In dit thema leer je tellen.
"Maar dat kan ik toch al?", hoor ik je denken: 1, 2, 3, 4, ....
Dat is natuurlijk zo, maar in dit thema leer je hoe je ingewikkelde dingen kunt tellen, zoals het aantal lijntjes in de figuur hiernaast. Je kunt ze natuurlijk gewoon allemaal één voor één tellen, maar hoeveel zijn het er als de figuur nog een beetje ingewikkelder wordt?
Je leert hoe je dat dan aan kan pakken.
Daarbij moet je vaak ook regelmaat ontdekken en leer je om deze regelmaat te vertalen in een formule.
Tenslotte leer je een bijzondere klasse van getallen kennen: de priemgetallen. En wat kun je ermee?
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kan je:
Je kunt bij situaties in het dagelijks leven uitrekenen hoeveel 'dingen' er zijn of op hoeveel manieren iets kan
Je kan het aantal manieren vinden door rijtjes systematisch uit te schrijven
Je kan een schema, diagram of rooster gebruiken om het aantal manieren te tellen van een probleem
Je kunt een regelmaat herkennen en hier ook een formule bij maken
Je leert wat veelvouden, delers en priemgetallen zijn en kunt hier berekeningen mee uitvoeren
Wat kan ik al?
Je kan al goed rekenen en regelmaat in rijtjes getallen ontdekken.
Dat ga je hier toch nog even oefenen.
Het thema 'Tellen' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (u:min)
Inleiding
0:25
§ Tellen en formules
1:15
§ Tellen en wegendiagrammen
1:40
§ Wedstrijden tellen
1:15
§ Veelvouden en delers
1:40
§ Gemengde opgaven
2:05
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0:10
Diagnostische toets
0:50
Extra opgaven (keuze)
0:50
Thema-opdracht (keuze)
2:00
Totaal
±12:00
Gewone opgaven en Super opgaven
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super-variant beschikbaar.
Die Super-variant is wel wat moeilijker. Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken. (Als je de gewone opgaven eenvoudig vindt, kun je ook de Super-opgaven proberen!)
Je herkent de opgaven waar een Super-variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super-variant.
In de Super-variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.
De Super-opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.
Paragrafen
In dit thema leer je tellen: je leert in soms ingewikkelde situaties het aantal manieren te tellen waarop iets kan. Daarbij zul je de regelmaat moeten herkennen en deze vertalen in formules. Ook leer je wat priemgetallen zijn.
In de volgende paragrafen leer je stap voor stap een aanpak van problemen die je de komende jaren nog vaak nodig zult hebben.
We bekijken alle gehele getallen tot en met \(22\) te beginnen bij \(5\), dus \(5, 6, 7, …, 21, 22.\)
Het aantal getallen in dit rijtje is \(22−4=18.\)
Wedstrijden tellen
Het aantal witte hokjes in het vierkant is precies het aantal wedstrijden in een hele competitie van zeven clubs.
Er worden \(7×7−7\) (je kunt ook zeggen \(7 \times 6\)), dus \(42\) wedstrijden in die competitie gespeeld.
Je hebt evenveel wedstrijden in een halve competitie van zeven clubs als verbindingslijntjes tussen zeven punten.
Dat aantal is \(\frac12×7×6=21.\)
Formules
huisnummer
\(17\)
\(18\)
\(19\)
klantnummer
\(1\)
\(2\)
\(3\)
Er is een verband tussen huisnummer en klantnummer:
huisnummer \(=\) klantnummer \(+\ 16\)
klantnummer \(=\)huisnummer\(-\ 16\)
Als je huisnummer afkort met \(h\) en klantnummer met \(k\), dan kun je het verband met de volgende beschrijven:
\(h = k + 16\) of \(k = h - 16\) of \(h-k=16\).
Wegendiagrammen
Er zijn \(4×3=12\) wandelingen van \(K\) naar \(M\) via \(L\) en \(2\) wandelingen niet via \(L\), in totaal: \(4×3+2=14\) wandelingen.
Tellen gaat eenvoudiger als je een verband kunt leggen met wandelingen in een wegendiagram.
Bekijk maar eens het volgende probleem.
Je mag in elk van de vier hokjes één van de cijfers \(1\), \(2\) of \(3\) zetten.
Je kunt hier een wegendiagram bij maken.
Je hebt evenveel mogelijkheden als routes van \(A\) via \(B\), \(C\) en \(D\) naar \(E\).
Er zijn dus \(3×3×3×3=81\) mogelijkheden.
Als je in naast elkaar liggende hokjes niet hetzelfde cijfer mag zetten, beperk je het aantal mogelijke wandelingen. Dan zijn er nog maar \(3×2×2×2=24\) mogelijkheden.
Veelvouden en delers
De veelvouden van \(4 \) zijn: \(0, 4, 8, 12, 16, …\)
De getallen die veelvoud van \(4 \) zijn, noemen we deelbaar door \(4 \).
\(4 \) is een deler van \(20\), want \(20\)\(:\)\(4 \) is een geheel getal,
\(4 \) is géén deler van \(13\), want \(13\)\(:\)\(4 \) is geen geheel getal.;
De delers van \(100 \) zijn: \(1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50\) en \(100 \).
KGV\((12,16)\) is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van \(12\) en \(16\).
KGV\((12,16)\)\(=\)\(48\), want
de veelvouden van \(12\) zijn: \(12, 24, 36, \underline{48}, 60, 72, ...\)
de veelvouden van \(16\) zijn: \(16, 32, \underline{48}, 64, 80, 96, ...\)
GGD\((12,16) \) is de grootste gemeenschappelijke deler van \(12\) en \(16\).
GGD\((12,16) \)\(=\)\(4 \), want
de delers van \(12\) zijn: \(1, 2, 3, \underline{4}, 6, 12\);
de delers van \(16\) zijn: \(1, 2, \underline{4}, 8, 16\).
Priemgetallen
Priemgetallen zijn getallen die precies twee delers hebben.
Zo zijn \(2, 23\) en \(41 \) voorbeelden van priemgetallen.
Maar \(1, 12\) en \(123 \) zijn geen voorbeelden van priemgetallen.
Thema-opdracht
Je hebt vast weleens een speelschema zien hangen tijdens een sportdag of een toernooi van je team.
Het is nu aan jullie beurt om zo’n schema te maken!
Het arrangement Thema: Tellen - hv is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Het thema 'Tellen' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Stercollectie Wiskunde 2.0 HV op basis van Wageningse Methode
In dit thema leer je tellen.
Aan het einde van dit thema kan je:
Je kan al goed rekenen en regelmaat in rijtjes getallen ontdekken.
Het thema 'Tellen' bestaat uit de volgende onderdelen:
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super-variant beschikbaar.
In dit thema leer je tellen: je leert in soms ingewikkelde situaties het aantal manieren te tellen waarop iets kan. Daarbij zul je de regelmaat moeten herkennen en deze vertalen in formules. Ook leer je wat priemgetallen zijn.
et aantal witte hokjes in het vierkant is precies het aantal wedstrijden in een hele competitie van zeven clubs.
zijn 
Je mag in elk van de vier hokjes één van de cijfers 
Je hebt evenveel mogelijkheden als routes van 
Je hebt vast weleens een speelschema zien hangen tijdens een sportdag of een toernooi van je team.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
