03 H1 Beweringen

1.1 Beweringen

Vraagstuk 1

Oefening: Stellingen

Start

Schrijf op bij welke van de bovenstaande punten je nog vragen hebt. Ga daarover een discussie aan.

1.2 Even en oneven

Om je een idee te geven van een wiskundige theorie met axioma's, definities, stellingen en bewijzen, bekijken we de theorie van even en oneven getallen. Dit is het oudste voorbeeld van een wiskundige theorie, ooit ontwikkeld in de school van Pythagoras (vijfde eeuw voor Christus). Hoe de theorie er toen precies uitzag, weten wij niet omdat de volgelingen van Pythagoras een eed moesten zweren dat zij al hun kennis geheim zouden houden. Wij geven een moderne versie.

Als we het hieronder hebben over 'een getal' dan bedoelen we steeds een natuurlijk getal, dus 0, 1, 2, 3, enz..

 

Definitie 1

Gegeven is getal x

  • We zeggen: x is even als er een getal z is zodat x = 2 z
    We zeggen: x is oneven als er een getal z is zodat x = 2 z + 1

Bijvoorbeeld:

  • 6 is even want 6 is 2 x 3, dus 2 keer een (geheel) getal.
    5 is oneven want het is 2 x 2 + 1.

 

We hebben nu afgesproken wat we bedoelen met "even" en "oneven", maar dat zijn slechts definities. Om te kunnen redeneren hebben we ook waarheden nodig, dingen waar we vanuit mogen gaan. Bijvoorbeeld dat je 1 niet kunt schrijven als ' 2 keer iets", dus dat 1 niet even is. Of algemener: dat getallen niet even en oneven tegelijk kunnen zijn.
Om dat te bewijzen heb je echter een algemene theorie nodig over hele getallen. Daarom kiezen we als uitgangspunt (axioma) in onze theorie:

aanname (axioma)

  • Voor elk getal x geldt dat het óf even óf oneven is.

 

Stelling 1

De even en oneven getallen liggen om en om, oftewel: voor elk getal x geldt:

  1. Als x even is, dan is x + 1 oneven.
  2. Als x oneven is, dan is x + 1 even.

 

Bewijs

  1. Stel x is even, dan is er een getal a zodat x = 2a
    • dan x + 1 = 2a + 1
      dus er is een getal z (namelijk a) zodat x + 1 = 2z + 1
      en dus is x + 1 oneven.
  2. Stel x is oneven, dan is er een natuurlijk getal b zodat x = 2b + 1
    • dan x + 1 = (2b + 1) +1 = 2b + (1 + 1) =2b + 2 • 1 = 2(b + 1)
      dus er is een getal z (namelijk b + 1) zodat x + 1 = 2z
      dus is x + 1 even

 

 

Stelling 2

Gegeven getallen x en y, dan geldt:

  1. is x even en y even dan is x + y even.
  2. is x even en y oneven dan is x + y oneven.
  3. is x oneven en y even dan is x + y oneven.
  4. is x oneven en y oneven dan is x + y even.

We doen nu alleen het bewijs van b), de rest komt hieronder in vraagstuk 2 aan de orde.

 

Bewijs

  • Omdat x even is, is er een getal a zodat x = 2a
    Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b + 1
    Dan geldt: x + y = 2a + 2b + 1 = 2 (a + b) +1
    Dus er is een getal z (namelijk a + b) zodat x + y = 2z + 1
    dus x + y is oneven.

Vraagstuk 2

Oefening: Even en oneven

Start

Stelling 3

Gegeven getallen x en y, dan geldt:

  1. is x even en y even dan is x • y even.
  2. is x even en y oneven dan is x • y even.
  3. is x oneven en y even dan is x • y even.
  4. is x oneven en y oneven dan is x • y oneven.

 

Stelling 3d):

  • Zijn x en y oneven, dan is x • y ook oneven.

Bewijs

Bewijs stelling d):

  • Omdat x oneven is, is er een getal a zodat x = 2a +1.

     

    Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b +1.

    Dan geldt:

    Dus er is een getal z (namelijk 2ab + b + a) zodat x • y = 2z +1

    dus x • y is oneven.
    • x • y = (2a +1) • (2b + 1)

      = (4ab + 2b + 2a) + 1 (na haakjes wegwerken)

      = 2 (2ab + b + a) + 1

Vraagstuk 3

Bewijs stelling 3b en lever je antwoord schriftelijk in bij je docent.

Vraagstuk 4

Stelling 4

Gegeven getal x, dan geldt:

  1. Als x is even dan is x2 even.
  2. Als x is oneven dan is x2 oneven.

Bewijs

  1. Als x is even, dan is er een getal a zodat x = 2a.
    Dan is x2 = (2a)2 = 4a2 = 2 • (2a2).
    Dus er is een getal z (namelijk 2a2) zodat x2 = 2z.
    Dus x2 is even.
  2. Als x oneven is, dan is er een getal a zodat x = 2a + 1.
    Dan is x2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 (2a2 + 2a) + 1.
    Dus er is een getal z (namelijk 2a2 + 2a) zodat x2 = 2z + 1.
    Dus x2 is oneven.

Opdracht:

Leg het bewijs van Stelling 4 a en b aan elkaar uit. Maak hierbij gebruik van de chatfunctie van de e-klas.

 

  • Het arrangement 03 H1 Beweringen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
    Laatst gewijzigd
    2014-11-29 21:19:11
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

    Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld  en getest in een SURF-project  (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student).  In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT.  In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo).  Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

    Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

    De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). 

    Gebruiksvoorwaarden:  creative commons cc-by sa 3.0

    Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

     

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
    Leerniveau
    VWO 6; VWO 4; VWO 5;
    Leerinhoud en doelen
    Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    e-klassen rearrangeerbaar

    Bronnen

    Bron Type
    https://maken.wikiwijs.nl/userfiles/4feac54dd3cb3fc7da8b85c9d0fc0613.swf
    https://maken.wikiwijs.nl/userfiles/4feac54dd3cb3fc7da8b85c9d0fc0613.swf     		Video

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    , Bètapartners. (z.d.).

    test

    https://maken.wikiwijs.nl/45635/test

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Stellingen

    Even en oneven

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van