## 4.1 Vrije groepen

We hebben gezien dat ℝ3\S1 homotoop is aan een bol met daarin een lus. Als je hier lussen over tekent, zijn alleen degene die over de lus in de bol lopen interessant. De rest is homotoop aan de constante lus. We hebben voor de fundamentele groep de bol dus eigenlijk niet nodig. Ook kunnen we de overgebleven lus zien als een werkelijke lus, f(x), met een basispunt en een oriëntatie. (Zie ook de volgende afbeelding.) De cirkel S1 is wat er echt aan toe doet. Deze bepaalt wat onze lussen kunnen doen. De lus kan twee keer door de cirkel bewegen voordat deze terugkeert tot het basispunt, f2, of de lus kan in de andere richting door de cirkel bewegen, f-1, etcetera. De lus f(x) blijkt een voortbrenger van de fundamentele groep te zijn. We kunnen nu Π1(ℝ3\S1) schrijven als 〈f〉. Dit is wat heet een vrije groep, een groep zonder restricties, waarvan de elementen alle mogelijke woorden zijn, die je kunt maken met zijn voortbrengers. De groep (ℤ;+) is een vergelijkbare vrije groep die we kunnen schrijven als 〈1〉.