Er wordt vaak van je gevraagd om lengtes te berekenen in figuren.
In een rechthoekige driehoek is hier een handig trucje voor: de stelling van Pythagoras.
In deze stelling staat het verband tussen de drie zijden van de driehoek centraal. Je hebt er in de onderbouw vast al kennis mee gemaakt.
Je zal zien hoe deze stelling tot stand is gekomen en er berekeningen mee uitvoeren. De problemen zullen wel iets moeilijker worden dan in klas 2 en 3.
Vervolgens zal je deze stelling gebruiken om de afstand tussen twee punten in een assenstelsel te berekenen.
Opgaven
Basketbalveld
Een stelling als legpuzzel
De stelling van Pythagoras is misschien wel de bekendste stelling uit de wiskunde. Elke middelbare scholier in Nederland leert hem.
De stelling is minstens 2500 jaar oud, en speciale gevallen van de stelling zijn nog ouder. Er zijn honderden bewijzen van de stelling. De meest bekende vorm van de stelling luidt: \(\small a^2+b^2=c^2\); dan moet je voor \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\) wel de juiste zijden nemen, en weten dat hij voor rechthoekige driehoeken geldt.
Pythagoras, geboren op het Griekse eiland Samos, leefde in de zesde eeuw voor Chr. Hij reisde naar Babylonië en Egypte en heeft daar waarschijnlijk zijn wiskundekennis opgedaan. Hij hield zich bezig met rekenkunde, meetkunde, muziek en astrologie. Pythagoras vestigde zich in Croton (een Griekse handelsstad in het zuiden van Italië), waar hij een filosofische school stichtte, een soort religieuze sekte met een heleboel regels (die op de moderne mens eigenaardig overkomen). Pythagoras' grote verdienste is dat hij de dingen met getallen uitdrukte. De stelling van Pythagoras is naar hem genoemd.
In het volgende bewijzen we deze stelling opnieuw, op verschillende manieren. We geven een algebraïsch bewijs; daarvoor moet je rekenen.
Eerst geven we een meetkundig bewijs; daarvoor moet je redeneren. In de Extra opgaven staat nog een algebraïsch bewijs.
Uit bovenstaande volgt de stelling van Pythagoras.
De oppervlakte van de vierkanten op de rechthoekszijden samen is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
In de figuur: \(\small \text{oppervlakte 1 + oppervlakte 2 = oppervlakte 3}\).
De stelling van Pythagoras
We gaan de stelling van Pythagoras nu algebraïsch bewijzen. Hierbij wordt wel gerekend; we hebben één van de drie “merkwaardige producten” nodig.
Merkwaardige producten
\(\small (w+z)^2=w^2+2wz+z^2\)
\(\small (w−z)^2=w^2−2wz+z^2\)
\(\small (w+z)(w−z)=w^2−z^2\)
“Merkwaardig” moet hier in een oude betekenis gelezen worden: waard om te merken = onthouden.
Algebraïsch geformuleerd ziet de stelling van Pythagoras er zó uit.
De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek noemen we \(\small a\) en \(\small b\), de schuine zijde \(\small c\).
Dan is \(\small a^2+b^2=c^2\).
Opmerking:
In Bouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten. Daarvoor gebruik je een zogenaamde bouwhaak.
De bouwhaak wordt ook wel de 3-4-5-steek genoemd. Op de drie latten zet je lengtes uit in de verhouding \(\small 3:4:5\). Bijvoorbeeld: \(\small 3 \times 20\text{ cm}\), \(\small 4 \times 20\text{ cm}\) en \(\small 5 \times 20\text{ cm}\).
Hier wordt het omgekeerde van de stelling van Pythagoras gebruikt.
Als in een driehoek met zijden \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\) geldt dat \(\small a^2+b^2=c^2\), dan is de hoek tegenover zijde \(\small c\) recht.
Dat de omkering van de stelling van Pythagoras ook waar is, beredeneren we in het volgende.
Redenering
Stel dat je van een driehoek met zijden \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\) weet dat \(\small a^2+b^2=c^2\).
Dan is deze driehoek hetzelfde als een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(\small a\) en \(\small b\), want ze hebben alle zijden gelijk, dus heeft de driehoek een rechte hoek (namelijk de hoek tegenover zijde \(\small c\)).
De omkering van de stelling van Pythagoras is dus ook waar: als voor de zijden \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\) van een driehoek geldt: \(\small a^2+b^2=c^2\), dan is de driehoek rechthoekig.
In een driehoek met zijden \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\) geldt:
hoek \(\small C\) is recht \(\small \iff\)\(\small a^2+b^2=c^2\).
Opmerking:
Het teken \(\small \iff\) staat tussen twee beweringen. Het geeft aan dat die beweringen op hetzelfde neerkomen.
Rechthoekige driehoeken
De stelling van Pythagoras om de afstand van twee punten in een assenstelsel te berekenen
De afstand van \(\small P(p,q)\) tot \(\small A(a,b)\) in een assenstelsel is: \(\small \sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2}\).
Het arrangement De stelling van Pythagoras is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
Er wordt vaak van je gevraagd om lengtes te berekenen in figuren.
In een rechthoekige driehoek is hier een handig trucje voor: de stelling van Pythagoras.
In deze stelling staat het verband tussen de drie zijden van de driehoek centraal. Je hebt er in de onderbouw vast al kennis mee gemaakt.
Je zal zien hoe deze stelling tot stand is gekomen en er berekeningen mee uitvoeren. De problemen zullen wel iets moeilijker worden dan in klas 2 en 3.
Vervolgens zal je deze stelling gebruiken om de afstand tussen twee punten in een assenstelsel te berekenen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, assenstelsel, driehoek, havo 4, pythagoras, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
Er wordt vaak van je gevraagd om lengtes te berekenen in figuren.
In een rechthoekige driehoek is hier een handig trucje voor: de stelling van Pythagoras.
In deze stelling staat het verband tussen de drie zijden van de driehoek centraal. Je hebt er in de onderbouw vast al kennis mee gemaakt.
Je zal zien hoe deze stelling tot stand is gekomen en er berekeningen mee uitvoeren. De problemen zullen wel iets moeilijker worden dan in klas 2 en 3.
Vervolgens zal je deze stelling gebruiken om de afstand tussen twee punten in een assenstelsel te berekenen.
Er wordt vaak van je gevraagd om lengtes te berekenen in figuren.
