## 3.5 Deformatieretractie

Bepalen waar de fundamentele groep van ℝ2\O isomorf aan is, kan best lastig zijn. We gebruiken daarom een techniek die deformatieretractie heet. Bij deformatieretractie staan we toe de manifold, in dit geval ℝ2\O, via homotopie te vervormen tot een meer bekende manifold, S1. Intuïtief ziet dat er uit zoals in onderstaande afbeelding, maar algebraïsch kan het ook. We zoeken dan een functie die ℝ2\O,{(x;y) | x2 + y2 = 1} afbeeldt op de eenheidscirkel en de eenheidscirkel zelf onveranderd laat. Deze functie bestaat, namelijk:

(x;y;p) = met p ∈ [0;1]

3.15 (4p) Leg uit dat (x;y;p) inderdaad ℝ2\O,{(x;y) | x2 + y2 = 1} afbeeldt op de eenheidscirkel en de eenheidscirkel zelf onveranderd laat.

Als een manifold M via deformatieretractie om te toveren is tot een manifold N, dan geldt dat Π1(M) ≅ Π1(N), dus
Π1(ℝ2\O) ≅ Π1(S1) ≅ (ℤ;+).

3.16 (4p) Onderzoek waar Π1(ℝ3\O) en Π1(ℝ2\(1;1),(2;2)) isomorf aan zijn.

Een wat lastiger geval is de fundamentele groep van ℝ3\S1. Alles buiten de cirkel kunnen we vervormen tot een bol om S1 heen. Alles binnen de cirkel kunnen we vervormen tot een lijn(stuk) door S1 heen. Het resultaat is een bol waardoor een 'draadje gespannen' is. (Zie ook de volgende afbeelding.) De uiteinden van het lijnstuk kunnen we verplaatsen, zodat ze op elkaar liggen. Dan krijgen we een bol met een lus erin.

3.17 (1p) Leg uit dat Π1(ℝ3\S1) ≅ (ℤ;+).