Welkom bij het herhalen van de derde hoofdstuk van Getalen & Ruimte Wiskunde havo/vwo. Lees alles goed door en probeer de oefeningen uit die bij elke paragraaf staat. Als je er klaar voor bent kan je de proeftoets maken die aan het einde van dit arrangement te vinden is. Maak deze pas als je alles goed hebt doorgenomen.
Wat ga je leren tijdens dit arrangement?
Je leert rekenen met negatieve getallen, zowel vermenigvuldigen en delen van negatieve getallen
Je leert rekenen met breuken. Som, verschil en product werken van breuken.
Je leert hoe een assenstelsel werkt en hoe je hierin coördinaten kan vinden en zetten.
Je leert omgaan met grafieken. Je leert over stijgen, dalen en de constante bij gegeven grafieken.
Je leert een grafiek te tekenen vanuit een formule met een bijbehoorende tabel.
Lees alles dus goed door. Maak wat oefenopgaven en leer wat extra bij als je niet alles nog goed genoeg kent. Maak aan het einde van de les de proeftoets!
Veel succes!
Paragraaf 3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen
Theorie
Het rekenen met negatieve getallen is een vervolg op het somwerken (optellen) en verschilwerken (aftrekken) van negatieve getallen. Vooral op gebied van vermenigvuldigen. Hoe moet je met negatieve getallen vermenigvuldigen?
Als je twee getallen met elkaar vermenigvuldig, zoals \(3 \times 7\), ga je eigenlijk een aantal keer een getal bij elkaar optellen. Zo bij \(3 \times 7\) krijg je eigenlijk \(7 + 7 + 7\), wat dus \(21\) is. Dit is informatie die je op de basisschool al hebt meegekregen, dus begrijp je dit al goed.
Echter, wat gebeurt er nou als je er een negatieve getallen bij worden gehaald? Daarbij verandert in principe niets. Echter moet je een aantal regeltjes onthouden, waardoor je antwoord wel correct is. Onthoudt dus de volgende regels:
\(positief \times positief = positief\)
\(positief \times negatief = negatief\)
\(negatief \times positief = negatief\)
\(negatief \times negatief = positief\)
Verder is het ook erg belangrijk dat je voorkennis terug haalt bij het rekenen van negatieve getallen. Soms kan het voorkomen dat er langere sommen worden gevraagd. Hierbij moet je goed de rekenregels toepassen. Hieronder is nog een keer de rekenregels op volgorde gezet, zodat je deze bij de oefeningen nog een keer kan toepassen!
Haakjes (...)
Vermenigvulden en delen \(\times\) en \(\div\) Van links naar rechts rekenen!
Som en verschil (plus en min) \(+\) en \(-\) Van links naar rechts rekenen!
Ga dus goed na dat je op de juiste manier aan het rekenen bent!
Rekenoefening
Paragraaf 3.2 Negatieve getallen delen
Theorie
In paragraag 3.1 leerde je vermenigvuldigen met negatieve getallen. Daarbij leerde je de volgende regels:
\(positief \times positief = positief\)
\(positief \times negatief = negatief\)
\(negatief \times positief = negatief\)
\(negatief \times negatief = positief\)
Gelukkig gelden deze regels ook bij het delen van negatieve getallen. Hierdoor krijg je deze regels:
\(positief \div positief = positief\)
\(positief \div negatief = negatief\)
\(negatief \div positief = negatief\)
\(negatief \div negatief = positief\)
Je kunt dus zien dat het rekenen vrijwel het zelfde is. Alleen deel je nu getallen in plaats van vermenigvuldigen. Zoals de onderstaande voorbeeld:
\(-21\div3=-7\)
Onthoud ook hier nog goed de rekenregels die je in de vorige hoofdstuk hebt geleerd. Dit is ook nog terug te vinden in het vorige paragraaf onder het kopje theorie. Gelukkig krijg je hier nog een keer de rekenregels op een rijtje.
Haakjes (...)
Vermenigvulden en delen \(\times\) en \(\div\) Van links naar rechts rekenen!
Som en verschil (plus en min) \(+\) en \(-\) Van links naar rechts rekenen!
Rekenoefening
Paragraaf 3.3 Negatieve breuken
Theorie
In het vorige hoofdstuk heb je geleerd om met breuken te rekenen. Nu gaan wij kijken wat de belangrijkste regels zijn bij het rekenen met negatieve breuken.
Als eerst moet je goed begrijpen dat de minteken voor de breuk komt te staan. Dit betekent dat je een negatieve breuk niet moet schrijven als \(-3\over5\)of als \(4\over-7\), maar als \(-\frac3 5\) en \(-\frac 4 7\). Let hier dus goed op!
Som en Verschil
Verder is bij het optellen en aftrekken van breuken niets verandert aan de regels die je volgt om op het juiste antwoord te komen. De regels om een breuk op te tellen of af te trekken zijn:
Breng de helen eerst in de breuk
Maak de breuk gelijknamig
Tel de tellers bij elkaar op of trek ze van elkaar af. Let hier wel op dat de noemers niet veranderen.
Vereenvoudig de breuk en haal er helen eruit.
Als je deze regels volgt, zal je op de juiste antwoord komen.
Bekijk de onderstaande filmpje als je meer uitleg wilt.
Het vermenigvuldigen met negatieve breuken verschilt niet veel met de regels van het vermenigvuldigen met normale breuken. Alleen moet je wel rekening houden met het minteken.
Zoals je kan zien bij het bovenstaade voorbeeld dat je niet zoals bij som en verschil eerst de breuken gelijknamig moet maken. Je mag het wel doen, maar dan maak je het voor jezelf erg lastig! Let dus goed op dat je de regels van paragraaf 3.1 goed onder de knie hebt als je gaat vermenigvuldigen! Dit zijn dus de volgende regels:
\(positief \times positief = positief\)
\(positief \times negatief = negatief\)
\(negatief \times positief = negatief\)
\(negatief \times negatief = positief\)
Dus de rekenregels voor het vermenigvulden van negatieve breuken zijn:
Zet eventuele mintekens in de breuk.
Vermenigvuldig de teller met elkaar en de noemers met elkaar.
Vereenvoudig de breuk en haal er eventueel helen uit.
Assenstelsels kom je overal tegen. Deze zal je bij meerdere vakken op school voorbij zien komen. Ook kom je deze tegen in het hedendaagse leven, zoals bij het nieuws.
Om een assenstelsel te tekenen moet je goed ruimte nemen in je schrift of op je papier. Daarop teken je twee assen, de x-as en de y-as. Deze teken je van \(-5\) tot \(5\), tenzij het anders is aangegeven! Dit kan je ook wel zien aan de coördinaten. Als je bijvoorbeeld een coördinaat \(A(2,7)\) ziet, weet je dat je niet genoeg hebt aan \(-5\) tot \(5\). Verleng de as dan waar het nodig is!
Zet daarna gelijk de assen namen erbij! Dus zet bij de x-as dus de letter X en bij de y-as de letter Y. Doe dit altijd direct nadat je de assen hebt getekent, zodat je dit niet vergeet!
Zet daarna de \(O\) bij de snijpunt van de assen. De \(O\) staat voor oorsprong.
Vervolgens schrijf je de getallen bij de assen. Als je dat allemaal gedaan hebt, krijg je een tekening als hieronder:
Coördinaten
Met coördinaten kan je snel zoeken naar het juiste roosterpunt in een assenstelsel. Om goed te leren begrijpen hoe een coördinaat werkt, nemen wij een voorbeeld erbij.
\(A(2,5)\) is een voorbeeld van een coördinaat. Om de positie of locatie van dit coördinaat te vinden moeten wij eerst begrijpen hoe een coördinaat werkt. Het eerste getal van de coördinaat A (dus de 2), geeft aan wat de positie van dit coördinaat is op de x-as. Het tweede getal geeft aan wat de positie van dit coördinaat is op de y-as. Dit resulteert in het volgende tekening:
Bij negatieve getallen ga je naar de anderekant van de oorsprong kijken. Neem bijvoorbeeld punt \(B(-4.-2)\). Deze komt dus hier te liggen:
Let dus goed op waar de locatie van coördinaten liggen. Om extra te oefenen kan je de volgende link klikken:
In deze paragraaf leer je werken met grafieken. Om specifiek te zijn met globale grafieken. Dit zijn grafieken waarbij er een verloop van een gebeurtenis wordt omschreven. Neem als voorbeel het onderstaande grafiek:
In deze grafiek zie je een 1 en een 2 staan. Deze geven aan dat de grafiek bij 1 aan het stijgen is en bij 2 aan het dalen is. Bij dit voorbeeld gaat het over de openingstijden van de Efteling en het aantal bezoekers bij bepaalde tijden. Zo kan je zien dat tussen 10u en 12u het aantal bezoekers aan het stijgen is. Rond 14u en 15u is het aantal bezoekers het hoogst. Tussen 15u en 18u is het aantal bezoekers aan het dalen. Dit soort informatie moet je uit grafieken kunnen halen.
Hieronder zie je nog een voorbeeld waarbij ook constant terug te vinden is. Dit houdt in dat de lijn horizontaal blijft lopen. Daarmee wordt er vaak bedoelt dat er geen verandering plaatsvind op een bepaalde plek of tijd in de grafiek.
Als nog een keer goed wilt doornemen, gebruik het onderstaande filmpje als extra uitleg.
Je leert dit paragraaf ook over grafieken aflezen. Waar bij globale grafieken vaak geen getallen naast de assen hebben staan, hebben normale grafieken dat wel. Je moet hierbij waardes kunnen aflezen en ermee vragen beantwoorden. Neem als voorbeeld het onderstaande grafiek.
Het gaat hier om het temperatuur van een Lentedag in Nederland. Hier kan je zien dat het om 8uur in de ochtend 10 graden was. Kijk goed naar de namen van de assen! De x-as (de horizontale as) heeft tijd (h) als naam. Dat betekent dat elke stap die je op de x-as maakt, telkens een uur verder is.
De y-as heeft temperatuur (°C) als naam. Dat betekent dat elke stap omhoog een aantal graden warmer is en elke stap naar beneden een aantal grader kouder.
Hieruit kan je dus uitmaken dat het om 8uur een temperatuur te meten is van 10 graden.
Er kunnen vragen voorkomen dat er aan je gevraagd wordt hoe warm het is als er een bepaalde tijd wordt gevraagd, bijvoorbeeld 6u. Of kan er worden gevraagd wanneer het 16 graden was. Bekijk het onderstaande grafiek waarin deze twee situaties zijn weergeven.
Hier kan je zien dat bij 6u een waarde is dat valt tussen 5 en 10. Schat dan wat de preciese waarde is. Aangezien het ongeveer in het midden ligt, denk ik dat het 7 of 8 graden is. Het lijkt iets lager te liggen, dus zeg ik maar 7 graden.
Bij de tweede situatie, waarbij wij opzoek gingen naar de tijd waarbij het 16 graden was, zien wij dat er twee tijden kan worden gevonden. Een van de tijden valt tussen 10 en 12 en de andere tijd tussen 18 en 20. Wederom ga je hier schatten wat voor waarde het heeft. Aangezien tussen 10 en 12 ongeveer de helft van de helft is, schat ik dat het 11:30uur is. Dus half 12. Tussen de 18 en 20 lijkt het verder te liggen dan de eerste situatie (die van 10 en 12), dus denk ik dat het 19:45 is. Dus kwart voor acht. Zo ga je op zoek naar waarden in een grafiek!
Je kunt met het onderstaande filmpje nog een keer uitleg bekijken!
Bij dit paragraaf leren wij over het tekenen van grafieken in een assenstelsel. Dit gebeurt vaak in combinatie met een (letter)formule (wat je bij de vorig hoofdstuk hebt geleerd) en altijd met een tabel. Wat wij dus gaan doen is de formule uitwerken in een tabel en de waarden die in de tabel staan in een assenstelsel tekenen.
Eerst kijken wat er precies gebeurt.
Wij nemen de formule \(Inkomen (in\space€) = 5t+15\), waarin \(t\) staat voor tijd in uren. In deze situatie gaat hem om een bijbaantje. Als een iemand bij dit bedrijf werkt, krijgt hij of zij €5,- per uur en €15,- als extraatje. Wij gaan dit dus in een tabel verwerken. Soms krijg je een tabel aangeleverd en soms moet je deze zelf maken. Hieronder staat er eentje die aangeleverd is.
\(t\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(Inkomen\)
In de tabel staat linksboven, de variabele die in de formule staat. Variabele betekent de letter die een formule heeft. Dus in dit geval is dat de letter \(t\). Links onder de tabel staat de waarde, die buiten de formule staat. In dit geval is dat \(Inkomen\). Op de bovenste rij staan een aantal getallen. Het begint bij 0, aangezien negatieve getallen niet werken in onze situatie. Je kan namelijk niet minder werken van 0 uur! Dus let goed op als je zelf een tabel moet maken, dat als negatieve getallen niet kan, dat je die ook niet gebruikt!
Het loopt verder van 0 t/m 4. Het zou ook verder kunnen lopen, maar dit is wat gegeven is. Wij gaan deze tabel nu invullen. Dit doen wij door berekeningen te gaan maken. Reken goed uit! As wij 0 invullen krijg je de volgende rekensom: \(5\times0+15=15\). Het antwoord schrijf je onder de 0 in de tabel. Dit herhaal je totdat je alles hebt kunnen invullen. Daaruit ontstaat de volgende tabel:
\(t\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(Inkomen\)
\(15 \)
\(20 \)
\(25\)
\(30\)
\(35\)
Dit tabel gaan wij dus tekenen in een grafiek. Soms krijg je een grafiek aangeleverd en soms moet je deze zelf tekenen. Hieronder wordt er eentje aan ons aangeleverd.
Je ziet dus dat een tabel dus eigenlijk een verzameling coördinaten zijn! Je maakt dus eigenlijk met een tabel een reeks coördinaten. Enige wat je nu nog moet doen is een lijn trekken tussen deze punten heen met je geodriehoek!
De coördinaten zelf hoef je niet achter de letters te zetten! Dit is puur voor uitleg. Zo maak je dus een grafiek vanuit een tabel of een formule.
(Om tijd te besparen bij het tekenen van een grafiek, mag je ook maar twee punten uit een tabel tekenen in plaats van de 5 die bij de voorbeeld is gebruikt. Dit is namelijk ook goed! Scheelt je weer tijd op de toets!)
Mocht je toch nog een extra uitleg hebben over dit onderwerp, bekijk dat het onderstaande filmpje.
Het arrangement Assenstelsels en Grafieken is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Lionel Vink
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2020-11-29 14:18:32
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Oefenen met breuken
Assenstelsel tekenen met coördinaten
Teken een grafiek
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Oefentoets voor Hoofdstuk 3
