Een kwadratisch verband is een voorbeeld van een machtsverband.
In een kwadratisch verband komt een variabele in kwadraat (tweede macht) voor.
Naast tweedegraads verbanden heb je ook verbanden met hogere machten.
Voorbeeld
De inhoud (I) van een bol hangt af van de grootte van de straal (r).
De inhoud kun je benaderen met de formule: I = 4,2 × r3
Bij dit verband kun je een tabel en grafiek maken.
Opgaven
1.
Gegeven is de formule:
uitkomst = \(1 \over 4\) × getal3
Het verband tussen getal en uitkomst is een machtsverband.
a
Neem de tabel over en vul hem verder in.
getal
0
1
2
3
4
uitkomst
b
Neem het assenstelsel over en teken de grafiek bij de tabel.
c
Bereken met de formule de uitkomst als getal = 2,5.
Rond je antwoord af op één cijfer achter de komma.
d
Gebruik de grafiek om te bepalen bij welk getal
de uitkomst ongeveer 10 is.
2.
Gegeven is de formule:
uitkomst = \(1 \over 2 \) × (getal − 2) 4
Het verband tussen getal en uitkomst is een machtsverband.
a
Neem de tabel over en vul hem verder in.
getal
0
1
2
3
4
uitkomst
b
Neem het assenstelsel over en teken de grafiek bij de tabel.
c
Bereken met de formule de uitkomst als getal = 0,5.
Rond je antwoord af op één cijfer achter de komma.
d
Bereken met de formule ook de uitkomst als getal = 3,5.
Rond je antwoord af op één cijfer achter de komma.
e
Vergelijk de antwoorden op vraag c en vraag d. Wat valt je op?
3
Op sommige plaatsen in Nederland zie je windmolens die worden gebruikt om elektriciteit op te wekken. Het vermogen dat zo'n windmolen levert hangt af van de wieklengte en van de windsnelheid. Voor een windmolen met een wieken van 10 m geldt de formule:
vermogen = 0,052 × windsnelheid3
Het verband tussen de windsnelheid in m/s (meter per seconde) en het vermogen in kW (kiloWatt) is een machtsverband.
a
Bij een windsnelheid van 2 m/s spreek je van een zwakke wind.
Bereken het vermogen dat de windmolen levert bij 2 m/s.
b
Bij een windsnelheid van 10 m/s spreek je van een vrij krachtige wind.
Bereken ook het vermogen dat de windmolen levert bij 10 m/s.
c
De windmolen levert een vermogen van 100 kW.
Zoek uit, door te proberen, hoe groot de windsnelheid is.
4
In een fabriek worden de scooters hiernaast gemaakt. De totale kosten voor het maken van de scooters worden productiekosten genoemd.
De productiekosten in euro's hangen af van het aantal scooters (s) dat gemaakt wordt en kun je berekenen met de formule:
productiekosten = 0,5 × s3 − 50 × s2 + 3200 × s
a
Bereken met behulp van de formule de productiekosten voor 58 scooters. Schrijf de berekening op.
b
De fabrikant verkoopt de scooters voor 2500 euro per stuk.
Maak een formule waarme je de opbrengst kunt berekenen.
c
De fabrikant berekente de winst met de formule:
winst = opbrengst − productiekosten
Bij welk aantal scooters in de winst het hoogst, bij 40 of bij 80 scooters?
Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
2.2 Wortelverbanden
Je spreekt van een wortelverband als in de formule een wortelteken voorkomt.
Voorbeeld
Om de gemiddelde lengte jongens van 0 tot en
met 20 jaar uit te rekenen, kun je een vuistregel gebruiken. Bij die vuistregel kun je een formule maken:
Bij de formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen.
In de tabel en de grafiek zie je een afnemende stijging.
Opgaven
1.
Gegeven is de formule:
Het verband tussen getal en uitkomst is een wortelverband.
a
Neem de tabel over en vul hem verder in.
getal
0
1
4
9
16
uitkomst
b
Neem het assenstelsel over en teken de grafiek bij de tabel.
c
Bereken met de formule de uitkomst als getal = 6.
Rond je antwoord af op één cijfer achter de komma.
d
Gebruik de grafiek om te bepalen bij welk getal
de uitkomst ongeveer 7 is.
2.
Gegeven is de formule:
Het verband tussen getal en uitkomst is een wortelverband.
a
Neem de tabel over en vul hem verder in.
getal
0
1
4
9
16
uitkomst
b
Neem het assenstelsel over en teken de grafiek bij de tabel.
c
Bereken met de formule de uitkomst als getal = 6.
Rond je antwoord af op één cijfer achter de komma.
d
Gebruik de grafiek om te bepalen bij welk getal
de uitkomst ongeveer 4,5 is.
3.
Om de gemiddelde lengte van meisjes tussen de 0 en 20 jaar uit te rekenen, kun je de volgende formule gebruiken:
a
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Rond de lengte steeds af op een geheel aantal cm.
leeftijd (jaar)
0
5
10
15
20
gem. lengte(cm)
b
In de tabel zie je afnemende stijging.
Leg uit wat daarmee wordt bedoeld.
c
Neem het assenstelsel over en teken de grafiek bij de tabel.
4.
Een econoom van een groot winkelbedrijf heeft een model opgesteld van de dagelijkse aspergeverkoop. De verkoop (V) in kg hangt af van de prijs (p) in euro volgens de formule:
Let op:
de formule is alleen geldig bij prijzen tussen de 3 en 15 euro.
a
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Rond de verkoop steeds af op een heel aantal kg.
p (euro)
3
6
9
12
15
V (kg)
b
Neem het assenstelsel over en teken de grafiek bij de tabel.
c
De omzet aan asperges kun je uitrekenen door de prijs p met de verkochte hoeveelheid V te vermenigvuldigen.
Bereken de omzet bij een prijs van 3 euro. Bereken ook de omzet bij een prijs van 6 euro, een prijs van 9 euro en een prijs van 12 euro.
2.3 Exponentiële verbanden
Als een hoeveelheid iedere tijdseenheid met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd,
spreek je van een exponentieel verband.
Een exponentieel verband kun je weergeven in een tabel.
In de tabel is een exponentiele groei van een hoeveelheid in de tijd weergegeven.
Soms heb je te maken met een exponentiële afname.
De 'groeifactor' is dan kleiner dan 1.
In de tabel is een exponentiele groei van een hoeveelheid in
de tijd weergegeven.
De groeifactor is kleiner dan 1. De hoeveelheid wordt ieder uur kleiner.
Er is sprake van een exponentiële afname.
De hoeveelheid wordt ieder uur met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
Het getal waarmee vermenigvuldigd wordt noem je de groeifactor.
Een exponentieel verband kun je weergeven in een grafiek.
Voorbeeld
De tabel hoort bij een exponentiële toename.
Je ziet in de grafiek dat de toename steeds groter wordt.
De grafiek wordt steeds steiler.
Opgaven
1
In de tabel is groei van een hoeveelheid in de tijd weergegeven.
tijd (uur)
0
1
2
3
4
5
hoeveelheid
1000
1200
1440
1728
2073,6
2488,32
a
Leg uit waarom het verband tussen de tijd en de hoeveelheid geen lineair verband is.
b
Bereken 1200:1000 en 1440:1200 en 1728:1440 en 2073,6:1728 en 2488,32:2073,6..
Wat valt je op?
c
Hoe noem je de uitkomst van vraag b?
2
Een hoeveelheid groeit exponentieel. De groeifactor is 1,5.
Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd (uur)
0
1
2
3
4
5
hoeveelheid
200
300
3
Hieronder zie je drie tabellen.
Onderzoek bij welke tabellen een exponentieel verband hoort.
Schrijf van de exponentiele verbanden de groeifactor op.
tijd (uur)
0
1
2
3
4
hoeveelheid
3
6
12
24
48
tijd (uur)
0
1
2
3
4
hoeveelheid
3
4,5
9
18
27
tijd (uur)
0
1
2
3
4
hoeveelheid
128
32
8
2
0,5
4
In de tabel is de groei van de wereldbevolking in de 19e eeuw in perioden van 20 jaar weergegeven.
jaar (uur)
1800
1820
1840
1860
1880
1900
inwoners (× miljoen)
1000
1102
1216
1340
1477
1629
a
Teken een grafiek bij de tabel.
Hoe zie je in de grafiek dat de groei van de bevolking niet lineair was?
b
Onderzoek of de groei van de bevolking exponentieel is verlopen.
Zo ja, geef de groeifactor per 20 jaar.
5
In een stad is sprake van een rattenplaag. De gemeente grijpt in en begint de ratten te bestrijden. In de tabel het resultaat.
tijd (weken)
0
1
2
3
4
5
ratten
7000
5885
4940
4150
3490
2930
a
Teken een grafiek bij de tabel.
Hoe zie je in de grafiek dat de afname van het aantal ratten niet lineair is?
b
Onderzoek of de afname van de ratten exponentieel is verlopen.
Zo ja, geef de groeifactor per maand.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Als een hoeveelheid jaarlijks met een vast percentage toeneemt of afneemt,
is er sprake van exponentiële groei.
Voorbeelden
Een bedrag neemt jaarlijks met 10% toe.
100% + 10% = 110% . De groeifactor is 1,1.
Een bedrag neemt jaarlijks met 20% af.
100% – 20% = 80%. De groeifactor is 0,8.
Een bedrag groeit jaarlijks met een groeifactor van 1,04.
1,04 = 104% = 100% + 4%. Het bedrag groeit jaarlijks met 4%.
Een bedrag slinkt jaarlijks met een groeifactor van 0,92.
0,92 = 92% = 100% – 8%. Het bedrag slinkt jaarlijks met 8%.
Formule exponentieel verband
Een exponetieelverband kun je ook weergeven in een formule.
De algemene vorm van een formule voor een exponentieel verband tussen
de hoeveelheid H en de tijd t is: H = b · gt
In de formule is b de beginhoeveelheid (als t = 0) en is g de groeifactor.
Voorbeeld
In een visvijver zaten op 1 januari 2010 ongeveer 10000 vissen.
Het aantal vissen groeit jaarlijks met 5%.
Formule: A = 10000 · 1,05t A is het aantal vissen en t is het aantal jaren ná 1 januari 2010.
Hoeveel vissen zitten er op 1 januari 2015 in de vijver? t = 5 geeft A = 10000 × 1,055 ≈ 12763 vissen
Opgaven
1
Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,-.
Je krijgt 3% rente per jaar.
a
Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?
b
Neem de tabel over en vul hem in.
jaar
0
1
2
3
4
bedrag (€)
500
515
c
Hoe bereken je het bedrag dat na 10 jaar op de rekening staat?
Bereken het bedrag ook uit.
2
Hoe groot is de groeifactor in de volgende situaties?
a
De prijzen stijgen jaarlijks met 12%.
b
Je hebt een lekke band. Iedere minuut stroomt er 10% van de lucht uit je band.
c
Het aantal vogels in dat gebied neemt ieder jaar met 8% toe.
d
De hoeveelheid zeehonden in de Noordzee daalt jaarlijks met 12%.
3
Welke procentuele verandering hoort bij de volgende situaties?
a
Een bedrag groeit met een groeifactor van 1,06.
b
Bij de jaarlijkse afname van de winst hoort een groeifactor van 0,8.
4
Om een patiënt voor een operatie onder narcose te brengen,
wordt 800 mg van een narcosemiddel in het bloed toegediend.
De hoeveelheid narcosemiddel neemt per uur 30% af.
a
Welke groeifactor hoort bij afname van 30% per uur?
b
Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd (uur)
0
1
2
3
4
narcosemiddel (mg)
800
c
Hoe bereken je de hoeveelheid narcosemiddel in het bloed na 8 uur?
Bereken die hoeveelheid ook.
5
Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,−.
Je krijgt 3% rente per jaar.
Neem B is het bedrag op je spaarrekening en t is de tijd in jaren.
a
Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?
b
Welke formule past bij het verband tussen t en B?
Kies uit:
B =500× t
B =500+3× t
B =500×1,03t
B =500× t1,03
c
Bereken het bedrag dat op je rekening staat na 12 jaar.
6
In de tabel is een exponentieel verband tussen de tijd t en de hoeveelheid H weergegeven.
tijd t
0
1
2
3
4
hoeveelheid H
500
400
320
256
204,8
a
Bepaal de groeifactor die hoort bij het exponentiële verband.
b
Maak een formule bij het verband tussen t en H.
c
Bereken H als t =8.
Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
d
Bereken H als t =3,5.
Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
7
In een meer waarin vaak mensen zwemmen, komt per ongeluk 55 kilogram gif in het water. Per uur neemt de hoeveelheid gif af met 1,5%. Een milieuonderzoeker heeft voor deze situatie de volgende formule opgesteld: G =55×0,985t
Hierin is G de hoeveelheid gif in kilogram die in het meer aanwezig is en t de tijd in uren nadat het gif in het water is gekomen.
a
Laat met een berekening zien dat er na 2 dagen nog ongeveer 27 kilogram gif in het meer zit.
b
De hoeveelheid gif neemt met 1,5% per uur af.
Inge denkt dat de hoeveelheid gif in 48 uur met 48×1,5%=72% afneemt.
Heeft Inge gelijk? Leg je antwoord uit.
c
Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd t
0
20
40
60
80
100
hoeveelheid G
d
Teken de grafiek bij de formule.
8
In de periode 1995 - 2000 is het aantal telecomwinkels in Nederland bij benadering exponentieel gestegen volgens de formule: A =115×1,27t
Hierin is A het aantal telecomwinkels in Nederland en t het aantal jaren na 1995.
a
Hoeveel telecomwinkels waren er in 1995?
b
Laat met een berekening zien dat er in 2000 volgens de formule afgerond 380380telecomwinkels in Nederland waren.
c
Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd t
1995
1996
1997
1998
1999
2000
telecomwinkels A
380
d
Teken de grafiek bij de formule.
Examenopgaven
Examenopgaven
Konijneneiland
Konijneneiland In april 1995 werd op een eiland een groep van 20 konijnen losgelaten. Ieder volgend jaar werd in april het aantal konijnen op het eiland opnieuw geteld. Dit aantal K werd in een grafiek uitgezet. Deze grafiek staat hieronder. Hierin is t in jaren met t = 0 in april 1995.
1. In april van welk jaar werden er volgens de grafiek voor het eerst meer dan 1000 konijnen geteld? Leg je antwoord uit. Er is een formule opgesteld die zo goed mogelijk past bij de grafiek: K = 2000 − 1980 × 0,85t Hierin is K het aantal konijnen, t is in jaren met t = 0 in april 1995.
2. Laat met een berekening zien dat er volgens de formule in april 2004 ongeveer 1540 konijnen waren.
3. Met hoeveel procent is het aantal konijnen toegenomen van april 2004 tot april 2005? Gebruik de formule en schrijf je berekening op. Rond je antwoord af op één decimaal.
Door ruimte- en voedselgebrek zal het aantal konijnen op het eiland niet kunnen blijven toenemen. Volgens de formule blijft het aantal konijnen na een groot aantal jaren constant.
4. Hoeveel konijnen zijn er na een groot aantal jaren op het eiland volgens de formule? Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
Parket
In zijn woonkamer wil Jan parket op de vloer laten leggen. Voor de vloer van zijn woonkamer heeft Jan 56,25 m2 parket nodig.
Jan laat het parket leggen door het bedrijf “De Houthal”. Dit bedrijf berekent de kosten voor het leggen van het parket (legkosten) met de volgende woordformule:
Legkosten = 35 x \(\sqrt(oppervlakte benodigd parket)\)
Hierbij is oppervlakte benodigd parket in m2 en legkosten in euro.
5. Bereken hoeveel euro Jan moet betalen voor het leggen van het parket in zijn woonkamer. Schrijf je berekening op.
Van de legkosten van het parket bij verschillende oppervlakten kun je een tabel en een grafiek maken.
Hieronder staat een tabel van de legkosten.
6. Vul de drie ontbrekende waarden in de tabel in. Rond je antwoord af op hele euro.
7. Neem het assenstelsel van hieronder over en teken de bijbehorende grafiek.
8. Jan wil ook zijn keuken van hetzelfde parket laten voorzien. Voor de keukenvloer heeft hij 10 m2 parket nodig. Hij denkt dat het voordeliger is om het parket in de woonkamer en de keuken tegelijkertijd te laten leggen, in plaats van eerst het parket in de woonkamer en een half jaar later het parket in de keuken. Leg uit dat Jan gelijk heeft.
Online-shoppers
In de krant stond het volgende bericht: Steeds meer online-shoppers in Nederland Online-shoppers zijn mensen die winkelen op het internet. Elk jaar op 31 december worden gegevens over de Nederlandse online-shoppers in dat jaar bekend gemaakt. In 2010 kwamen er 600 000 nieuwe online-shoppers bij. Het totaal aantal online-shoppers in 2010 kwam daarmee op 9,25 miljoen. In 2010 gaven zij in totaal 8,2 miljard euro uit aan online-aankopen. Dat was 11% meer dan het jaar daarvoor.
9. Bereken hoeveel euro een online-shopper in 2010 gemiddeld uitgaf. Schrijf je berekening op.
10. Bereken met hoeveel procent het aantal online-shoppers is toegenomen in 2010. Schrijf je berekening op.
11. Bereken hoeveel miljard euro er in 2009 aan online-shoppen werd uitgegeven. Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op één decimaal.
12. In 2010 gaven de online-shoppers in totaal 8,2 miljard euro uit. Neem aan dat dit bedrag na 2010 elk jaar met 11% blijft toenemen. Bereken in welk jaar dit bedrag dan voor het eerst zal zijn verdubbeld. Schrijf je berekening op.
3. Afstanden en hoeken
3.1 Zijden berekenen
Instructievideo:
Opgaven
1
a Bereken BC.
b Bereken PQ.
2
a Bereken QR.
b Bereken AC.
3
a Bereken AC.
b Bereken KL.
c Bereken QR.
4 Bereken BC.
3.2 Hoeken berekenen met goniometrie
Hoeken berekenen met sinus, cosinus en tangens
Instructievideo hoeken berekenen:
Opgaven
1
a Bereken hoek A
b Bereken hoek E
2
a
Vul in.
Rond je antwoorden af op twee cijfers achter de komma.
cos 77° ≈ ....
cos 26° ≈ ....
cos 40° ≈ ....
cos 45° = ....
b
Bereken de bijbehorende hoek. Rond af op hele graden.
cos∠A =0,5 geeft ∠A = ...°
cos∠B =0,17 geeft ∠B ≈ ...°
cos∠C =0,49 geeft ∠C ≈ ...°
cos∠D =0,98 geeft ∠D = ...°
3
a Bereken hoek A.
b Bereken hoek Q.
4
a Bereken hoek C.
b Bereken hoek L.
c Bereken hoek Q.
5 Bereken hoek A in het figuur hieronder.
6 Bereken hoek M in het figuur hieronder.
3.3 Hoeken in vlakke figuren
Driehoeken
Een driehoek is een vlak figuur met drie hoeken en drie zijden.
Je ziet driehoek ABC.
In plaats van driehoek ABC schrijf je ook wel ΔABC.
De zijden van de driehoek zijn AB, BC en AC.
De hoeken van de driehoek zijn ∠A, ∠B en ∠C.
In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen 180°zijn.
Voorbeeld
Van de driehoek ABC is ∠A = 132° en ∠B = 20°.
Hoe groot is ∠C?
∠C = 180° - 132° - 20° = 28°
Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:
twee gelijke zijden
twee gelijke hoeken
één symmetrieas
De symmetrieas gaat door de tophoek.
Voorbeeld
Driehoek PQR is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek ∠R = 52°.
Bereken ∠P en ∠Q.
∠P en ∠Q zijn samen 180° – 52° = 128°
Driehoek PQR is een gelijkbenige driehoek, dus ∠P = ∠Q.
∠P = ∠Q = 128° : 2 = 64°
Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek
Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft:
drie gelijke zijden
drie gelijke hoeken
drie symmetrieassen
De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn 180° : 3 = 60°
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één
van de hoeken 90° is. Voorbeeld
Driehoek ABC is een rechthoekige driehoek
met ∠A = 90° en ∠B = 42°.
Hoe groot is ∠C?
∠C = 180° – 90° – 42° = 48°
Vierhoeken
Een vierhoek is een vlak figuur met vier hoeken en vier zijden.
Je ziet vierhoek ABCD.
De zijden van de vierhoek zijn AB, BC, CD en AD.
In iedere vierhoek geldt dat de vier hoeken samen 360°zijn.
Voorbeeld
Van vierhoek ABCD is gegeven dat
∠A = 132°, ∠B = 65° en ∠D = 36°.
Bereken ∠C.
∠C = 360° - 132° - 65° - 36° = 127°
Vierkant en rechthoek
Een rechthoek is een vierhoek:
met vier rechte hoeken,
waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen even lang zijn,
waarvan de twee diagonalen even lang zijn,
met twee symmetrieassen,
die draaisymmetrisch is; draaihoek is 180°.
Een vierkant is een bijzondere rechthoek.
Een vierkant is een vierhoek:
met vier rechte hoeken,
met vier gelijke zijden,
waarvan de twee diagonalen even lang zijn,
met vier symmetrieassen,
die draaisymmetrisch is; draaihoek is 90°.
Ruit en parallellogram
Een ruit is een vierhoek:
met vier gelijke zijden,
waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen even groot zijn,
waarvan de twee diagonalen loodrecht op elkaar staan,
met twee symmetrieassen.
die draaisymmetrisch is; draaihoek is 180°.
Een parallellogram is een vierhoek:
waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen even lang zijn,
waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen evenwijdig zijn,
waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen even groot zijn,
die draaisymmetrisch is; draaihoek is 180°.
Vlieger
Vierhoek ABCD is een vlieger.
Vlieger ABCD is een vierhoek:
met AB = AD en BC = CD
met ∠B = ∠D
waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan,
met één symmetrieas.
Naamgeving hoeken
Als er bij een punt meerdere hoeken zijn, gebruik je meestal cijfertjes om de hoeken van elkaar te onderscheiden.
In parallellogram ABCD is diagonaal AC getekend.
De diagonaal deelt ∠A in twee stukken.
Met behulp van cijfers wordt aangegeven
welke hoek je bedoelt.
Er geldt: ∠A = ∠A1 + ∠A2 = ∠A12
Je kunt een hoek ook met drie letter aangeven.
In plaats van ∠A1 schrijf je dan ∠BAC.
De middelste letter staat bij het hoekpunt.
Dus in plaats van ∠A2 schrijf je dan ∠DAC of ∠CAD.
F-hoeken en Z-hoeken
F-hoeken
De lijnen m en n lopen evenwijdig.
Lijn q snijdt lijn m en lijn n in de punten A en B.
Nu geldt dat ∠A1 = ∠B1
Hoek A1 en hoek B1 noem je F-hoeken.
Z-hoeken
De lijnen m en n lopen evenwijdig.
Lijn q snijdt lijn m en lijn n in de punten K en L.
Nu geldt dat ∠K1 = ∠L1
Hoek K1 en hoek L1 noem je Z-hoeken.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Als je in een ruimtelijk figuur een hoek moet
uitrekenen, kijk dan goed in welk vlak de hoek ligt.
Voorbeeld
Bekijk balk ABCD·EFGH met AB = 6, AD = 3 en AE = 4.
Bij hoekpunt B is de hoek ∠CBG aangegeven.
Bereken de grootte van ∠CBG in graden nauwkeurig.
- ∠CBG ligt in zijvlak BCGF.
Zijvlak BCGF is een rechthoek van 3 bij 4.
- Vanuit ∠CBG weet je de lengte van de overstaande rhz
en aanliggende rhz.
Gebruik de tangens.
Verlengde stelling van Pythagoras
Opgaven
1 Bekijk balk ABCD·EFGH met AB =6, BC =3 en CG =4
In de balk is hoek ∠BAG aangegeven.
Je moet de grootte van deze hoek berekenen.
a Bereken met de stelling van Pythagoras de lengte van zijde BG.
b Wat voor soort driehoek is driehoek ABG?
Maak een schets van deze driehoek.
Zet de bekende afmetingen bij de zijden.
c Bereken ∠GAB.
2 Bekijk balk ABCD·EFGH met AB =6, BC =3 en CG =4
In de balk is hoek ∠BHF aangegeven.
Je moet de grootte van deze hoek berekenen.
a Bereken met de stelling van Pythagoras de lengte van zijde FH.
Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
b Bereken ∠BHF.
3 In een assenstelsel met drie assen is piramide OABC·T getekend. De coördinaten van de punten A, C en T zijn: A(5,0,0), C(0,5,0) en T(0,0,5).
Je moet de grootte van ∠OBT berekenen.
a Bereken met de stelling van Pythagoras lengte OB.
Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
b Bereken ∠OBT.
4 Bekijk balk ABCD·EFGH met AB =6, BC =3 en CG =4
Op ribbe AB ligt punt P, zo dat AP =4.
In de balk is diagonaalvlak ABGH getekend.
Je moet de grootte van de hoeken APH, BPG en GPH berekenen.
a Bereken met de stelling van Pythagoras de lengte van zijde BG.
b Bereken ∠APH.
c Bereken ∠BPG.
5 De schoorsteen hiernaast is van bovenaf gezien een vierkant van 80 cm bij 80 cm.
a Laat met een berekening zien dat de aangegeven hoek bij punt A ongeveer 63° is.
b De schoorsteen gaat door een gat in het dak. Bereken de afmetingen van dat gat in mm nauwkeurig.
6 Bereken AG.
7 Bereken Z.
8
a Bereken BH.
b Bereken hoek DBH.
9
a Bereken EC.
b Bereken hoek AEC.
3.6 Coördinaten in de ruimte
Ruimtecoördinaten
Een ruimtelijk figuur kun je in een assenstelsel met drie assen tekenen.
De oorsprong is dan het punt O (0,0,0).
Ook de andere punten geef je aan met drie ruimtecoördinaten.
Voorbeeld
In het assenstelsel zie je balk ABCO·EFGH getekend. De assen zijn de lijnen door OA, OC enOH. Voor de hoekpunten van de balk geldt:
A (2,0,0)
B (2,5,0)
C (0,5,0)
O (0,0,0)
E (2,0,3)
F (2,5,3)
G (0,5,3)
H (0,0,3)
De eerste coördinaat (x-coördinaat) geeft aan hoeveel je naar voren gaat,
de tweede coördinaat (y-coördinaat) geeft aan hoeveel je naar rechts gaat en
de derde coördinaat (z-coördinaat) geeft aan hoeveel je omhoog gaat.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
1 Meneer Visser schuift de ladder uit tot een lengte van 5,8 meter. Hij zet de ladder tegen de muur. Deze komt dan tot een hoogte van 5,5 meter. Zie onderstaande tekening.
Bereken in graden nauwkeurig de hoek die de ladder met de grond maakt. Schrijf je berekening op.
2 Henk heeft een schets van de zijkant van de stalling gemaakt met de maten erbij. De dikte van de buizen verwaarloost hij hierin. Door de stalling met deze afmetingen te maken, past elk soort fiets erin. Zie onderstaande schets.
a) Henk moet afstand c, de afstand tot de grond, nog weten. Bereken afstand c in centimeters. Schrijf je berekening op.
b) De hoek waaronder Henk de overkapping wil plaatsen is in de schets aangegeven. Bereken in graden nauwkeurig de grootte van de aangegeven hoek. Schrijf je berekening op.
3
Hieronder staat een tekening van een van de ruiten. Hoek A is 60°. Laat met een berekening zien dat de lengte van AT afgerond 5,20 meter is.
4 Bereken hoeveel graden de hellingshoek van het dak hieronder is.
5
Bij het kratten stapelen wordt een kraan gebruikt. De kraanarm heeft een lengte van 25 meter en staat 2 meter boven de grond op een vrachtauto. De top T van de kraanarm bevindt zich 20 meter boven de grond, recht boven het midden van de piramide. Zie de tekening hieronder. Deze tekening is niet op schaal.
a Bereken hoeveel graden hoek T is. Schrijf je berekening op.
b De piramide van kratten is 20 m breed. In de tekening is de horizontale afstand a aangegeven tussen het begin van de kraanarm en de rand van de piramide. Æ Bereken hoeveel meter de horizontale afstand a is. Schrijf je berekening op.
4. Grafieken en vergelijkingen
4.1 Evenredig en omgekeerd evenredig
Omgekeerd evenredig verband
Als het product van twee variabelen steeds gelijk is, is het verband
tussen de variabelen een omgekeerd evenredig verband.
Voorbeeld
Een rechthoek heeft een oppervlakte van 24.
Voor de rechtoek geldt de formule:
lengte × breedte = 24
Bij de formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen.
De grafiek noem je een hyperbool.
De grafiek komt steeds dichter bij de assen, maar
zal de assen nooit snijden.
Evenredig verband
Is de ene veriabele 2x zo groot, dan is de andere variabele ook 2x zo groot.
t
0
1
2
3
4
a
0
50
100
150
200
a = afstand in cm
t = tijd in uren
Als t 4x zo groot is, dan is a ook 4x zo groot. Er is sprake van een evenredig verband.
De grafiek snijdt altijd de oorsprong (0,0) bij een evenredig verband. Het begingetal = 0.
De formule is a = 50t
Opgaven
In de grafiek zie je het verband tussen het benzineverbruik verbruikt en de afgelegde afstand weergegeven.
1 a Hoe zie je aan de grafiek dat het verband tussen het benzineverbruik en de afgelegde afstand een evenredig verband is?
b Lees uit de grafiek af hoeveel km je kunt rijden met 5 liter benzine.
c Vul in: de auto rijdt 1 op ... .
d Hoeveel km kun je rijden met 8 liter benzine?
e Geef de formule van het evenredig verband.
2
Je rijdt 32 km over de snelweg.
a Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 80 km/h rijdt?
b Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 40 km/h rijdt?
Als het goed is heb je bij a en b ontdekt dat bij een twee keer zo grote snelheid een half keer zo grote reistijd hoort.
v = snelheid in km/h.
c Teken een grafiek van t =1920/v. Maak eerst een tabel met voor v de waarden 10, 20, ..., 120.
d Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna 0 wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?
e Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?
3 Geef bij de volgende tabellen aan of het een omgekeerd evenredig verband is of een evenredig verband.
a
Afstand in m
1
2
3
4
Tijd in seconden
800
400
266,7
200
b
Afstand in m
3
4
5
6
Tijd in seconden
555
500
445
390
c
Afstand in m
1
3
7
9
Tijd in seconden
1200
400
171,4
133,3
d
Afstand in m
0
2
3
4
Tijd in seconden
600
300
200
150
4 Gerrit koopt pennen in. De formule die hierbij hoort luidt:
P = 30:a
P = prijs per pen
a = aantal pennen
a
10
20
30
40
50
P
a Vul de tabel in
b Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
c Bereken de prijs bij aantal 0. Waarom kan dit niet?
5 Bij de volgende tabellen hoort een omgekeerd evenredig verband. Vul de tabellen verder in.
Bedrag
1
2
3
4
5
aantal
50
25
P
3
7
9
11
19
h
11
3
Waarde
22
17
13
12
11
hoeveelheid
4
6 Maak de formules die horen bij de tabellen van vraag 5 en teken de grafieken.
4.2 Allerlei formules en grafieken
Er zijn verschillende soorten grafieken. Deze staan in het figuur hieronder.
1 = kwadratisch verband
2 = periodiek verband
3 = wortelverband
4 = omgekeerd evenredig verband
5 = evenredig verband
6 = lineair stijgend
7 = lineair dalend
8 = exponentieel verband
9 = trapjesgrafiek
10 = stippengrafiek
Opgaven
1
De TPG-tarieven voor de brievenbuspost binnenland zijn in 2007:
van 0 tot en met 20 gram: € 0,44
van 20 tot en met 50 gram: € 0,88
van 50 tot en met 100 gram: € 1,32
van 100 tot en met 250 gram: € 1,76
Het tarief T is is afhankelijk van het gewicht g.
Maak een bijpassende grafiek.
2 Maak een stippengrafiek bij de volgende gegevens:
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
In deze paragraaf ga je onderzoeken of formules gelijkwaardig zijn.
Voorbeeld
formule 1: a = (800-150) : b
formule 2: b = 650 : a
a = aantal schoenen
b = bedrag in euro
Je vult in formule 1 een bedrag in. Bijvoorbeeld b = 10 euro.
a = (800-150) : 10 = 65.
a = 65 schoenen.
Dit aantal vul je in in formule 2.
b = 650 : 65 = 10.
Dit is het bedrag dat je in formule 1 had ingevuld. De formules zijn dus gelijkwaardig.
Instructievideo
Opgaven
1 Onderzoek of de formules gelijkwaardig zijn.
a = 8 + 3b
b = (a - 8) : 3
2 Onderzoek of de formules gelijkwaardig zijn.
P = 1500 - 8K
K = P : 8 -1500
3 Zijn de formules gelijkwaardig?
Prijs = 400 : 8 + aantal
aantal = Prijs x 4 - 800
4 Zijn de formules gelijkwaardig?
A = (40 + 4p) : 20
p = 5A - 10
5 Piet heeft een baantje. Er is een verband tussen zijn salaris en het aantal gewerkte uren.
S = 10 + 4a en a = (S - 10) : 4
S = salaris in euro
a = aantal gewerkte uren.
a Wat is het salaris na 10 uur werken?
b Hoeveel uren moet Piet werken als hij 50 euro verdient?
c Zijn de formules gelijkwaardig?
4.4 Vergelijkingen oplossen
Voorbeelden van vergelijkingen
3a + 4 = 8
5x - 7 = 2x + 3
50 = 2 x aantal gewerkte uren
Bij een vergelijking hoort een oplossing. Deze kan je op 3 verschillende manieren bepalen:
1. Oplossen met behulp van een grafiek
2. Oplossen met inklemmen
3. Oplossen met de balansmethode
Oplossen met grefieken
In het assenstelsel zie je twee grafieken.
Bij grafiek I hoort de formule: uitkomst = 3 x getal – 4
Bij grafiek II hoort de formule: uitkomst = -2 x getal + 6
de x-coordinaat van het snijpunt is de oplossing die hoort bij de vergelijking:
3 x getal - 4 = -2 x getal + 6
De oplossing is getal = 2.
3 x 2 - 4 = 2
-2 x 2 + 6 = 2
Dus dit klopt!
Oplossen met inklemmen
Instructievideo
Vergelijkingen oplossen met de balansmethode
In een vergelijking kunnen ook negatieve getallen voorkomen.
Dan is het lastig om aan een balans te denken.
Je kunt de vergelijking dan wel oplossen met de balansmethode.
Bekijk de vergelijking:
Controle: 4 × 6 – 3 = 21 en 2 × 6 + 9 = 21 Klopt!
Instructievideo balansmethode
Opgaven
1 Welke formule hoort bij welke grafiek?
Grafiek I: y = 7
Grafiek II: y = 6 - x
Grafiek III: y = 0,5x
Grafiek IV: x = -2
Grafiek V: y = -1
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
9. De afstand over de weg = 1,2 x afstand hemelsbreed.
Omrekenschema's
Eenheden van gewicht
Eenheden van tijd
Eenheden van snelheid
Procenten
Percentage gegeven
Percentage gevraagd
Van deel naar geheel
Procentuele toename
Procentuele afname
BTW
BTW (Belasting Toegevoegde Waarde) wordt berekend op alles dat je koopt.
Voor eerste levensbehoeften is het percentage 6%, voor luxebehoeften is het
percentage 21% (vroeger 19% dus dat kom je nog vaak tegen in opgaven).
De prijs exclusief BTW is de basis; dit is altijd 100%. De BTW is een percentage
van de basis en wordt daarbij opgeteld. De prijs inclusief BTW is dus altijd meer
dan 100% (106%, 119% of 121%, afhankelijk van de opgave).
In een formule:
prijs exclusief BTW + BTW = prijs inclusief BTW
Promille
Je hebt eerder gerekend met procenten. Procent betekent letterlijk "per honderd". Promille betekent letterlijk "per duizend".
1 promille is een duizendste deel en geven we aan met het symbool ‰.
5 promille geven we aan als 5‰.
12 promille geven we aan als 12‰.
Voorbeelden:
Enkele voorbeelden met promillen:
- hoeveel promille is 3 van 8?
3 : 8 = 0,375, in promillen is dat dan: 0,375 x 1000‰ = 375‰
- hoeveel promille is 0,2 van 212?
0,2 : 212 = 0,000943, in promillen is dat: 0,000943 x 1000‰ = 0,943‰
- wat is 10‰ van 250?
250 : 1000 = 0,25 (1‰)
0,25 x 10 = 2,5 (10‰)
- wat is 18‰ van 75?
75 : 1000 = 0,075 (1‰)
0,075 x 18 = 1,35 (18‰)
Exponentiele toename
Exponentiele afname
Groeipercentage en groeifactor
Grote getallen
Wetenschappelijke notatie
Opgaven
1
a 12,627 m = .................................. dam
b 53,227 cm = .................................. hm
c 402,5 dm = .................................. km
d 932,064 km = .................................. m
e 28,613 cm = .................................. hm
f 629,84 dm = .................................. dam
g 319,944 cm = .................................. mm
h 910,83 km = .................................. mm
i 217,05 dm = .................................. km
j179,36 km = .................................. cm
2
a 61,413 mm² = .................................. cm²
b 824 dm² = .................................. hm²
c 69,3 km² = .................................. m²
d 600 km² = .................................. dam²
e 52,9 mm² = .................................. m²
f 324,084 mm² = .................................. dm²
g 59,98 hm² = .................................. dm²
h 61 dm² = .................................. mm²
i 22,61 dm² = .................................. m²
j 96,8 dam² = .................................. ha
k 119,516 dm² = .................................. ca
l 917,2 are = .................................. hm²
3
a
24 m³ = ..... dm³
b
4,8 dm³ = ..... mm³
c
0,98 m³ = ..... cm³
d
24000 cm³ = ..... m³
e
5400 dm³ = ..... m³
f
24000 mm³ = ..... dm³
g
3,6 L = ..... dm³
h
13 cL = ..... dm³
i
40000 mL = ..... dm³
4
a 400 kg = ...ton b 0,6 kg = ...g c 750 mg = ...ton d 0,8 ton = ... kg
5
a Kees vliegt naar Spanje. De vliegreis duurt 165 minuten. De reistijd is
............. uur en ................. minuten.
b Loes gaat met de auto op vakantie. Ze zit 5 uur en 45 minuten in de auto.
Hoeveel minuten zijn dat?
6
a 86 uur = ............. dagen en ....... uur
b 27 maanden = ................. jaar en ................. maanden
c 626 jaar = ..................... eeuwen en ............. jaar
7
a 5 minuten = ...seconden
b 12 uur = ...minuten
c 3 dagen = ...uren
d 2 kwartalen = ...weken
e 3 eeuwen = ...jaar
f 2 uur = ...seconden
8
a Hoeveel jaar en hoeveel dagen is 5,8 jaar?
b Hoeveel uur en hoeveel minuten is 3,2 uur?
c Hoeveel dagen en hoeveel uur is 6,5 dagen?
d Hoeveel minuten en hoeveel seconden is 520 seconden?
9
a 40 m/s = ...km/uur
b 56 km/uur = ...m/s
c 50 km/uur = ...m/s
d 2 m/s = ...km/uur
10
a Bart fiets 20 km om naar een vriend toe te gaan. Hoe lang doet hij daar over? Geef je antwoord in uren en minuten.
b In Nederland wordt er op Prinsjesdag geld verdeeld. Er wordt 300 miljoen euro verdeeld voor de gezondheidszorg. Hoeveel euro is dit per hoofd van de bevolking?
11 Reken uit
a 6% van 150
b 12% van 150
c 25% van 150
d 45% van 150
12 Reken uit
a 17% van 300
b 17% van 450
c 17% van 750
d 17% van 900
13 Een boekhandelaar verkoopt per week 1800 boeken. 20% van deze boeken zijn thrillers. Hoeveel thrillers verkoopt de boekhandelaar per week?
14 Op het Wellandcollege zitten 1250 leerlingen. 54% van deze leerlingen komt met de fiets naar school.
Hoeveel leerlingen zijn dat?
15 De flessen Coca cola zijn in de aanbieding: een sixpack kost nu €2,10 exclusief 6% BTW. Bereken het bedrag aan BTW.
16 Je koopt voor je vriendin bij de Makro een flesje parfum voor haar verjaardag. De prijs exclusief 21% BTW is €14,91. Hoeveel betaal je voor inclusief BTW?
17 Je belt 10 minuten met je oma die in Spanje aan het overwinteren is. Een minuut bellen kost je €0,27 exclusief 21% BTW. Hoeveel kost het hele telefoontje?
18 Je koopt een boek bij de Bruna voor €15 exclusief 21% BTW. Bereken het bedrag aan BTW.
19 Je kat heeft honger dus ga je naar de supermarkt voor een kilo Whiskas. Dat kost je €2,69 exclusief 6% BTW. Bereken hoeveel de prijs inclusief BTW is.
20 In klas 3B zitten 28 leerlingen. Voor een proefwerk wiskunde hadden 8 leerlingen een onvoldoende. Hoeveel procent van de leerlingen had een onvoldoende? Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
21 Isabel heeft € 120,− voor haar verjaardag gekregen. Van dat geld koopt ze een nieuwe broek van € 75,−. De rest van het geld zet ze op haar spaarrekening. Hoeveel procent van het geld zet ze op de spaarrekening?
22 Hoeveel procent is:
a 10 van 300
b 30 van 300
c 60 van 300
d 200 van 300
23 KLM heeft in totaal 285 vliegtuigen. Daarvan zijn er vier van het type 'Airbus A380'. Hoeveel procent is dat?
24 Bij deze fabriek werken 42 vrouwen. Dat is 30% van het personeel.
Hoeveel mensen werken er totaal bij deze fabriek?
25 Peter vertelt dat hij 275 euro per week verdient omdat hij 10% loonsverhoging heeft gekregen. Hoeveel verdiende hij
vóór de loonsverhoging?
26 Reken om naar 100%:
a 24% is 214
b 18% is 5,8
c 212% is 200
d 114% is 36,8
27 Op een school is voor het eindexamen een gemiddeld slagingspercentage van 96% behaald. 188 leerlingen zijn geslaagd. Hoeveel leerlingen hebben er in totaal eindexamen gedaan?
28 28% van de jongens tussen de 13 en 18 jaar doet aan voetbal. Dit zijn 110.000 jongens. Hoeveel jongens zijn er tussen de 13 en 18 jaar?
29 Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,−. Je krijgt 3%rente per jaar.
a. Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?
b. Bereken het bedrag dat je na één jaar op je rekening hebt staan.
c. Bereken ook het bedrag dat er na twee jaar op je rekening staat.
30 Hoe groot is de groeifactor in de volgende situaties.
a. De prijzen stijgen jaarlijks met 12%.
b. Je hebt een lekke band. Iedere minuut stroomt er 10% van de lucht uit je band.
c. Het aantal vogels in dat gebied neemt ieder jaar met 8% toe.
d. De hoeveelheid zeehonden in de Noordzee daalt jaarlijks met 12%.
31 Welke procentuele verandering hoort bij de volgende situaties.
a. Een bedrag groeit met een groeifactor van 1,06.
b. Bij de jaarlijkse afname van de winst hoort een groeifactor van 0,8.
32 Om een patiënt voor een operatie onder narcose te brengen, wordt 800 mg van een narcosemiddel in het bloed toegediend. De hoeveelheid narcosemiddel neemt per uur 30% af.
a. Welke groeifactor hoort bij afname van 30% per uur?
b. Hoeveel narcosemiddel zit er na 1 uur nog in het bloed?
c. Bereken ook de hoeveelheid narcosemiddel in het bloed na 2 uur.
d. Als de hoeveelheid narcosemiddel in het bloed minder dan 150 mg is, spreek je niet langer van een narcose.
Zoek eens na hoeveel uur de hoeveelheid narcosemiddel in het bloed minder dan 150 mg is.
33 In een bepaald gebied neemt het aantal vogels jaarlijks met 15% toe. Op 1 mei 2012 zijn er 5000 vogels in het gebied geteld.
a. Welke groeifactor hoort bij jaarlijkse groei van 15%?
b. Hoeveel vogels waren op 1 mei 2013 in het gebied aanwezig?
c. En hoeveel vogels op 1 mei 2014?
d. In welk jaar zijn er voor het eerst meer dan 10000 vogels in het gebied?
34 Reken uit:
a 5‰ van 300
b 12‰ van 120
c 7,5‰ van 28,8
d 20‰ van 20,5
35 Hoeveel promille is:
a 1 van 300
b 3 van 300
c 6 van 300
d 20 van 300
36 Bart heeft thuis 25000 boeken in de kast staan. Hij heeft 120 boeken gelezen. Hoeveel promille is dit? Rond af op 1 decimaal.
37 Gijs drinkt 150 glazen frisdrank per maand. Hiervan zijn 7 glazen cola. Hoeveel promille is dit?
38
Schrijf als macht van 10:
a 1000
b 100000000
c 10 miljard
d 0,001
e 1100000
f 10 miljardste
39
Schrijf in de wetenschappelijke notatie:
a 123 miljoen
b 614000000000
c 0,00001496
d 0,00000000000042
40 Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie.
a 0,000000137
b 0,000342
c 0,0056
41 Schrijf zonder een macht van 10.
a 5,5 × 10-3
b 2,51 × 10-7
c 1,03 × 10-4
42 Een hardloper loopt 300 meter in 42 seconde.
a Hoeveel m/s is zijn snelheid?
b Hoeveel km/uur is dat?
43 Bert fietst 18 km/uur. Hij moet een afstand afleggen van 10 km. Hoe lang doet hij daar over? Rond af op hele minuten.
6. Vlakke figuren
Theorie
Kijkhoek
De twee kijklijnen die het gebied dat je kunt zien begrenzen, vormen samen een kijkhoek.
Hier zie je (van boven gezien) hoe iemand door een opening in een muur kijkt. De getekende kijkhoek is ongeveer 80°.
Koers
Schaal
Bij een schaal van 1:100.000 geldt 1 cm op de kaart = 1 km in werkelijkheid.
Handig om te onthouden: 1 km = 100.000 cm.
Dat is een verschil van vijf nullen. Je kunt vanuit de schaal snel van kaart-centimeters naar werkelijke kilometers komen, door vijf nullen weg te halen:
Schaal
op de kaart
in werkelijkheid
1 : 100.000
1 cm
1 km
1 : 500.000
1 cm
5 km
1 : 2.500.000
1 cm
25 km
Symmetrie
Er zijn 3 soorten symmetrie. Draaisymmetrie, lijnsymmetrie en schuifsymmetrie.
Vlakke figuren
Oppervlakte en omtrek vlakke figuren
Oppervlakte vierkant en rechthoek = lengte x breedte
Oppervlakte driehoek = 0,5 x zijde x bijbehorende hoogte
Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende boogte
Oppervlakte cirkel = straal2 x pi
Omtrek cirkel = diameter x pi
Hoeken
Rechte hoek
Het is niet altijd nodig om een hoek te meten.
Soms kun je de grootte van een hoek uitrekenen.
Hoek A = 90°
Gestrekte hoek
Twee rechte hoeken vormen samen een gestrekte hoek.
Een gestrekte hoek is 180°.
Hoek C is een gestrekte hoek.
Som hoeken driehoek
In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen 180° zijn.
Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:
twee gelijke zijden
twee gelijke hoeken
één symmetrieas
De symmetrieas gaat door de tophoek.
Voorbeeld
Driehoek PQR is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek ∠R = 52°.
Bereken ∠P en ∠Q.
∠P en ∠Q zijn samen 180° – 52° = 128°
Driehoek PQR is een gelijkbenige driehoek, dus ∠P = ∠Q.
∠P = ∠Q = 128° : 2 = 64°
Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek
Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft:
drie gelijke zijden
drie gelijke hoeken
drie symmetrieassen
De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn 180° : 3 = 60°
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één
van de hoeken 90° is. Voorbeeld
Driehoek ABC is een rechthoekige driehoek
met ∠A = 90° en ∠B = 42°.
Hoe groot is ∠C?
∠C = 180° – 90° – 42° = 48°
Vierhoeken
Een vierhoek is een vlak figuur met vier hoeken en vier zijden.
Je ziet vierhoek ABCD.
De zijden van de vierhoek zijn AB, BC, CD en AD.
In iedere vierhoek geldt dat de vier hoeken samen 360°zijn.
Voorbeeld
Van vierhoek ABCD is gegeven dat
∠A = 132°, ∠B = 65° en ∠D = 36°.
Bereken ∠C.
∠C = 360° - 132° - 65° - 36° = 127°
F-hoeken en Z-hoeken
F-hoeken
De lijnen m en n lopen evenwijdig.
Lijn q snijdt lijn m en lijn n in de punten A en B.
Nu geldt dat ∠A1 = ∠B1
Hoek A1 en hoek B1 noem je F-hoeken.
Z-hoeken
De lijnen m en n lopen evenwijdig.
Lijn q snijdt lijn m en lijn n in de punten K en L.
Nu geldt dat ∠K1 = ∠L1
Hoek K1 en hoek L1 noem je Z-hoeken.
Pythagoras
Korte zijde berekenen:
Lange zijde berekenen:
Goniometrie
Hoeken berekenen:
Zijden berekenen:
Hoeken berekenen in de ruimte:
Hellingspercentage:
Vergrotingsfactor
Bij een vergroting of een verkleining van een figuur worden alle lengtes van de figuur met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
Dat getal noem je de vergrotingsfactor.
Bij een vergroting of een verkleining van een figuur veranderen de grootte van de hoeken van de figuur niet.
Voorbeeld 1
Je ziet ΔABC en ΔDEF.
Alle zijden van ΔDEF zijn 3 × zo groot dan de zijden van ΔABC.
De vergrotingsfactor is dus 3.
De hoeken van ΔABC zijn gelijk aan de hoeken van ΔDEF.
Voorbeeld 2
Driehoek PQR is een verkleining van driehoek KLM.
Bij de figuren staan de lengten van enkele zijden.
Bereken de 'vergrotings'factor en bereken de lengte van PR en QR.
De vergrotingsfactor = 8 : 20 = 0,4
PR = 0,4 × 25 = 10
QR = 0,4 × 15 = 6
Gelijkvormige driehoeken
7. Verbanden
Theorie
Lineaire formules
Regelmatige toename en afname
Van tabel naar formule
Van formule naar tabel
Van grafiek naar formule
Richtingscoefficient bepalen
Bijzondere grafieken
Som en verschilformules
Som en verschilgrafieken
Kwadratisch verband
Wortelverband
Machtsverband
Exponentieel verband met groeifactor, verdubbelingstijd en halveringstijd
Omgekeerd evenredig verband
Periodiek verband
Gelijkwaardige formules
Oplossen met inklemmen
8. Ruimtemeetkunde
Theorie
Ruimtefiguren
41
Aanzichten
Kubus en balk tekenen
Oppervlakte balk
De oppervlakte van een rechthoek bereken je met de formule: lengte · breedte.
Als de rechthoek ook een hoogte heeft, noemen we dit een balk. Deze heeft dus de afmetingen lengte, breedte en hoogte. Van zo'n balk kan je ook de oppervlakte berekenen. Je kunt ook de inhoud van een balk bepalen.
Uitwerking:
De oppervlakte van een balk kun je berekenen door de oppervlaktes van alle zijvlakken te berekenen en bij elkaar op te tellen. Een balk heeft altijd van elk zijvlak 2 dezelfde, zoals je kan zien in de afbeelding. Dit gegeven kun je gebruiken om het rekenwerk wat te verkorten. Hieronder staat welke afmetingen je met elkaar moet vermenigvuldigen om de oppervlakte te berekenen van het betreffende zijvlak:
Van een ruimtelijk figuur kun je soms meer te weten
komen als je het figuur doorsnijdt.
Het vlak waarlangs je snijdt, noem je de doorsnede.
Doorsneden van dezelfde ruimtelijke figuur kunnen heel verschillend zijn.
De vorm van de doorsnede zie je als je recht op het snijvlak kijkt.
Van bijvoorbeeld een cilinder kun je verschillende doorsneden maken.
Verlengde stelling van Pythagoras
In deze paragraaf ga je leren hoe je een lijnstuk berekend die door de ruimte van een ruimtefiguur heen gaat. Dit noemen we een lichaamsdiagonaal.
Hierboven staat de balk ABCD EFGH weergegeven. AG is een lichaamsdiagnonaal. We kunnen de lengte van AG berekenen met de verlengde stelling van Pythagoras.
Eerst ga je zoeken naar 3 bekende zijden die een route maken van A naar G. Bijvoorbeeld AB, BC en CG. Zie afbeelding hieronder.
Nu gaan we de verlengde stelling van Pythagoras gebruiken om AG te berekenen:
Oppervlakte driehoek
Voor de oppervlakte van een driehoek geldt:
oppervlakte driehoek = ½ × zijde × hoogte
Let op: de hoogte staat altijd loodrecht op de zijde.
Hieronder zie je driehoek KLM met LM = 10.
In de driehoek is een hoogtelijn KN op LM getekend; KN = 4,6.
Bereken de oppervlakte van de driehoek KLM.
oppervlakte Δ KLM = ½ × zijde × hoogte
oppervlakte Δ KLM = ½ × 10 × 4,6
oppervlakte Δ KLM = 23
Oppervlakte parallellogram
Voor de oppervlakte van een parallellogram geldt:
oppervlakte parallellogram = zijde × hoogte
Let op: de hoogte staat altijd loodrecht op de zijde.
Voorbeeld
Hieronder zie je parallellogram KLMN met LM = 5.
In KLMN is een hoogtelijn PQ op LM getekend. PQ = 4,6
Bereken de oppervlakte van parallellogram KLMN.
π is een Griekse letter. Spreek uit: pie
π is ongeveer 3,14
Voorbeeld
Van een cirkel met middelpunt M is de straal 3 cm.
Bereken de omtrek van cirkel.
omtrek cirkel = 2 × π × straal
omtrek cirkel = 2 × π × 3 cm
omtrek cirkel ≈ 2 × 3,14 × 3 cm
omtrek cirkel ≈ 18,84 cm
Oppervlakte cirkel
Voor de oppervlakte van een cirkel geldt:
oppervlakte cirkel = π × straal2 of oppervlakte cirkel = ¼ × π × diameter2
Voorbeeld
Van een cirkel met middelpunt M is de straal 3 cm.
Bereken de oppervlakte van de cirkel.
oppervlakte cirkel = π × straal2
oppervlakte cirkel = π × 32
oppervlakte cirkel ≈ 3,14 × 9
oppervlakte cirkel ≈ 28,26 cm2
Inhoud balk, cilinder en prisma
Bekijk de volgende ruimtelijke figuren.
Voor deze ruimtelijke figuren geldt dat alle doorsneden evenwijdig
aan het grondvlak dezelfde vorm en grootte hebben.
Voor deze ruimtelijke figuren geldt:
Inhoud = oppervlakte grondvlak × hoogte
Inhoud piramide en kegel
- inhoud piramide = oppervlakte grondvlak × hoogte: 3
- inhoud kegel = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
Instructievideo inhoud balk,kubus en prisma:
Instructievideo inhoud piramide en kegel:
Vergrotingsfactor
Een origineel kan je vergroten. Het beeld wat ontstaat is vergroot of verkleint met een vergrotingsfactor.
De vergrotingsfactor is 2,5. Dit kan je berekenen door de lengte van het beeld te delen door de lengte van het origineel.
10 : 4 = 2,5
Oppervlakte vergroten
Oppervlakte beeld = oppervlakte origineel x vergrotingsfactor2
Oppervlakte beeld = 12 x 1,52 = 27 cm2
Vergrotingsfactor berekenen
Berekenen vergrotingsfactor:\(\sqrt{oppervlakte beeld \over oppervlakte origineel}\)= \(\sqrt{30 \over10} \)= 1,73
Inhoud vergroten
Samenvattend
Wanneer van een ruimtelijke figuur alle lengtes met eenzelfde factor k worden vermenigvuldigd, dan geldt:
de lengtevergrotingsfactor is k;
de oppervlaktevergrotingsfactor is k2;
de inhoudvergrotingsfactor is k3;
Bij twee gelijkvormige figuren kan de éne figuur uit de andere ontstaan door zo'n vermenigvuldiging met een vaste vergrotingsfactor (of verkleiningsfactor).
Het arrangement 4 MAVO Wiskunde is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Ruud Kemper
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2022-06-08 16:27:04
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Exponentiele verbanden
Driehoeken
Oppervlakte vierhoek
F- en Z-hoeken
Ruimtecoördinaten
Wortelverband
Machtsverband
Hyperbool
Periodiek verband
Oplossen met grafieken
Vergelijking en oplossing
Oplossen met rekenschema's
Balansmethode
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Vierhoek ABCD is een vlieger.
41
