Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B
Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B
Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B
Inleiding
In dit thema staan berekeningen in een driehoek centraal.
Wanneer er van een driehoek een paar zijden en/of hoeken bekend zijn, kun je de resterende gegevens vaak berekenen. Je kunt dit op verschillende manieren doen.
Bij rechthoekige driehoeken heb je al in de onderbouw kennis gemaakt met de stelling van Pythagoras en met de sinus, cosinus en tangens.
Ook nu ga je dit weer gebruiken.
Maar ook als er géén rechte hoek in de driehoek zit, kun je toch allerlei zaken uitrekenen: natuurlijk met gelijkvormigheid, maar ook met de zogenaamde sinusregel en de cosinusregel.
Je gaat in dit hoofdstuk telkens van een driehoek de onbekende gegevens berekenen. Dit doe je bijvoorbeeld met de stelling van Pythagoras, de sinusregel, de cosinusregel of door middel van gelijkvormigheid.
De opgaven zijn soms best lastig en het is soms zoeken naar het juiste stukje 'gereedschap'. Dus geef niet te snel op, want je zult echt een beetje moeten leren puzzelen!
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kun je:
beredeneren of een driehoek rechthoekig is.
een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen met de stelling van Pythagoras.
de vergrotingsfactoren verhouding van twee gelijkvormige driehoeken bepalen en ermee rekenen.
onbekende zijdes of hoeken berekenen met de sinus en cosinus.
berekeningen uitvoeren met de sinusregel en cosinusregel.
beslissen welke methode je wil gebruiken om het gevraagde uit te rekenen.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
In dit hoofdstuk moet er veel algebraïsch met formule gerekend worden. Mocht er wat van deze rekenkennis van voorgaande jaren weggezakt zijn, kun je je kennis opfrissen met paragraaf 0.
Stelling van Pythagoras
Als driehoek \(\small ABC\) rechthoekig is in \(\small C\) dan geldt: \(\small a^2+b^2=c^2\).
Omgekeerde van de stelling van Pythagoras
Als in driehoek \(\small ABC\) voor de zijden geldt: \(\small a^2+b^2=c^2\), dan is de hoek in \(\small C\) recht.
Oppervlakte driehoek
De oppervlakte van driehoek \(\small ABC\) is \(\small {1 \over 2}a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma)={1 \over 2}b\cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)={1 \over 2}a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)\).
In driehoek \(\small ABC\) geldt: \(\small a^2=b^2+c^2-2b \cdot c \cdot \text{cos}(\alpha)\) \(\small b^2=a^2+c^2-2a \cdot c \cdot \text{cos}(\beta)\) \(\small c^2=a^2+b^2-2a \cdot b \cdot \text{cos}(\gamma)\)
Sinus en cosinus
Tabel
\(\small 30°\)
\(\small 45°\)
\(\small 60°\)
\(\small \text{sin}\)
\(\small {1 \over 2}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{2}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{3}\)
\(\small \text{cos}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{3}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{2}\)
\(\small {1 \over 2}\)
Afspraak
Voor een stompe hoek \(\small \alpha\) spreken we af: \(\small \text{sin}(\alpha)=\text{sin}(180°-\alpha)\) en \(\small \text{cos}(\alpha)=\text{-cos}(180°-\alpha)\)
Bijvoorbeeld: \(\small \text{sin}(120°)=\text{sin}(60°)={1 \over 2}\sqrt{3}\) en \(\small \text{cos}(120°)=\text{-cos}(60°)=\text{-}{1 \over 2}\).
Voorbeeld:
Geef van de volgende vergelijkingen in \(\small \alpha\) de oplossingen tussen \(\small 0\) en \(\small 180\text{ graden}\) in twee decimalen.
\(\small \text{sin}(\alpha)=0\text{,}3\)
\(\small \text{cos}(\alpha)=0\text{,}3\)
\(\small \text{cos}(\alpha)=\text{-}0\text{,}3\)
Oplossing
Er zijn twee oplossingen.
De GR geeft: \(\small \text{sin}^\text{-1}(0\text{,}3)=17\text{,}457\ldots\), dus \(\small \alpha = 17\text{,}46°\) of \(\small \alpha = 162\text{,}54°\).
De GR geeft: \(\small \text{cos}^\text{-1}(0\text{,}3)=72\text{,}542\ldots\), dus de enige oplossing is \(\small \alpha = 72\text{,}54°\).
De GR geeft: \(\small \text{cos}^\text{-1}(\text{-}0\text{,}3)=107\text{,}457\ldots\), dus de enige oplossing is: \(\small \alpha = 107\text{,}46°\).
Gelijkvormig
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de een een uitvergroting is van de ander.
Dit is het geval al ze twee hoeken hetzelfde hebben. Corresponderende zijden hebben dan dezelfde verhouding.
De driehoeken \(\small ABC\) en \(\small PQR\) zijn gelijkvormig. \(\small {a \over p}={b \over q}={c \over r}\).
Je kunt ook zeggen: \(\small a:b:c=p:q:r\).
De afstand van twee punten
De afstand van \(\small P(p,q)\) tot \(\small A(a,b)\) in een assenstelsel is: \(\small \sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2}\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er in principe maar één te doen.
Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.
(Maar misschien is het ook wel handig om een paar extra opgaven van 'basis' te maken, want je kunt dit onderwerp niet genoeg oefenen!)
Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.
Extra oefening Basis
Extra oefening Plus
Terugblik
Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.
Het arrangement Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
In dit thema staan berekeningen in een driehoek centraal.
Leerniveau
VWO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
arrangeerbaar, cosinus, havo 4, pythagoras, sinus, stercollectie, tangens, wiskunde b
Thema: Berekeningen in een driehoek - 4H Wiskunde B
nl
VO-content
2022-04-25 14:03:51
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
In dit thema staan berekeningen in een driehoek centraal.
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
De oppervlakte van driehoek 
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er in principe maar één te doen.
