## 3.4 Fundamentele groepen

3.8 (6p) Verklaar dat homotopie tussen paden een equivalentierelatie is.

Er bestaan een hoop lussen, maar een hele bijzondere lus is de constante lus, die we zullen noteren als k(x). Dit is de kleinst mogelijke lus in een manifold, die nooit het basispunt verlaat.

3.9 (2p) Verklaar dat fk ≃ f(x) voor iedere lus f(x).

De inverse van een lus, f-1(x), is dezelfde lus als f(x), behalve dat de inverse de omgekeerde oriëntatie heeft.

3.10 (2p) Verklaar dat ff-1 ≃ k(x) voor iedere lus f(x).

We kunnen nu een groep definiëren. Gegeven een basispunt B in een manifold M, kunnen we alle lussen in M op B verzamelen. Deze verzameling vormt samen met padcompositie een groep. Deze noemen we de fundamentele groep van M en noteren we als Π1(M).

3.11 (6p) Verklaar dat de fundamentele groep voldoet aan de eisen voor een groep en dus inderdaad een groep is.

Nu blijkt de keuze voor het basispunt B niet uit te maken voor de fundamentele groep. Alle mogelijke fundamentele groepen van een manifold zijn isomorf aan elkaar (mits de manifold samenhangend is). Vandaar dat B ook niet genoemd wordt in de notatie voor de fundamentele groep.

De fundamentele groep van het reële vlak is niet heel bijzonder. Je hebt algebraïsch al gezien dat alle lussen in ℝ2 homotoop zijn. Dit betekent dat ze ook allemaal homotoop zijn aan de constante lus, k(x). Intuïtief kan je de lussen inderdaad allemaal 'omkleien/slinken' tot k(x). Er geldt dus:

Π1(ℝ2) ≅ E

Op een cirkel zijn niet alle lussen homotoop. Een lus die één keer rond de cirkel gaat en dan op het basispunt aansluit, is niet homotoop aan een lus die twee keer rond de cirkel gaat en dan op het basispunt aansluit, dus f(x) ≄ f2. Ook is een lus die met de klok mee loopt niet homotoop aan een lus die tegen de klok in loopt, dus f(x) ≄ f-1.

3.12 (1p) Leg uit dat Π1(S1) ≅ (ℤ;+).

Ook op een torus zijn niet alle lussen homotoop. In de afbeelding bij opgave 3.12 zie je twee lussen op een torus die niet homotoop zijn.

3.13 (3p) Bekijk de volgende afbeelding en schets de lus f2g. Leg uit dat Π1(T2) ≅ (ℤ2;+).

3.14 (4p) Onderzoek waar Π1(S2) en Π1(ℝn) isomorf aan zijn.