Vwo 4 wisC

Thema: Verhoudingen - 4V Wiskunde C

Thema: Verhoudingen - 4V Wiskunde C

Inleiding

In dit hoofdstuk kijk je eerst naar verhoudingen, met name bij rechthoeken.

Maar ook kijk je naar figuren: welk deel is ingekleurd?

Verder gaan je in dit hoofdstuk allerlei platte en ruimtelijke figuren vergroten en verkleinen. Wat gebeurt er dan met de verhoudingen van de zijden, met de verhouding van de oppervlaktes en met de inhouden?

Ook gaan we enkele speciale verhoudingen bekijken, bijvoorbeeld van de A-formaten papier, maar ook de 'gulden snede verhouding'.

 

Paragrafen

Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.

Paragraaf 1  Verhoudingen
Paragraaf 2  Oppervlakte en inhoud
Paragraaf 3  Rechthoeken
Paragraaf 4  De gulden rechthoek
Paragraaf 5  Regelmatige veelhoeken

Afsluiting

Samenvatting

Verhoudingen

Definitie
Hoeveelheden van soort A en van soort B verhouden zich als
\(3 : 5\) betekent: bij elke \(3\) eenheden van A horen \(5\) eenheden van B, en omgekeerd.

Als je de verhouding van twee hoeveelheden geeft, gaat het niet om absolute aantallen, maar om hoeveel keer zo groot de ene hoeveelheid is als de andere, en dat dan liefst uitgedrukt met (zo klein mogelijke) gehele getallen.

Bij verhoudingen mag je ter vereenvoudiging elk getal met eenzelfde getal vermenigvuldigen, of door eenzelfde getal delen. Bijvoorbeeld:
\(12:28:40=3:7:10\) (alles delen door \(4\))
\(2,4:1,8=24:18=4:3\) (eerst keer \(10\), dan delen door \(6\))

 

Voorbeeld:

De prijzen voor een schaap en een koe verhouden zich \(3:11\). Als een koe \(600\) euro kost, dan kost een schaap
\(\frac{3}{{11}} \cdot 600 \approx 164\) euro.
Als een boer voor een schaap en een koe samen \(700\) euro heeft betaald, dan heeft de koe \(\frac{{11}}{{14}} \cdot 700 = 550\) euro gekost en het schaap \(\frac{3}{{14}} \cdot 700 = 150\) euro.

 

 

Vergroten en verkleinen

  • Als je een vlakke figuur in beide richtingen (horizontaal en verticaal) met factor \(f\) vermenigvuldigt, wordt zijn oppervlakte met \(f^2\) vermenigvuldigd.

  • Als je een ruimtelijke figuur in alledrie de richtingen (naar voren, naar opzij, naar boven) met factor \(f\) vermenigvuldigt, wordt zijn inhoud met \(f^3\) vermenigvuldigd.


Overzichtelijk in een tabel:

 

eenheid

factor

lengte

m, dm, of ...

\(f\)

oppervlakte

m2, dm2, of ...

\(f^2\)

inhoud

m3, dm3, of ...

\(f^3\)

Ook voor het gewicht geldt de factor \(f^3\).

 

Oppervlaktediagrammen
Bij oppervlaktediagrammen is de oppervlakte maatgevend.

Zijn de afmetingen \(k\) keer zo groot, dan is de bijbehorende waarde \(k^2\) keer zo groot.
Andersom: als de oppervlakte bijvoorbeeld \(3\) keer zo groot is, zijn de afmetingen \(\sqrt 3 \approx 1,73\) keer zo groot.

 

 

Rechthoeken

Rechthoeken zijn verschillend van vorm. Ze variëren van vierkant tot zeer langwerpig.
We letten op de verhouding van de zijden.
Bij een vierkant is die verhouding \(1:1\).


Rechthoeken waarbij de verhouding tussen hoogte en breedte hetzelfde is heten gelijkvormig.


Wanneer zijn twee rechthoeken gelijkvormig? Dat kun je op meerdere manieren zeggen.

  • Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de verhouding van de zijden bij beide rechthoeken hetzelfde is.

  • Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de ene rechthoek uit de andere ontstaat door een vergroting (of verkleining).
    De ene zijde wordt vermenigvuldigd met een zekere factor en de andere zijde wordt met dezelfde factor vermenigvuldigd.

  • Als gelijkvormige rechthoeken in dezelfde stand staan, dan lopen de diagonalen evenwijdig.

  • Als twee gelijkvormige rechthoeken onderling een kwartslag gedraaid zijn, staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

 

 

 

 

 

A-formaten
De verhouding van de zijden van een A-formaat is \(1:\sqrt 2\).
Als je een A-formaat papier dubbelvouwt, krijg je weer een A-formaat.
Alle vellen van een A-formaat zijn gelijkvormig.
Het grootste A-formaat is een A0-vel en heeft een oppervlakte van \(1\) m2.
Een A1-vel krijg je door een A0-vel dubbel te vouwen (of doormidden te snijden). Etc.

 

 

Gulden rechthoek

Een gulden rechthoek is een rechthoek met de volgende eigenschap:
Als je er een vierkant van af knipt, krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek.

De verhouding van de zijden van een gulden rechthoek is 1:φ (de Griekse letter phi, spreek uit fie).

Hierin is \(\varphi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,6180...\).
\(φ\) is de positieve oplossing van de vergelijking \(x^2−x−1=0\).

Als een lijnstuk verdeeld is in twee stukken die zich verhouden als \(1:φ\), zeggen we dat het lijnstuk verdeeld is volgens de gulden snede.

 

 

Regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.

 

Een aantal bekende feitjes over hoeken:

  • De som van de hoeken van een driehoek is \(180°\).

  • Een gestrekte hoek is \(180°\).

  • Een totale draaiing rondom een punt is \(360°\).

  • De twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.


De grootte van een hoek van een regelmatige \(n\)-hoek: \(\frac{{(n - 2) \cdot 180^\circ }}{n}\).


Een diagonaal is een verbindingslijnstuk tussen twee hoekpunten van een veelhoek die geen buren zijn van elkaar.
Een driehoek heeft geen diagonalen.
Aantal diagonalen van een \(n\)-hoek \(=\frac{{(n - 3) \cdot n}}{2}\).

Van elk vierkant is een diagonaal \(\sqrt 2\) keer zo lang als een zijde.
Een rekenmachine geeft \(\sqrt 2 \approx 1,4142...\).

 

 

De regelmatige vijfhoek

Het getal \(\varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 5\) speelt een grote rol bij de regelmatige vijfhoek en het pentagram.
\(\varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 5 \approx 1,6180...\) wordt het gulden getal genoemd.
Er geldt: \(φ^2=φ+1\).

 

 

 

 

Een diagonaal van een regelmatige vijfhoek wordt door een andere diagonaal gesneden in twee stukken die zich verhouden als \(1:φ\).
Met andere woorden:
De diagonalen van een regelmatige vijfhoek verdelen elkaar volgens de gulden snede.

Diagnostische toets

Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

 

Test: H5C Verhoudingen

Start

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Basis

Extra oefening Plus

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

Evaluatie: Terugblik

Start

  • Het arrangement Thema: Verhoudingen - 4V Wiskunde C is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-07-31 02:35:19
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Rearrangeerbare opdracht wiskunde stercollectie VO-content wiskunde havo/vwo
    Leerniveau
    VWO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    leerlijn, rearrangeerbare, vo-content

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    Thema: Verschillen - 4V Wiskunde A/C

    https://maken.wikiwijs.nl/154964/Thema__Verschillen___4V_Wiskunde_A_C

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    H5C Verhoudingen

    Terugblik

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van