## Theorie

Ruimtefiguren

41

Aanzichten

Kubus en balk tekenen

## Oppervlakte balk

##

### De oppervlakte van een rechthoek bereken je met de formule: lengte · breedte.

Als de rechthoek ook een hoogte heeft, noemen we dit een balk. Deze heeft dus de afmetingen lengte, breedte en hoogte. Van zo'n balk kan je ook de oppervlakte berekenen. Je kunt ook de inhoud van een balk bepalen.

### Uitwerking:

De oppervlakte van een balk kun je berekenen door de oppervlaktes van alle zijvlakken te berekenen en bij elkaar op te tellen. Een balk heeft altijd van elk zijvlak 2 dezelfde, zoals je kan zien in de afbeelding. Dit gegeven kun je gebruiken om het rekenwerk wat te verkorten. Hieronder staat welke afmetingen je met elkaar moet vermenigvuldigen om de oppervlakte te berekenen van het betreffende zijvlak:

Oppervlakte A = 2 · Lengte · Hoogte

Oppervlakte B = 2 · Lengte · Breedte

Oppervlakte C = 2 · Hoogte · Breedte

------------------------------------------------- +

Oppervlakte balk = som van de losse oppervlaktes.

Of te wel:

oppervlakte onder = 4 x 8 = 32 cm2

oppervlakte boven = = 32 cm2

oppervlakte voor = 3 x 8 = 24 cm2

oppervlakte achter = = 24 cm2

oppervlakte rechts = 3 x 4 = 12 cm2

oppervlakte links = = 12 cm2

----------------------------------------------------------------------+

oppervlakte balk = = 136 cm2

## Oppervlakte cilinder

## Oppervlakte prisma

Doorsnede

Van een ruimtelijk figuur kun je soms meer te weten
komen als je het figuur doorsnijdt.
Het vlak waarlangs je snijdt, noem je de doorsnede.
Doorsneden van dezelfde ruimtelijke figuur kunnen heel verschillend zijn.
De vorm van de doorsnede zie je als je recht op het snijvlak kijkt.
Van bijvoorbeeld een cilinder kun je verschillende doorsneden maken.

Verlengde stelling van Pythagoras

In deze paragraaf ga je leren hoe je een lijnstuk berekend die door de ruimte van een ruimtefiguur heen gaat. Dit noemen we een lichaamsdiagonaal.

Hierboven staat de balk ABCD EFGH weergegeven. AG is een lichaamsdiagnonaal. We kunnen de lengte van AG berekenen met de verlengde stelling van Pythagoras.

Eerst ga je zoeken naar 3 bekende zijden die een route maken van A naar G. Bijvoorbeeld AB, BC en CG. Zie afbeelding hieronder.

Nu gaan we de verlengde stelling van Pythagoras gebruiken om AG te berekenen:

## Oppervlakte driehoek

Voor de oppervlakte van een driehoek geldt:

- oppervlakte driehoek = ½ × zijde × hoogte

Let op: de hoogte staat altijd loodrecht op de zijde.

Hieronder zie je driehoek KLM met LM = 10.

In de driehoek is een hoogtelijn KN op LM getekend; KN = 4,6.
Bereken de oppervlakte van de driehoek KLM.

- oppervlakte Δ KLM = ½ × zijde × hoogte
- oppervlakte Δ KLM = ½ × 10 × 4,6
- oppervlakte Δ KLM = 23

## Oppervlakte parallellogram

Voor de oppervlakte van een parallellogram geldt:

- oppervlakte parallellogram = zijde × hoogte

Let op: de hoogte staat altijd loodrecht op de zijde.
Voorbeeld
Hieronder zie je parallellogram KLMN met LM = 5.

In KLMN is een hoogtelijn PQ op LM getekend.
PQ = 4,6
Bereken de oppervlakte van parallellogram KLMN.

- oppervlakte KLMN = zijde × hoogte
- oppervlakte KLMN = LM × PQ
- oppervlakte KLMN = 5 × 4,6
- oppervlakte KLMN = 23

##

## Omtrek cirkel

Voor de omtrek van een cirkel geldt:

- omtrek cirkel = π × diameter of
  omtrek cirkel = 2 × π × straal

π is een Griekse letter. Spreek uit: pie
π is ongeveer 3,14
Voorbeeld
Van een cirkel met middelpunt M is de straal 3 cm.
Bereken de omtrek van cirkel.

- omtrek cirkel = 2 × π × straal
- omtrek cirkel = 2 × π × 3 cm
- omtrek cirkel ≈ 2 × 3,14 × 3 cm
- omtrek cirkel ≈ 18,84 cm

## Oppervlakte cirkel

Voor de oppervlakte van een cirkel geldt:

- oppervlakte cirkel = π × straal2 of
  oppervlakte cirkel = ¼ × π × diameter2

Voorbeeld

Van een cirkel met middelpunt M is de straal 3 cm.
Bereken de oppervlakte van de cirkel.

- oppervlakte cirkel = π × straal2
- oppervlakte cirkel = π × 32
- oppervlakte cirkel ≈ 3,14 × 9
- oppervlakte cirkel ≈ 28,26 cm2

Inhoud balk, cilinder en prisma

Bekijk de volgende ruimtelijke figuren.
Voor deze ruimtelijke figuren geldt dat alle doorsneden evenwijdig
aan het grondvlak dezelfde vorm en grootte hebben.

Voor deze ruimtelijke figuren geldt:

- Inhoud = oppervlakte grondvlak × hoogte

Inhoud piramide en kegel

- inhoud piramide = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
- inhoud kegel = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3

Instructievideo inhoud balk,kubus en prisma:

Instructievideo inhoud piramide en kegel:

Vergrotingsfactor

Een origineel kan je vergroten. Het beeld wat ontstaat is vergroot of verkleint met een vergrotingsfactor.

De vergrotingsfactor is 2,5. Dit kan je berekenen door de lengte van het beeld te delen door de lengte van het origineel.

10 : 4 = 2,5

Oppervlakte vergroten

Oppervlakte beeld = oppervlakte origineel x vergrotingsfactor2

Oppervlakte beeld = 12 x 1,52 = 27 cm2

Vergrotingsfactor berekenen

Berekenen vergrotingsfactor:= = 1,73

Inhoud vergroten

Samenvattend

Wanneer van een ruimtelijke figuur alle lengtes met eenzelfde factor k worden vermenigvuldigd, dan geldt:

- de lengtevergrotingsfactor is k;
- de oppervlaktevergrotingsfactor is k2;
- de inhoudvergrotingsfactor is k3;

Bij twee gelijkvormige figuren kan de éne figuur uit de andere ontstaan door zo'n vermenigvuldiging met een vaste vergrotingsfactor (of verkleiningsfactor).