## Theorie

Kijkhoek

De twee kijklijnen die het gebied dat je kunt zien begrenzen, vormen samen een kijkhoek.
Hier zie je (van boven gezien) hoe iemand door een opening in een muur kijkt. De getekende kijkhoek is ongeveer 80°.

Koers

Schaal

Bij een schaal van 1:100.000 geldt 1 cm op de kaart = 1 km in werkelijkheid.

Handig om te onthouden: 1 km = 100.000 cm.

Dat is een verschil van vijf nullen. Je kunt vanuit de schaal snel van kaart-centimeters naar werkelijke kilometers komen, door vijf nullen weg te halen:

Schaal | op de kaart | in werkelijkheid
1 : 100.000 | 1 cm | 1 km
1 : 500.000 | 1 cm | 5 km
1 : 2.500.000 | 1 cm | 25 km

Symmetrie

Er zijn 3 soorten symmetrie. Draaisymmetrie, lijnsymmetrie en schuifsymmetrie.

Vlakke figuren

Oppervlakte en omtrek vlakke figuren

Oppervlakte vierkant en rechthoek = lengte x breedte

Oppervlakte driehoek = 0,5 x zijde x bijbehorende hoogte

Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende boogte

Oppervlakte cirkel = straal2 x pi

Omtrek cirkel = diameter x pi

Hoeken

Rechte hoek

Het is niet altijd nodig om een hoek te meten.
Soms kun je de grootte van een hoek uitrekenen.
Hoek A = 90°

Gestrekte hoek

Twee rechte hoeken vormen samen een gestrekte hoek.
Een gestrekte hoek is 180°.
Hoek C is een gestrekte hoek.

Som hoeken driehoek

In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen 180° zijn.

Gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:

- twee gelijke zijden

- twee gelijke hoeken

- één symmetrieas

De symmetrieas gaat door de tophoek.

Voorbeeld
Driehoek PQR is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek ∠R = 52°.
Bereken ∠P en ∠Q.

∠P en ∠Q zijn samen 180° – 52° = 128°
Driehoek PQR is een gelijkbenige driehoek, dus ∠P = ∠Q.
∠P = ∠Q = 128° : 2 = 64°

Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft:

- drie gelijke zijden

- drie gelijke hoeken

- drie symmetrieassen

De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn 180° : 3 = 60°

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één
van de hoeken 90° is.
Voorbeeld
Driehoek ABC is een rechthoekige driehoek
met ∠A = 90° en ∠B = 42°.
Hoe groot is ∠C?
∠C = 180° – 90° – 42° = 48°

Vierhoeken

Een vierhoek is een vlak figuur met vier hoeken en vier zijden.
Je ziet vierhoek ABCD.
De zijden van de vierhoek zijn AB, BC, CD en AD.
In iedere vierhoek geldt dat de vier hoeken samen 360°zijn.
Voorbeeld
Van vierhoek ABCD is gegeven dat
∠A = 132°, ∠B = 65° en ∠D = 36°.
Bereken ∠C.
∠C = 360° - 132° - 65° - 36° = 127°

F-hoeken en Z-hoeken

F-hoeken
De lijnen m en n lopen evenwijdig.
Lijn q snijdt lijn m en lijn n in de punten A en B.
Nu geldt dat ∠A1 = ∠B1
Hoek A1 en hoek B1 noem je F-hoeken.

Z-hoeken
De lijnen m en n lopen evenwijdig.
Lijn q snijdt lijn m en lijn n in de punten K en L.
Nu geldt dat ∠K1 = ∠L1
Hoek K1 en hoek L1 noem je Z-hoeken.

Pythagoras

Korte zijde berekenen:

Lange zijde berekenen:

Goniometrie

Hoeken berekenen:

Zijden berekenen:

Hoeken berekenen in de ruimte:

Hellingspercentage:

Vergrotingsfactor

Bij een vergroting of een verkleining van een figuur worden alle lengtes van de figuur met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
Dat getal noem je de vergrotingsfactor.
Bij een vergroting of een verkleining van een figuur veranderen de grootte van de hoeken van de figuur niet.

Voorbeeld 1
Je ziet Δ ABC en Δ DEF.
Alle zijden van Δ DEF zijn 3 × zo groot dan de zijden van Δ ABC.
De vergrotingsfactor is dus 3.
De hoeken van Δ ABC zijn gelijk aan de hoeken van Δ DEF.

Voorbeeld 2
Driehoek PQR is een verkleining van driehoek KLM.
Bij de figuren staan de lengten van enkele zijden.

Bereken de 'vergrotings'factor en bereken de lengte van PR en QR.

- De vergrotingsfactor = 8 : 20 = 0,4
- PR = 0,4 × 25 = 10
- QR = 0,4 × 15 = 6

Gelijkvormige driehoeken