Les 7 Spaceland
Na de succesvolle zoektocht van A Square in twee dimensies maken we de stap naar drie dimensies. Spherius, de driedimensionale vriend van A Square, raakt geïnteresseerd in de mogelijke vormen van driedimensionale ruimte. Je zult een aantal van deze ruimtes zelf mogen doorvliegen met de applicatie Curved Spaces. De 3-sfeer is een belangrijke driedimensionale ruimte. Op deze ruimte gaan we wat verder in.
Maak nu eerst de microtoets van Les 6.
7.1 Spherius
Misschien herinner je je Spherius nog uit de eerste les. Hij komt uit Spaceland en is een bol. Na de droom van A Square over Pointland en Lineland, de droom die hem heeft aangespoord om zich bezig te gaan houden met de vorm van Flatland, komt Spherius op bezoek om hem te vertellen over de derde dimensie.
A Square is ondersteboven van het inzicht dat Spherius hem geeft door hem te introduceren in Spaceland. Dit was nog voordat A Square de classificatiestelling ontdekte. Ineens begreep hij veel beter wat hij zich bij "de vorm" van Flatland kon voorstellen. Maar door zijn droom over Pointland en Lineland en het besef dat er een driedimensionale ruimte is waar hij nooit van had durven dromen, komt hij op het idee dat er misschien dan ook wel een vierdimensionale ruimte is. En waarom ook niet een vijfdimensionale, of zelfs zes...
A Square zag niet in waarom deze rij "kubussen" van oplopende dimensie (punt, lijn, vierkant, kubus,...) na dimensie drie zou stoppen.
Hij vroeg of Spherius hier iets vanaf wist. Spherius reageerde bot dat zoiets toch niet mogelijk kan zijn. Hij die zich vrij in drie dimensies beweegt weet toch wel beter! Hij had A Square weer achtergelaten in Flatland waar deze met hernieuwde moed verder ging met zijn classificatie van oppervlakken.
Na verloop van tijd zat het Spherius toch dwars dat hij zo bot had gereageerd en ook dat hij eigenlijk niet zeker was van zijn antwoord op de vraag van A Square. Misschien bestaat er wel een vierde dimensie. Aangezien hij A Square een aardig figuur vond, besloot hij de wiskundige Flatlander nogmaals op te zoeken.
Wat is dit?
Zoek met behulp van internet uit wat het volgende filmpje voorstelt en geef een uitleg.
Hint: Google op tesseract of hypercube. Voor uitleg kun je dit filmpje bekijken.
A Square was blij verrast Spherius terug te zien. Hij viel Spherius helemaal niet meer lastig met vier- en vijfdimensionale werelden, hij was dolenthousiast over het bewijs van zijn classificatiestelling van oppervlakken. Spherius was toen hij Flatland verliet een stuk beter gehumeurd, waarom zou hij zich druk maken over de vierde en de vijfde dimensie; hij wist eigenlijk niet eens hoe zijn eigen drie dimensionale ruimte er precies uitzag! Hij besloot net als A Square bouwplaten te tekenen. In plaats van vierkanten met geïdentificeerde randen, tekende hij kubussen waarvan hij aangaf hoe de vlakken op elkaar geplakt moeten worden.
Al gauw kwam Spherius tot de conclusie, dat ook dit een zeer ingewikkeld vraagstuk was. Voor zijn eigen gemoedsrust besloot hij ook deze zaak te vergeten en A Square niet meer te bezoeken.
In deze les zullen ook wij een aantal driedimensionale ruimten bestuderen en daarmee ook een idee krijgen van de mogelijkheden voor de vorm van ons eigen universum.
7.2 Het plakken van een kubus
Hier behandelen we een aantal aspecten van het plakken van een kubus.
De 3-torus
De torus kan gemaakt worden door tegenoverliggende zijden van een vierkant op elkaar te plakken. Net zo kunnen we tegenoverliggende vlakken van een kubus op elkaar plakken. De ruimte die we dan krijgen noemen we de 3-torus (T3). Plak tegenoverliggende zijden op elkaar zodat tegenoverliggende punten zijn geïdentificeerd:
We kunnen ons niet goed voorstellen hoe deze ruimte er uit zou zien in 4-dimensies wanneer we de zijden daadwerkelijk op elkaar plakken. Maar net als A Square kunnen we wel nadenken over eigenschappen van deze ruimte. Bovendien kunnen we ons wel voorstellen wat voor gekke dingen er kunnen gebeuren als het universum deze vorm zou hebben.
Reflectie
Stel dat we een ruimteschip op ontdekkingsreis sturen door het universum, het ruimteschip reist steeds in dezelfde richting vanaf de aarde. Na een lange tocht zien de astronauten een planeet die er bewoonbaar uitziet. Wanneer ze dichterbij komen zien ze tot hun grote verbazing dat ze terug zijn op aarde.
Kun je dit verklaren als we ervan uitgaan dat het universum de vorm van een 3-torus heeft?
klik hier
Opgave
We kunnen een kubus ook op andere manier plakken, we kunnen de onderzijde bijvoorbeeld gespiegeld op de onderzijde plakken, zie ook het plaatje hieronder.
Deze piraat mist zijn rechterbeen, hij loopt een rondje door het 'plafond' terug naar zijn huidige positie. Welk been is van hout volgens de piraat? En welk been is van hout volgens een toeschouwer?
klik hier
Opgave
We kunnen de zijden van een kubus ook gedraaid op elkaar plakken, zoals in het plaatje hieronder.
Wat gebeurt er met het houten been van de piraat wanneer hij in deze ruimte een rondwandeling maakt?
klik hier
7.3 Curved spaces
De wiskundige Jeff Weeks heeft een aantal wiskundige spellen en applicaties gemaakt. In deze les zullen we kijken naar zijn programma Curved Spaces.
Een Screenshot uit Curved Spaces
Dit programma is gemaakt om verschillende driedimensionale ruimten te visualiseren, zoals bijvoorbeeld de 3-torus en de andere ruimtes die we in de vorige les besproken hebben.
In de vorige les hebben we gezien dat we net als bij oppervlakken paden kunnen vinden in een 3D ruimte waarbij de oriëntatie verandert. De piraat had een houten rechterbeen, maar voor toeschouwers veranderde dit nadat hij een oriëntatie omkerend pad doorlopen had.
Activiteit
Ga naar http://www.geometrygames.org/ en download het programma Curved Spaces. Wanneer je het programma hebt uitgepakt kun je het meteen opstarten. Selecteer de map Basic en de ruimte 3-torus.
Met de pijltjes naar links en rechts maak je de ribben dunner en dikker, met omhoog en omlaag ga je sneller en langzamer en door met de muis op het scherm te klikken kun je vervolgens sturen met de muis.
Herken je het plakschema uit vorige les?
Acitviteit
Bekijk verschillende ruimtes in het programma Curved Spaces:
--> File Open... kies een bestand uit de map Basic, Flat, Hyperbolic of Elliptic.
- Bekijk verschillende ruimten en onderzoek of ze oriënteerbaar zijn of niet.
- Zoek vijf oriënteerbare en vijf niet-oriënteerbare ruimten.
Hint: Je kunt de aarde vervangen door een gyroscoop in het menu View Centerpiece. Op deze manier is het makkelijker om te zien of je van oriëntatie veranderd bent. Denk aan de kurkentrekkerregel.
7.4 De 3-sfeer
We hebben gezien dat een bolschil in zekere zin het makkelijkste eindige oppervlak is. We kunnen alle andere oppervlakken krijgen door handvatten en kruishandvatten toe te voegen aan de bolschil, door middel van het nemen van de samenhangende som. De makkelijkste eindige driedimensionale ruimte is de 3-sfeer, deze les gaat over deze ruimte.
Net als de serie; punt, lijn, vlak, kubus, 4D-hyperkubus, …. hebben we ook een serie voor de cirkel en de bolschil.
Deze serie wordt gegeven door; twee punten, cirkel, bolschil, 3-sfeer, 4-sfeer etc.
De manier waarop deze ruimtes gedefinieerd zijn is als volgt:
• De 0-sfeer zijn de punten op afstand 1 van de oorsprong in een lijn.
• De 1-sfeer (cirkel) bestaat uit de punten op afstand 1 van de oorsprong in het vlak.
• De 2-sfeer (bolschil) zijn de punten op afstand 1 van de oorsprong in de driedimensionale ruimte.
De 3-sfeer bestaat dan ook uit alle punten op afstand 1 van de oorsprong in een vierdimensionale ruimte. Dit is moeilijk voorstelbaar voor ons, maar we kunnen wel weer een bouwplaat maken van deze ruimte.
Reflectie
Nog een andere serie ruimten is de volgende; interval, disk (cirkelschijf), gevulde bol.
Welke eigenschap hebben de punten in deze figuren? (Hint: lijkt erg op de eigenschap van de sferen)
klik hier
We gaan deze bouwplaat maken naar analogie met de 1-sfeer en de 2-sfeer. De 1-sfeer kan gemaakt worden door twee intervallen, als volgt op elkaar te plakken:
De 2-sfeer kan gemaakt worden door twee disken op elkaar te plakken:
Net zo kunnen we de 3-sfeer die we met S3 voorstellen door twee gevulde bollen op elkaar te plakken. Plakken komt neer op de volgende eigenschap: als je bij de ene bol op een bepaald punt door de randsfeer naar buiten gaat, kom je op hetzelfde punt van de randsfeer bij de andere bol naar binnen.
De 3-sfeer
Het plakken van de randen (twee keer een bolschil) hebben we aangegeven met een grote letter A.
