## 2.4 Exponentiële groei en procenten

Procenten en groeifactor

Als een hoeveelheid jaarlijks met een vast percentage toeneemt of afneemt,
is er sprake van exponentiële groei.
Voorbeelden

- Een bedrag neemt jaarlijks met 10% toe.
  100% + 10% = 110% . De groeifactor is 1,1.
- Een bedrag neemt jaarlijks met 20% af.
  100% – 20% = 80%. De groeifactor is 0,8.
- Een bedrag groeit jaarlijks met een groeifactor van 1,04.
  1,04 = 104% = 100% + 4%. Het bedrag groeit jaarlijks met 4%.
- Een bedrag slinkt jaarlijks met een groeifactor van 0,92.
  0,92 = 92% = 100% – 8%. Het bedrag slinkt jaarlijks met 8%.

## Formule exponentieel verband

Een exponetieelverband kun je ook weergeven in een formule.
De algemene vorm van een formule voor een exponentieel verband tussen
de hoeveelheid H en de tijd t is:
H = b · g t
In de formule is b de beginhoeveelheid (als t = 0) en is g de groeifactor.
Voorbeeld
In een visvijver zaten op 1 januari 2010 ongeveer 10000 vissen.
Het aantal vissen groeit jaarlijks met 5%.
Formule: A = 10000 · 1,05t
A is het aantal vissen en t is het aantal jaren ná 1 januari 2010.
Hoeveel vissen zitten er op 1 januari 2015 in de vijver?
t = 5 geeft A = 10000 × 1,055 ≈ 12763 vissen

Opgaven

1

Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,-.
Je krijgt 3% rente per jaar.

a | Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?

b | Neem de tabel over en vul hem in.
jaar | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
bedrag (€) | 500 | 515 |  |  |

c | Hoe bereken je het bedrag dat na 10 jaar op de rekening staat? Bereken het bedrag ook uit.

2

Hoe groot is de groeifactor in de volgende situaties?

a | De prijzen stijgen jaarlijks met 12%.

b | Je hebt een lekke band. Iedere minuut stroomt er 10% van de lucht uit je band.

c | Het aantal vogels in dat gebied neemt ieder jaar met 8% toe.

d | De hoeveelheid zeehonden in de Noordzee daalt jaarlijks met 12%.

3

Welke procentuele verandering hoort bij de volgende situaties?

a | Een bedrag groeit met een groeifactor van 1,06.

b | Bij de jaarlijkse afname van de winst hoort een groeifactor van 0,8.

4

Om een patiënt voor een operatie onder narcose te brengen,
wordt 800 mg van een narcosemiddel in het bloed toegediend.
De hoeveelheid narcosemiddel neemt per uur 30% af.

a | Welke groeifactor hoort bij afname van 30% per uur?

b | Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd (uur) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
narcosemiddel (mg) | 800 |  |  |  |

c | Hoe bereken je de hoeveelheid narcosemiddel in het bloed na 8 uur? Bereken die hoeveelheid ook.

5

Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,−.
Je krijgt 3% rente per jaar.
Neem B is het bedrag op je spaarrekening en t is de tijd in jaren.

a | Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?

b | Welke formule past bij het verband tussen t en B? Kies uit: B =500× t B =500+3× t B =500×1,03t B =500× t1,03

c | Bereken het bedrag dat op je rekening staat na 12 jaar.

6

In de tabel is een exponentieel verband tussen de tijd t en de hoeveelheid H weergegeven.

tijd t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
hoeveelheid H | 500 | 400 | 320 | 256 | 204,8

a | Bepaal de groeifactor die hoort bij het exponentiële verband.

b | Maak een formule bij het verband tussen t en H.

c | Bereken H als t =8. Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.

d | Bereken H als t =3,5. Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.

7

In een meer waarin vaak mensen zwemmen, komt per ongeluk 55 kilogram gif in het water. Per uur neemt de hoeveelheid gif af met 1,5%. Een milieuonderzoeker heeft voor deze situatie de volgende formule opgesteld:
G =55×0,985t
Hierin is G de hoeveelheid gif in kilogram die in het meer aanwezig is en t de tijd in uren nadat het gif in het water is gekomen.

a | Laat met een berekening zien dat er na 2 dagen nog ongeveer 27 kilogram gif in het meer zit.

b | De hoeveelheid gif neemt met 1,5% per uur af. Inge denkt dat de hoeveelheid gif in 48 uur met 48×1,5%=72% afneemt. Heeft Inge gelijk? Leg je antwoord uit.

c | Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd t | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100
hoeveelheid G |  |  |  |  |  |

d | Teken de grafiek bij de formule.

8

In de periode 1995 - 2000 is het aantal telecomwinkels in Nederland bij benadering exponentieel gestegen volgens de formule:
A =115×1,27t
Hierin is A het aantal telecomwinkels in Nederland en t het aantal jaren na 1995.

a | Hoeveel telecomwinkels waren er in 1995?

b | Laat met een berekening zien dat er in 2000 volgens de formule afgerond 380380telecomwinkels in Nederland waren.

c | Neem de tabel over en vul hem verder in.
tijd t | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000
telecomwinkels A |  |  |  |  |  | 380

d | Teken de grafiek bij de formule.