Om je een idee te geven van een wiskundige theorie met axioma's, definities, stellingen en bewijzen, bekijken we de theorie van even en oneven getallen. Dit is het oudste voorbeeld van een wiskundige theorie, ooit ontwikkeld in de school van Pythagoras (vijfde eeuw voor Christus). Hoe de theorie er toen precies uitzag, weten wij niet omdat de volgelingen van Pythagoras een eed moesten zweren dat zij al hun kennis geheim zouden houden. Wij geven een moderne versie.
Als we het hieronder hebben over 'een getal' dan bedoelen we steeds een natuurlijk getal, dus 0, 1, 2, 3, enz..
Definitie 1
Gegeven is getal x
Bijvoorbeeld:
We hebben nu afgesproken wat we bedoelen met "even" en "oneven", maar dat zijn slechts definities. Om te kunnen redeneren hebben we ook waarheden nodig, dingen waar we vanuit mogen gaan. Bijvoorbeeld dat je 1 niet kunt schrijven als ' 2 keer iets", dus dat 1 niet even is. Of algemener: dat getallen niet even en oneven tegelijk kunnen zijn.
Om dat te bewijzen heb je echter een algemene theorie nodig over hele getallen. Daarom kiezen we als uitgangspunt (axioma) in onze theorie:
aanname (axioma)
Stelling 1
De even en oneven getallen liggen om en om, oftewel: voor elk getal x geldt:
Bewijs
Stelling 2
Gegeven getallen x en y, dan geldt:
We doen nu alleen het bewijs van b), de rest komt hieronder in vraagstuk 2 aan de orde.
Bewijs
Vraagstuk 2
Stelling 3
Gegeven getallen x en y, dan geldt:
Stelling 3d):
Bewijs
Bewijs stelling d):
Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b +1.
Dan geldt:
Dus er is een getal z (namelijk 2ab + b + a) zodat x • y = 2z +1
dus x • y is oneven.= (4ab + 2b + 2a) + 1 (na haakjes wegwerken)
= 2 (2ab + b + a) + 1
Vraagstuk 3
Bewijs stelling 3b en lever je antwoord schriftelijk in bij je docent.
Vraagstuk 4
Stelling 4
Gegeven getal x, dan geldt:
Bewijs
Opdracht:
Leg het bewijs van Stelling 4 a en b aan elkaar uit. Maak hierbij gebruik van de chatfunctie van de e-klas.