De stelling van Pythagoras

We gaan de stelling van Pythagoras nu algebraïsch bewijzen. Hierbij wordt wel gerekend; we hebben één van de drie “merkwaardige producten” nodig.

Merkwaardige producten


“Merkwaardig” moet hier in een oude betekenis gelezen worden: waard om te merken = onthouden.

Algebraïsch geformuleerd ziet de stelling van Pythagoras er zó uit.

De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek noemen we en , de schuine zijde .
Dan is .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Opmerking:

In Bouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten. Daarvoor gebruik je een zogenaamde bouwhaak.
De bouwhaak wordt ook wel de 3-4-5-steek genoemd. Op de drie latten zet je lengtes uit in de verhouding . Bijvoorbeeld: , en .

Hier wordt het omgekeerde van de stelling van Pythagoras gebruikt.
Als in een driehoek met zijden , en geldt dat , dan is de hoek tegenover zijde recht.

Dat de omkering van de stelling van Pythagoras ook waar is, beredeneren we in het volgende.

 

Redenering

Stel dat je van een driehoek met zijden , en weet dat .
Dan is deze driehoek hetzelfde als een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden en , want ze hebben alle zijden gelijk, dus heeft de driehoek een rechte hoek (namelijk de hoek tegenover zijde ).


De omkering van de stelling van Pythagoras is dus ook waar: als voor de zijden , en van een driehoek geldt: , dan is de driehoek rechthoekig.

 

In een driehoek met zijden , en geldt:
hoek is recht .

 

Opmerking:

Het teken staat tussen twee beweringen. Het geeft aan dat die beweringen op hetzelfde neerkomen.