De stelling van pythagoras is één van de bekendste stellingen uit de wiskunde, want het wordt overal wel voor gebruikt. Maar wie is Pythagoras eigenlijk?
Pythagoras
Pythagoras is een filosoof en wiskundige die ongeveer 2500 jaar geleden leefde in Griekenland. Hij heeft de stelling niet bedacht, maar hij was wel de eerste die de stelling heeft bewezen en in een formulevorm heeft geschreven. Dus de stelling a2 + b2 = c2 heeft hij bedacht, terwijl ze voordat hij de stelling had bedacht het altijd gebruikten met behulp van verhoudingen. Dus als je een driehoek met de rechthoekszijden lengtes a = 3... en b = 4... was de schuinezijde c 5... lang.
Let er op, in sommige boeken staat de schuine zijde gegeven als de lange zijde.
Verschillende soorten driehoeken
Tijdens jouw wiskunde lessen heb je al driehoeken gezien. In de wiskunde kennen we verschillende soorten driehoeken, waarvan drie soorten een naam hebben. Je hebt gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken en rechthoekige driehoeken. Wat waren die 3 driehoeken ook alweer? We nemen ze ff'tjes door.
Gelijkbenige Driehoek
Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met 2 gelijke zijden en 2 even grote hoeken.
In de gelijkbenige driehoek ABC zie je dat de zijde AC en AB evenlang zijn, omdat dat is aangegeven met de dubbele lijntjes die staan op de zijden.
Gelijkzijdige driehoek
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden evenlang zijn en/of alle hoeken evengroot zijn. Dus alle hoeken zijn 60º graden, want in een driehoek is de som van alle hoeken samen 180º graden en er zijn drie hoeken. Dus de berekening die je krijgt is:
180º : 3 = 60º.
Dus elke hoek is 60º graden.
Rechthoekige driehoek
Rechthoekige driehoeken
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waar twee zijden elkaar snijden in een rechte hoek. Een rechte hoek heb je als 2 zijden elkaar snijden in een hoek van 90º graden. De hoek van 90º graden wordt aangegeven door een blokje in de hoek.
Let op!!!
Een rechthoekige driehoek kan ook een gelijkbenige driehoek zijn, maar een gelijkzijdige driehoek kan geen rechthoekige driehoek zijn.
VMBO
Uitleg
Berekenen van de lange zijde
De stelling van Pythagoras vertelt ons dat het kwadraat van de 2 rechthoekszijden bij elkaar opgeteld, even groot is als het kwadraat van de schuine zijde. Dat betekent dus als je een rechthoekige driehoek hebt, waarvan je de lengte van een zijde niet weet. Het altijd kan uitrekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.
Een voorbeeld:
We gebruiken driehoek ABC.
Zijden AB en BC zijn de rechthoekszijden en zijde AC is de schuine zijde. De lengte van zijde AB = 6 en BC = 8.
Hoelang is zijde AC?
Waar moet je opletten bij de stelling van Pythagoras?
1. Jij hebt een rechthoekige driehoek nodig
2. Jij moet goed kijken welke 2 lengtes van de zijdes je al hebt
3. Alle gegevens zetten we in een tabel onder elkaar.
Maar dat heeft regels. Aan de linkerkant van de tabel schrijf je in de eerste rij Zijde op. Daaronder zet jij nu de naam en de lengte van de zijden op. Eerst schrijf je de rechthoekzijden op en eronder de schuine zijde. Als je het goed invult, krijg je hetzelfde als in de tabel hieronder.
Zijde
Kwadraat
AB = 6
BC = 8
AC = ?
Nu gaan we de rechterkant invullen en daar schrijf je bovenaan in de eerstrij Kwadraat op.
Hoe moest je nou ook al weer kwadrateren? Kwadrateren is een getal keer hetzelfde getal. Dus je gaat het getal vermenigvuldigen met zichzelf.
Even een voorbeeld: 52 = 5 x 5 = 25. Dus het kwadraat van 5 is 25. Nou hoeveel is het kwadraat van 7 dan?
... Denk erover na...
Precies, het kwadraat van 7 is 49, want 7 x 7 = 49
Nu vul je in de rechterrij de kwadraten van de zijden in. Dan ziet je tabel er nu zo uit.
Zijde
Kwadraat
AB = 6
36
BC = 8
64
AC = ?
Om AC te weten moeten we nu de kwadraten bij elkaar optellen:
36 + 64 = 100
Gaan we het antwoord invullen in onze tabel.
Zijde
Kwadraat
AB = 6
36
BC = 8
64
AC = ?
100
Om terug te rekenen van het kwadraat moeten we wortel gaan trekken, dus op je rekenmachine heb je \(\sqrt{}\) nodig.
? = \(\sqrt{}\) 100 = 10
Dus de lengte van je zijde AC is dus 10.
Wat nou als je de schuine zijde wel weet en een rechthoekzijde niet?
We gebruiken nu een andere rechthoekige driehoek. Nu hebben we driehoek DEF met rechthoek zijde DE = 6 en schuine zijde DF = 10.
Als eerst kijken we welke zijden we al weten. We weten zijden AB en AC al. Nu gaan we die invullen in de tabel. Nu mag je wel alvast meer informatie opschrijven in jouw tabel.
Zijde
Kwadraat
DE = 6
EF = ?
DF = 10
Als je het goed ingevuld hebt, kan je nu de kwadraten invullen.
Zijde
Kwadraat
DE = 6
36
EF = ?
DF = 10
100
We moeten zijde EF uitrekenen. Maar wat weten we over zijde EF? Zijde EF is een rechthoekzijde, dus moeten we eigenlijk de kwadraten van DE en EF bij elkaar optellen om het kwadraat van DF te krijgen. Maar omdat we EF niet weten, gaan we de tabel omdraaien.
Zijde
Kwadraat
DF = 10
100
EF = ?
DE = 6
36
EF is dus DF2 - DE2. Dan krijg je de som 100 - 36 = 64
EF2 = 64
EF = \(\sqrt{}\)64 = 8
De lengte van EF is 8
Nu moet het wel lukken met de opgaves, zo niet kijk je terug naar wat we hebben gedaan stap voor stap.
Veel succes.
Oefenopgaves
Havo/VWO
Theorie
Stelling van Pythagoras
De Stelling van Pythagoras gaat als volgt: a2 + b2 = c2
a is een rechthoekszijde.
Driehoek ABC
b is een rechthoekszijde.
c is de schuine zijde
Dus als je driehoek ABC hebt, zoals op de afbeelding, zie je dat AC = b en BC = a de rechthoekzijde zijn. Zijde AB is de schuine zijde, dus AB = c
Let op! Dit kan per driehoek verschillen
Nu weten wat waar in de stelling hoort, maar hoe ga je de stelling oplossen.
Laten we aannemen dat AC = 9 en BC = 12. Hoelang is zijde AB dan?
Dat gaan we nu stap voor stap samen doornemen.
Stap 1 Invullen
Ga alle gegevens in de stelling invullen.
AC =b en BC = a, dus dan krijg je 122 + 92 = AB2
Stap 2 Uitrekenen
Reken alle kwadraten uit en tel ze bij elkaar op.
122 = 144
92 = 81
144 + 81 = 225
Dus 225 = AB2
Stap 3 Worteltrekken
Om AB uit te rekenen moeten je de wortel van 225 uitrekenen (je mag een rekenmachine gebruiken) en dan heb je het antwoord.
Dus \(\sqrt{}\)225 = 15
AB = 15
Wat nou als je nu de schuine zijde weet, maar je weet een rechthoekszijde niet?
Dan volg je alle stappen weer op, maar bij stap 2 tijdens het uitrekenen letten we goed op.
Want als we nu hetzelfde voorbeeld nemen, maar nu weten we de zijde AB = 15 en AC = 9.
Stap 1 Invullen
92 + BC2 = 152
Stap 2 Uitrekenen
81 + BC2 = 225
BC2 = 225 - 81
BC2 = 144
Stap 3 Worteltrekken
BC = \(\sqrt{}\)144 = 12
BC = 12
Is niet zo moeilijk, hé? Nu veel succes met de opgaves en daarna wanneer je denkt genoeg geoefend te hebben kan je de toets maken.
Het arrangement De Stelling van Pythagoras is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Recep Gurbuz
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2018-06-22 16:20:09
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Stelsel vergelijkingen;
Vaktaal hoeken en symbolen;
Negatieve getallen;
Informatieverwerking en onzekerheid;
Verbanden en formules;
Verhoudingen;
Kwadratische verbanden;
Breuken en decimale getallen - schrijfwijze;
Vaktaal meetkundige figuren en symbolen;
Functioneel gebruik - rekenmachine;
Dataverwerking;
Vergelijkingen en ongelijkheden;
Patronen en regelmaat;
Rekenen/wiskunde;
Rekenen in de meetkunde;
Volgorde bewerkingen;
Vormen en figuren;
Vaktaal kwadratisch;
Probleemaanpak;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Hoeken;
Kwadratische vergelijkingen oplossen;
Herkennen en gebruiken wiskunde;
Dataset - grafische weergave;
Breuken en decimale getallen - omzetten;
Getallen en variabelen;
Meten en meetkunde;
Getallen, getalsystemen en -relaties;
Vlakke en ruimtelijke figuren herkennen;
Inzicht en handelen;
Verbanden leggen;
Rekenen met getallen;
