Johannes Kepler was een Duitse astronoom, astroloog, wis- en natuurkundige, die vooral bekend werd door zijn studie van de hemelmechanica en met name de berekening van de planeetbeweigingen. In dit hoofdstuk wordt daar dieper op in gegaan.
In de 17e eeuw ontdekte Johannes Kepler dat de banen van de planeten niet precies cirkels zijn, maar ellipsen. Met behulp van de aantekeningen van Tycho Brahe zette hij de Zon en de banen van de verschillende planeten op papier. Dat hij dit met hoge precisie heeft gedaan blijkt wel uit het feit dat zijn model gedurende de daarop volgende vier eeuwen niet gewijzigd is. Keplers wetten blijken zeer algemeen te gelden. Je kunt ze toepassen op alle relatief lichte objecten die om relatief zware objecten heen draaien. Wij passen de wetten van Kepler toe op de beweging die ster S2 om radiobron SgrA* maakt.
We noemen nu alvast de drie wetten die Kepler heeft gevonden, maar we bekijken ze later één voor één.
De eerste wet: Planeten bewegen in elliptische banen rond de Zon. De Zon staat hierbij in een brandpunt van de ellips. De tweede wet: De voerstraal van de Zon naar de planeet (een denkbeeldige lijn tussen het middelpunt van de Zon en het middelpunt van een planeet) beschrijft in gelijke tijden Dt gelijke oppervlakten DA:
DA/Dt = constant
waarin:
- DA = de door de voerstraal beschreven oppervlakte in vierkante meters (m2) - Dt = de tijd in seconden (s)
Deze oppervlakten worden ook wel perken genoemd. Daarom wordt de tweede wet van Kepler ook wel de perkenwet genoemd.
De perkenwet: Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B als van C naar D gaat, zijn de gearceerde oppervlakten even groot
De derde wet: De derde machten van de halve lange assen a van de planeetbanen verhouden zich als de kwadraten van hun omlooptijden T in jaren. Later werd aangetoond dat de omlooptijd T berekend kan worden door:
T2= (4p2/G(M+m))·a3
waarin:
- T = de omlooptijd in s - G = de gravitatieconstante in N m2 kg-2 - M = de massa van de Zon in kg - m = de massa van de planeet in kg - a = de halve lange as in m
Maak nu eerst de opdrachten over ellipsen op de volgende pagina.
6.2 Opdrachten ellipsen
Om je te laten wennen aan de berekeningen die straks nodig zijn voor de bewegingen in ons melkwegstelsel laten we je nu eerst een paar opgaven maken over ellipsen.
Opdracht 14
Maak deze opdracht in je schrift.
In deze figuur zie je een ellips, met een aantal onderdelen aangegeven. Een ellips heeft twee brandpunten. (In het geval van het zonnestelsel zitten de planeten in een ellipsbaan rond de zon, met de zon in een van de brandpunten.)
- a = halve lange as - b = halve korte as - c = afstand van middelpunt ellips tot brandpunt
Een ellips is de verzameling van alle punten, waarvan de som van de afstanden tot twee punten (de brandpunten) gelijk is. Deze som is gelijk aan de lengte van de lange as (= 2a) van de ellips. Bovendien geldt: a2 = b2 + c2.
a. Teken op een vel millimeterpapier een assenstelsel waarbij de x-as en de y-as beide van -10 cm tot 10 cm gaan. Prik het vel met punaises op een stuk zachtboard. Prik twee punaises vast in de punten (-8, 0) en (8, 0). De twee punaises vormen de brandpunten van de ellips.
b. Maak een touwtje met een lengte van iets meer dan 20 cm vast aan de beide punaises: knoop de ene kant van het touwtje aan de eerste punaise en de andere kant van het touwtje aan de tweede punaise. Zorg ervoor dat tussen beide punaises het touw precies 20 cm lang is. Trek met het potlood het touw strak en teken een ellips door rond te gaan met het potlood. c. Bepaal a, b en c van de door jou getekende ellips. d. Laat met behulp van de a die je net hebt bepaald, zien dat de lengte van het touw gelijk is aan 2a (de lengte van de lange as van de ellips). e. Bewijs algemeen dat geldt: touwlengte = 2a. f. Laat met behulp van de a, b en c die je net hebt bepaald, zien dat: a2 = b2 + c2. g. Bewijs dat voor een ellips geldt: a2 = b2 + c2.
Opdracht 15
Maak deze opdrachten in je schrift.
Bloemperk Je wilt in de tuin een ellipsvormig bloemperk maken, met een lange as van 6,5 meter lang. De korte as moet 3,5 meter lang zijn. Je zet de ellips uit met een touw en twee paaltjes die je in de grond slaat.
a. Hoe lang moet het touw zijn? b. Bereken hoe ver de beide paaltjes uit elkaar moeten staan.
Ellips met twee boompjes Twee boompjes staan 15 meter uit elkaar. Je maakt een stuk touw zo aan beide boompjes vast dat zich tussen de boompjes 20 meter touw bevindt. Daarmee construeer je een ellips. Bereken de lengte van de korte as van de ellips.
Ellips 1 Hieronder zie je een tekening van een ellips. De tekening is op ware grootte. a. Bepaal a en b van deze ellips (in centimeters). b. Bepaal c van deze ellips. c. Teken de beide brandpunten op de goede plaats in de ellips. Laat zien hoe je dat doet.
Ellips 2 Voor de bovenste helft van een ellips geldt de formule:
a. Laat zien dat de functie voor de bovenste helft klopt. b. Teken de ellips met a = 10 en b = 6. c. Teken de beide brandpunten in de ellips. d. Plot de ellips op je grafische rekenmachine. Zorg ervoor dat de schaalverdelingen langs de x-as en de y-as even groot zijn. Laat zien hoe je dit hebt gedaan.
6.3 De eerste wet van Kepler
De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten zich rond de zon bewegen in elliptische banen, waarbij de zon zich in één van de brandpunten van de ellips bevindt. Uit de eigenschappen van een ellips volgt dat de som van de afstanden van de planeet naar beide brandpunten overal op de ellips gelijk is.
Ellipsen zijn belangrijke meetkundige vormen in de astronomie. Niet alleen de banen van planeten rond een ster beschrijven ellipsen, ook de baand die een ster volgt rond een superzwaar zwart gat is een ellips. In dat geval staat dus het zwarte gat in een brandpunt van de ellips. We hebben gezien dat de lijn met lengte a de halve lange as wordt genoemd. De lijn met lengte b wordt de halve korte as genoemd. Een ellips met midden (0,0) wordt beschreven door de volgende relatie:
waarin:
- x = de positie op de x-as - y = de positie op de y-as - a = de lengte van de halve lange as - b = de lengte van de halve korte as
6.4 De tweede wet van Kepler
De tweede wet van Kepler, ook wel de Perkenwet, houdt in dat de voerstraal van de Zon naar de planeet in gelijke tijden (dt) gelijke oppervlakten (dA) beschrijft. De voerstraal is een denkbeeldige lijn tussen het middelpunt van de (relatief zware) Zon en het middelpunt van een (relatief lichte) planeet. In formulevorm kan dat worden weergegeven als:
In de figuur hieronder zie je twee even grote perken, die in een gelijke tijd doorlopen zijn. Dit heeft tot gevolg dat de baansnelheid van de planeet zal variëren. Het stuk van C naar D zal namelijk in dezelfde tijd moeten worden afgelegd als het stuk van A naar B: de planeet gaat sneller tussen C en D.
Keplers perkenwet in beeld
Kepler leidde zijn wetten af voor de planeten om de Zon. Hierin was de omlooptijd T van een planeet de tijd om een volledige ellipsbaan om de Zon te beschrijven. Keplers wetten gelden zeer algemeen; óók voor de baan van ster S2 om middelpunt van de Melkweg SgrA*. Je gaat zo meteen met behulp van de tweede wet van Kepler de omlooptijd van S2 bepalen. In de tijd dat de ster één keer rond het zwarte gat gaat, doorloopt de voerstraal, de lijn tussen het zwarte gat en de ster, de totale oppervlakte van de ellips. De oppervlakte Aell van een ellips is:
waarin:
- Aell = de oppervlakte van de ellips in vierkante meters (m2) - a = de halve lange as in meters (m) - b = de halve korte as in meters (m)
De tweede wet van Kepler zegt dat de voerstraal tussen het zwarte gat en de ster in gelijke tijdseenheden stukken met een gelijke oppervlakte doorloopt. Uit formule 4 volgt dus:
waarin T de omlooptijd voorstelt.
Bijvoorbeeld: na de helft van de omlooptijd (Dt=T/2), zal de voerstraal de helft van de oppervlakte van de ellips (Aell/2) doorlopen hebben. Algemeen geldt dus dat de voerstraal in een tijd Dt die de ster erover doet om van positie 1 naar positie 2 te bewegen, een oppervlakte doorloopt van:
waarin:
- DA = de door de voerstraal doorlopen oppervlakte in vierkante meters (m2) - Dt = de tijd in seconden (s) tussen de twee gemeten posities - T = de omlooptijd in seconden (s) - Aell = de oppervlakte van de gehele ellips in vierkante meters (m2).
Om de omlooptijd T met behulp van deze formule te bepalen, moet je dus eerst DA, Dt enAell bepalen.
Wat denk je?
Waar moet de snelheid van een planeet 't grootst zijn om aan de perkenwet te voldoen?
Volgens Kepler verhouden de derde machten van de halve lange assen a van de planeetbanen zich als de kwadraten van hun omlooptijden T in seconden. Later werd aangetoond dat de omlooptijd T berekend kan worden door:
De omlooptijd T van een planeet is de tijd die nodig is om een volledige ellipsbaan om de Zon te beschrijven. In Keplers derde wet heb je twee van de volgende drie grootheden (de omlooptijd T, de halve lange as a en de totale massa M + m) nodig om de ontbrekende grootheid te kunnen berekenen.
Kepler publiceerde zijn wetten in 1609 en 1619. Een kleine 70 jaar later, in 1687, liet Isaac Newton zien dat je de drie de wetten van Kepler kunt afleiden uit de universele gravitatiewet (zie figuur 18). Deze wet beschrijft de aantrekkende gravitatiekracht tussen 2 voorwerpen die allebei een massa hebben.
De gravitatie laat een steen op de Aarde vallen, houdt de Maan in haar baan om de Aarde, houdt de Aarde in haar baan om de Zon en sterren in hun baan om een zwart gat.
In feite is de beweging van de planeten om de Zon onderworpen aan slechts één wet, de gravitatiewet. Hiermee toonde Newton aan dat de 'aardse' wetten van de mechanica ook voor hemellichamen gelden, wat voor zijn tijdgenoten zeer opmerkelijk was.
Het is niet eenvoudig om de wetten van Kepler af te leiden uit de gravitatiewet, maar als je uitgaat van een cirkelvormige baan van een planeet is dit wel mogelijk. Je gaat daarbij uit van een planeet met massa m die een cirkelvormige baan met straal r beschrijft om de Zon, die een massa M heeft (zie ook de figuur hieronder).
Gravitatiekracht op een planeet
De middelpuntzoekende kracht die ervoor zorgt dat de planeet in zijn baan blijft, wordt geleverd door de gravitatiekracht, zodat geldt:
waarin:
- Fmpz = de middelpuntzoekende kracht in Newton (N) - Fg = de gravitatiekracht in Newton (N) - m = de massa van het eerste voorwerp (planeet) in kilogrammen (kg) - v = de baansnelheid van het eerste voorwerp (planeet) in meters per seconde (m/s) - r = de straal van de baan in meters (m) - G = de gravitatieconstant in N m2 kg-2 - M = de massa van het tweede voorwerp (Zon) in kilogrammen (kg).
In het bovenstaande voorbeeld wordt uitgegaan van de Zon en een planeet. De derde wet van Kepler geldt echter ook weer voor de beweging van ster S2 om SgrA*. Ook nu heb je immers te maken met een relatief grote massa waar een kleinere massa omheen beweegt.
Hoe je de derde wet van Kepler afleidt, lees je hieronder in de extra stof.
Wat denk je?
Wat moet je weten om met deze formule de massa van het zwarte gat te berekenen?
Extra: Afleiding van Keplers derde wet voor cirkelbanen
De middelpuntzoekende kracht die ervoor zorgt dat de planeet in zijn baan blijft, wordt geleverd door de gravitatiekracht, zodat
waarin:
- Fmpz = de middelpuntzoekende kracht in Newton (N) - Fg = de gravitatiekracht in Newton (N) - m = de massa van het eerste voorwerp (planeet) in kilogrammen (kg) - v = de baansnelheid van het eerste voorwerp (planeet) in meters per seconde (m/s) - r = de straal van de baan in meters (m) - G = de gravitatieconstante in N m2 kg-2 - M = de massa van het tweede voorwerp (Zon) in kilogrammen (kg)
Als de planeet de volledige baan van de cirkel beschreven heeft, dan heeft hij een afstand 2pr afgelegd. Dit doet hij in een omlooptijd T. Aangezien geldt v = s/t kun je v ook schrijven als: (2pr)/2 Als je dit invult in formule 10 krijg je:
Kruiselings vermenigvuldigen levert: m . 4 . p2 . r2 . r2 = r . T2 . G . m . M Wegdelen van m en r geeft: 4 . p2 . r3 = T2 . G . M Als je T2 over wilt houden moet je delen door G . M. Je krijgt dan:
waarin:
- T = de omlooptijd in seconden (s) - r = de straal van de baan in meters (m) - G = de gravitatieconstante in N m2 kg-2 - M = de massa van het tweede voorwerp (Zon) in kilogrammen (kg)
Je ziet dat deze formule vrijwel overeen komt met de derde wet van Kepler. Omdat je hier te maken hebt met een cirkelvormige baan is de halve lange as a gelijk aan de straal r van de cirkel. Het blijkt dus dat de gravitatiewet van Newton universeel bruikbaar is.
6.6 Opdrachten wetten van Kepler
Eenheden in de sterrenkunde
In de sterrenkunde hebben we te maken met zeer grote afstanden. Het is daarom verstandig om voor deze afstanden aparte eenheden af te spreken.
Astronomische Eenheid De Astronomische Eenheid (A.E.) is een afstandsmaat die vooral gebruikt wordt om afstanden binnen het zonnestelsel aan te geven. Afgesproken is dat de gemiddelde afstand van de Aarde tot de Zon precies één astronomische eenheid bedraagt. Deze afstand is nauwkeurig bekend en bedraagt 149.597.870,69 km.
Lichtjaar Omdat de afstanden van de Aarde tot de sterren vele malen groter zijn dan de afstand van de Aarde tot de Zon is het gebruik van de astronomische eenheid voor deze afstanden niet erg praktisch. Een meer voor de hand liggende eenheid is het lichtjaar. Eén lichtjaar is de afstand die het licht in één jaar aflegt. Eén lichtjaar is 9,4607 . 1012 km.
Parsec Voor nog grotere afstanden wordt de parsec (afkorting pc) als afstandsmaat gebruikt. Een ster of ander voorwerp staat op een afstand van 1 parsec tot de Zon als de afstand Aarde - Zon (de Astronomische Eenheid (zie hierboven)) vanaf die ster een zichthoek van 1 boogseconde heeft. Eén parsec komt overeen met 3,26 lichtjaar. Voor afstanden tussen sterrenstelsels wordt vaak de megaparsec (1 Mpc = 106 pc) gebruikt.
Zonsmassa Sterren en sterrenstelsels hebben een zo grote massa dat bij gebruik van de S.I.-eenheid kilogram de waarden erg groot zijn. Het is in de astronomie gebruikelijker om de massa van de zon als eenheid te nemen. Eén zonsmassa mzon komt overeen met 1,989 . 1030 kg.
Boogseconde Bij waarnemingen wordt vaak de hoek gemeten waarin een ster of ander bewegend voorwerp ten opzichte van de Aarde verschuift. Deze verschuivingen worden in boogseconden uitgedrukt. Een boogseconde is een zestigste deel van een boogminuut. Een boogminuut is weer een zestigste deel van een graad. Een boogseconde is dus een klein deel van een graad.
Als een ster zich aan de hemel beweegt, kun je met behulp van de hoek p in boogseconden bepalen welke afstand R de ster heeft afgelegd. Je hebt dan ook de afstand d van de Aarde tot de ster nodig. Zie de figuur hieronder.
Omdat de hoek erg klein is, zullen de schuine zijde en de aanliggende zijde van hoek p vrijwel even lang zijn. Met behulp van de volgende formule kun je de waarde van R, de afstand die de ster heeft afgelegd, uitrekenen als p en d bekend zijn.
- p = de hoek in graden(°) - R = de afstand die de ster heeft afgelegd in meters (m) - d = de afstand van de Aarde tot de ster in meters (m).
Maak nu de volgende opdrachten in je schrift.
Opdracht 16
a.
Reken na, met behulp van Binas, dat één lichtjaar overeenkomt met 9,4607.1012km (Een jaar duurt gemiddeld 365,25 dagen).
b.
Hoe vaak kun je in één jaar van de Aarde naar de Zon en weer terug vliegen als je raket met de lichtsnelheid zou vliegen?
c.
Hoe vaak kun je in één jaar om de Aarde vliegen op een hoogte van 250 km boven de evenaar? De snelheid van je raket is gelijk aan de lichtsnelheid.
Opdracht 17
a. Bereken hoeveel lichtjaar er in 1pc zitten. Geef je antwoord in 4 decimalen . b. Voor een ster op een afstand van 8000 pc (dat is 8,0 kpc) komt 2 boogseconden ongeveer overeen met 92 lichtdagen. Reken dat met behulp van bovenstaande informatie uit. c. Reken uit hoeveel radialen 2 boogseconden zijn (360° = 2 pi radialen). d. Bij zeer kleine hoeken geldt dat de waarde van de sinus gelijk is aan de waarde van de hoek in radialen. Ga dit na voor de hoek van 2 boogseconden. e. Leid met behulp van vraag b en c de volgende formule af (p in boogseconden):
Opdracht 18
Bepaling van de omlooptijd
In opdracht 14 construeer je een ellips. De nauwkeurigheid van deze methode kun je vergroten door de ellips eerst op een stuk karton te plakken en dan pas uit te knippen. Let er wel op dat je de lijm goed verdeelt. Ook kun je de ellips vooraf vergroten met een kopieerapparaat.
a.
Knip met behulp van een schaar de ellips van opdracht 14 uit. Weeg de uitgeknipte ellips op een weegschaal met een nauwkeurigheid van tenminste 0,01 g. Hiermee kun je (de massa van) Aellbepalen.
b.
Knip vervolgens de oppervlakte die nog niet gepasseerd was door de voerstraal weg, en weeg het overgebleven papier opnieuw. Op deze manier krijg je (de massa van) DA. Als je echte oppervlaktes wilt bepalen, dan moet je de massa's van het papier omzetten in vierkante boogseconden. Omdat je echter alleen de verhouding tussen DA en Aellnodig hebt, is hier nu geen reden voor.
c.
Bereken T door gebruik te maken van de massa's van de verschillende delen van de ellips. Bepaal de waarde van Dt en vergelijk het verkregen resultaat met dat van je docent.
Opdracht 19
Vraag: de massa van de Zon en de Aarde
Bereken de gezamenlijke massa van de Zon en de Aarde door gebruik te maken van Keplers derde wet. Neem voor de halve lange as van de ellips die de Aarde beschrijft 150 miljoen kilometer en de omlooptijd is 1 jaar.
6.7 Toepassingen
In de volgende oefeningen moet je gebruik maken van de theorie die je zojuist hebt geleerd. De opgaven moet je in een apart werkdocument maken dat je hier kunt vinden: werkdocument_II_Kepler.
Toepassingen van de eerste wet van Kepler Om de baan van een ster rond het centrum van de Melkweg te bepalen, moeten er veel problemen opgelost worden. Het is zeer moeilijk om sterren in de buurt van het centrum van de Melkweg waar te nemen doordat er grote hoeveelheden sterren, gaswolken en stof tussen de Aarde en het midden van de Melkweg zitten. Hierdoor wordt het waargenomen beeld mistig. Je probeert als het ware om 's nachts door een bewolkte lucht naar de sterren te kijken. Met zichtbaar licht is dit niet of nauwelijks mogelijk. Infrarood licht heeft een grotere golflengte dan zichtbaar licht. Hierdoor wordt infrarood licht minder tegengehouden door de (gas)wolken in onze Melkweg. Zo kan het infrarode licht vanuit het centrum van de Melkweg ons gewoon bereiken. Op foto's van het centrum van de Melkweg, genomen op achtereenvolgende tijden, is te zien dat de sterren in de buurt van het centrum zich verplaatsen. Een probleem bij het bepalen van de baan van een ster om het centrum van de Melkweg is de omlooptijd. Zo is de omlooptijd van de Zon om het centrum van de Melkweg ongeveer 230 miljoen jaar. In een mensenleven kun je dus maar een heel klein stukje echt meten.
Een infrarood foto van het centrum van de Melkweg. De twee pijltjes in het midden markeren de positie van zwart gat kandidaat Sagittarius A* in het centrum van de Melkweg. De onderste gele balk geeft de hoekafstand van 1 lichtjaar (ongeveer 8 boogseconden) aan. bron: ESO, European Organization for Astronomical Research in the Southern Hemisphere
De rest moet je via berekeningen bepalen. Eén ster in het bijzonder, genaamd S2, heeft een veel kortere omlooptijd om het centrum van de Melkweg. S2 heeft namelijk een omlooptijd van minder dan 16 jaar waardoor het wél mogelijk is om een volledige rondgang te meten. De baan van S2 en nog enkele andere sterren in de buurt van SgrA* kun je zien in het volgende filmpje.
In je werkdocument_Kepler vind je een spreadsheet met de coördinaten van S2. Met deze coördinaten kun je de halve lange as a van de ster bepalen. Maak de volledige opdracht 20 in het werkdocument. Sla dit weer op op een USB stick of op je mail zodat je het later aan kunt vullen.
Opdracht perkenwet
Opdracht 21: Perkenwet
Maak de volgende vragen weer in je Werkdocument_Kepler.
De tweede wet van Kepler In de vorige opdracht heb je de halve lange as van een ellips bepaald. In onderstaande animatie gaan we kijken wat nu de invloed is van de halve lange as op de baan van een planeet. Door de halve lange as te wijzigen kunnen we de planeet een andere baan om (in dit geval) de zon geven.
In onderstaande animatie kun je de waarde van de halve lange as variëen van 0.5 AE tot en met 1.5 AE. Vul een willekeurige waarden tussen de 0.5 en 1.5 in en klik daarna op het 'start'knopje om de planeet in de baan te laten lopen. Houd de snelheid nog even op 20 km/s. Kijk wat er gebeurt bij de verschillende waardes voor de halve lange as.
Opdracht 21
Kies een waarde voor de halve lange as, waar je de rest van de opdracht mee gaat werken. Kies nu een snelheid tussen de 6 en 35 km/s. Je zult zien dat niet alle snelheden bij alle waardes voor de halve lange as in de animatie passen. Dat geeft de animatie aan. Kies in dat geval een nieuwe waarde voor de snelheid. Als je een snelheid hebt gevonden, waarbij de animatie loopt, noteer je de waarden in je werkdocument. Geef je planeet een naam en noteer deze naam ook in je werkdocument.
Terwijl je planeet rustig in zijn baan om de zon circuleert, kunnen we een aantal metingen verrichten. Met deze animatie kunnen we het verband tussen de tijd en het oppervlak die een planeet in de baan aflegt bekijken. Hoe verzamel je je meetpunten:
- Klik op een willekeurig punt op de pauzeknop. - Klik vervolgens op de 'M'-knop om je beginpunt vast te stellen. - Laat de animatie verder lopen door op de 'start'knop te klikken. - Om je metingen te laten eindigen klik je weer op de 'M'knop. - Je ziet nu het volgende verschijnen:
In het beeld zie je het oppervlak dat de planeet heeft afgelegd paars kleuren (zie Figuur 1). Door weer op de 'M'-knop te klikken worden de waarden vastgelegd. In je animatie zie je rechts een scherm verschijnen met daarin de waarden voor de tijdsduur en de oppervlakte.
Oefen dit nu eerst een paar keer. Als je goed met de animatie overweg kan, kun je nu je meetwaarden gaan verzamelen. Verzamel 10 meetpunten, waarin je zo veel mogelijk probeert te variëren in de tijdsduur en oppervlakte. Wanneer je 10 meetwaarden hebt kun je je gegevens exporteren naar Excel door op de 'S'-knop te klikken. Een nieuw scherm opent zich met jouw waarden erin. Kopieer deze waarden naar je werkdocument en maak daar de opdracht verder af.
Opdracht derde wet van Kepler
Opdracht 22: Derde wet van Kepler
Maak de volgende opdracht weer in je Werkdocument_Kepler
Je hebt gezien dat het verband tussen de omlooptijd en het oppervlak binnen de ellips dat een planeet daarbij aflegt een constante is. In onderstaande opdracht gaan we kijken naar het verband tussen de grootte van de halve lange as en de omlooptijd. Door de grootte van de halve lange as te veranderen, kunnen we de planeet een grotere of kleinere baan om (in dit geval) de zon geven.
In onderstaande animatie kun je de waarde van de halve lange as variëren van 0.3 AE tot en met 1.7 AE. Vul een willekeurige waarden tussen de 0.3 en 1.7 in. De excentriciteit (De excentriciteit kan gezien worden als de mate waarin een baan afwijkt van een cirkel) kun je variëren van 0 tot 0.7. Kies een waarde voor de excentriciteit en vul een willekeurige waarde voor de halve lange as. Kijk wat er gebeurt, door op het startknopje te klikken. Doe hetzelfe bij een vaste waarde voor de halve lange as en willekeurige waarden voor de excentriciteit.
Opdracht 22
Zo verzamel je meetpunten:
Kies een waarde voor de excentriciteit. Deze waarde laat je de gehele meting constant.
Kies een willekeurige waarde voor de halve lange as.
Klik op de 'start'knop en de animatie begint te lopen
Klik op een willekeurig moment op de 'M'-knop om de omlooptijd van de planeet te bepalen. De omlooptijd wordt weergegeven in de tijd die de planeet erover doet om één ronde af te leggen. Het maakt daarom niet uit op welk moment je op de 'M'-knop klikt.
Kies een andere waarde voor de halve lange as, laat de waarde van de excentriciteit hetzelfde en laat je planeet nog een keer bewegen.
Laat de animatie ook bij deze waarde een berekening doen van de omlooptijd.
Verzamel 10 meetpunten, waarin je varieert in de waarde van de halve lange as. Laat de waarde van de excentriciteit gelijk! Wanneer je 10 meetwaarden hebt kun je je gegevens exporteren naarExceldoor op de 'S'-knop te klikken. Een nieuw scherm opent zich met jouw waarden erin. Kopieer deze waarden naar je werkdocument en maak daar de opdracht verder af.
Je kunt als je wilt nog een keer tien meetwaarden verzamelen bij een andere excentricitiet. Verander hiertoe de excentriciteit éénmaal en meet weer tien omlooptijden bij verschillende waarden voor de halve lange as.
Opdracht massa
Opdracht 23: Massa
Nu is de omlooptijd niet zuiver en alleen afhankelijk van de grootte van de halve lange as. Ook de massa van de planeet en van het hemellichaam waar de planeet om draait speelt een belangrijke rol. Daar ga je in de opdracht Planeten in het programma Coach meer over leren. Maak de opdrachten weer in je werkdocument_Kepler.
Opdracht 23
Download nu eerst het Coach programma en installeer het op je computer: Planeten.exe
Ons zonnestelsel bestaat uit acht planeten. Vanaf de zon gezien zijn het Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus. Pluto heeft tegenwoordig de status van dwergplaneet. De planeten bewegen in ellipsen rond de zon, maar deze ellipsen zijn bijna cirkels. Hoe verder een planeet van de Zon staat, hoe langer zijn omlooptijd is. In deze activiteit onderzoek je het precieze verband tussen omlooptijd en baanstraal van een planeet.
Planeetgegevens
* Open Coach en kies het project ‘Planeten’. * Open de activiteit ‘Planeetgegevens’.
De afbeelding hieronder laat het wereldbeeld volgens Aristoteles zien.
a. Beschrijf zoveel mogelijk verschillen met het huidige wereldbeeld.
* Bekijk bron 1: “Informatie over Johannes Kepler en zijn wetten”. Beantwoord daarna onderstaande vragen.
b. Wat bedoelen we met de retrograde beweging van planeten? c. Wat wordt bedoeld met de eerste wet van Kepler? d. Hoe luidt de tweede wet van Kepler?
In 1619 kwam Johannes Kepler met het antwoord.In wiskundige vorm luidt dat antwoord:
T2/R3=constant Dit is de derde wet van Kepler. T is de omlooptijd en R de baanstraal.
e. Je hebt gelezen dat T²/R³ = een constante. Bereken die constante. Gebruik de gegevens uit de tabel met planeetgegevens. f. Welke twee planeten bevinden zich 'naast' de Aarde? g. Men vermoedt dat de tiende planeet een baanstraal heeft van 60 AE. Bereken die afstand in miljoenen kilometers. h. Bereken de omlooptijd van die tiende planeet. i. Bereken de afstand van de planeet die het dichtst bij de Zon staat. Druk die afstand uit in miljoenen kilometer.
De derde wet van Kepler
In deze activiteit onderzoek je het volgende verband:
T2/R3=constant
In de vorige activiteit heb je echter al ontdekt dat die constante gelijk is aan 1, omdat we T en R uitdrukken in aardse eenheden. Dus we kunnen schrijven:
T=R3/2 Voor Mars geldt R = 1,524 (zie eventueel de activiteit 'Planeetgegevens').
* Controleer dat de omlooptijd van Mars gelijk is aan 1,881. * Controleer het verband T = R^(3/2) voor een andere planeet. * Open het modelvenster.
Je ziet het wiskundige model voor de derde wet van Kepler. Op welke regel vind je bovenstaand verband terug?
* Sluit het modelvenster. * Start het model.
De grafiek geeft het verband tussen de omlooptijd T en de baanstraal R van een planeet. In de activiteit: "Planeetgegevens" heb je een grafiek van de planeetgegevens gemaakt. Dat resultaat heb je bewaard.
* Importeer het resultaat in de modelgrafiek. Kies als lijnsoort ‘geen’ en als symbool ‘Kruis’.
j. Komen de planeetgegevens overeen met de grafiek van het model? Waarom wel of niet?
Voor die constante is natuurlijk wel een getal bekend. Dat is het volgende:
T2/R3=4π2/GM
G is de gravitatieconstante, M is de massa van de zon. Het belang van de wet van Kepler zit erin dat je door twee dingen te meten van afstand (namelijk de omlooptijd en de straal van de planeten), je de massa van de zon kunt achterhalen
k. Bereken de massa van zon. l. Had het iets uitgemaakt als Jupiter twee keer zo zwaar was geweest voor zijn omlooptijd?
Reflectie
Schrijf hier de vraag. Maak een link van 'plaats hier je uw' en vul wel de title/mouseover, maar nier de URL. Bij mouseover wordt nu de antwoordindicatie getoond.
Het arrangement H06. Wetten van Kepler is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2015-05-08 13:35:57
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Meten aan melkwegstelsels' voor VWO 4 voor het vak NLT.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Cirkelbewegingen met constante baansnelheid;
Aarde, natuur en heelal;
Natuur, leven en technologie;
Zonnestelsel en heelal;
Ruimte;
Natuurkunde;
Werkdocument II Kepler
