Rekenen en redeneren met afstanden gebeurt in de praktijk erg veel. In dit thema leer je de achterliggende theorie.
Zie bijvoorbeeld het kaartje hiernaast met de radiofrequenties van npo-3FM.
Je ziet allemaal cirkels met daarin voor dat gebied de ontvangst-frequentie. Er zijn in het midden van die cirkels hoge zendmasten geplaatst die op die frequentie de radioprogramma's uitzenden.
Kleinere gebieden hebben waarschijnlijk een lagere zendmast met minder vermogen (uitzendsterkte) en de grote gebieden hoge zendmasten met veel meer vermogen.
Ook voor de digitale radio (DAB), het 4G-netwerk (voor jouw mobieltje) en het (toekomstige) 5G-netwerk kan je zulke kaarten maken, maar daarbij zijn er veel meer kleine cirkels nodig omdat het bereik van zo'n zendmast veel kleiner is. Dat maakt het plaatje onoverzichtelijk.
De providers moeten natuurlijk zorgen voor volledige dekking: iedereen wil natuurlijk in een gebied leven of werken waar je ontvangst of bereik hebt. Dat is een heel gepuzzel waarbij veel wiskunde wordt gebruikt.
Maar ook planologen zijn veel met afstanden bezig in hun dagelijks werk: als je bij het ontwerp van een plein of park een fontein of bankje op even grote afstand van twee toegangspoorten wilt plaatsen, waar moet je het dan neerzetten?
Of op de camping: waar zet je het toiletgebouw neer zodat niemand te veel moet lopen? En waar maak je het speeltuintje voor de kleine kinderen?
Zie de plattegrond van de camping hiernaast: als je een nieuw chloor-zwembad wilt maken, ver genoeg van beide stranden en op gelijke afstand tot beide stranden, waar moet je die dan maken?
Ook tuinontwerpers hebben ermee te maken: waar plaats je de sproeiers om het volledige grasveld en bloemenperken te bespuiten?
Zie hieronder een eenvoudig tuinontwerpje met het online programma my-garden. Je ontwerpt een tuin (linker figuur) en je kunt automatisch of met de hand de plaats, draaihoek en reikwijdte van de sproeiers aangeven (rechter figuur).
Probeer zelf maar even en maak bijvoorbeeld jullie eigen tuin: my-garden.
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kan je:
Nauwkeurig de gebieden tekenen die op een bepaalde afstand liggen van punten, lijnen of vormen.
De gebieden tekenen die op gelijke afstand liggen ten opzichte van twee punten of lijnen.
Gebieden opdelen in stukken die even ver, dichterbij of verderweg liggen.
Een cirkel tekenen die precies om een driehoek past, of juist de grootste cirkel tekenen die in een driehoek past.
Bij al deze bovenstaande tekeningen kun je daarbij loodlijnen, middelloodlijnen, deellijnen (of bissectrices) en evenwijdigheid gebruiken.
En je kunt ook uitleggen waarom de tekening juist is.
Wat kan ik al?
Je kan al (met een passer) cirkels tekenen om alle punten te tekenen met een vaste afstand tot een punt.
Je kunt deze cirkels ook gebruiken om vraagstukken mee op te lossen.
Je krijgt nu eerst drie opgaven om je geheugen weer een beetje op te frissen.
Wat ga ik doen?
Het thema 'Afstanden' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (u:min)
Inleiding
0:35
§ Lijn, lijnstuk, en halve lijn
0:35
§ Loodlijn en middelloodlijn
1:15
§ Deellijn van een hoek
1:05
§ Even ver, dichterbij, verderweg
1:25
§ Cirkels en driehoeken
1:35
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0:15
Diagnostische toets
0:50
Extra opgaven (keuze)
0:50
Thema-opdracht (keuze)
2:00
Totaal
±10:00
Gewone opgaven en Super opgaven
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker. Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.
Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.
In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.
De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.
Paragrafen
In dit thema leer je te redeneren met afstanden.
In de volgende paragrafen leer je stap voor stap stukjes wiskundige theorie die daarvoor nodig is. Je zult ook veel moeten tekenen, dus pak je passer en geodriehoek er maar vast bij!
Met afstand bedoelen we de lengte van de kortste verbinding. De afstand van twee punten \(A\) en \(B\) is de lengte van lijnstuk \(AB\).
De afstand van een lijn \(k\) tot een punt \(P\) buiten die lijn, is de lengte van het loodrechte verbindingslijn vanuit dat punt op die lijn.
Lijn, lijnstuk en halve lijn
Lijn\(AB\) heeft geen grenspunten, loopt dus en links van \(A\) en rechts van \(B\) gewoon door.
Lijnstuk\(AB\) heeft grenspunten \(A\) en \(B\). Alleen \(A\) en \(B\) en de punten tussen \(A\) en \(B\) behoren tot het lijnstuk \(AB\).
Een halve lijn heeft één grenspunt, loopt dus aan één kant van het grenspunt onbeperkt door.
Middelloodlijn
De middelloodlijn van lijnstuk \(PQ\) gaat door het midden van \(PQ\) en staat loodrecht op lijn \(PQ\).
Elk punt dat op de middelloodlijn van lijnstuk \(PQ\) ligt, ligt even ver van punt \(P\) als van punt \(Q\).
De punten die aan dezelfde kant van de middelloodlijn als \(P\) liggen, liggen dichter bij \(P\). De punten die aan de andere kant van de middelloodlijn liggen, liggen dichter bij \(Q\).
Deellijn
De deellijn van een hoek deelt een hoek in twee even grote hoeken. Alle punten, die op de deellijn liggen, liggen even ver van de benen van een hoek af.
Omgeschreven cirkel
De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. Dit punt ligt even ver van de hoekpunten van de driehoek en is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Ingeschreven cirkel
De drie deellijnen van de hoeken van een driehoek gaan door één punt. Dit punt ligt even ver van de drie zijden van de driehoek en is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Als je de cirkel wilt tekenen, moet je eerst de straal vinden. Laat vanuit het middelpunt een loodlijn neer op één van de zijden, dan is dat de straal.
Middelpunt van de cirkel bepalen
Teken een driehoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. De cirkel is dan de omgeschreven cirkel van deze driehoek. Het middelpunt van de cirkel is dus het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek.
Thema-opdracht
In deze opdracht ga je een beveiligingssysteem voor een museum ontwerpen.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Het thema 'Afstanden' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Stercollectie Wiskunde 2.0 HV op basis van Wageningse Methode
Leerniveau
HAVO 1;
VWO 1;
Leerinhoud en doelen
Lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Hoeken;
Aan het einde van dit thema kan je:
Je kan al (met een passer) cirkels tekenen om alle punten te tekenen met een vaste afstand tot een punt.
Het thema 'Afstanden' bestaat uit de volgende onderdelen:
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
In dit thema leer je te redeneren met afstanden.
Met afstand bedoelen we de lengte van de kortste verbinding. De afstand van twee punten 
Lijn 
Lijnstuk 
Een halve lijn heeft één grenspunt, loopt dus aan één kant van het grenspunt onbeperkt door.
De middelloodlijn van lijnstuk 
De deellijn van een hoek deelt een hoek in twee even grote hoeken. Alle punten, die op de deellijn liggen, liggen even ver van de benen van een hoek af.
De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. Dit punt ligt even ver van de hoekpunten van de driehoek en is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
De drie deellijnen van de hoeken van een driehoek gaan door één punt. Dit punt ligt even ver van de drie zijden van de driehoek en is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Als je de cirkel wilt tekenen, moet je eerst de straal vinden. Laat vanuit het middelpunt een loodlijn neer op één van de zijden, dan is dat de straal.
In deze opdracht ga je een beveiligingssysteem voor een museum ontwerpen.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
