonker]
De opgave in Word-formaat (zodat je hem zelf eventueel kunt bewerken)
Analyse wiskundige denken door een leerling in vwo 3 (meetkunde), inclusief voorbeschouwing
Analyse wiskundige denken door een leerling in vwo 3 (meetkunde), alleen leerlinginterview
Voorbeeld WDA uit Moderne Wiskunde havo 5 Wis A (Statistiek)
Analyse wiskundige denken door een leerling in Havo 5, Wiskunde A, inclusief voor- en nabeschouwing
Analyse wiskundige denken door een leerling in Havo 5, Wiskunde A, alleen leerlinginterview
Voorbeeld WDA uit Getal en ruimte vwo 4 WisB (parameters)
Analyse wiskundige denken door een leerling in vwo 4, Wiskunde B, inclusief voor- en nabeschouwing
Analyse wiskundige denken door een leerling in vwo 4, Wiskunde B, alleen leerlinginterview
Activiteit: Analyseren hoe docenten wiskundig denken stimuleren
In het kader van het project Wiskundige Denkactiviteit in praktijk is bij drie docenten een kijkje in de klas genomen. In de volgende video's zie je hoe docenten in hun les proberen hun leerlingen aan het denken te zetten. Op basis van hun ervaringen geven zij tips voor het onderwijzen van wiskundig denken.
Laurens Visscher van het Farel College in Amersfoort
Irene Vis van Het Nieuwe Eemland in Amersfoort
Dirk Boleij van het Maurick College in Vught
Opdracht bij deze video-opnames
Bij iedere video-opname is de centrale vraag: "Wat doet de docent om het denken van de leerlingen te bevorderen? Let hierbij op reacties van de docent, antwoorden op vragen van leerlingen en lichaamstaal."
Om dit goed te laten verlopen is het handig om de opdracht die aan de leerlingen gegeven wordt door de docent eerst door de studenten te laten maken, zodat ze de discussies goed kunnen volgen.
Activiteit: Reflecteren op klassencultuur die wiskundig denken ondersteunt
Opdracht op basis van de literatuur (Handreiking p. 12 t/m 24) en voorgaande activiteit.
- Vraag de studenten in drietallen om na te denken over kenmerken van een klassecultuur die wiskundig denken bevordert. Welke normen en waarden, welke houding en manier van omgaan met elkaar stimuleren dat? Verzamel vervolgens met de hele groep deze kenmerken, bijvoorbeeld in een mindmap, en bespreek ze.
Ervaringen met WDA in 2HV lineaire formules (auteur: Egbert-jan Jonker)
Opgave bij interview Egbert-jan Jonker
Word-versie van de opgave (zodat je het eventueel kunt bewerken)
Interview met Egbert-jan Jonker (docent wiskunde) over wiskundig denken
Opdracht bij het interview met Egbert-Jan Jonker (video).
- Tussen 1:46 en 4:26 vertelt Egbert-Jan Jonker hoe hij in de klas leerlingen stimuleert en ondersteunt bij wiskundig denken. Welke ondersteunende en belemmerende factoren noemt hij? Hoe hangen deze samen met de kenmerken van de klassecultuur uit de vorige opdracht?
Interview met Rogier Bos (Freudenthal Instituut) over wiskundig denken
Opdracht bij het interview met Rogier Bos (video).
- In het gesprek gaat het over de relatie tussen routines en wiskundig denken. Vraag de studenten hun eigen opvattingen over het belang van deze aspecten en de relatie ertussen te vergelijken met die van Rogier Bos. Wat zijn de implicaties voor de klassecultuur die zij willen realiseren?
http://map.mathshell.org/trumath/tru_math_rubric_alpha_20140731.pdf
Opdrachten bij de TRU-math scoring Rubric.
- Het raamwerk Teaching for Robust Understanding of Mathematics (TRU-math) beschrijft kenmerken op vijf dimensie waaraan krachtige leeromgevingen moeten voldoen om leerlingen te ondersteunen in de ontwikkeling tot goed-geinformeerde en flexibele 'wiskundige denkers.' Laat de studenten de rubric via de link hierboven bekijken.
- Welke eerder besproken aspecten van de houding van de docent en de klassecultuur herkennen zij in deze Rubric?
- Welke aspecten in deze rubric dragen in hun ogen het meest bij aan de ontwikkeling van het wiskundig denken?
Vraag ze om hiervan in twee-tallen een top 3 te maken en wissel deze uit in de groep.
Vraag elke student om tenminste op een aspect een concreet voornemen te maken om in de komende periode in de praktijk aan te werken.
- Vraag hen vervolgens om met deze Rubric een les van hun stagebegeleider, een mede-student of een eigen op video opgenomen les te scoren. In hoeverre was de les denkactiverend?
4. Wiskundig denken toetsen
Inleiding op activiteiten
Het volgende artikel staat centraal in dit thema. Laat het studenten van tevoren bestuderen, of verwerk het in een theoriebijeenkomst.
http://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/2015_nro_wda.pdf
In dit blokje ligt de nadruk op het toetsen van wiskundig denken. Het belang daarvan wordt kort en bondig beschreven in het hoofdstuk hierover in de Handreiking Denkactiverende wiskundelessen (p. 26 t/m 28):
'Als wiskundig denken een belangrijk leerdoel is in de lessen, hoort het ook getoetst te worden. Maar het toetsen van wiskundig denken is niet eenvoudig. Hoe kun je beoordelen of leerlingen nieuwe problemen kunnen oplossen, met modellen kunnen werken of kunnen abstraheren? Kun je dergelijke hogere leerdoelen wel zichtbaar maken in een gewone toets? Kortom, hoe pak je dat aan, WDA toetsen?'
Dit hoofdstuk vormt de basis voor de twee activiteiten die volgen, daarbij is ook de classificatie van denkactiviteiten op (p.29 t/m 34) nodig.
In de eerste activiteit analyseren de studenten examenopgaven die wiskundig denken toetsen. Hierbij wordt de expertwerkvorm gebruikt. In de tweede activiteit analyseren ze werk van leerlingen: hoe hebben zij gedacht en welk fouten komen voor?
Als een vervolg op deze twee activiteiten zou je de studenten zelf een opgave kunnen laten ontwerpen die wiskundig denken toetst.
Activiteit: Analyse van toetsopgaven
In deze expert-activiteit laat je groepjes studenten eerst per groepje één WDA-opdracht uit een examen maken en analyseren. Vervolgens maak je nieuwe groepjes, met per groepje één expert van elke opgave. De nieuwe groepjes vergelijken hun bevindingen en kiezen 'de beste WDA-opgave'.
- Voorbereiding: zoek en print voldoende verschillende "WDA-opdrachten" uit de havo A-(pilot)-examens vanaf 2011. Deze opdrachten zijn herkenbaar aan het feit dat ze de meeste punten krijgen; tot nu toe staan ze altijd aan het einde van het examen. Ze zijn te vinden op Examenblad.nl. Zorg dat er voor elke student een exemplaar van een opgave is.
- Tijdens de bijeenkomst vorm je groepjes, verdeel je de opgaves en laat je de studenten de opgave van hun groepje eerst zelf maken en hun uitwerkingen onderling vergelijken.
- Vervolgens bespreken de studenten in hun groepje in hoeverre hier wiskundig denken wordt getoetst en proberen ze (indien relevant) het type wiskundig denken te karakteriseren volgens het driehoekmodel op bladzijde 30 in de handreiking.
- Hergroepeer zodat er in elk nieuw groepje een expert van elke opgave zit.
- Laat in de nieuwe groepjes de studenten een voor een hun bevindingen presenteren. Laat het groepje de opgave die het best wiskundig denken toetst uitkiezen.
- Wissel dit laatste (de beste opgave) klassikaal uit.
Activiteit: Analyse leerlingwerk
- Vraag de studenten opgave 22 uit het eindexamen havo A 2017-I te maken.
- Maak groepjes van vier studenten. Geef ieder groepje alle leerlinguitwerking (nr1, nr2, nr3, nr4). Vraag de groepjes deze uitwerking met elkaar te analyseren: hoe heeft de leerling gedacht? welke denkfouten zitten er eventueel in?
- Laat de groepjes een conclusie formuleren over de geschiktheid van deze opgave voor het toetsen van wiskundig denken vanuit het perspectief van het wiskundig denkvermogen van de leerlingen.
- Inventariseren klassikaal van de conclusies.
5. Literatuur en bronnen
Kernartikel: Kernaspecten van wiskundig denken
Handreiking denkactiverende wiskundelessen
Deze handreiking gaat in op verschillende aspecten van het geven van denkactieve lessen. Denk aan
het vinden of maken van geschikte opgaven, aan het begeleiden van groepswerk, aan het voeren van
klassengesprekken, of aan het maken van proefwerken en andere toetsen. Elk van deze stukjes
eindigt met een aantal concrete tips en suggesties naar artikelen of internetbronnen.
Wiskundig denken A way of Life
Het activeren van wiskundig denken daagt leerlingen uit maar hoeft geen extra lestijd de kosten. Dat is een van de conclusies van het praktijkgericht onderzoek naar wiskundig denken. De onderzoekers vatten in dit artikel de opbrengst van het onderzoek samen tot tips om van wiskundig denken a way of life te maken.
Streun, A. van & Kop, P. (2016). Ontwerp van wiskundige denkactiviteiten bovenbouw havo/vwo. Enschede: SLO
Deze publicatie is bedoeld voor docenten wiskunde in de bovenbouw havo-vwo die inspiratie zoeken voor het ontwerpen van wiskundige denkactiviteiten (WDA) in hun onderwijs. In de nieuwe examenprogramma’s, die vanaf 2015 van kracht zijn in het vierde leerjaar, is een belangrijk leerdoel het bevorderen van WDA in alle wiskundevakken.
6. Suggesties voor de lerarenopleider
Het materiaal op deze site is verzameld ten behoeve van docent-opleiders van de Nederlandse lerarenopleidingen wiskunde, zowel in het tweede- als eerstegraafsgebied. Ook voor wiskundesecties is het bruikbaar in professionaliseringstrajecten. Het is géén lineair, afgerond leertraject, maar een collectie bronnen en opdrachten die geheel of gedeeltelijk kunnen worden gebruikt of naar eigen inzicht worden aangepast.
Opleiders kunnen studenten rechtstreeks naar deze site verwijzen, links naar films of documenten delen, of delen in de eigen instituuts-elo plaatsen. Het is nadrukkelijk geen zelfstudiemateriaal, maar zogenaamd 'blended onderwijsmateriaal': groepsbijeenkomsten spelen een belangrijke rol. Per onderdeel staan er suggesties hoe met het materiaal zou kunnen worden omgesprongen.
Het materiaal is onderverdeeld in de drie thema's die in de linker menubalk herkenbaar zijn. Het verdient aanbeveling de onderdelen ook in die volgorde te behandelen, hoewel het laatste thema over toetsing eventueel naar voren gehaald kan worden. Bij het middelste thema (wiskundig denken in de klas) zullen de suggesties voor opdrachten moeten worden aangepast aan de leservaring die de studenten al hebben en de mogelijkheden die ze hebben om er in hun eigen lespraktijk (stage) mee aan de slag te gaan.
Voor de hbo-opleidingen, waar de eigen wiskundige bekwaamheid onderdeel is van het curriculum, is het natuurlijk van belang dat de studenten zelf ook wiskundig leren denken. Dat betekent dat bij wiskundevakken, conform het principe van teach what you preach, ook andersoortige vragen aan bod moeten komen, in zowel de colleges als de toetsen.
