In deze les ga je oppervlakken aan elkaar plakken om nieuwe oppervlakken te vormen. Zo zal je handvatten en kruismutsen aan de sfeer toevoegen.
Maak nu eerst de microtoets van Les 4.
5.1 De samenhangende som
Je kunt twee oppervlakken altijd aan elkaar plakken en een nieuw oppervlak maken. Stel je hebt twee oppervlakken, A en B. Je haalt een schijfje uit zowel A als B en de overgebleven randcirkels plak je op elkaar. Het nieuwe oppervlak noemen we de samenhangende som van A en B en noteren we met A # B.
De samenhangende som nemen van een oppervlak met de torus wordt wel het toevoegen van een handvat genoemd. Zie je waarom?
Hier zie je nog een illustratie van een samenhangende som:
In het bovenstaande filmpje wordt de samenhangende som geïllustreerd.
X # bolschil = ?
In het filmpje is te zien dat de samenhangende som van twee bolschillen (sphere, in het Nederlands ook wel sfeer genoemd) topologisch weer een bolschil oplevert.
Als je een willekeurig oppervlak X hebt en je neemt de samenhangende som met een bolschil S, wat krijg je dan?
Je kunt je afvragen wat er gebeurt met de Eulerkarakteristiek als je de samenhangende som van twee oppervlakken neemt. Aan het eind van het filmpje wordt de samenhangende som van twee bolschillen genomen door uit allebei een driehoek weg te knippen in plaats van een cirkelschijf. Topologisch zijn de schijf en een driehoek natuurlijk gelijk, dus dit is prima. Vervolgens worden de randen van de twee driehoeken op elkaar geplakt.
Eulerkarakteristiek
Tel hoeveel punten, zijden en vlakken het "kost" om uit oppervlakken A en B, gemaakt door de zijden van driehoekjes aan elkaar te lijmen, elk een driehoek te verwijderen en vervolgens de randen van de twee driehoeken op elkaar te plakken. Concludeer dat voor de Eulerkarakteristiek geldt dat
Controleer dat de formule consistent is met je antwoord bij "X # Bolschil = ?".
5.2 Kruismutsen
De samenhangende som nemen met een torus, oftewel het toevoegen van een handvat, is goed voor te stellen. Het is alsof je een extra buis aan het oppervlak plakt. Maar voor niet-oriënteerbare oppervlakken is ook het nemen van de samenhangende som met het projectieve vlak of de fles van Klein belangrijk.
De samenhangende som nemen met een projectief vlak of een Kleinse fles is echter lastiger voor te stellen, aangezien deze oppervlakken zelf al lastiger voor te stellen zijn.
Toch zijn er goede manieren om hierover na te denken. Het toevoegen van een projectief vlak wordt ook wel het toevoegen van een kruismuts genoemd, terwijl het toevoegen van een fles van Klein overeenkomt met het toevoegen van een kruishandvat. Aan het eind van deze les zullen we zien waarom kruismutsen en kruishandvatten overeenkomen met het nemen van de samenhangende som met het projectieve vlak en de fles van Klein. We gaan nu eerst bekijken wat kruismutsen en kruishandvatten zijn.
Kruishandvatten
Het toevoegen van een kruishandvat aan een oppervlak gaat als volgt: we knippen twee ronde gaten in het oppervlak en ritsen de randen van deze gaten, twee cirkels, vervolgens aan elkaar.
We doen dit zoals in onderstaand plaatje aangegeven is.
In plaatje A zie je dat de ritsen dezelfde oriëntatie hebben. Wanneer we de randen een stukje uit het oppervlak trekken moeten we één van de pijpjes door zichzelf heentrekken, anders kunnen we de ritsen niet op elkaar aan laten sluiten. Vervolgens hebben de ritsen dezelfde oriëntatie gekregen, en kunnen wij die aan elkaar ritsen.
We noemen het handvat dat ontstaat een kruishandvat aangezien één helft gekruist is.
Kruishandvatten
Hoe moet je plaatje A aanpassen om een gewone handvat te krijgen?
Om een kruismuts toe te voegen knippen we slechts één rond gat in ons oppervlak. We voegen nu een rits toe op de randcirkel die ontstaan is. De makkelijkste manier om dit te doen is weergegeven in onderstaande figuur;
We zien hier dat de rits het oppervlak mooi dichtritst alsof er geen gat geweest is. We zien hier dat de twee kanten van de rits in hetzelfde punt beginnen en tegengestelde richting hebben. We kunnen de twee kanten echter ook dezelfde richting geven zoals aangegeven is in plaatje A hieronder.
Wanneer we beginnen met ritsen lijkt alles makkelijk te gaan (plaatje B en C) maar om de rits helemaal dicht te ritsen moet het oppervlak zichzelf doorsnijden; we krijgen een kruismuts zoals te zien is in plaatje D.
Begrijp je de constructie van kruishandvatten en kruismutsen? Je kunt eventueel nog de volgende online artikelen (in het Engels) raadplegen voor meer informatie en plaatjes:
We kunnen de samenhangende som ook direct van bouwplaten nemen. De nieuwe bouwplaat is vaak eenvoudig te tekenen.
Als voorbeeld nemen we twee keer de bouwplaat van de torus en halen uit elk een schijfje op de volgende manier:
De bouwplaten kunnen we fatsoeneren tot
Als je het identificatieschema op de rand goed bekijkt zie je immers dat de twee uiteinden van de pijl e impliciet met elkaar zijn geïdentificeerd. Als je ze fysiek op elkaar plakt krijg je de eerdere tekening terug.
De twee e-pijlen plakken we vervolgens op elkaar:
Je krijgt een bouwplaat met acht zijden waarin twee keer achter elkaar het identificatieschema voor de torus voorkomt.Tekenen we de bouwplaat als regelmatige achthoek dan krijgen we:
We weten nu dat deze bouwplaat de samenhangende som van twee tori is. Blijkbaar kun je de bouwplaat in drie dimensies plakken tot:
Eigenlijk kun je meestal de samenhangende som van twee bouwplaten maken als een bouwplaat waarbij een deel van de zijden met de eerste bouwplaat correspondeert en het andere deel met de andere bouwplaat. De enige conditie is dat je de rand van de uitgeknipte schijfjes tot extra, nieuwe rand van de bouwplaat kunt vervormen.
5.4 Een overwachte gelijkheid
Het toevoegen van handvatten, kruishandvatten en kruismutsen geeft de mogelijkheid om, van een gegeven oppervlak, een hele serie nieuwe oppervlakken te maken.
Stel dat we met een bolschil beginnen. Deze noteren we met S2. Een handvat toevoegen is gelijk aan de samenhangende som nemen met de torus T2. Omdat S2#T2=T2, geeft dit de serie
In een plaatje ziet deze serie er als volgt uit:
We kunnen ook kruismutsen aan S2 toevoegen. Dit geeft ook nog eens de serie
Deze serie kunnen we tekenen als:
We kunnen ook kruishandvatten toevoegen en zo een hele serie van samenhangende sommen van de fles van Klein maken:
Je kunt handvatten, kruismutsen en kruishandvatten natuurlijk ook combineren. Zo krijg je bijvoorbeeld het oppervlak
en nog veel meer. Het zou fijn zijn om wat orde in deze overvloed aan oppervlakken aan te brengen.
Een kruishandvat is gelijk aan twee kruismutsen
De eerste versimpelende gelijkheid die we kunnen aantonen is dat P2#P2=K2, oftewel twee kruismutsen is gelijk aan een kruishandvat.
Dit is te zien aan het volgende plaatje met ritsen:
In plaatje A zie je een vierkant gat uit een oppervlak gehaald met op de randen een identificatieschema als van de fles van Klein. Dit is gelijk aan de samenhangende som met de fles van Klein. Als je vervolgens de stappen A, B, C volgt zie je dat dit gelijk is aan een kruishandvat. Als je daarentegen A, D, E, F, G, H, I doorloopt zie je hoe dit gelijk is aan twee kruismutsen.
Bouwplaten
Je kunt de gelijkheid K2=P2#P2 ook zelf aantonen met het knippen en plakken van bouwplaten. Begin met de volgende bouwplaat voor P2#P2 (teken deze voor jezelf en overtuig jezelf ervan dat dit inderdaad P2#P2voorstelt). Knip zoals aangegeven met de stippellijnen en plak de stukken tot de bouwplaat van K2. Teken het resultaat.
Nu we weten dat K2=P2#P2 vereenvoudigt de lijst van makkelijk te maken oppervlakken door handvatten et cetera aan een bolschil toe te voegen aanzienlijk. Alle K2's kunnen we vervangen voor twee P2's. De oppervlakken die uit S2 te maken zijn door handvatten en kruismutsen toe te voegen staan in de volgende tabel. Kruishandvatten voegen hier niets aan toe.
S2
P2
P2# P2
P2#P2#P2
...
T2
T2#P2
T2#P2#P2
T2#P2#P2#P2
...
T2#T2
T2#T2#P2
T2#T2#P2#P2
T2#T2#P2#P2#P2
...
T2#T2#T2
T2#T2#T2#P2
T2#T2#T2#P2#P2
T2#T2#T2#P2#P2#P2
...
T2#T2#T2#T2
T2#T2#T2#T2#P2
T2#T2#T2#T2#P2#P2
T2#T2#T2#T2#P2#P2#P2
...
...
...
...
...
...
Naar beneden neemt het aantal kopieën van de torus T2 telkens met één toe, naar rechts het aantal kopieën van het projectieve vlak P2.
Staan er in deze tabel oppervlakken dubbel? Is het bijvoorbeeld zo dat T2#P2=P2#P2#P2? Het verrassende antwoord hierop is JA en er geldt inderdaad dat T2#P2=P2#P2#P2!
In de volgende afbeelding staat weergegeven hoe een kruismuts een handvat in een kruishandvat transformeert:
Invuloefening
De regel P2 # T2 = P2 # K2 is erg handig, maar de illustratie in het bovenstaande plaatje is misschien voldoende overtuigend. Je kunt de regel bewijzen met het behulp van bouwplaten. Het is het beste dit eerst zelf te proberen.
Bewijs
Als bouwplaat van P2 # T2 nemen we een zeshoek met de zijden geïdentificeerd volgens het schema aabcb-1c-1. Je kunt deze door twee keer te knippen en te plakken omvormen tot een zeshoek waarvan de zijden zijn geplakt volgens eedcd-1c, een bouwplaat voor P2 # K2.
Laat zien hoe je moet knippen en plakken om de volgende gelijkheden aan te tonen.
Het arrangement 6 Les 5 Handvatten en kruismutsen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-30 08:32:43
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 4;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Vormen en figuren;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Wiskunde D;
Meten en meetkunde;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
e-klassen rearrangeerbaar
6 Les 5 Handvatten en kruismutsen
nl
Bètapartners
2014-11-30 08:32:43
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
geldt dat
