## 1.4 Isotopie

In de topologie hebben we de neiging om uitzonderlijke situaties te negeren, situaties die in de meetkunde soms heel belangrijk zijn. Neem bijvoorbeeld evenwijdigheid. Stel dat de lijnen y = ax + b en y = cx + d evenwijdig zijn. Bij een kleine verandering van a zijn de lijnen niet meer evenwijdig. Dit soort uitzonderlijke situaties, die met een miniscule verandering bijvoorbeeld niet meer evenwijdig zijn, negeren we in de topologie. Dingen zoals evenwijdigheid en raakpunten doen er in de topologie niet aan toe. Dit maakt de vraag of twee objecten elkaar snijden of niet bijvoorbeeld heel veel makkelijker. Voor topologen snijden twee lijnen in ℝ2 elkaar altijd. Twee punten in ℝ2 liggen voor topologen dan ook nooit op elkaar.

1.4 (5p) Bepaal of de volgende objecten elkaar snijden of niet in de desbetreffende ruimte:

a. een punt en een lijn in ℝ2
b. een punt en een lijn in ℝ3
c. twee lijnen in ℝ3
d. een vlak en een lijn in ℝ3
e. twee vlakken in ℝ3

Homeomorfie is niet de enige relatie die manifolds kunnen hebben in de topologie. Isotopie is een andere veel voorkomende topologische relatie. Twee manifolds zijn isotoop aan elkaar als de één via rotatie, verplaatsing en 'kleien' in de ander om te toveren is, maar tijdens deze vervorming mag de manifold zichzelf niet snijden. Omdat het snijden of niet afhangt van de dimensie waarin de manifolds zich bevinden, is isotopie ook afhankelijk van de dimensie waarin de manifolds zich bevinden. Als K en L zich bevinden op de manifold M en isotoop zijn, noteren we dit:

K L

Homeomorfie en isotopie zijn andere relaties, dus de invariante eigenschappen voor homeomorfie zijn niet per se invariant voor isotopie. Gelukkig is isotopie vaak intuïtief goed na te gaan.

1.5 (3p) Bepaal welke van de cirkels in onderstaande afbeelding isotoop zijn in T2.

1.6 (4p) Verklaar of er manifolds bestaan die homeomorf zijn, maar niet isotoop, en vice versa. (Hint: Gebruik eventueel de cirkels uit vraag 1.5 voor je verklaring)