In de vorige paragraaf heb je geleerd om bij een kwadratische verband een grafiek te tekenen. Het tekenen van een grafiek gaat altijd in drie stappen:
Neem de formule over in je schrift
Maak een passende tabel (bij een kwadratisch verband bereken je 7 punten)
Teken de grafiek bij de tabel.
Ook heb je geleerd hoe je de berekeningen bij een kwadratische formule maakt en opschrijft.
voorbeeld:
gegeven is de formule y=-0,5x2 + 3
bereken y voor x = 3 en voor x = -3
Uitwerking:
vul op de plek van de variabele x het getal 3 in.
y = -0,5x2 + 3
x= 3 dus y = -0,5 x 32 + 3 x = -3 dus y = -0,5 x (-3)2 + 3
y = -0,5 x 9 + 3 y = -0,5 x 9 + 3
y = -4,5 + 3 = -1,5 y = -4,5 + 3 = - 1,5
In je berekening zie je dat x = 3 en x = -3 hetzelfde antwoord geven. Dit komt doordat een kwadratische formule symmetrisch is ten opzichte van de verticale lijn door zijn top.
In de afbeelding hierboven zie je ook wanneer een parabool een dalparabool of een bergparabool wordt.
Is het getal voor het x2 positief dan krijg je een dalparabool. Is het getal voor x2 negatief, dan krijg je een bergparabool.
voorbeeld:
gegeven zijn de formules:
y = 3x2 - 12
y = 7 + 0,25x2
y = 3x - x2 + 2
y = 6,4 - 0,2x2
het getal (3) voor x2 is positief dus een dalparabool
het getal (0,25) voor x2 is positief dus een dalparabool
het getal (-1)voor x2 is negatief dus een bergparabool
het getal (-0,2)voor x2 is negatief dus een bergparabool
Op het werkblad zie je een lege tabel en daaronder ruitjes om een grafiek te kunnen afgedrukt.
Gegeven is de formuley = x2 - 9
Neem voor x de getallen van -3 tot en met 3 en vul dit in de bovenste rij in.
Bereken de punten en vul dit in je tabel in.
Teken de grafiek bij deze formule.
Noteer de coördinaten van de top en teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je figuur.
2
Uittrap keeper
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
hoogte in m = 2a - 0,1a2
hierin is de hoogte in meters en a = afstand in meters.
Vul je voor a=2 in, dan krijg je hoogte = 3,6 meter. Controleer dat met je rekenmachine en schrijf je berekening op.
Hoe hoog is de bal na 1 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Hoe hoog is de bal na 8 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Neem de tabel over en vul hem in.
a
0
2
4
6
8
10
12
14
16
hoogte in m
3,6
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 8 cm lang en neem stapjes van 2 (1 cm = 2 afstand).
Maak de verticale as 10 cm lang en neem stapjes van 1m (1 cm = hoogte 1 m)
Teken de punten van de tabel in het assenstelsel.
Teken een vloeiende kromme door de punten.
Wat is het hoogste punt van de grafiek? Noteer de coördinaten van de top in je schrift.
3
Boogbrug
Wist jij dat er bij een boogbrug ook een kwadratische formule hoort? In het plaatje zie je dat dit type brug de vorm heeft van een parabool. De formule voor de boog van deze brug is
hoogte = 1,5a - 0,25a2
hoogte in meters.
De tabel hieronder staat ook op je werkblad. Vul de ontbrekende antwoorden in.
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte in m
Teken in het assenstelsel op je werkblad de punten uit de tabel.
Teken een vloeiende kromme door de punten in je assenstelsel.
Hoeveel meter is de grootste afstand tussen het water en de boog?
Hoe breed is de boog van de brug?
4
Afschieten vuurpijl
Aan het eind van de wereldhavendagen wordt er in rotterdam een grote vuurwerkshow gehouden. Bij het afschieten van een vuurpijl hoort ook een kwadratische formule. De baan van de vuurpijl heeft namelijk de vorm van een parabool.
Hierbij hoort de formule:
hoogte in m = 20a - a2
a: afstand
Neem de tabel over en vul hem in
hoogte in m = 20a - a2
a
. 0
. 4
. 8
. 10
. 12
. 16
. 20
hoogte in meter
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 5 cm lang en de verticale as 10 cm lang.
Op de horizontale maak je stapjes van 4.
Op de verticale as maak je stapjes van 10.
Teken de parabool die bij de vuurpijl hoort.
5
Dalparabool in een assenstelsel
We zien hier de grafiek bij de formule: y = 0,25x2 + 2.
Hoe kun je aan de formule de vorm van de grafiek aflezen?
Welk getal moet je op de plek van x invullen om de top van deze parabool uit te rekenen?
Welke waarde voor x moet je invullen om de coördinaten van punt B te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt C.
6
Bergparabool in een assenstelsel
We zien hier de grafiek getekend bij de formule
y = -0,5x2 + 10
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 8? Noteer deze waarden in je schrift
Bereken de coördinaten van punt D. Schrijf de berekeningen in je schrift.
7
Brug
Je ziet een plaatje van de Müngstener Brücke over het riviertje de Wupper in Duitsland. De boog van deze brug heeft de vorm van een parabool. Het midden van de brug bevindt zich 100 meter boven de grond.
Bij de boog van de brug hoort de formule: H= -0,0625x2 + 100
Hierin is H de hoogte van de boog boven de grond en x de afstand vanuit het midden van de brug.
Bereken de hoogte van de boog boven de grond bij een afstand van x = 10.
Bereken H voor x = -20.
Laat met een berekening zien dat de burg in totaal 80 meter breed is. Noteer de berekeningen die je gebruikt in je schrift.
8
Tunneltje
Je ziet hier een plaatje van een tunneltje. In dit tunneltje is een x-as en een y-as getekend. De hoogte (y) van het tunneltje wordt gegeven door de formule:
y = - 0,75 x2 + 3de breedte (x) wordt gemeten vanuit het midden van het tunneltje
Bereken de hoogte van het tunneltje één meter naar rechts van het midden.
Bereken de hoogte van het tunneltje één meter naar links van het midden.
Bereken het hoogste punt van het tunneltje (de top).
9
Kwadratische formules
Een basketballer gooit de bal precies in de basket. De baan van het middelpunt van de bal is (bij benadering) een deel van een parabool.
Je ziet in de figuur dit deel van de parabool in een assenstelsel. Zowel `x` als `h` worden in meter uitgedrukt. Bij de parabool hoort de formule:
H = -0,2(x-3)2 + 4
Op het moment dat de speler de bal loslaat, is `x = 0` . Je kunt in de figuur de hoogte die daarbij hoort schatten. Bereken met behulp van de formule de precieze hoogte waarop de bal wordt losgelaten. Het gaat daarbij om het middelpunt van de bal.
Bereken de coördinaten van het hoogste punt van de parabool. Als je goed naar de afbeelding kijkt zie je dat het hoogste punt van de baan van de bal zich bij x=3 bevindt.
10
Tenniskanon
Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline (achterste lijn van het veld) tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies over de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. Door in de applet de groene punt te bewegen zie je de baan van de bal ontstaan.
Bij de baan van de bal hoort de formule:
H = -0,01(x-10)2 + 1,5
Hierin is x de horizontale afstand vanaf het tenniskanon en H de hoogte van de bal
Voor de plek waar het kanon staat vullen we het getal 0 in. Bereken de hoogte waarop de bal uit het kanon komt.
Het midden van het veld bevindt zich op 10 meter van het kanon. We vullen dus het getal 10 in de formule in. Bereken de hoogte van het bal wanneer deze over het midden van het veld vliegt.
Op 12 meter van het kanon staat het tennisnet, dit net is 1 meter hoog. Bereken hoeveel hele centimeter de bal over het net gaat. Schrijf natuurlijk je berekening op.
Bereken hoe hoog de bal is aan het eind van het veld.
Stuitert de bal voor of achter de achterlijn van het veld?
11
Dal- of bergparabool
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = 3x2 - 7
y = -x2 - x + 6
y = x - 7 + 2x2
y = 13 - 2x2 + 5
12
Dal- of bergparabool
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
Het arrangement 2H05 §4 Toepassingen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
