Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B

Inleiding

In dit thema staan berekeningen in een driehoek centraal.

Wanneer er van een driehoek een paar zijden en/of hoeken bekend zijn, kun je de resterende gegevens vaak berekenen. Je kunt dit op verschillende manieren doen.

Bij rechthoekige driehoeken heb je al in de onderbouw kennis gemaakt met de stelling van Pythagoras en met de sinus, cosinus en tangens.
Ook nu ga je dit weer gebruiken.

Maar ook als er géén rechte hoek in de driehoek zit, kun je toch allerlei zaken uitrekenen: natuurlijk met gelijkvormigheid, maar ook met de zogenaamde sinusregel en de cosinusregel.
Je gaat in dit hoofdstuk telkens van een driehoek de onbekende gegevens berekenen. Dit doe je bijvoorbeeld met de stelling van Pythagoras, de sinusregel, de cosinusregel of door middel van gelijkvormigheid.

De opgaven zijn soms best lastig en het is soms zoeken naar het juiste stukje 'gereedschap'. Dus geef niet te snel op, want je zult echt een beetje moeten leren puzzelen!

Wat kan ik straks?

Aan het einde van dit thema kun je:

beredeneren of een driehoek rechthoekig is.
een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen met de stelling van Pythagoras.
de vergrotingsfactor en verhouding van twee gelijkvormige driehoeken bepalen en ermee rekenen.
onbekende zijdes of hoeken berekenen met de sinus en cosinus.
berekeningen uitvoeren met de sinusregel en cosinusregel.
beslissen welke methode je wil gebruiken om het gevraagde uit te rekenen.

Paragrafen

Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.

In dit hoofdstuk moet er veel algebraïsch met formule gerekend worden. Mocht er wat van deze rekenkennis van voorgaande jaren weggezakt zijn, kun je je kennis opfrissen met paragraaf 0.

Maak hieronder je keuze.

Paragraaf 0 Rekentechniek

Paragraaf 1 De stelling van Pythagoras

Paragraaf 2 Gelijkvormigheid

Paragraaf 3 Sinus en co

Paragraaf 4 De sinusregel

Paragraaf 5 De cosinusregel

Afsluiting

Samenvatting

Pythagoras

Stelling van Pythagoras
Als driehoek $\small ABC$ rechthoekig is in $\small C$ dan geldt: $\small a^2+b^2=c^2$ .

Omgekeerde van de stelling van Pythagoras
Als in driehoek $\small ABC$ voor de zijden geldt: $\small a^2+b^2=c^2$ , dan is de hoek in $\small C$ recht.

Oppervlakte driehoek

De oppervlakte van driehoek $\small ABC$ is $\small {1 \over 2}a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma)={1 \over 2}b\cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)={1 \over 2}a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)$ .

Sinusregel

In driehoek $\small ABC$ geldt:
$\small {\text{sin}(\alpha) \over a}={\text{sin}(\beta) \over b}={\text{sin}(\gamma) \over c}$

Cosinusregel

In driehoek $\small ABC$ geldt:
$\small a^2=b^2+c^2-2b \cdot c \cdot \text{cos}(\alpha)$
$\small b^2=a^2+c^2-2a \cdot c \cdot \text{cos}(\beta)$
$\small c^2=a^2+b^2-2a \cdot b \cdot \text{cos}(\gamma)$

Sinus en cosinus

Tabel

	$\small 30°$	$\small 45°$	$\small 60°$
$\small \text{sin}$	$\small {1 \over 2}$	$\small {1 \over 2}\sqrt{2}$	$\small {1 \over 2}\sqrt{3}$
$\small \text{cos}$	$\small {1 \over 2}\sqrt{3}$	$\small {1 \over 2}\sqrt{2}$	$\small {1 \over 2}$

Afspraak

Voor een stompe hoek $\small \alpha$ spreken we af:
$\small \text{sin}(\alpha)=\text{sin}(180°-\alpha)$ en $\small \text{cos}(\alpha)=\text{-cos}(180°-\alpha)$

Bijvoorbeeld:
$\small \text{sin}(120°)=\text{sin}(60°)={1 \over 2}\sqrt{3}$ en $\small \text{cos}(120°)=\text{-cos}(60°)=\text{-}{1 \over 2}$ .

Voorbeeld:

Geef van de volgende vergelijkingen in $\small \alpha$ de oplossingen tussen $\small 0$ en $\small 180\text{ graden}$ in twee decimalen.

$\small \text{sin}(\alpha)=0\text{,}3$
$\small \text{cos}(\alpha)=0\text{,}3$
$\small \text{cos}(\alpha)=\text{-}0\text{,}3$

Oplossing

Er zijn twee oplossingen.
De GR geeft: $\small \text{sin}^\text{-1}(0\text{,}3)=17\text{,}457\ldots$ , dus $\small \alpha = 17\text{,}46°$ of $\small \alpha = 162\text{,}54°$ .
De GR geeft: $\small \text{cos}^\text{-1}(0\text{,}3)=72\text{,}542\ldots$ , dus de enige oplossing is $\small \alpha = 72\text{,}54°$ .
De GR geeft: $\small \text{cos}^\text{-1}(\text{-}0\text{,}3)=107\text{,}457\ldots$ , dus de enige oplossing is: $\small \alpha = 107\text{,}46°$ .

Gelijkvormig

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de een een uitvergroting is van de ander.
Dit is het geval al ze twee hoeken hetzelfde hebben. Corresponderende zijden hebben dan dezelfde verhouding.
De driehoeken $\small ABC$ en $\small PQR$ zijn gelijkvormig.
$\small {a \over p}={b \over q}={c \over r}$ .
Je kunt ook zeggen: $\small a:b:c=p:q:r$ .

De afstand van twee punten

De afstand van $\small P(p,q)$ tot $\small A(a,b)$ in een assenstelsel is:
$\small \sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2}$ .

Diagnostische toets

Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

Test: H2 Berekeningen in een driehoek

Start

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er in principe maar één te doen.

Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.
(Maar misschien is het ook wel handig om een paar extra opgaven van 'basis' te maken, want je kunt dit onderwerp niet genoeg oefenen!)

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Basis

Figuur met driehoeken

Zijdes, oppervlakte

Parallellogram

Hoek, oppervlakte

Stomphoekige driehoek

Een groot meer

Vlieger

Ad maakt een vlieger van een latje van lengte $\small 8$ en een latje van lengte $\small 10$. Dat worden de diagonalen $\small AC$ en $\small BD$ van de vlieger. Het punt waar de latjes op elkaar komen, noemen we $\small S$.
Het punt $\small S$ kan op verschillende plaatsen op diagonaal $\small AC$ gekozen worden. De afstand van $\small A$ tot $\small S$ noemen we $\small p$.

a Maakt de keuze van $\small S$ wat uit voor de oppervlakte van de vlieger?

b Druk $\small AB$ en $\small BC$ in $\small p$ uit.

c Voor welke waarde van $\small p$ heeft de vlieger twee rechte hoeken?

Driehoek ABC

Cosinusregel

Speciaal geval

Regelmatige achthoek

Geocaching

Met behulp van een GPS-ontvanger kunnen op iedere plaats op aarde de coördinaten van die plaats worden bepaald. Een wereldwijd beoefende hobby waarbij gebruik gemaakt wordt van GPS is geocaching. Bij geocaching is het de bedoeling een cache – een soort schatkistje – te zoeken met behulp van een GPS-ontvanger en een loopopdracht. Een loopopdracht bestaat uit twee onderdelen: een koers en een afstand. De koers is de hoek ten opzichte van het noorden in een geheel aantal graden, vanaf het noorden draaiend met de klok mee. De afstand is gegeven in een geheel aantal meters.

De zoektocht naar de cache, genaamd “Haagse zoektocht” wordt als volgt beschreven:

Parkeer de auto langs de kant van de weg op N52 16.351 E6 57.531. Dit is punt $\small A$.
Loop vanaf punt $\small A$ $\small 109\text{ meter}$ met koers $\small 163\text{ graden}$. Dit is punt $\small B$.
Loop vanaf punt $\small B$ $\small 25\text{ meter}$ met koers $\small 110\text{ graden}$ naar de cache op punt $\small C$.

Zie de figuur.

Het is mogelijk om in één loopopdracht vanaf punt $\small A$ naar punt $\small C$ te gaan. Hiervoor moet in driehoek $\small ABC$ eerst de afstand $\small AC$ berekend worden en vervolgens moet de koers van $\small A$ naar $\small C$ berekend worden.

Bereken de koers en de afstand van deze loopopdracht.

Assenstelsel

Kapitein

Visje

In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een rechthoek past met een breedte van $\small 10\text{ cm}$ en een hoogte van $\small 4\text{ cm}$, zie de tekening rechts.
Om het visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten hoe groot de straal is van de bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn. Hieronder zijn de rechthoek en een deel van de onderste cirkel op schaal getekend.

Er geldt het volgende:

$\small M$ is het middelpunt van een van de cirkelbogen
$\small AB=CD=10\text{ cm}$
$\small AD=BC=4\text{ cm}$
$\small E$ is het midden van $\small AD$
$\small G$ is het midden $\small FH$
$\small DH=EG=AF=p\text{ cm}$
De straal van de cirkelboog is $\small r\text{ cm}$

Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek $\small MGE$ kan een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot (i) $\small r={1 \over 4}p^2+1$.

a Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot $\small r={1 \over 4}p^2+1$.

Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek $\small MBF$ een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot (ii) $\small p^2-20p+116-8r=0$.

De in vergelijking (i) gegeven uitdrukking voor $\small r$ kan in vergelijking (ii) worden gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt tot (iii) $\small p^2+20p-108=0$.

b Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om tot $\small p^2+20p-108=0$.

In een rechthoek van $\small 10\text{ cm}$ bij $\small 4\text{ cm}$ kan nu een visje worden getekend als de waarden van $\small p$ en $\small r$ bekend zijn.
Deze kunnen worden berekend met behulp van de vergelijkingen (i) en (iii).

c Bereken de waarden van $\small p$ en $\small r$ in één decimaal en teken het visje in de rechthoek.
Geef duidelijk uitleg over je werkwijze.

Burgervliegtuig

Een burgervliegtuig mag niet via de kortste route van vliegveld Luxemburg naar Schiphol vliegen omdat er een verboden militaire zone tussen ligt. In het plaatje is deze zone licht oker gemaakt. Zie $\small \text{figuur 1}$.
In deze opgave bekijken we een model van deze situatie. In dit model houden we alleen rekening met horizontale afstanden en nemen we aan dat vliegtuigen in rechte lijnen vliegen.
De afstand van vliegveld Luxemburg ($\small L$) naar vliegveld Schiphol ($\small S$) is hemelsbreed $\small 315\text{ km}$ met een koers van $\small 342°$. Hierin is de koers de hoek ten opzichte van het noorden met de wijzers van de klok mee.


$\small \text{figuur 1}$	$\small \text{figuur 2}$

Stel dat een vliegtuig vanaf vliegveld Luxemburg eerst richting het westen vliegt en vervolgens richting het noorden vliegt om precies op Schiphol uit te komen. Hierdoor wordt de vliegafstand langer dan $\small 315\text{ km}$.

a Bereken hoeveel langer deze vliegafstand is. Geef je antwoord in tientallen kilometers nauwkeurig.

$\small \text{figuur 3}$

In werkelijkheid vliegt men vanaf vliegveld Luxemburg eerst $\small 300\text{ kilometer}$ met een koers van $\small 310°$ om vervolgens rechtstreeks naar Schiphol te vliegen, zie $\small \text{figuur 3}$.
Als men rechtstreeks van vliegveld Luxemburg naar vliegveld Schiphol zou mogen vliegen, zou de afstand met een bepaald percentage verkort kunnen worden.

b Bereken dit percentage in hele procenten nauwkeurig.

Gemeenschappelijk hoekpunt

Driehoek, parallellogram, vlieger

Een driehoek heeft zijden van $\small 3$ en $\small 4$. De hoek tussen de zijden is $\small 45°$. Met nog zo'n driehoek kun je een parallellogram maken zó dat een van de hoeken van het parallellogram $\small 45°$ is.
De onbekend zijde noemen we $\small x$.

a Bereken $\small x^2$ exact.

In een opgave van paragraaf 'De sinusregel' heb je met twee exemplaren van de driehoek een parallellogram gelegd.
Met twee exemplaren kun je ook een vlieger leggen met twee zijden van lengte $\small 4$ en twee zijden van lengte $\small x$.
Eén van de diagonalen van de vlieger is symmetrieas van de vlieger.

b Bereken exact de stukken waarin de symmetrieas van de vlieger door de andere diagonaal verdeeld wordt.

De diagonalen verdelen de vlieger in vier rechthoekige driehoeken.

c Bereken $\small x^2$ door de stelling van Pythagoras in een van die driehoeken toe te passen.

Extra oefening Plus

Bissectrice

We gaan verder met de opgave "Hoek, oppervlakte": gegeven is de driehoek $\small ABC$ met $\small a = 4$, $\small b = \sqrt{37}$ en $\small c = 3$. Je hebt berekend dat $\small \beta = 120°$ en dat de oppervlakte van $\small ABC$ gelijk is aan $\small 3\sqrt{3}$.
De bissectrice van hoek $\small B$ snijdt lijn $\small AC$ in $\small D$.

a Bereken $\small BD $ exact.

Hint: Noem $\small BD = x$, druk de oppervlakte van de driehoeken $\small ABD$ en $\small CBD$ in $\small x$ uit.

b Bereken de lengte van de hoogtelijn uit $\small C$ van driehoek $\small ABC$ exact.

Cosinusregel stompe hoek

In deze opgave bewijzen we $\small a^2=b^2+c^2-2b\cdot c \cdot\text{cos}(\alpha)$ als $\small \alpha$ stomp is.

a Er geldt: $\small AD=\text{-}\text{cos}(\alpha)\cdot b$, laat dat zien.

Door twee keer de de stelling van Pythagoras toe te passen vind je: $\small h^2=a^2-(c-b⋅\text{cos}(\alpha))^2$ en $\small h^2=b^2-b^2\cdot \text{cos}^2(\alpha)$.
Dus: $\small a^2-(c-b\cdot \text{cos}(\alpha))^2=b^2-b^2 \cdot \text{cos}^2(\alpha)$

Opmerking
Om haakjes te vermijden, schrijven we $\small \text{cos}^2(\alpha)$ in plaats van $\small (\text{cos}(\alpha))^2$.

b Werk de haakjes weg en herschrijf het resultaat tot:
$\small a^2=b^2+c^2-2b \cdot c \cdot \text{cos}(\alpha)$.

Basketbalstellage

$\small \text{figuur 1}$

$\small \text{figuur 2}$

Hiernaast zie je een basketbalstellage die neergelaten kan worden, zie $\small \text{figuur 1}$.
Een basket is een ijzeren ring met een netje. Twee kettingen, die even lang zijn, dienen als beveiliging tegen vallen of te ver zakken van het geheel.

Het zijaanzicht van het frame is een parallellogram. We noemen dit parallellogram $\small ABCD$, zie $\small \text{figuur 2}$.
$\small BC$ is $\small 90\text{ cm}$ en $\small AB$ is $\small 100\text{ cm}$ lang.
In de gymzaal waar de foto genomen is, is de hoogte van bevestigingspunt $\small B$ gelijk aan $\small 280\text{ cm}$. De hoek bij punt $\small B$ (hoek $\small ABC$) noemen we $\small \beta$.
De lengte van lijnstuk $\small AC$ wordt gegeven door:
$\small AC = 10\sqrt{181 - 180\cdot \text{cos}(\beta)}$.

a Toon de juistheid van de formule voor $\small AC$ aan.

Een van de kettingen is bevestigd tussen de punten $\small A$ en $\small C$. De ketting heeft een lengte van $\small 160\text{ cm}$. De basket wordt zoveel mogelijk omlaag gelaten zodat de ketting tussen $\small A$ en $\small C$ strak gespannen is.

b Bereken de hoogte van punt $\small A$ boven de vloer in dat geval. Rond je antwoord af op een geheel aantal $\small \text{cm}$.

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

Evaluatie: Terugblik

Introductie

Algemene informatie

Titel: Terugblik
Aantal vragen: 4
Maximaal te behalen punten: 20
Punten nodig om te slagen: 1

Start

Vorige Controleer Volgende

Goed zo!

Je hebt alle vragen beantwoord. Je kunt je antwoorden bekijken door terug te gaan naar de vragen.

Vorige Start opnieuw

Colofon
Het arrangement Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

VO-content

Laatst gewijzigd

2022-04-25 14:03:51

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

Fair Use

In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting

Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'. In dit thema staan berekeningen in een driehoek centraal.

Leerniveau

VWO 4;

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Trefwoorden

arrangeerbaar, cosinus, havo 4, pythagoras, sinus, stercollectie, tangens, wiskunde b

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (z.d.).

Stramien Wiskunde Stercollectie 2.0

https://maken.wikiwijs.nl/131786/Stramien_Wiskunde_Stercollectie_2_0

Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B

nl

VO-content

2022-04-25 14:03:51

Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'. In dit thema staan berekeningen in een driehoek centraal.

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

VWO 4

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/e2026706-0829-4a4c-b726-9409b6f407e1

leerling/student

arrangeerbaar, cosinus, havo 4, pythagoras, sinus, stercollectie, tangens, wiskunde b
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

Oefeningen en toetsen

H2 Berekeningen in een driehoek

Terugblik

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

QTI

Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

Versie 2.1 (NL)

H2 Berekeningen in een driehoek

Terugblik

Versie 3.0 bèta

H2 Berekeningen in een driehoek

Terugblik

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van


\(\small \text{figuur 1}\)	\(\small \text{figuur 2}\)

Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B

Inleiding

Wat kan ik straks?

Paragrafen

Paragraaf 0 Rekentechniek

Paragraaf 1 De stelling van Pythagoras

Paragraaf 2 Gelijkvormigheid

Paragraaf 3 Sinus en co

Paragraaf 4 De sinusregel

Paragraaf 5 De cosinusregel

Afsluiting

Samenvatting

Diagnostische toets

Test: H2 Berekeningen in een driehoek

Extra opgaven

Figuur met driehoeken

Zijdes, oppervlakte

Parallellogram

Hoek, oppervlakte

Stomphoekige driehoek

Een groot meer

Vlieger

Driehoek ABC

Cosinusregel

Speciaal geval

Regelmatige achthoek

Geocaching

Assenstelsel

Kapitein

Visje

Burgervliegtuig

Gemeenschappelijk hoekpunt

Driehoek, parallellogram, vlieger

Bissectrice

Cosinusregel stompe hoek

Basketbalstellage

Terugblik

Evaluatie: Terugblik

Introductie

Goed zo!

Downloaden

Metadata

LTI

Arrangement

Oefeningen en toetsen

H2 Berekeningen in een driehoek

Terugblik

IMSCC package

QTI

Versie 2.1 (NL)

Versie 3.0 bèta

Voor developers

Gebruik

Weergave