Thema 10 Afstanden - havo/vwo1

Thema 10 Afstanden - havo/vwo1

Afstanden

Inleiding

Rekenen en redeneren met afstanden gebeurt in de praktijk erg veel.
In dit thema leer je de achterliggende theorie.

Zie bijvoorbeeld het kaartje hieronder met de radiofrequenties van npo-3FM.
Je ziet allemaal cirkels met daarin voor dat gebied de ontvangst-frequentie. Er zijn in het midden van die cirkels hoge zendmasten geplaatst die op die frequentie de radioprogramma's uitzenden.

Kleinere gebieden hebben waarschijnlijk een lagere zendmast met minder vermogen (uitzendsterkte) en de grote gebieden hoge zendmasten met veel meer vermogen.

Ook voor de digitale radio (DAB), het 4G-netwerk (voor jouw mobieltje) en het (toekomstige) 5G-netwerk kan je zulke kaarten maken, maar daarbij zijn er veel meer kleine cirkels nodig omdat het bereik van zo'n zendmast veel kleiner is. Dat maakt het plaatje onoverzichtelijk.
De providers moeten natuurlijk zorgen voor volledige dekking: iedereen wil natuurlijk in een gebied leven of werken waar je ontvangst of bereik hebt. Dat is een heel gepuzzel waarbij veel wiskunde wordt gebruikt.

Maar ook planologen zijn veel met afstanden bezig in hun dagelijks werk: als je bij het ontwerp van een plein of park een fontein of bankje op even grote afstand van twee toegangspoorten wilt plaatsen, waar moet je het dan neerzetten?

Of op de camping: waar zet je het toiletgebouw neer zodat niemand te veel moet lopen? En waar maak je het speeltuintje voor de kleine kinderen?
Zie de plattegrond van de camping hiernaast: als je een nieuw chloor-zwembad wilt maken, ver genoeg van beide stranden en op gelijke afstand tot beide stranden, waar moet je die dan maken?

 

 

 

Ook tuinontwerpers hebben ermee te maken: waar plaats je de sproeiers om het volledige grasveld en bloemenperken te bespuiten?

Zie hieronder een eenvoudig tuinontwerpje met het online programma my-garden. Je ontwerpt een tuin (linker figuur) en je kunt automatisch of met de hand de plaats, draaihoek en reikwijdte van de sproeiers aangeven (rechter figuur).

Probeer zelf maar even en maak bijvoorbeeld jullie eigen tuin: my-garden.

 

In de eindopdracht ga je beveiligingscamera's plaatsen in een museum. Beveiligingscamera's zijn duur, dus je moet zo min mogelijk camera's plaatsen, waarmee je toch alle kunstvoorwerpen in het museum kan beveiligen.

Wat kan ik al?

Je kan al (met een passer) cirkels tekenen om alle punten te tekenen met een vaste afstand tot een punt.

Je kunt deze cirkels ook gebruiken om vraagstukken mee op te lossen.

Je krijgt nu eerst drie opgaven om je geheugen weer een beetje op te frissen.

Wat kan ik straks?

Aan het einde van dit thema kan ik:

  • Nauwkeurig de gebieden tekenen die op een bepaalde afstand liggen van punten, lijnen of vormen;
  • De gebieden tekenen die op gelijke afstand liggen ten opzichte van twee punten of lijnen;
  • Gebieden opdelen in stukken die even ver, dichterbij of verderweg liggen;
  • Een cirkel tekenen die precies om een driehoek past, of juist de grootste cirkel tekenen die in een driehoek past;
  • Bij al deze bovenstaande tekeningen kun je daarbij loodlijnen, middelloodlijnen, deellijnen (of bissectrices) en evenwijdigheid gebruiken;
  • uitleggen waarom de tekening juist is.

Wat ga ik doen?

Het thema 'Afstanden' bestaat uit de volgende onderdelen:

 

Onderdeel Tijd (lesuren)
Inleiding 0,5
Paragraaf 1: Lijn, lijnstuk, en halve lijn; 0,5
Paragraaf 2: Loodlijn en middelloodlijn; 0,5
Paragraaf 3: Deellijn van een hoek; 1
Paragraaf 4: Even ver, dichterbij, verderweg; 1
Paragraaf 5: Cirkels en driehoeken. 1
Afsluiting  
Samenvatting (goed doornemen) 0,25
Diagnostische toets 0,75
Extra opgaven (keuze) 0,5
Eindopdracht 1,5
Totaal 7,5

 

Gewone opgaven en Super opgaven

Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker.
Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.

Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.

In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.

De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.

 

Paragrafen

In dit thema leer je te redeneren met afstanden.

In de volgende paragrafen leer je stap voor stap stukjes wiskundige theorie die daarvoor nodig is. Je zult ook veel moeten tekenen, dus pak je passer en geodriehoek er maar vast bij!

Paragraaf 1

Lijn, lijnstuk en halve lijn
Paragraaf 2

Loodlijn en middelloodlijn
Paragraaf 3

Deellijn van een hoek
Paragraaf 4

Even ver, dichterbij, verder weg
Paragraaf 5

Cirkels en driehoeken

Afsluiting

Samenvatting

Afstand

Met afstand bedoelen we de lengte van de kortste verbinding. De afstand van twee punten \(A\) en \(B\) is de lengte van lijnstuk \(AB\).

De afstand van een lijn \(k\) tot een punt \(P\) buiten die lijn, is de lengte van het loodrechte verbindingslijn vanuit dat punt op die lijn.

 

Lijn, lijnstuk en halve lijn

Lijn \(AB\) heeft geen grenspunten, loopt dus en links van \(A\) en rechts van \(B\) gewoon door.

 

Lijnstuk \(AB\) heeft grenspunten \(A\) en \(B\). Alleen \(A\) en \(B\) en de punten tussen \(A\) en \(B\) behoren tot het lijnstuk \(AB\).

 

Een halve lijn heeft één grenspunt, loopt dus aan één kant van het grenspunt onbeperkt door.

 

Middelloodlijn

De middelloodlijn van lijnstuk \(PQ\) gaat door het midden van \(PQ\) en staat loodrecht op lijn \(PQ\).

Elk punt dat op de middelloodlijn van lijnstuk \(PQ\) ligt, ligt even ver van punt \(P\) als van punt \(Q\).

De punten die aan dezelfde kant van de middelloodlijn als \(P\) liggen, liggen dichter bij \(P\). De punten die aan de andere kant van de middelloodlijn liggen, liggen dichter bij \(Q\).
 

Deellijn

De deellijn van een hoek deelt een hoek in twee even grote hoeken. Alle punten, die op de deellijn liggen, liggen even ver van de benen van een hoek af.

 

 

 

Omgeschreven cirkel

De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. Dit punt ligt even ver van de hoekpunten van de driehoek en is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

 

 

 

 

 

Ingeschreven cirkel

De drie deellijnen van de hoeken van een driehoek gaan door één punt. Dit punt ligt even ver van de drie zijden van de driehoek en is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Als je de cirkel wilt tekenen, moet je eerst de straal vinden. Laat vanuit het middelpunt een loodlijn neer op één van de zijden, dan is dat de straal.

 

 

 

Middelpunt van de cirkel bepalen

Teken een driehoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. De cirkel is dan de omgeschreven cirkel van deze driehoek. Het middelpunt van de cirkel is dus het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek.

Eindopdracht

In deze opdracht ga je een beveiligingssysteem voor een museum ontwerpen.

Eindopdracht  Beveiligen is ook een kunst

 

 

D-toets

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema 'hoeken' voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

Extra opgaven basis

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra opgaven plus

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Terugblik

  • Het arrangement Thema 10 Afstanden - havo/vwo1 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2025-08-06 15:30:05
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Het thema 'Afstanden' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. Dit is thema ’Afstanden'. De volgende onderdelen worden behandeld: nauwkeurig de gebieden tekenen die op een bepaalde afstand liggen van punten, lijnen of vormen, de gebieden tekenen die op gelijke afstand liggen ten opzichte van twee punten of lijnen, gebieden opdelen in stukken die even ver, dichterbij of verder weg liggen, een cirkel tekenen die precies om een driehoek past, of juist de grootste cirkel tekenen die in een driehoek past, bij al deze bovenstaande tekeningen kun je daarbij loodlijnen, middelloodlijnen, deellijnen (of bissectrices) en evenwijdigheid gebruiken en uitleggen waarom de tekening juist is.
    Leerniveau
    HAVO 1; VWO 1;
    Leerinhoud en doelen
    Lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud; Redeneren in de (vlakke) meetkunde; Hoeken;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    7 uur 30 minuten
    Trefwoorden
    afstanden, arrangeerbaar, cirkel, deellijnen, driehoek, gebieden tekenen, havo/vwo 1, loodlijnen, stercollectie, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Afstanden

    Afstanden

    Afstanden

    Afstanden

    Afstanden

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van