Uit Leidscherijn in beeld
Foto Ronald CorreljéIn september 1997 werd bij archeologisch bodemonderzoek naar de Romeinse weg in de Vinexlocatie Leidsche Rijn (Veldhuizen) een heel bijzondere vondst gedaan. Het betreft een Romeins schip dat vanaf dat moment verder de geschiedenis in zal gaan onder de naam De Meern 1.
Het schip, een zogenaamde rivierpraam, met een lengte van 25 meter en een breedte van 2,70 meter was gemaakt van eikenhout van een drietal bomen afkomstig uit het gebied dat wij nu kennen als Nederland. Uit dendrochronologisch onderzoek is gebleken dat deze bomen waarschijnlijk in 148 na Christus zijn gerooid. Het is het meest complete Romeinse schip dat ooit ten noorden van de Alpen is gevonden.
De halfwaardetijd is ongeveer \(\small{5700}\) jaar, dat wil zeggen dat de periode waarin het percentage halveert \(\small{5700}\)jaar is.
Dus \(\small{5700}\) jaar na de kap is het percentage nog maar \(\small{50}\), na \(\small{11400}\) jaar \(\small{25}\) enzovoort, na \(\small{x}\) periodes van 5700 jaar is dat percentage \(\small{100 \cdot {(0,5)^x}}\).
Ga dat na.
Wat kan ik straks?
In dit hoofdstuk maak je kennis met exponentiële groeifuncties.
Een hoeveelheid \(\small{y}\) groeit exponentieel in de tijd \(\small{x}\) als er getallen \(\small{a}\) en
\(\small{g}\) zijn met \(\small{y=a\cdot{g^x}}\).
Je leert
formules opstellen voor het verband tussen de hoeveelheid \(\small{y}\) op een bepaald tijdstip \(\small{x}\).
het groeipercentage van een hoeveelheid \(\small{y}\) in verband te brengen met het getal \(\small{g}\) in de formule \(\small{y=a\cdot{g^x}}\).
vergellijkingen, bijvoorbeeld \(\small{80=3\cdot{2^x}}\) op te lossen met behulp van logaritmen.
hoe rekenregels voor machten rekenregelsvoor logaritmen opleveren.
logaritmische vergeliljkingen op te lossen
grafieken van exponentiële en logaritmische functies tekenen bij gegeven formule en omgekeerd: een formule opstellen bij de grafiek van een exponentiële of logaritmische functei.
Wat kan ik al?
Je kunt
de rekenregels voor het rekenen met machten toepassen;
een uitdrukking zonder gebroken en negatieve exponenten schrijven en omgekeerd;
kwadratische vergelijkingen oplossen;
vergelijkingen oplossen met behulp van sustitutie;
de inverse van een ketting bepalen als je de inverse van de schakels kent;
vergelijkingen van de vorm \(\small{x^p=q}\) oplossen.
We testen je kennis op dit gebied met de volgende vragen.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Als je de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid dieper of ...) krijgt door de hoeveelheid nú (of op deze hoogte of ...) met een bepaalde factor te vermenigvuldigen, spreken we van exponentiële groei.
De factor waar je per tijdseenheid (of lengte-eenheid of ...) mee vermenigvuldigt, noemen we de groeifactor.
Een hoeveelheid \(H\) groeit met factor \(g\) per uur.
Als je met hoeveelheid \(A\) begint, dan is de hoeveelheid \(H\) na \(t\) uur: \(H=A⋅g^t\).
Als een hoeveelheid met \(2\%\) per uur afneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor \(0,98\) per uur.
Als een hoeveelheid met \(2\%\) per uur toeneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor \(1,02\) per uur.
Stel: een hoeveelheid groeit exponentieel en wordt in \(6\) uur tijd \(5\) keer zo groot.
Dan geldt voor de groeifactor \(g\) per uur: \(g^6=5\).
Dus \(g = \sqrt[6]{5} = {5^{\frac{1}{6}}}\), de zesdemachtswortel van \(5\).
Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd afneemt.
De tijd waarin die hoeveelheid halveert, noemen we de halfwaardetijd van die stof.
Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd toeneemt. De tijd waarin die hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd van die stof.
Definitie van logaritme
De exacte oplossing van de vergelijking \(2^t=6\) noemen we \(^2{\text{log}}(6)\). Algemeen \({g^{^g{\text{log}}(x)}} = x\) en \(^g{\text{log}}({g^x}) = x\)
\(^g{\text{log}}(x)\) bestaat alleen als \(x>0\) en \(g>0\) en \(g≠1\). \(g\) heet het grondtal van de logaritme.
\(^g{\text{log}}(x) = \frac{{^a{\text{log}}(x)}}{{^a{\text{log}}(g)}}\) (overstappen op een ander grondtal namelijk van \(g\) op \(a\))
De regels gelden voor alle positieve getallen \(x\), \(y\), \(a\), \(g\) en willekeurige getallen \(r\), waarbij \(a\) en \(g\) niet \(1\) mogen zijn.
Regel 4 kun je gebruiken om de logaritme van een getal op de GR te benaderen.
Voorbeeld
\(^2{\text{log}}(3) = \frac{{{\text{log}}(3)}}{{{\text{log}}(2)}} = \frac{{0,477 \ldots }}{{0,301 \ldots }} = 1,584 \ldots\).
De knop [log] op de GR is de logaritme met grondtal \(10\).
Rekenregels voor machten
\({a^p} \cdot {a^q} = {a^{p + q}}\)
\({a^p}:{a^q} = {a^{p - q}}\)
\({\left( {{a^p}} \right)^q} = {a^{p \cdot q}}\)
\({(a \cdot b)^p} = {a^p} \cdot {b^p}\)
\({g^{^g{\text{log}}(x)}} = x\) en \(^g{\text{log}}({g^x}) = x\)
Deze regels gelden voor alle positieve getallen \(a\), \(b\), en willekeurige getallen \(p\) en \(q\).
Verder: \(x>0\) en \(g>0\) en \(g≠1\).
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.
Opmerking:
Als \(x^3=4\), dan \(x = \sqrt[3]{4}\).
Als \(3^x=4\), dan \(x{ = ^3}{\text{log}}(4)\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Exponenten en logaritmen - 4V Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
de rekenregels voor het rekenen met machten toepassen;
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
