Tangens in de ruimte

Tangens in de ruimte

Welkom

Je bent hier op de website van meneer Nederpel.

Deze les is bedoeld voor de volgende VMBO leerlingen:

- 3e jaars leerlingen van kaderberoepsgerichte leerweg (KBL)
- 3e jaars leerlingen van theoretische leerweg (TL)

Deze les heeft een totale duur van 45 minuten.

Dit hoofdstuk gaat over het thema: Goniometrie

Goniometrie heeft te maken met de verhouding tussen de zijden van een rechthoekige driehoek.

In dit hoofdstuk wordt alleen met rechthoekige driehoeken gewerkt of met situaties waarin rechthoekige driehoeken zijn verborgen.

In deze les werken we aan paragraaf H5.5: tangens in de ruimte.  Er wordt eerst met een instaptoetst getest of je de voorkennis voldoende beheerst. Daarna krijg je uitleg over de nieuwe stof óf ga je nog wat oefeningen doen met de oude stof om dit te herhalen. Vervolgens kun je dan ook met de nieuwe stof aan de slag.

De nieuwe stof wordt aangeboden met een instructiefilmpje en schriftelijke uitleg. Daarbij horen een aantal oefeningen. Hierna maak je de eindtoets en weet je of je op het beoogde niveau zit.

Als je dan nog tijd over hebt, dan staan er een aantal uitdagende opgaven voor je klaar onder het kopje 'Extra: verdiepend materiaal'.

De planning ziet er als volgt uit:

1. Instaptoets -> door met nieuwe stof of oefenen/herhalen van oude stof.
2. Bekijk de theorie en oefen per onderdeel dat je lastig vindt bij 'Extra: remediërend materiaal' of kies ervoor om zonder uitleg op wiskundelokaal.nl met extra oefeningen aan de slag te gaan.
3. Uitleg over de nieuwe stof
4. Oefenen met de nieuwe stof
5. Maak de eindtoets
6. Werk de overige tijd aan het kopje: 'Extra: verdiepend materiaal'

Wat moet je doen?

Maak de instaptoets en volg de stappen in de planning die hierboven staat beschreven.

Hoe moet je het aanpakken?

Schrijf de berekeningen in je schrift op en vergelijk dit met de uitwerkingen.

Wat als je hulp nodig hebt?

1. Bekijk eerst de theorie (nog een keer). Wellicht krijg je hier antwoord op je vraag.
2. Kom je er nog niet uit? Overleg dan met je buurman/buurvrouw.
3. Als je er samen niet uitkomt dan schakel je de hulp in van de docent.

Wat doe je met de uitkomst?

Je schrijft al je berekeningen op in je schrift. De uitkomst kun je invullen bij de oefening om te controleren of je het goed hebt gedaan.

Hoeveel tijd heb je?

Je hebt 45 minuten de tijd (1 lesuur).

Wat doe je als je klaar bent?

Als je klaar bent dan ga je werken aan het kopje: 'Extra: verdiepend materiaal' om de uitdaging aan te gaan of je nog lastigere sommen de baas kunt worden.

Hoofdstukdoelen:

Je kunt aan het einde van dit hoofdstuk:

  • met het hoogteverschil en de horizontale afstand een hellingspercentage berekenen
  • een hellingshoek omrekenen naar een hellingspercentage
  • de overstaande en aanliggende rechthoekszijde bepalen van een rechthoekige driehoek
  • de tangens van een hoek berekenen
  • het ezelsbruggetje met TOA in eigen woorden uitleggen
  • de knop [tan-1] op je rekenmachine intoetsen.
  • een hoek berekenen met de tangens
  • een hoek benoemen met de drieletternotatie
  • de overstaande rechthoekszijde berekenen met behulp van de tangens
  • de aanliggende rechthoekszijde berekenen met behulp van de tangens
  • het ezelsbruggetje 3 = \({6 \over 2}\) gebruiken bij het berekenen van een zijde met de tangens
  • de stelling van Pythagoras gebruiken om een zijde te berekenen
  • een doorsnede uit een ruimtefiguur schetsen
  • met de tangens hoeken berekenen in een ruimtefiguur

Instaptoets

Maak de instaptoets hieronder:

Lees daarna verder wat je naar aanleiding van de uitslag kan gaan doen.

Afhankelijk van het resultaat ga je:

Behaald:
Verder met de volgende paragraaf 'Nieuw: H5.5: Tangens in de ruimte'.
Lees de uitleg goed door.

Niet behaald:

Kies voor optie 1 of 2:
Optie 1: Geen extra uitleg, maar wél meer oefeningen maken.

Herhaal dan alle voorgaande paragrafen op http://www.wiskundelokaal.nl, log in als leerling in lokaal 972, zie de instructie aan de onderkant van deze pagina. Kies een plek en maak opdracht 1 t/m 10. Maak hierna de instaptoets nog een keer.

Optie 2: Wil je nog wat extra uitleg en ga je liever verder met het oefenen/herhalen van één van de onderdelen. Ga dan op deze website naar het kopje ''Extra: remediërend materiaal'' en kies met welke paragraaf je aan de slag gaat. Je kan hierna eventueel alsnog voor optie 1 kiezen.

Nieuw: H5.5 Tangens in de ruimte

Introductie

Je gaat nu een begin maken aan de paragraaf H5.5: Tangens in de ruimte.

Je leest in dit kopje waarom je eigenlijk leert om hoeken en zijden te berekenen in de ruimte. Daarbij horen een aantal leerdoelen die je bij het volgende kopje kunt vinden. Daarna ga je naar de kopjes 'Uitleg' en 'Oefening' om met de theorie aan de slag te gaan.

Waarom tangens in de ruimte?

Stel, je bent op reis door de bergen aan het rijden. Het verkeersbord geeft een hellingsgraad van 28% aan. Dat is zo voor de volgende 2 kilometer. Wanneer je boven bent, geniet je van een heel mooi uitzicht.

sinus, cosinus, tangens

Je vraagt je af op welke hoogte je je bevindt. Jammer genoeg staat er nergens een bordje dat de hoogte van de berg aangeeft. Hoe hoog is deze berg? Wel, dat is gemakkelijk te berekenen met goniometrische verhoudingen.

Je moet daarvoor wel een aantal vaardigheden beheersen voor je berekeningen kunt maken met ruimtelijke situaties en figuren. Lees bij het volgende kopje welke leerdoelen dat zijn.

Leerdoelen

In deze paragraaf behandelen we een doorsnede uit een ruimtefiguur schetsen en hoeken berekenen in een ruimtefiguur.
Hieronder staan de leerdoelen van deze paragraaf beschreven.

Leerdoelen:

Je kunt aan het einde van deze paragraaf:

  • een doorsnede uit een ruimtefiguur schetsen
  • met de tangens hoeken berekenen in een ruimtefiguur

Uitleg

De tangens kan ook toegepast worden op ruimtefiguren. In principe zorg je ervoor dat je een vlak figuur krijgt waarin de gevraagde hoek ligt om vervolgens de tangens toe te kunnen toepassen.

Bekijk de video voor de uitleg.

Lees hieronder de uitleg uit het voorbeeld in het filmpje nog een keer door.

Je kan ook direct beginnen aan de opdrachten bij het hoofdstuk 'Oefening'

Voorbeeld

Bereken ∠AHB.

Dit doen wij in verschillende stappen.

1. We maken een schets van het vlak ABGH waarin ∠AHB ligt. We zetten daar alle letters en maten bij.

Om ∠AHB te kunnen berekenen heb je de lengte van AH en AB nodig.

Zoals je ziet in de schets missen wij de lengte van AH. Die gaan we berekenen in stap 2.

 

2. Maak een schets van het vlak waarin AH ligt. We zetten daar alle letters en maten bij. Bereken vervolgens AH met de stelling van Pythagoras.

Vul het schema in:
kz2 =   16
kz2 =   25   +   
lz2 =    41
lz = \(\sqrt{}\)41 = 6,403...
AH = \(\sqrt{}\)41 = 6,4

3. Je kunt de lengte van AH nu invullen in de schets bij stap 1 en ∠AHB berekenen met de tangens.

Tan ∠AHB = \(AB \over AH\)

Tan ∠AHB =\(6 \over \sqrt{41}\)= 0,937....

∠AHB = tan-1(0,937) = 43º

Maak de opdrachten bij het hoofdstuk 'Oefening'.

Oefening

Hier staat de oefening die aansluit bij de uitleg over H5.5: Tangens in de ruimte

Maak de opdrachten in de oefening hieronder:

Oefening: Tangens in de ruimte

Start

Diagnostische toets

Hieronder staat een diagnostische toets waarin alle theorie van het hoofdstuk wordt getoetst. 

Succes!

Test: Diagnostische toets

Start

Extra: Padlet (voor al je vragen)

Bij deze padlet kun je al je vragen opschrijven en je uitwerkingen laten zien met een afbeelding.

Laat mij weten waar je vragen over hebt en wat je hebt gedaan!

Gemaakt met Padlet

Extra: Verdiepend materiaal

Bij deze oefening ga je trainen op het exameniveau dat passend is bij 3 mavo.

De opgaven sluiten aan bij wat je dit hoofdstuk geleerd hebt.

Succes!

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Examenniveau

Start

Extra: Remediërend materiaal

Extra oefenen:

Bij de volgende kopjes komen alle paragrafen aan bod die reeds behandeld zijn. Je kunt bij iedere paragraaf de benodigde theorie doorlezen en aansluitend oefeningen maken om de stof te herhalen.

Je kunt kiezen uit de volgende paragrafen:

H5.1: Hellingspercentage
H5.2 Tangens berekenen
H5.3 Hoek berekenen met tangen
H5.4 Zijden berekenen met tangens

Elke paragraaf heeft zijn eigen theoriestukjes. Klik op de paragraaf die je lastig vindt, lees de leerdoelen, theorie en maak de bijbehorende oefening.

Heb je alle leerdoelen behaald? Maak dan de instaptoets om te kijken of je nu klaar bent om te beginnen aan de nieuwe stof van H5.5: Tangens in de ruimte

H5.1 Hellingspercentage

In deze paragraaf hebben we het hellingspercentage en de hellingshoek behandeld.
Hieronder staan de leerdoelen van deze paragraaf beschreven.

Leerdoelen:

Je kunt aan het einde van deze paragraaf:

  • met het hoogteverschil en de horizontale afstand een hellingspercentage berekenen
  • een hellingshoek omrekenen naar een hellingspercentage

- Hellingspercentage

Het hellingspercentage wordt gebruikt om te bepalen hoe steil een helling is in procenten.

Dat wordt berekend met de formule:

Hellingspercentage = \({hoogteverschil \over horizontale~afstand}\) x 100

Afspraak: Hellingspercentages en graden rond je af op een geheel getal.

Bekijk ook onderstaand filmpje:

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Hellingspercentages

Start

- Hellingshoek

Met de hellingshoek wordt aangegeven hoe steil een helling is in graden.

Als je de hellingshoek in graden weet dan kun je het hellingspercentage berekenen met de formule:

Hellingspercentage = tan (hoek in graden) x 100

Op je rekenmachine zit de knop [tan]. Tik in tan(15) x 100 = 27%

Afspraak: Hellingspercentages en graden rond je af op een geheel getal.

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Hellingspercentage bij een hellingshoek

Start

H5.2 Tangens berekenen

In deze paragraaf hebben we de tangens van een hoek behandeld.
Hieronder staan de leerdoelen van deze paragraaf beschreven.

Leerdoelen:

Je kunt aan het einde van deze paragraaf:

  • de overstaande en aanliggende rechthoekszijde bepalen van een rechthoekige driehoek
  • de tangens van een hoek berekenen
  • het verband tussen de tangens en het hellingsgetal uitleggen
  • het ezelsbruggetje met TOA in eigen woorden uitleggen

- Tangens

Bij iedere helling hoort een hellingshoek.
Hoe groter de hellingshoek, hoe steiler de helling.
Hoe steil een helling is, kun je aangeven met het hellingsgetal.

Het hellingsgetal van een hoek wordt ook wel de tangens (tan) van een hoek genoemd.

Bekijk de rechthoekige driehoek ABC.
AB en BC zijn rechthoekszijden (rhz) en AC is de schuine zijde.
Als je kijkt vanuit ∠A dan is zijde AB de aanliggende rhz en BC de overstaande rhz.

Er geldt:

Tan ∠A = \({Overstaande\ rechthoekszijde \over Aanliggende\ rechthoekszijde}\)= \({BC\over AB}\)

Bekijk onderstaand filmpje tot 5.25. In het vervolg komt uitleg over H5.3.

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Tangens

Start

H5.3 Hoek berekenen met tangens

In deze paragraaf hebben we het berekenen van een hellingshoek en de drieletternotatie behandeld.
Hieronder staan de leerdoelen van deze paragraaf beschreven.

Leerdoelen:

Je kunt aan het einde van deze paragraaf:

  • de knop [tan-1] op je rekenmachine intoetsen.
  • een hoek berekenen met de tangens
  • een hoek benoemen met de drieletternotatie

- Hoek berekenen met tangens

In de vorige paragraaf heb je geleerd om het hellingsgetal oftewel de tangens van een hoek te berekenen.

Als je de tangens van een hoek weet, dan kun je deze omrekenen naar een hoek met graden.

Daarvoor gebruik je de knop [tan-1]. Dit krijg je door [shift][tan] in te toetsen.

Controleer bij de onderstaande voorbeelden of je ook op het juiste aantal graden komt.

  1. tan ∠A = 0,4 geeft ∠A = tan-1(0,4) ≈ 22º  Vul in: tan-1(0,4) =
  2. tan ∠P = 1,7 geeft ∠P = tan-1(1,7) ≈ 60º  Vul in: tan-1(1,7) =

Voorbeeld

Bekijk de driehoek PQR met ∠Q = 90º, QR = 7 en PQ = 4.
Bereken de grootte van ∠P.

Uitwerking:
tan∠P = \({QR\over PQ}\) = \({7\over 4}\) = 1,75

∠P = tan-1(1,75) ≈ 60º

Bekijk dit filmpje vanaf 5.25:

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Hoek bereken met tangens

Start

- Hoeken benoemen met drie hoofdletters

Soms is het handing om hoeken te benoemen met drie hoofdletters.

Dat gebeurt voornamelijk als één hoek is geplitst in meerdere hoeken.

In driehoek ABC is ∠A12 gesplitst in ∠A1 en ∠A2.

∠A12 wordt ook wel ∠BAC genoemd.

Je gaat met je vinger vanuit B naar A naar C. Bij de middelste letter vind je de hoek. (∠CAB is ook een goede notatie, maar dan vanaf de andere kant.)

∠BAC is de drieletternotatie van ∠A12.

Bekijk ook het filmpje hieronder:

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Drieletternotatie

Start

H5.4 Zijden berekenen met tangens

In deze paragraaf hebben we het berekenen van een zijde met de tangens en een schets tekenen bij een situatie behandeld.
Hieronder staan de leerdoelen van deze paragraaf beschreven.

Leerdoelen:

Je kunt aan het einde van deze paragraaf:

  • de overstaande rechthoekszijde berekenen met behulp van de tangens
  • de aanliggende rechthoekszijde berekenen met behulp van de tangens
  • het ezelsbruggetje 3 = \({6\over 2}\) gebruiken bij het berekenen van een zijde met de tangens
  • de stelling van Pythagoras gebruiken om een zijde te berekenen

- Zijde berekenen met tangens

Wij hebben geleerd dat je met behulp van de tangens een hoek kunt berekenen. De formule die we hiervoor gebruiken is als volgt:

tan hoek = \({Overstaande~rechthoekszijde \over Aanliggende~rechthoekszijde}\)

De lengte van de overstaande en de aanliggende zijde zijn in dit geval gegeven.

Andersom kan het ook voorkomen dat er een zijde onbekend is. Met behulp van een hoek en de andere zijde kunnen we de onbekende zijde berekenen. In onderstaande voorbeelden kun je dat zien en wordt de onbekende zijde berekend.

Voorbeeld 1

Hoe berekenen we de aanliggende rechthoekszijde FD?

Tan ∠D = \({Overstaande~rechthoekszijde \over Aanliggende~rechthoekszijde}\)

Stap 1: Vul alles in wat je weet.

Tan (24,7) = \({6 \over FD}\)

Stap 2: Bereken de onbekende.

FD = 6 : tan(24,7) = 13,044...

FD = 13,0 cm

Voorbeeld 2

Hoe berekenen we de overstaande rechthoekszijde EF?

Tan ∠D = \({Overstaande~rechthoekszijde \over Aanliggende~rechthoekszijde}\)

Stap 1: Vul alles in wat je weet.

Tan (24,7) = \({EF \over 13}\)

Stap 2: Bereken de onbekende.

EF = 13 x tan(24,7) = 5,979...

EF = 6,0 cm

Bekijk de video hieronder.

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Zijden berekenen met tangens

Start

- Schets maken

Een schets is een snel gemaakte tekening met daarin alle informatie die je weet. In sommige gevallen wordt namelijk geen driehoek gegeven. Dan is het handig om een schets te maken.

Voorbeeld

Van een helling is de hellingshoek 22º.

De horizontale afstand is 350 m.

Bereken het hoogteverschil.

Uitwerking

Maak een schets. Zet ook het rechtehoekteken.

 

 

 

Tan ∠A = \({O \over A}\)

Tan 22 = \({O \over 350}\)

O = 350 x tan 22 = 141,40...

Het hoogteverschil is 141,4 meter.

Maak de oefening hieronder.

Oefening: Schets tekenen bij een situatie

Start

Eindtoets

Hieronder staat de eindtoets.

Succes!

Evaluatie

Hieronder staat een feedbackformulier voor de online les.

Zou je deze willen invullen en mij daarmee laten weten wat je van de les vond?

Alvast bedankt!

Bronnen

Er is gebruik gemaakt van de volgende wikiwijspagina's om uitleg te kopiëren:

https://maken.wikiwijs.nl/137751/Goniometrie_uitleg#!page-4961558

Er is gebruik gemaakt van de volgende website om uitleg en afbeeldingen te kopiëren:

https://blog.bijleshuis.be/goniometrische-verhoudingen

De volgend externe youtubefilmpjes zijn toegevoegd:

Hoe bereken je het hellingsgetal en hellingspercentage? (havo/vwo 3) - WiskundeAcademie - YouTube

Tangens - hoeken berekenen in rechthoekige driehoeken - WiskundeAcademie - YouTube

Tangens - hoeken berekenen in rechthoekige driehoeken - WiskundeAcademie - YouTube

Hoeken - drieletter-hoeknotatie - WiskundeAcademie - YouTube

tangens zijde berekenen uitleg toa - YouTube

De volgende boeken zijn geraadpleegd voor deze wikiwijs pagina.

- Reichard, L., Dijkhuis, J., Admiraal, C., Vaarwerk, G. t., Verbeek, J., Jong, G. d., . . . Hiele, R. (2014). Getal en Ruimte 3 VMBO- KGT deel 1. Noordhoff Uitgevers.

- Reichard, L., Dijkhuis, J., Admiraal, C., Vaarwerk, G. t., Verbeek, J., Jong, G. d., . . . Hiele, R. (2014). Getal en Ruimte 3 VMBO- KGT deel 2. Noordhoff Uitgevers.

- Reichard, L., Dijkhuis, J., Admiraal, C., Vaarwerk, G. t., Verbeek, J., Jong, G. d., . . . Hiele, R. (2016). Getal en Ruimte 4 VMBO- KGT deel 1. Noordhoff Uitgevers.

- Reichard, L., Dijkhuis, J., Admiraal, C., Vaarwerk, G. t., Verbeek, J., Jong, G. d., . . . Hiele, R. (2016). Getal en Ruimte 4 VMBO- KGT deel 2. Noordhoff Uitgevers.

 

  • Het arrangement Tangens in de ruimte is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Marco Nederpel
    Laatst gewijzigd
    2021-01-25 22:21:55
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Wiskunde, mavo/kader 3 Je leert rekenen met de tangens in de ruimte.
    Leerniveau
    VMBO basisberoepsgerichte leerweg, 3; VMBO kaderberoepsgerichte leerweg, 3;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen/wiskunde; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    0 uur 45 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Nederpel, Marco. (z.d.).

    Tangens

    https://maken.wikiwijs.nl/165312/Tangens

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Instaptoets

    Tangens in de ruimte

    Diagnostische toets

    Examenniveau

    Hellingspercentages

    Hellingspercentage bij een hellingshoek

    Tangens

    Hoek bereken met tangens

    Drieletternotatie

    Zijden berekenen met tangens

    Schets tekenen bij een situatie

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van