## 4.2 Knoopgroepen

De groep 〈f〉 kunnen we associeren met S1, maar S1 is hetzelfde als de triviale knoop. We kunnen knopen dus associëren met fundamentele groepen. Dit is handig want het kruisgetal dekt niet altijd de lading bij het identificeren van groepen. Er bestaan bijvoorbeeld wel drie verschillende soorten priemknopen met kruisgetal 6, en dan hebben we de samengestelde knopen nog niet eens meegeteld. Net als bij manifolds onder homeomorfie hebben we meerdere eigenschappen nodig om knopen uit elkaar te houden. Hun groep, de desbetreffende knoopgroep, is een handige eigenschap hiervoor. Sommige knopen hebben dezelfde knoopgroep, maar als de knoopgroepen verschillen, zullen de knopen ook verschillen.

Als we de knoopgroep van een gegeven knoop willen vinden, moeten we de knoopdiagram tekenen en deze een oriëntatie geven, wederom maakt het niet uit welke. Vervolgens nemen we een basispunt ergens buiten de knoop en tekenen we een lus om ieder segment van de knoop. Een lus krijgt een oriëntatie zodat als de knoop over de lus heen gaat, de lus van rechts komt (vergelijkbaar met de situatie bij het schakelgetal). Neem bijvoorbeeld de knoop 31 zoals in de volgende afbeelding. Als je over de knoop wandelt, draaien de lussen altijd met de klok mee.

We kunnen nu al simpele woorden beschrijven. In de volgende afbeelding zie je bijvoorbeeld fg.

Als de segmenten niet verbonden waren, zouden we nu klaar zijn geweest, maar omdat er kruisingen in de knoopdiagram zitten, moeten we deze nog beschrijven. Laten we de kruising bekijken waar het 'f-segment' onder het 'g-segment' gaat en het 'r-segment' wordt. In de volgende afbeelding zijn met pijlen de richting van de lussen aangegeven als ze op die plaats onder de knoop door gaan. Je ziet dat de lus fg hetzelfde resultaat oplevert als de lus gr. Dit komt omdat de lus fg over de kruising heen kan bewegen en dan dezelfde lus als gr blijkt te zijn. Met deze methode hebben we dus een relatie gevonden die de kruising beschrijft:

fg = gr

Als we hetzelfde doen voor de andere kruisingen vinden we nog twee andere relaties: gr = rf en rf = fg. (Let op dat je volgorde van de lussen niet omdraait. De meeste knoopgroepen zijn namelijk niet abels.) We hebben nu een vrije groep met drie voortbrengers, f en g en r, samen met drie relaties. Zo'n soort groep kunnen we noteren met behulp van een wirlingerpresentatie:

〈f,g,r | fg = gr,gr = rf,rf = fg〉

Dit is Π1(ℝ3\31), de knoopgroep van 31. Wat misschien al gelijk opvalt, is dat deze wirlingerpresentatie overbodige informatie bevat. We kunnen de wirlingerpresentatie verkorten door relaties samen te voegen en een voortbrenger te elimineren. Als rf = fg dan geldt dat r = fgf-1, dus fg = gr kunnen we herschrijven tot fg = gfgf-1. Dit kunnen we nog iets overzichtelijker opschrijven door er fgf = gfg van te maken. Dit is de enige relatie die we nodig hebben. De voortbrenger r is dus overbodig. De hebben de knoopgroep van 31 nu gereduceerd tot:

〈f,g | fgf = gfg〉

4.1 (1p) Noteer het woord dat hoort bij de lus in onderstaande afbeelding.

4.2 (6p) Neem de 31 uit het voorbeeld en schets het woord frg2fg-1. Wat is het schakelgetal van 31 en deze lus? Is er een verband tussen het woord van een lus en het schakelgetal van de lus en de knoop?

4.3 (8p) Vind de knoopgroep van 41.

Dat de knoopgroep niet verandert als we een andere knoopdiagram van dezelfde knoop nemen, is niet evident. Gelukkig kunnen we dit bewijzen aan de hand van de Reidemeisterbewegingen. Als de knoopgroep niet verandert bij deze drie bewegingen kan hij ook niet veranderen bij het kiezen van een andere knoopdiagram.

4.4 (8p) Bewijs dat de knoopgroep niet verandert bij de eerste twee Reidemeisterbewegingen. (Je zult dit moeten bewijzen voor iedere mogelijke oriëntatie van de knoopdiagram.)

4.5 (4p) Vind de knoopgroep van de triviale schakel in de volgende afbeelding. Als f en g twee verschillende voortbrengers zijn, is het woord fgf-1g-1 dan te reduceren? Zoja, geef dan de reductie. Zonee, waarom niet?

4.6 (4p) Schets fgf-1g-1 van de vorige vraag. Als je de cirkel die bij g hoort zou verwijderen, wat gebeurt er dan? Wat gebeurt er als je de cirkel die bij f hoort zou verwijderen?

4.7 (6p) Vind de knoopgroep van de Hopf-schakel. Als f en g twee verschillende voortbrengers zijn, is het woord fgf-1g-1 dan te reduceren? Zoja, geef dan de reductie. Zonee, waarom niet?

In de volgende afbeelding zie je de slechtste manier om je favoriete schilderij op te hangen. Als je één van de twee spijkers uit de muur haalt, zal het schilderij vallen, ongeacht welke spijker je verwijdert. Het is de oplossing van een bekend raadsel. We kunnen verklaren waarom deze oplossing werkt met behulp van knoopgroepen.

4.8 (7p) Gebruik knoopgroepen om te bewijzen dat het verwijderen van één van de spijkers het schilderij doet vallen.

4.9 (4p) Schets hoe je het schilderij aan drie spijkers kunt ophangen zodat het verwijderen van één willekeurige spijker het schilderij doet vallen.

4.10 (5p) Beschrijf een oplossing met vier spijkers. Hoe ziet een oplossing met N spijkers er uit?