## 1.2 Homeomorfie en invariantie

Om objecten in meetkunde te kunnen identificeren, gebruiken we eigenschappen zoals lengte, oppervlakte, hoeken, etcetera. Deze eigenschappen veranderen niet als het object wordt geroteerd, verplaatst of gespiegeld. In topologie zijn andere eigenschappen belangrijk. Deze eigenschappen veranderen niet als het object wordt 'omgekleid'. Je kunt een 2D vierkant bijvoorbeeld niet 'omkleien' tot een 3D kubus. De dimensie van het object verandert dus niet bij het 'kleien'.

Een andere onveranderlijke eigenschap is het hebben van een rand of niet. Een rand is de 'schil' van een object. De rand van {(x;y) | x2 + y2 ≤ 4} is bijvoorbeeld x2 + y2 = 4 en de rand van {(x;y;z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1} is x2 + y2 + z2 = 1, maar x2 + y2 = 4 en x2 + y2 + z2 = 1 hebben zelf geen rand. Het vlak x + y + z = 1 heeft ook geen rand. Een object met een rand heet begrensd. Een object zonder rand heet onbegrensd.

Sommige objecten zijn eindig, deze heten gesloten, terwijl andere oneindig zijn, deze heten open. Ook dit is een onveranderlijke eigenschap.

Wat bij het 'kleien' ook niet verandert, is het aantal 'onderdelen' waaruit het object bestaat. Het is dus niet toegestaan om twee objecten aan elkaar te plakken en bijvoorbeeld van twee rechthoeken één te maken. Dit heet samenhang.

Een ander iets dat verboden is, is het maken of invullen van gaten in een object. De hoeveelheid gaten dat een object heeft, wordt genus genoemd.

Het 'kleien' waar we tot nu over spraken, heet officieel homeomorfie. Twee objecten zijn homeomorf aan elkaar als ze tot elkaar 'om te kleien' zijn. Er bestaat dan een continue en bijectieve afbeelding tussen de objecten. De relatie noteren we met het is-gelijk-teken. Het vierkant {(x;y) | x ∈ [0;2], y ∈ [0;2]} is bijvoorbeeld homeomorf aan de parallellogram
{(x+y;y) | x ∈ [0;2], y ∈ [0;2]} omdat er een continue en bijectieve afbeelding tussen bestaat:

T(x;y) =

Intuïtief zijn de objecten in de volgende afbeelding ook homeomorf aan elkaar omdat ze tot elkaar 'om te kleien' zijn, dus A = B.

De eigenschappen die onveranderlijk zijn bij het 'kleien' zijn invariant bij homeomorfie. Een continue en bijectieve afbeelding vinden is niet altijd even makkelijk, maar aan de hand van invariante eigenschappen kunnen we ook achterhalen of twee objecten onder homeomorfie hetzelfde zijn en dat is vaak een stuk eenvoudiger. Het nagaan van één invariante eigenschap is helaas niet genoeg. Een vierkant en een kubus hebben bijvoorbeeld allebei genus 0, maar ze zijn niet homeomorf. Hun dimensie verschilt namelijk. We moeten daarom dus alle invariante eigenschappen nagaan.

Er zijn overigens meer invariante eigenschappen voor homeomorfie dan degene die we net genoemd hebben. Dit maakt invariantie meer geschikt voor het nagaan dat twee objecten niet homeomorf zijn, dan voor het nagaan dat twee objecten wel homeomorf zijn. Maar voor nu mag je aannemen dat als twee objecten aan het bovenstaande rijtje voldoen, ze homeomorf zijn.

1.1 (4p) In de volgende afbeelding zie je 26 2D objecten (door sommige ook weleens de letters van het alfabet genoemd). Bepaal aan de hand van de topologische eigenschappen welke objecten homeomorf aan elkaar zijn.

1.2 (6p) In de volgende afbeelding zie je een aantal topologische objecten, die je soms bekend voor zullen komen (zoals de mok, de kom, de donut, de sleutel en de pijp) en soms niet bekend voor zullen komen (zoals object K en object L). Bepaal wederom welke objecten homeomorf aan elkaar zijn. (Hint: onder homeomorfie kunnen de afbeeldingen in 6 verzamelingen onderscheiden worden)