In dit hoofdstuk kijk je eerst naar verhoudingen, met name bij rechthoeken.
Maar ook kijk je naar figuren: welk deel is ingekleurd?
Verder gaan je in dit hoofdstuk allerlei platte en ruimtelijke figuren vergroten en verkleinen. Wat gebeurt er dan met de verhoudingen van de zijden, met de verhouding van de oppervlaktes en met de inhouden?
Ook gaan we enkele speciale verhoudingen bekijken, bijvoorbeeld van de A-formaten papier, maar ook de 'gulden snede verhouding'.
Verhoudingen
Definitie
Hoeveelheden van soort A en van soort B verhouden zich als
\(3 : 5\) betekent: bij elke \(3\) eenheden van A horen \(5\) eenheden van B, en omgekeerd.
Als je de verhouding van twee hoeveelheden geeft, gaat het niet om absolute aantallen, maar om hoeveel keer zo groot de ene hoeveelheid is als de andere, en dat dan liefst uitgedrukt met (zo klein mogelijke) gehele getallen.
Bij verhoudingen mag je ter vereenvoudiging elk getal met eenzelfde getal vermenigvuldigen, of door eenzelfde getal delen. Bijvoorbeeld:
\(12:28:40=3:7:10\) (alles delen door \(4\))
\(2,4:1,8=24:18=4:3\) (eerst keer \(10\), dan delen door \(6\))
Voorbeeld:
De prijzen voor een schaap en een koe verhouden zich \(3:11\). Als een koe \(600\) euro kost, dan kost een schaap
\(\frac{3}{{11}} \cdot 600 \approx 164\) euro.
Als een boer voor een schaap en een koe samen \(700\) euro heeft betaald, dan heeft de koe \(\frac{{11}}{{14}} \cdot 700 = 550\) euro gekost en het schaap \(\frac{3}{{14}} \cdot 700 = 150\) euro.
Vergroten en verkleinen
-
Als je een vlakke figuur in beide richtingen (horizontaal en verticaal) met factor \(f\) vermenigvuldigt, wordt zijn oppervlakte met \(f^2\) vermenigvuldigd.
-
Als je een ruimtelijke figuur in alledrie de richtingen (naar voren, naar opzij, naar boven) met factor \(f\) vermenigvuldigt, wordt zijn inhoud met \(f^3\) vermenigvuldigd.
Overzichtelijk in een tabel:
|
|
eenheid
|
factor
|
|
lengte
|
m, dm, of ...
|
\(f\)
|
|
oppervlakte
|
m2, dm2, of ...
|
\(f^2\)
|
|
inhoud
|
m3, dm3, of ...
|
\(f^3\)
|
Ook voor het gewicht geldt de factor \(f^3\).
Oppervlaktediagrammen
Bij oppervlaktediagrammen is de oppervlakte maatgevend.
Zijn de afmetingen \(k\) keer zo groot, dan is de bijbehorende waarde \(k^2\) keer zo groot.
Andersom: als de oppervlakte bijvoorbeeld \(3\) keer zo groot is, zijn de afmetingen \(\sqrt 3 \approx 1,73\) keer zo groot.
Rechthoeken
Rechthoeken zijn verschillend van vorm. Ze variëren van vierkant tot zeer langwerpig.
We letten op de verhouding van de zijden.
Bij een vierkant is die verhouding \(1:1\).
Rechthoeken waarbij de verhouding tussen hoogte en breedte hetzelfde is heten gelijkvormig.
Wanneer zijn twee rechthoeken gelijkvormig? Dat kun je op meerdere manieren zeggen.
-
Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de verhouding van de zijden bij beide rechthoeken hetzelfde is.
-
Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de ene rechthoek uit de andere ontstaat door een vergroting (of verkleining).
De ene zijde wordt vermenigvuldigd met een zekere factor en de andere zijde wordt met dezelfde factor vermenigvuldigd.
-
Als gelijkvormige rechthoeken in dezelfde stand staan, dan lopen de diagonalen evenwijdig.
-
Als twee gelijkvormige rechthoeken onderling een kwartslag gedraaid zijn, staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
A-formaten
De verhouding van de zijden van een A-formaat is \(1:\sqrt 2\).
Als je een A-formaat papier dubbelvouwt, krijg je weer een A-formaat.
Alle vellen van een A-formaat zijn gelijkvormig.
Het grootste A-formaat is een A0-vel en heeft een oppervlakte van \(1\) m2.
Een A1-vel krijg je door een A0-vel dubbel te vouwen (of doormidden te snijden). Etc.
Gulden rechthoek
Een gulden rechthoek is een rechthoek met de volgende eigenschap:
Als je er een vierkant van af knipt, krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek.
De verhouding van de zijden van een gulden rechthoek is 1:φ (de Griekse letter phi, spreek uit fie).
Hierin is \(\varphi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,6180...\).
\(φ\) is de positieve oplossing van de vergelijking \(x^2−x−1=0\).
Als een lijnstuk verdeeld is in twee stukken die zich verhouden als \(1:φ\), zeggen we dat het lijnstuk verdeeld is volgens de gulden snede.
Regelmatige veelhoeken
Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.
Een aantal bekende feitjes over hoeken:
-
De som van de hoeken van een driehoek is \(180°\).
-
Een gestrekte hoek is \(180°\).
-
Een totale draaiing rondom een punt is \(360°\).
-
De twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
De grootte van een hoek van een regelmatige \(n\)-hoek: \(\frac{{(n - 2) \cdot 180^\circ }}{n}\).
Een diagonaal is een verbindingslijnstuk tussen twee hoekpunten van een veelhoek die geen buren zijn van elkaar.
Een driehoek heeft geen diagonalen.
Aantal diagonalen van een \(n\)-hoek \(=\frac{{(n - 3) \cdot n}}{2}\).
Van elk vierkant is een diagonaal \(\sqrt 2\) keer zo lang als een zijde.
Een rekenmachine geeft \(\sqrt 2 \approx 1,4142...\).
De regelmatige vijfhoek
Het getal \(\varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 5\) speelt een grote rol bij de regelmatige vijfhoek en het pentagram.
\(\varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 5 \approx 1,6180...\) wordt het gulden getal genoemd.
Er geldt: \(φ^2=φ+1\).
Een diagonaal van een regelmatige vijfhoek wordt door een andere diagonaal gesneden in twee stukken die zich verhouden als \(1:φ\).
Met andere woorden:
De diagonalen van een regelmatige vijfhoek verdelen elkaar volgens de gulden snede.
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
