Samenvatting

Verhoudingen

Definitie
Hoeveelheden van soort A en van soort B verhouden zich als
betekent: bij elke eenheden van A horen eenheden van B, en omgekeerd.

Als je de verhouding van twee hoeveelheden geeft, gaat het niet om absolute aantallen, maar om hoeveel keer zo groot de ene hoeveelheid is als de andere, en dat dan liefst uitgedrukt met (zo klein mogelijke) gehele getallen.

Bij verhoudingen mag je ter vereenvoudiging elk getal met eenzelfde getal vermenigvuldigen, of door eenzelfde getal delen. Bijvoorbeeld:
(alles delen door )
(eerst keer , dan delen door )

 

Voorbeeld:

De prijzen voor een schaap en een koe verhouden zich . Als een koe euro kost, dan kost een schaap
euro.
Als een boer voor een schaap en een koe samen euro heeft betaald, dan heeft de koe euro gekost en het schaap euro.

 

 

Vergroten en verkleinen


Overzichtelijk in een tabel:

 

eenheid

factor

lengte

m, dm, of ...

oppervlakte

m2, dm2, of ...

inhoud

m3, dm3, of ...

Ook voor het gewicht geldt de factor .

 

Oppervlaktediagrammen
Bij oppervlaktediagrammen is de oppervlakte maatgevend.

Zijn de afmetingen keer zo groot, dan is de bijbehorende waarde keer zo groot.
Andersom: als de oppervlakte bijvoorbeeld keer zo groot is, zijn de afmetingen keer zo groot.

 

 

Rechthoeken

Rechthoeken zijn verschillend van vorm. Ze variëren van vierkant tot zeer langwerpig.
We letten op de verhouding van de zijden.
Bij een vierkant is die verhouding .


Rechthoeken waarbij de verhouding tussen hoogte en breedte hetzelfde is heten gelijkvormig.


Wanneer zijn twee rechthoeken gelijkvormig? Dat kun je op meerdere manieren zeggen.

 

 

 

 

 

A-formaten
De verhouding van de zijden van een A-formaat is .
Als je een A-formaat papier dubbelvouwt, krijg je weer een A-formaat.
Alle vellen van een A-formaat zijn gelijkvormig.
Het grootste A-formaat is een A0-vel en heeft een oppervlakte van m2.
Een A1-vel krijg je door een A0-vel dubbel te vouwen (of doormidden te snijden). Etc.

 

 

Gulden rechthoek

Een gulden rechthoek is een rechthoek met de volgende eigenschap:
Als je er een vierkant van af knipt, krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek.

De verhouding van de zijden van een gulden rechthoek is 1:φ (de Griekse letter phi, spreek uit fie).

Hierin is .
is de positieve oplossing van de vergelijking .

Als een lijnstuk verdeeld is in twee stukken die zich verhouden als , zeggen we dat het lijnstuk verdeeld is volgens de gulden snede.

 

 

Regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.

 

Een aantal bekende feitjes over hoeken:


De grootte van een hoek van een regelmatige -hoek: .


Een diagonaal is een verbindingslijnstuk tussen twee hoekpunten van een veelhoek die geen buren zijn van elkaar.
Een driehoek heeft geen diagonalen.
Aantal diagonalen van een -hoek .

Van elk vierkant is een diagonaal keer zo lang als een zijde.
Een rekenmachine geeft .

 

 

De regelmatige vijfhoek

Het getal speelt een grote rol bij de regelmatige vijfhoek en het pentagram.
wordt het gulden getal genoemd.
Er geldt: .

 

 

 

 

Een diagonaal van een regelmatige vijfhoek wordt door een andere diagonaal gesneden in twee stukken die zich verhouden als .
Met andere woorden:
De diagonalen van een regelmatige vijfhoek verdelen elkaar volgens de gulden snede.