## 3.2 Paden, lussen en homotopie

Een belangrijk concept in de algebraische topologie is dat van een pad. Een pad is een functie van het interval naar een manifold: I1 M. Het is een 'wandelroute' over een manifold, van een beginpunt, f(0), tot een eindpunt, f(1). De 'wandelroute' mag direct zijn, via allerlei omwegen, heen en weer gaan of zichzelf kruisen. De manifold kan iets exotisch zijn, zoals een torus, maar kan ook het gebruikelijke reële vlak zijn. Het lijnstuk (t) = met t∈[0;1] is dus een voorbeeld van een eenvoudig pad. Als beginpunt en eindpunt hetzelfde zijn, noemen we dit een basispunt. Het pad noemen we dan een lus. De cirkel (t) = met t∈[0;1] is een voorbeeld van een simpele lus. Zie ook onderstaande afbeelding.

Als algebraïsche topologen paden en lussen bestuderen, zijn ze meestal niet geïnteresseerd in homeomorfie of isotopie. Ze bestuderen een relatie die homotopie heet. Homotopie lijkt op homeomorfie: Homeomorfie is een continue en bijectieve afbeelding. Homotopie is een continue afbeelding die niet per se bijectief is. Dit betekent dat veranderingen zijn toegestaan waarbij informatie over de oorspronkelijke manifold verloren raakt. Je hoeft het proces immers niet terug te kunnen draaien. Het belangrijkste gevolg daarvan is dat dimensie er niet meer toe doen. Je kunt een lijnstuk bijvoorbeeld nu projecteren op een punt. Net als isotopie zijn er bij homotopie andere invariante eigenschappen dan bij homeomorfie. Intuïtief kunnen we er gelukkig nog steeds over nadenken als 'kleien' (met wat extra opties). Als twee manifolds homotoop zijn, noteren we dat als (niet te vergissen met het symbool voor isomorfie):

M ≃ N

Als twee paden homotoop zijn, hebben ze hetzelfde beginpunt en hetzelfde eindpunt, en bestaat er een continue en bijectieve functie die het ene pad vervormt tot het andere. In het voorbeeld, dat te zien is hieronder, vervormt de functie h(x;p) = fp(x) met p∈[0;1] het pad f0(x) in f1(x) met x∈[0;1]. Voor iedere fp(x) geldt dan dat
fp(0) = f0(0) en fp(1) = f0(1).

In het reële vlak blijkt homotopie van paden wat flauw te zijn: alle paden tussen twee bepaalde punten zijn homotoop aan elkaar. Neem namelijk de paden f(x) en g(x) met x∈[0;1] en f(0) = g(0) en f(1) = g(1), dan maakt
h(x;p) = (1 - p)f(x) + pg(x) met p∈[0;1] de homotopie altijd mogelijk.

3.1 (2p) Verklaar waarom h(x;p) = (1 - p)f(x) + pg(x) de homotopie altijd mogelijk maakt.

3.2 (3p) Gebruik een schuifknop voor t ∈ [0;1] in Geogebra om het pad 0(t) = van A(1;4) tot B(6;1) te vervormen naar 1(t) = van A tot B, met t ∈ [0;1]. (Hint: je kunt het commando curve() gebruiken om een vectorfunctie in te voeren.)

3.3 (3p) Gebruik een schuifknop voor t ∈ [0;1] in Geogebra om de lus 0(t) = met basispunt O te vervormen naar 1(t) = met basispunt O, met t ∈ [0;1].

3.4 (5p) Je hebt ondertussen een hoop termen voorbij zien komen, die verwarrend veel op elkaar lijken: isomorfie, homeomorfie, isotopie, homotopie en mogelijk ken je zelf nog meer termen zoals isometrie of homomorfie. Zet deze termen nog eens op een rij en leg uit wat hun verschillen zijn.