Welkom
Welkom bij deze mini-cursus over knopen en groepen. Tijdens deze cursus zal je leren hoe je verschillende knopen kunt analyseren met behulp van groepentheorie. Knopen kunnen behoorlijk ingewikkeld zijn. Vandaag de dag is knopentheorie nog steeds een vakgebied met veel open vraagstukken. We zullen daarom langzaam opbouwen naar knopen en hun knoopgroepen. Je zult kennismaken met het belangrijke onderwerp topologie en in het bijzonder algebraische topologie, vervolgens zal je kennismaken met nieuwe soorten groepen zoals fundamentele groepen en vrije groepen, waarna je tot slot ontdekt hoe je een schilderij, met behulp van knoopgroepen, het slechtst aan de muur kunt hangen.
Het is voor deze cursus handig als je al het één en ander weet over analyse met meerdere variabelen en uiteraard groepentheorie. Daarnaast kan het programma Geogebra je bij bepaalde vraagstukken helpen om verder te komen. Voor de rest kan je bij het kopje voorkennis, begrippen en theorie ophalen mocht je met iets niet bekend zijn.
Voor degene die geinteresseerd is in de puntentelling: Er zijn in totaal 163 punten te behalen voor het beantwoorden van de vragen. (Voor de vragen die bij de voorkennis horen, zijn geen punten te behalen.)
Leerdoelen:
- De student verwerft inzicht in belangrijke centrale begrippen uit de algemene topologie zoals oriënteerbaarheid, open/gesloten, begrensd/onbegrensd, samenhangend, genus en homeomorf. Daarnaast heeft de student kennis gemaakt met voorbeelden/opgaven voor die begrippen.
- De student weet wat manifolds zijn en kent het begrip isotopie. Daarnaast kan de student van manifolds aantonen of ze wel of niet isotoop zijn.
- De student werft inzicht in belangrijke centrale begrippen uit de algemene knopentheorie zoals: knopen, knoopdiagrammen, het kruisgetal, priemknopen, knoopsommen, de Reidemeisterbewegingen, schakels en het schakelgetal.
- De student werft inzicht in belangrijke centrale begrippen uit de algebraïsche topologie als: paden, lussen, homotopie, padcompositie, fundamentele groepen en deformatieretractie.
- De student werft inzicht in vrije groepen en knoopgroepen.
Geschiedenis van knopen
Knopen worden al decennia gebruikt bij klimmen, zeilen en vele andere activiteiten. Desondanks is de wiskundige studie naar knopen niet heel oud. Alexandre-Theophile Vandermonde deed aan het einde van de 18e eeuw een poging, echter was deze niet succesvol. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) heeft zich er ook nog over gebogen, maar de echte groei van knopentheorie begon in 1867.
In 1867 bedacht Sir William Thomson een natuurkundige theorie met knopen in de hoofdrol. Tijdens een experiment van de Schot Peter Tait kreeg hij het idee dat atomen kleine knopen waren en dat de verschillende eigenschappen van atomen te verklaren zouden zijn door bepaalde eigenschappen van knopen. Als gevolg hiervan besloot Peter Tait om een lijst te maken van alle unieke knopen, denkende dat dat overeen zou komen met een lijst van alle elementen. Ook had hij interessante vermoedens die pas in 1990 bewezen zouden worden, de Tait vermoedens. Echter nadat er meer experimenten werden gedaan viel het model van William Thomson door de mand en de natuurkundige interesse voor knopen verdween.
Ondertussen ontwikkelde de topologie zich als belangrijke tak van de wiskunde en de knopentheorie werd daarin opgenomen. Vroeg in de 20ste eeuw werd er door verschillende topologen vooruitgang geboekt. Kurt Reidemeister en J.W. Alexander waren er daar twee van. Deze topologen bestudeerden knopen vanuit het oogpunt van de knopengroep en invarianten uit de homologietheorie, zoals de Alexander-polynoom. Dit zou de belangrijkste benadering van de knopentheorie zijn totdat een reeks doorbraken het onderwerp transformeerde.
In de laatste decennia van de 20e eeuw raakten wetenschappers geinteresseerd in het bestuderen van fysieke knopen om knoopfenomenen in DNA en andere polymeren te begrijpen. Knopentheorie kan worden gebruikt om te bepalen of een molecuul chiraal is of niet. Daarnaast kan Knopentheorie cruciaal zijn bij de constructie van kwantumcomputers, door het model van topologische kwantumberekening.
Voorkennis
Isomorfie
Twee groepen zijn isomorf aan elkaar als ze dezelfde structuur hebben. Er bestaat dan een bijectieve afbeelding tussen de groepen. De rotatie van een vierkant om zijn middelpunt is bijvoorbeeld isomorf aan optelling modulo 4. Dit wordt genoteerd als:
(R
\(\scriptsize_{\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}}\pi}\);○) ≅ (ℤ4;+)
Voor isomorfe elementen kunnen de volgende notaties worden gebruikt:
R\(\scriptsize_{\textsf{1}\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}}\pi}\) ↦ \(\scriptsize\bar{\textsf{3}}\)
\(\scriptsize\bar{\textsf{3}}\) ↦ R\(\scriptsize_{\textsf{1}\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}}\pi}\)
1. Vind een groep die isomorf is aan de vermenigvuldiging over het gereduceerde restsysteem modulo 8: (ℤ\(\scriptsize^{\textsf{*}}_\textsf{8}\);·).
Lineaire bezierkrommen
2. Leg uit waarom dit een lijnstuk tussen \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{p}}\) en \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{q}}\) oplevert.
Productgroepen
Een productgroep is het resultaat van een product tussen twee groepen. Deze wordt genoteerd als:
(A;⨁) × (B;⊛)
De elementen van een productgroep zijn koppels van elementen uit de ene groep met elementen van de andere groep. De nieuwe bewerking maakt gebruik van de oude bewerkingen, als volgt:
(a1;b1)(a2;b2) = (a1⨁a2;b1⊛b2) met a1,a2∈A en b1,b2∈B
Een product met de groep zelf kan bijvoorbeeld als volgt worden genoteerd:
(ℤ2;+)
3. Geef de cayley tabel voor (ℤ2;+) × (ℤ3;+).
Toren van Hanoi
In India staat de Kashi Vishwanath, een eeuwenoude, hindoeïstische tempel van goud, waar volgens de legende de priesters iedere dag 64 gouden wielen over drie pilaren schoven. Ieder wiel heeft een andere grootte. Toen de priesters eeuwen geleden begonnen met dit vreemde spel waren de wielen van groot naar klein gestapeld om de linker pilaar. De priesters verplaatsten de wielen van pilaar naar pilaar, zonder ooit een groter wiel op een kleiner wiel te plaatsen, hopend dat ze op een dag een stapel van 64 wielen van groot naar klein op de rechter pilaar hadden. Deze puzzel staat bekend als de toren van Hanoi.
4. In de volgende afbeelding zie je een toren van Hanoi met drie wielen. Vind het minst aantal stappen dat je hier nodig hebt om alle wielen van de linker pilaar om de rechter pilaar te krijgen.
5. In de volgende afbeelding zie je een toren van hanoi met vier wielen. Vind het minst aantal stappen dat je nu nodig hebt.
6. Bepaal het minst aantal stappen dat je nodig hebt om een toren van Hanoi met N wielen op te lossen.
7. Stel dat de priesters in het verhaal het voor elkaar krijgen om zonder pauze iedere seconde een wiel te verplaatsen en dat ze de optimale strategie gebruiken om hun toren van 64 wielen op te lossen. Bereken hoe lang de priesters dan over het oplossen van de puzzel doen.
De triviale groep
De kleinste groep die er bestaat is de triviale groep; E. Deze bevat alleen het neutrale element. De triviale groep is daarom een ondergroep van iedere groep die er bestaat.
8. Heeft de triviale groep een ondergroep? Zoja, welke? Zonee, waarom niet?
Woorden
Een woord is een reeks elementen van een groep, die aan elkaar gekoppeld zijn via de bewerking van die groep. De bewerking wordt bij een woord genoteerd zoals bij vermenigvuldig, wat betekent dat een opeenvolging van hetzelfde element wordt genoteerd als een macht en een opeenvolging van inversen wordt genoteerd als een negatieve macht, bijvoorbeeld:
b ⨁ b ⨁ a ⨁ c-1 ⨁ c-1 ⨁ c-1 ⨁ b ⨁ a-1 = b2ac-3ba-1
9. Geef bij vermenigvuldiging over het gereduceerde restsysteem modulo 8, (ℤ\(\scriptsize^{\textsf{*}}_\textsf{8}\);·), drie verschillende woorden waarvan het resultaat \(\scriptsize\bar{\textsf{5}}\) is.
1. Topologie
1.1 Topologie
Rond de overgang van de 19de naar de 20ste eeuw ontdekte de wiskundige Henri Poincaré een nieuwe wiskundig gebied genaamd topologie. Het vakgebied veranderde de manier waarop wiskundige nadachten, maar had ook grote gevolgen voor de natuurkunde en andere vakgebieden. Zo gebruikte Andrej Markov topologie om zijn theorieën over Markovketens te bewijzen en raadpleegde Albert Einstein, Henri Poincaré toen hij zijn relativiteitstheorie ontwikkelde. Knopen zijn een onderdeel van topologie, dus om deze beter te kunnen begrijpen, zullen we een aantal onderdelen uit de topologie bestuderen.
Topologie is een wiskundige tak die in veel opzichten op meetkunde kan lijken, maar waar het bij meetkunde gaat over objecten die op te meten zijn (lengte van een zijde, oppervlakte van een driehoek, grootte van een hoek, etcetera), gaat het bij topologie over objecten die flexibel te 'kleien' zijn. In de topologie zijn een cirkel en een vierkant bijvoorbeeld hetzelfde soort object, omdat je de één tot de ander kunt 'omkleien'. Het is dezelfde soort flexibiliteit die je kent van grafentheorie of die je tegenkomt bij het 'oprekken' van bijvoorbeeld het reele interval [0;1] tot [-1000;1000].
1.2 Homeomorfie en invariantie
Om objecten in meetkunde te kunnen identificeren, gebruiken we eigenschappen zoals lengte, oppervlakte, hoeken, etcetera. Deze eigenschappen veranderen niet als het object wordt geroteerd, verplaatst of gespiegeld. In topologie zijn andere eigenschappen belangrijk. Deze eigenschappen veranderen niet als het object wordt 'omgekleid'. Je kunt een 2D vierkant bijvoorbeeld niet 'omkleien' tot een 3D kubus. De dimensie van het object verandert dus niet bij het 'kleien'.
Een andere onveranderlijke eigenschap is het hebben van een rand of niet. Een rand is de 'schil' van een object. De rand van {(x;y) | x2 + y2 ≤ 4} is bijvoorbeeld x2 + y2 = 4 en de rand van {(x;y;z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1} is x2 + y2 + z2 = 1, maar x2 + y2 = 4 en x2 + y2 + z2 = 1 hebben zelf geen rand. Het vlak x + y + z = 1 heeft ook geen rand. Een object met een rand heet begrensd. Een object zonder rand heet onbegrensd.
Sommige objecten zijn eindig, deze heten gesloten, terwijl andere oneindig zijn, deze heten open. Ook dit is een onveranderlijke eigenschap.
Wat bij het 'kleien' ook niet verandert, is het aantal 'onderdelen' waaruit het object bestaat. Het is dus niet toegestaan om twee objecten aan elkaar te plakken en bijvoorbeeld van twee rechthoeken één te maken. Dit heet samenhang.
Een ander iets dat verboden is, is het maken of invullen van gaten in een object. De hoeveelheid gaten dat een object heeft, wordt genus genoemd.
Het 'kleien' waar we tot nu over spraken, heet officieel homeomorfie. Twee objecten zijn homeomorf aan elkaar als ze tot elkaar 'om te kleien' zijn. Er bestaat dan een continue en bijectieve afbeelding tussen de objecten. De relatie noteren we met het is-gelijk-teken. Het vierkant {(x;y) | x ∈ [0;2], y ∈ [0;2]} is bijvoorbeeld homeomorf aan de parallellogram
{(x+y;y) | x ∈ [0;2], y ∈ [0;2]} omdat er een continue en bijectieve afbeelding tussen bestaat:
T(x;y) = \(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{1} & \textsf{1} \\ \textsf{0} & \textsf{1} \\ \end{bmatrix}\)\(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{x} \\ \textsf{y} \\ \end{bmatrix}\)
Intuïtief zijn de objecten in de volgende afbeelding ook homeomorf aan elkaar omdat ze tot elkaar 'om te kleien' zijn, dus A = B.
De eigenschappen die onveranderlijk zijn bij het 'kleien' zijn invariant bij homeomorfie. Een continue en bijectieve afbeelding vinden is niet altijd even makkelijk, maar aan de hand van invariante eigenschappen kunnen we ook achterhalen of twee objecten onder homeomorfie hetzelfde zijn en dat is vaak een stuk eenvoudiger. Het nagaan van één invariante eigenschap is helaas niet genoeg. Een vierkant en een kubus hebben bijvoorbeeld allebei genus 0, maar ze zijn niet homeomorf. Hun dimensie verschilt namelijk. We moeten daarom dus alle invariante eigenschappen nagaan.
Er zijn overigens meer invariante eigenschappen voor homeomorfie dan degene die we net genoemd hebben. Dit maakt invariantie meer geschikt voor het nagaan dat twee objecten niet homeomorf zijn, dan voor het nagaan dat twee objecten wel homeomorf zijn. Maar voor nu mag je aannemen dat als twee objecten aan het bovenstaande rijtje voldoen, ze homeomorf zijn.
1.1 (4p) In de volgende afbeelding zie je 26 2D objecten (door sommige ook weleens de letters van het alfabet genoemd). Bepaal aan de hand van de topologische eigenschappen welke objecten homeomorf aan elkaar zijn.
1.2 (6p) In de volgende afbeelding zie je een aantal topologische objecten, die je soms bekend voor zullen komen (zoals de mok, de kom, de donut, de sleutel en de pijp) en soms niet bekend voor zullen komen (zoals object K en object L). Bepaal wederom welke objecten homeomorf aan elkaar zijn. (Hint: onder homeomorfie kunnen de afbeeldingen in 6 verzamelingen onderscheiden worden)
1.3 Manifolds
De objecten waar in de topologie mee gewerkt wordt, heten manifolds (een term uit het Engels). Evenals bepaalde meetkundige objecten een naam hebben, zijn er bijzondere manifolds om te benoemen. De belangrijkste hebben daarnaast ook een afkorting, vaak een hoofdletter met een getal die de dimensie van de manifold aangeeft. Hier volgen er een aantal:
sfeer Bn
B0 punt
B2 schijf
B3 sfeer
interval In
I1 interval
I2 vierkant
I3 kubus
reele ruimte ℝn
ℝ0 punt
ℝ1 getallenlijn
ℝ2 reele vlak
De afkorting voor sfeer en bol kunnen wat verwarrend zijn. Dit komt omdat in het Engels een sfeer een 'ball' is en een bol een 'sphere'. Merk ook op dat een interval altijd homeomorf is aan een sfeer. De reële ruimte is vaak handig als we het over 'alles' willen hebben. Om dezelfde reden is het soms handig om het 'niets' te kunnen benoemen. Dit is de lege verzameling.
1.3 (5p) Bepaal welke van de bovenstaande manifolds begrensd/onbegrensd zijn en welke gesloten/open zijn.
1.4 Isotopie
In de topologie hebben we de neiging om uitzonderlijke situaties te negeren, situaties die in de meetkunde soms heel belangrijk zijn. Neem bijvoorbeeld evenwijdigheid. Stel dat de lijnen y = ax + b en y = cx + d evenwijdig zijn. Bij een kleine verandering van a zijn de lijnen niet meer evenwijdig. Dit soort uitzonderlijke situaties, die met een miniscule verandering bijvoorbeeld niet meer evenwijdig zijn, negeren we in de topologie. Dingen zoals evenwijdigheid en raakpunten doen er in de topologie niet aan toe. Dit maakt de vraag of twee objecten elkaar snijden of niet bijvoorbeeld heel veel makkelijker. Voor topologen snijden twee lijnen in ℝ2 elkaar altijd. Twee punten in ℝ2 liggen voor topologen dan ook nooit op elkaar.
1.4 (5p) Bepaal of de volgende objecten elkaar snijden of niet in de desbetreffende ruimte:
a. een punt en een lijn in ℝ2
b. een punt en een lijn in ℝ3
c. twee lijnen in ℝ3
d. een vlak en een lijn in ℝ3
e. twee vlakken in ℝ3
Homeomorfie is niet de enige relatie die manifolds kunnen hebben in de topologie. Isotopie is een andere veel voorkomende topologische relatie. Twee manifolds zijn isotoop aan elkaar als de één via rotatie, verplaatsing en 'kleien' in de ander om te toveren is, maar tijdens deze vervorming mag de manifold zichzelf niet snijden. Omdat het snijden of niet afhangt van de dimensie waarin de manifolds zich bevinden, is isotopie ook afhankelijk van de dimensie waarin de manifolds zich bevinden. Als K en L zich bevinden op de manifold M en isotoop zijn, noteren we dit:
K \(\tiny \begin{matrix} \\ \sim \\ \textsf{M} \\ \end{matrix}\) L
Homeomorfie en isotopie zijn andere relaties, dus de invariante eigenschappen voor homeomorfie zijn niet per se invariant voor isotopie. Gelukkig is isotopie vaak intuïtief goed na te gaan.
1.5 (3p) Bepaal welke van de cirkels in onderstaande afbeelding isotoop zijn in T2.
1.6 (4p) Verklaar of er manifolds bestaan die homeomorf zijn, maar niet isotoop, en vice versa. (Hint: Gebruik eventueel de cirkels uit vraag 1.5 voor je verklaring)
2. Knopentheorie
2.1 Knopen en knoopdiagrammen
Knopentheorie is de tak van de topologie die zich bekommert om knopen. Dit zijn bijzondere manifolds van één dimensie die zich doorgaans bevinden in drie dimensies. Ze zijn allemaal homeomorf aan de cirkel, maar over het algemeen zijn ze niet isotoop aan de cirkel. De knoop in je schoenveters is dus eigenlijk geen knoop, want deze is homeomorf aan het interval, niet de cirkel. In de volgende afbeelding zie je onder andere een voorbeeld van een knoop. Meestal tekenen we een knoop in perspectief, want dat is makkelijker. Zo'n tekening heet een knoopdiagram. In de volgende afbeelding zie je ook de knoopdiagram van de desbetreffende knoop.
De meeste knopen zijn uiteraard 'opgeknoopt' waardoor ze niet meer isotoop zijn aan de cirkel, maar er is één knoop waar dit niet voor geldt. Dit is de meest simpele knoop, de triviale knoop.
2.2 Het kruisgetal en priemknopen
Knopen blijken tamelijk ingewikkelde manifolds te zijn. Alleen al het identificeren van een knoop is soms al een hele opgave. Eén van de manieren om verschillende knopen een beetje uit elkaar te kunnen houden is het kruisgetal. Dit is het minimaal aantal keer dat de knoopdiagram van een knoop zichzelf moet snijden. In onderstaande afbeelding zie je bijvoorbeeld twee knopen die allebei hetzelfde zijn en daarom dus ook hetzelfde kruisgetal hebben. De rechter knoop kruist zichzelf vaker, maar met een beetje isotopie zie je dat het minimaal aantal keer snijden toch drie keer is.
2.1 (4p) Vind het kruisgetal van de knopen in onderstaande afbeelding. (Voor de derde in het rijtje zal je wat isotopie nodig hebben.)
In 1885 begon Peter Tait een verzameling met de belangrijkste knopen en hun kruisgetal. Deze knopen staan bekend als de priemknopen. Een priemknoop kruist altijd onder-over-onder-over-etcetera. In de volgende afbeelding zie je het begin van de verzameling met alle priemknopen met kruisgetal 7 of minder. Je ziet ook de naam van de priemknoop die afgeleid is van zijn kruisgetal.
2.2 (2p) In onderstaande afbeelding zie je een priemknoop met een kruisgetal 7 of minder. Kijk of je kunt bepalen om welke priemknoop het gaat.
2.3 Knoopsommen
Je kunt twee knopen combineren door een segment van iedere knoopdiagram door te knippen en de uiteinden aan elkaar te plakken. Dit wordt in knopentheorie een knoopsom genoemd, die we noteren met een hashtag tussen de knopen. In de volgende afbeelding zie je 31#41. Als je twee priemknopen zo optelt, krijg je altijd een unieke knoop die niet een priemknoop is. Je kunt nooit een priemknoop krijgen uit een knoopsom, tenzij de som de triviale knoop bevat. In die zin is de term slim gekozen.
2.3 (1p) Verklaar hoe het mogelijk is om uit een knoopsom een priemknoop te krijgen als de som de triviale knoop bevat.
2.4 De Reidemeisterbewegingen
Een zeer handig stuk gereedschap voor het identificeren van knopen zijn de Reidemeisterbewegingen. Dit zijn drie bewegingen die de knoopdiagram veranderen, maar niet de knoop. Het zijn simpele bewegingen, dus dat ze de knoop niet veranderen is evident. Wat minder evident is, is dat dit de enige drie bewegingen zijn die je nodig hebt om een knoopdiagram naar iedere andere knoopdiagram van dezelfde knoop om te toveren. In de volgende afbeelding zie je de drie Reidemeisterbewegingen: twist, overlapping en passering.
2.4 (5p) Verklaar aan de hand van de Reidemeisterbewegingen dat er geen knopen met kruisgetal 1 of 2 bestaan.
2.5 Schakels en het schakelgetal
Een schakel is een aantal knopen die aan elkaar geschakeld zijn. De ene lus loopt door de ander heen, op zo'n manier dat de knopen niet meer los komen, tenzij je knopen laat snijden. De meest simpele schakel is de Hopf-schakel, die je in de volgende afbeelding ziet. Een triviale schakel is een reeks knopen die niet geschakeld zijn.
Schakels uit elkaar houden is even moeilijk als knopen uit elkaar houden. Het schakelgetal maakt gelukkig het categoriseren makkelijker. Het schakelgetal is een koppel van twee getallen. Het eerste getal vertelt hoeveel knopen geschakeld zijn en het tweede getal vertelt in hoeverre de knopen geschakeld zijn. Het schakelgetal van de schakel in onderstaande afbeelding is bijvoorbeeld (2;4).
Helaas zijn niet alle schakels zo mooi symmetrisch als de vorige. Dit maakt het vinden van het schakelgetal soms lastig. We zullen ons daarom beperken tot het vinden van het schakelgetal van twee geschakelde knopen. Hiervoor moeten we de knopen een oriëntatie geven. We gaan in een bepaalde richting over iedere lus lopen. Welke richting dat is, maakt voor het eindantwoord niet uit, dus je kunt zelf kiezen of je linksom of rechtsom loopt. In de volgende afbeelding zie je een schakel met een zekere oriëntatie.
Kies nu één van de twee knopen en bekijk de punten waar deze knoop over de andere heen beweegt in de knoopdiagram. Iedere keer dat de onderste knoop van rechts komt, telt het punt voor 1. Iedere keer dat de onderste knoop van links komt, telt het punt voor -1. (Zie ook de volgende afbeelding.) Tel alle waarden bij elkaar op en neem ten slotte de absolute waarde. Dit is het schakelgetal van de schakel.
2.5 (2p) Bepaal het schakelgetal van de Hopf-schakel.
2.6 (13p) Bepaal het schakelgetal van de schakels in onderstaande afbeelding.
2.7 (3p) Verklaar waarom de gekozen oriëntatie niet uitmaakt voor het totaal van de waarden als je daarna de absolute waarde ervan neemt.
3. Algebraïsche topologie
3.1 Algebraïsche topologie
Sinds de ontdekking van topologie hebben wiskundigen geprobeerd om topologie met algebra te combineren, enigszins vergelijkbaar met de wiskundigen uit de 17de eeuw, die meetkunde met algebra wilden combineren. De vruchten van deze topologische tak zijn samen de algebraïsche topologie, waarin de flexibile topologie meer rigide onderwerpen als analyse, lineaire algebra en groepentheorie ontmoet.
3.2 Paden, lussen en homotopie
Als algebraïsche topologen paden en lussen bestuderen, zijn ze meestal niet geïnteresseerd in homeomorfie of isotopie. Ze bestuderen een relatie die homotopie heet. Homotopie lijkt op homeomorfie: Homeomorfie is een continue en bijectieve afbeelding. Homotopie is een continue afbeelding die niet per se bijectief is. Dit betekent dat veranderingen zijn toegestaan waarbij informatie over de oorspronkelijke manifold verloren raakt. Je hoeft het proces immers niet terug te kunnen draaien. Het belangrijkste gevolg daarvan is dat dimensie er niet meer toe doen. Je kunt een lijnstuk bijvoorbeeld nu projecteren op een punt. Net als isotopie zijn er bij homotopie andere invariante eigenschappen dan bij homeomorfie. Intuïtief kunnen we er gelukkig nog steeds over nadenken als 'kleien' (met wat extra opties). Als twee manifolds homotoop zijn, noteren we dat als (niet te vergissen met het symbool voor isomorfie):
M ≃ N
Als twee paden homotoop zijn, hebben ze hetzelfde beginpunt en hetzelfde eindpunt, en bestaat er een continue en bijectieve functie die het ene pad vervormt tot het andere. In het voorbeeld, dat te zien is hieronder, vervormt de functie h(x;p) = fp(x) met p∈[0;1] het pad f0(x) in f1(x) met x∈[0;1]. Voor iedere fp(x) geldt dan dat
fp(0) = f0(0) en fp(1) = f0(1).
In het reële vlak blijkt homotopie van paden wat flauw te zijn: alle paden tussen twee bepaalde punten zijn homotoop aan elkaar. Neem namelijk de paden f(x) en g(x) met x∈[0;1] en f(0) = g(0) en f(1) = g(1), dan maakt
h(x;p) = (1 - p)f(x) + pg(x) met p∈[0;1] de homotopie altijd mogelijk.
3.1 (2p) Verklaar waarom h(x;p) = (1 - p)f(x) + pg(x) de homotopie altijd mogelijk maakt.
3.2 (3p) Gebruik een schuifknop voor t ∈ [0;1] in Geogebra om het pad \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{v}}\)0(t) = \(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{(1 - t)}^\textsf{2}\textsf{ + 2t(1 - t) + 6t}^\textsf{2} \\ \textsf{4(1 - t)}^\textsf{2}\textsf{ + 2t(1 - t) + t}^\textsf{2} \\ \end{bmatrix}\) van A(1;4) tot B(6;1) te vervormen naar \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{v}}\)1(t) = \(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{(1 - t)}^\textsf{2}\textsf{ + 10t(1 - t) + 6t}^\textsf{2} \\ \textsf{4(1 - t)}^\textsf{2}\textsf{ + 6t(1 - t) + t}^\textsf{2} \\ \end{bmatrix}\) van A tot B, met t ∈ [0;1]. (Hint: je kunt het commando curve() gebruiken om een vectorfunctie in te voeren.)
3.3 (3p) Gebruik een schuifknop voor t ∈ [0;1] in Geogebra om de lus \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{v}}\)0(t) = \(\scriptsize \begin{bmatrix} \frac{\textsf{sin(}\pi\textsf{t)}}{\textsf{cos}^\textsf{2}\textsf{(}\pi\textsf{t) + 1}} \\ \frac{\textsf{sin(2}\pi\textsf{t)cos(2}\pi\textsf{t)}}{\textsf{cos}^\textsf{2}\textsf{(}\pi\textsf{t) + 1}} \\ \end{bmatrix}\) met basispunt O te vervormen naar \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{v}}\)1(t) = \(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{-2cos}^\textsf{2}\textsf{(}\pi\textsf{t + }\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}}\pi\textsf{)} \\ \textsf{-2cos(}\pi\textsf{t)cos(}\pi\textsf{t + }\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}}\pi\textsf{)} \\ \end{bmatrix}\) met basispunt O, met t ∈ [0;1].
3.4 (5p) Je hebt ondertussen een hoop termen voorbij zien komen, die verwarrend veel op elkaar lijken: isomorfie, homeomorfie, isotopie, homotopie en mogelijk ken je zelf nog meer termen zoals isometrie of homomorfie. Zet deze termen nog eens op een rij en leg uit wat hun verschillen zijn.
3.3 Padcompositie
Padcompositie is een bewerking voor paden waarvoor de notatie van vermenigvuldiging wordt gebruikt. Een padcompositie van twee paden is alleen mogelijk als het ene pad begint waar het andere eindigt, dus f(1) = g(0). De padcompositie fg is dan het pad dat ontstaat als je eerst f(x) doorloopt en vervolgens g(x). Omdat fg een pad is, moet je alleen twee keer zo snel f(x) en g(x) doorlopen. (Zie ook de volgende afbeelding.) Voor fg geldt dus:
fg \(\scriptsize \begin{cases} \textsf{f(2x)} & \textsf{als 0 ≤ x ≤ }\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}} \\ \textsf{g(2x-1)} & \textsf{als }\frac{\textsf{1}}{\textsf{2}}\textsf{ ≤ x ≤ 1} \\ \end{cases}\)
3.5 (3p) Teken in Geogebra de padcompositie van \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{v}}\)(t) = \(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{2(1 - t) + 4t} \\ \textsf{3(1 - t) + 5t} \\ \end{bmatrix}\) van A(2;3) tot B(4;5) en
\(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{w}}\)(t) = \(\tiny \begin{bmatrix} \textsf{4(1 - t) + 6t} \\ \textsf{5(1 - t) + 2t} \\ \end{bmatrix}\) van B tot C(6;2), met t ∈ [0;1].
3.6 (2p) Verklaar dat als f(x) ≃ r(x) en g(x) ≃ s(x) dan fg ≃ rs.
3.7 (2p) Leg uit dat padcompositie associatief is.
3.4 Fundamentele groepen
3.8 (6p) Verklaar dat homotopie tussen paden een equivalentierelatie is.
Er bestaan een hoop lussen, maar een hele bijzondere lus is de constante lus, die we zullen noteren als k(x). Dit is de kleinst mogelijke lus in een manifold, die nooit het basispunt verlaat.
3.9 (2p) Verklaar dat fk ≃ f(x) voor iedere lus f(x).
De inverse van een lus, f-1(x), is dezelfde lus als f(x), behalve dat de inverse de omgekeerde oriëntatie heeft.
3.10 (2p) Verklaar dat ff-1 ≃ k(x) voor iedere lus f(x).
We kunnen nu een groep definiëren. Gegeven een basispunt B in een manifold M, kunnen we alle lussen in M op B verzamelen. Deze verzameling vormt samen met padcompositie een groep. Deze noemen we de fundamentele groep van M en noteren we als Π1(M).
3.11 (6p) Verklaar dat de fundamentele groep voldoet aan de eisen voor een groep en dus inderdaad een groep is.
Nu blijkt de keuze voor het basispunt B niet uit te maken voor de fundamentele groep. Alle mogelijke fundamentele groepen van een manifold zijn isomorf aan elkaar (mits de manifold samenhangend is). Vandaar dat B ook niet genoemd wordt in de notatie voor de fundamentele groep.
De fundamentele groep van het reële vlak is niet heel bijzonder. Je hebt algebraïsch al gezien dat alle lussen in ℝ2 homotoop zijn. Dit betekent dat ze ook allemaal homotoop zijn aan de constante lus, k(x). Intuïtief kan je de lussen inderdaad allemaal 'omkleien/slinken' tot k(x). Er geldt dus:
Π1(ℝ2) ≅ E
Op een cirkel zijn niet alle lussen homotoop. Een lus die één keer rond de cirkel gaat en dan op het basispunt aansluit, is niet homotoop aan een lus die twee keer rond de cirkel gaat en dan op het basispunt aansluit, dus f(x) ≄ f2. Ook is een lus die met de klok mee loopt niet homotoop aan een lus die tegen de klok in loopt, dus f(x) ≄ f-1.
3.12 (1p) Leg uit dat Π1(S1) ≅ (ℤ;+).
Ook op een torus zijn niet alle lussen homotoop. In de afbeelding bij opgave 3.12 zie je twee lussen op een torus die niet homotoop zijn.
3.13 (3p) Bekijk de volgende afbeelding en schets de lus f2g. Leg uit dat Π1(T2) ≅ (ℤ2;+).
3.14 (4p) Onderzoek waar Π1(S2) en Π1(ℝn) isomorf aan zijn.
3.5 Deformatieretractie
Bepalen waar de fundamentele groep van ℝ2\O isomorf aan is, kan best lastig zijn. We gebruiken daarom een techniek die deformatieretractie heet. Bij deformatieretractie staan we toe de manifold, in dit geval ℝ2\O, via homotopie te vervormen tot een meer bekende manifold, S1. Intuïtief ziet dat er uit zoals in onderstaande afbeelding, maar algebraïsch kan het ook. We zoeken dan een functie die ℝ2\O,{(x;y) | x2 + y2 = 1} afbeeldt op de eenheidscirkel en de eenheidscirkel zelf onveranderd laat. Deze functie bestaat, namelijk:
\(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{h}}\)(x;y;p) = \(\scriptsize \begin{bmatrix} \frac{\textsf{x}}{\textsf{1 - p + p}\sqrt{\textsf{x}^\textsf{2}\textsf{ + }\textsf{y}^\textsf{2}}} \\ \frac{\textsf{y}}{\textsf{1 - p + p}\sqrt{\textsf{x}^\textsf{2}\textsf{ + }\textsf{y}^\textsf{2}}} \\ \end{bmatrix}\) met p ∈ [0;1]
3.15 (4p) Leg uit dat \(\scriptsize\overrightarrow{\textsf{h}}\)(x;y;p) inderdaad ℝ2\O,{(x;y) | x2 + y2 = 1} afbeeldt op de eenheidscirkel en de eenheidscirkel zelf onveranderd laat.
Als een manifold M via deformatieretractie om te toveren is tot een manifold N, dan geldt dat Π1(M) ≅ Π1(N), dus
Π1(ℝ2\O) ≅ Π1(S1) ≅ (ℤ;+).
3.16 (4p) Onderzoek waar Π1(ℝ3\O) en Π1(ℝ2\(1;1),(2;2)) isomorf aan zijn.
Een wat lastiger geval is de fundamentele groep van ℝ3\S1. Alles buiten de cirkel kunnen we vervormen tot een bol om S1 heen. Alles binnen de cirkel kunnen we vervormen tot een lijn(stuk) door S1 heen. Het resultaat is een bol waardoor een 'draadje gespannen' is. (Zie ook de volgende afbeelding.) De uiteinden van het lijnstuk kunnen we verplaatsen, zodat ze op elkaar liggen. Dan krijgen we een bol met een lus erin.
3.17 (1p) Leg uit dat Π1(ℝ3\S1) ≅ (ℤ;+).
4. Knoopgroepen
4.1 Vrije groepen
We hebben gezien dat ℝ3\S1 homotoop is aan een bol met daarin een lus. Als je hier lussen over tekent, zijn alleen degene die over de lus in de bol lopen interessant. De rest is homotoop aan de constante lus. We hebben voor de fundamentele groep de bol dus eigenlijk niet nodig. Ook kunnen we de overgebleven lus zien als een werkelijke lus, f(x), met een basispunt en een oriëntatie. (Zie ook de volgende afbeelding.) De cirkel S1 is wat er echt aan toe doet. Deze bepaalt wat onze lussen kunnen doen. De lus kan twee keer door de cirkel bewegen voordat deze terugkeert tot het basispunt, f2, of de lus kan in de andere richting door de cirkel bewegen, f-1, etcetera. De lus f(x) blijkt een voortbrenger van de fundamentele groep te zijn. We kunnen nu Π1(ℝ3\S1) schrijven als 〈f〉. Dit is wat heet een vrije groep, een groep zonder restricties, waarvan de elementen alle mogelijke woorden zijn, die je kunt maken met zijn voortbrengers. De groep (ℤ;+) is een vergelijkbare vrije groep die we kunnen schrijven als 〈1〉.
4.2 Knoopgroepen
De groep 〈f〉 kunnen we associeren met S1, maar S1 is hetzelfde als de triviale knoop. We kunnen knopen dus associëren met fundamentele groepen. Dit is handig want het kruisgetal dekt niet altijd de lading bij het identificeren van groepen. Er bestaan bijvoorbeeld wel drie verschillende soorten priemknopen met kruisgetal 6, en dan hebben we de samengestelde knopen nog niet eens meegeteld. Net als bij manifolds onder homeomorfie hebben we meerdere eigenschappen nodig om knopen uit elkaar te houden. Hun groep, de desbetreffende knoopgroep, is een handige eigenschap hiervoor. Sommige knopen hebben dezelfde knoopgroep, maar als de knoopgroepen verschillen, zullen de knopen ook verschillen.
Als we de knoopgroep van een gegeven knoop willen vinden, moeten we de knoopdiagram tekenen en deze een oriëntatie geven, wederom maakt het niet uit welke. Vervolgens nemen we een basispunt ergens buiten de knoop en tekenen we een lus om ieder segment van de knoop. Een lus krijgt een oriëntatie zodat als de knoop over de lus heen gaat, de lus van rechts komt (vergelijkbaar met de situatie bij het schakelgetal). Neem bijvoorbeeld de knoop 31 zoals in de volgende afbeelding. Als je over de knoop wandelt, draaien de lussen altijd met de klok mee.
We kunnen nu al simpele woorden beschrijven. In de volgende afbeelding zie je bijvoorbeeld fg.
Als de segmenten niet verbonden waren, zouden we nu klaar zijn geweest, maar omdat er kruisingen in de knoopdiagram zitten, moeten we deze nog beschrijven. Laten we de kruising bekijken waar het 'f-segment' onder het 'g-segment' gaat en het 'r-segment' wordt. In de volgende afbeelding zijn met pijlen de richting van de lussen aangegeven als ze op die plaats onder de knoop door gaan. Je ziet dat de lus fg hetzelfde resultaat oplevert als de lus gr. Dit komt omdat de lus fg over de kruising heen kan bewegen en dan dezelfde lus als gr blijkt te zijn. Met deze methode hebben we dus een relatie gevonden die de kruising beschrijft:
fg = gr
Als we hetzelfde doen voor de andere kruisingen vinden we nog twee andere relaties: gr = rf en rf = fg. (Let op dat je volgorde van de lussen niet omdraait. De meeste knoopgroepen zijn namelijk niet abels.) We hebben nu een vrije groep met drie voortbrengers, f en g en r, samen met drie relaties. Zo'n soort groep kunnen we noteren met behulp van een wirlingerpresentatie:
〈f,g,r | fg = gr,gr = rf,rf = fg〉
Dit is Π1(ℝ3\31), de knoopgroep van 31. Wat misschien al gelijk opvalt, is dat deze wirlingerpresentatie overbodige informatie bevat. We kunnen de wirlingerpresentatie verkorten door relaties samen te voegen en een voortbrenger te elimineren. Als rf = fg dan geldt dat r = fgf-1, dus fg = gr kunnen we herschrijven tot fg = gfgf-1. Dit kunnen we nog iets overzichtelijker opschrijven door er fgf = gfg van te maken. Dit is de enige relatie die we nodig hebben. De voortbrenger r is dus overbodig. De hebben de knoopgroep van 31 nu gereduceerd tot:
〈f,g | fgf = gfg〉
4.1 (1p) Noteer het woord dat hoort bij de lus in onderstaande afbeelding.
4.2 (6p) Neem de 31 uit het voorbeeld en schets het woord frg2fg-1. Wat is het schakelgetal van 31 en deze lus? Is er een verband tussen het woord van een lus en het schakelgetal van de lus en de knoop?
4.3 (8p) Vind de knoopgroep van 41.
Dat de knoopgroep niet verandert als we een andere knoopdiagram van dezelfde knoop nemen, is niet evident. Gelukkig kunnen we dit bewijzen aan de hand van de Reidemeisterbewegingen. Als de knoopgroep niet verandert bij deze drie bewegingen kan hij ook niet veranderen bij het kiezen van een andere knoopdiagram.
4.4 (8p) Bewijs dat de knoopgroep niet verandert bij de eerste twee Reidemeisterbewegingen. (Je zult dit moeten bewijzen voor iedere mogelijke oriëntatie van de knoopdiagram.)
4.5 (4p) Vind de knoopgroep van de triviale schakel in de volgende afbeelding. Als f en g twee verschillende voortbrengers zijn, is het woord fgf-1g-1 dan te reduceren? Zoja, geef dan de reductie. Zonee, waarom niet?
4.6 (4p) Schets fgf-1g-1 van de vorige vraag. Als je de cirkel die bij g hoort zou verwijderen, wat gebeurt er dan? Wat gebeurt er als je de cirkel die bij f hoort zou verwijderen?
4.7 (6p) Vind de knoopgroep van de Hopf-schakel. Als f en g twee verschillende voortbrengers zijn, is het woord fgf-1g-1 dan te reduceren? Zoja, geef dan de reductie. Zonee, waarom niet?
In de volgende afbeelding zie je de slechtste manier om je favoriete schilderij op te hangen. Als je één van de twee spijkers uit de muur haalt, zal het schilderij vallen, ongeacht welke spijker je verwijdert. Het is de oplossing van een bekend raadsel. We kunnen verklaren waarom deze oplossing werkt met behulp van knoopgroepen.
4.8 (7p) Gebruik knoopgroepen om te bewijzen dat het verwijderen van één van de spijkers het schilderij doet vallen.
4.9 (4p) Schets hoe je het schilderij aan drie spijkers kunt ophangen zodat het verwijderen van één willekeurige spijker het schilderij doet vallen.
4.10 (5p) Beschrijf een oplossing met vier spijkers. Hoe ziet een oplossing met N spijkers er uit?
Antwoorden
Hier kan je de antwoorden en normering downloaden als PDF.
antwoorden en normering.pdf
