2.4 Exponentiële groei en procenten

Procenten en groeifactor


Als een hoeveelheid jaarlijks met een vast percentage toeneemt of afneemt, 
is er sprake van exponentiële groei.

Voorbeelden

Formule exponentieel verband


Een exponetieelverband kun je ook weergeven in een formule.
De algemene vorm van een formule voor een exponentieel verband tussen 
de hoeveelheid H en de tijd t is: 
   H = b · gt

In de formule is b de beginhoeveelheid (als t = 0) en is g de groeifactor.

Voorbeeld
In een visvijver zaten op 1 januari 2010 ongeveer 10000 vissen. 
Het aantal vissen groeit jaarlijks met 5%.
Formule:   A = 10000 · 1,05t
A is het aantal vissen en t is het aantal jaren ná 1 januari 2010.

Hoeveel vissen zitten er op 1 januari 2015 in de vijver?
t = 5 geeft A = 10000 × 1,055 ≈ 12763 vissen

 

Opgaven

1  

Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,-.
Je krijgt 3% rente per jaar.

a

Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?

b

Neem de tabel over en vul hem in.

jaar 0 1 2 3 4
bedrag (€) 500    515                                

 

c

Hoe bereken je het bedrag dat na 10 jaar op de rekening staat?
Bereken het bedrag ook uit.

 

2

Hoe groot is de groeifactor in de volgende situaties?

a

De prijzen stijgen jaarlijks met 12%.

b

Je hebt een lekke band. Iedere minuut stroomt er 10% van de lucht uit je band.

c

Het aantal vogels in dat gebied neemt ieder jaar met 8% toe.

d

De hoeveelheid zeehonden in de Noordzee daalt jaarlijks met 12%.

 

3

Welke procentuele verandering hoort bij de volgende situaties?

a

Een bedrag groeit met een groeifactor van 1,06.

b

Bij de jaarlijkse afname van de winst hoort een groeifactor van 0,8.

 

4  

Om een patiënt voor een operatie onder narcose te brengen, 
wordt 800 mg van een narcosemiddel in het bloed toegediend.
De hoeveelheid narcosemiddel neemt per uur 30% af.

a

Welke groeifactor hoort bij afname van 30% per uur?

b

Neem de tabel over en vul hem verder in.

tijd (uur) 0 1 2 3 4
narcosemiddel (mg) 800                                       

 

c

Hoe bereken je de hoeveelheid narcosemiddel in het bloed na 8 uur?
Bereken die hoeveelheid ook.

 

5

Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van € 500,−.
Je krijgt 3% rente per jaar.

Neem B is het bedrag op je spaarrekening en t is de tijd in jaren.

a

Welke groeifactor hoort bij een jaarlijkse rente van 3%?

b

Welke formule past bij het verband tussen t en B?
Kies uit:

  1. B =500× t
  2. B =500+3× t
  3. B =500×1,03t
  4. B =500× t1,03

 

c

Bereken het bedrag dat op je rekening staat na 12 jaar.

 

6

In de tabel is een exponentieel verband tussen de tijd t en de hoeveelheid weergegeven.

tijd t 0 1 2 3 4
hoeveelheid H 500   400   320   256   204,8  

 

a

Bepaal de groeifactor die hoort bij het exponentiële verband.

b

Maak een formule bij het verband tussen t en H.

c

Bereken H als t =8.
Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.

d

Bereken H als t =3,5.
Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.

 

7

 

In een meer waarin vaak mensen zwemmen, komt per ongeluk 55 kilogram gif in het water. Per uur neemt de hoeveelheid gif af met 1,5%. Een milieuonderzoeker heeft voor deze situatie de volgende formule opgesteld:
  G =55×0,985t 
Hierin is G de hoeveelheid gif in kilogram die in het meer aanwezig is en t de tijd in uren nadat het gif in het water is gekomen.

a

Laat met een berekening zien dat er na 2 dagen nog ongeveer 27 kilogram gif in het meer zit.

b

De hoeveelheid gif neemt met 1,5% per uur af.
Inge denkt dat de hoeveelheid gif in 48 uur met 48×1,5%=72% afneemt.
Heeft Inge gelijk? Leg je antwoord uit.

c

Neem de tabel over en vul hem verder in.

tijd t 0 20 40 60 80 100
hoeveelheid G                                                     

 

d

Teken de grafiek bij de formule.

 

In de periode 1995 - 2000 is het aantal telecomwinkels in Nederland bij benadering exponentieel gestegen volgens de formule:
  A =115×1,27t 
Hierin is A het aantal telecomwinkels in Nederland en t het aantal jaren na 1995.

a

Hoeveel telecomwinkels waren er in 1995?

b

Laat met een berekening zien dat er in 2000 volgens de formule afgerond 380380telecomwinkels in Nederland waren.

c

Neem de tabel over en vul hem verder in.

tijd t 1995 1996 1997 1998 1999 2000
telecomwinkels A           380

 

d

Teken de grafiek bij de formule.