Fibonacci
Fibonacci 1170 - 1250
Leonardo van Pisa, alias "Fibonacci". Zijn vader was handelsreiziger, en zo krijgt Leonardo zijn opleiding in Noord-Afrika. Zij waren weer familie van de familie Bonacci waar zijn "bijnaam" vandaan komt. Een bewijs dat hij deze naam voor zich zelf gebruikte is er echter niet. Op reis in Noord-Afrika leert hij veel van de Arabische wiskunde. Hij boeken met wiskundige kennis welke meteen toepasbaar was, dit maakte hem populair.
In zijn eerste boek Liber Abaci - Boek van berekeningen (1202 en herzien in 1228), beschreef hij het Hindoe-Arabische systeem: negen cijfers, "nul" en het positiestelsel. Vervolgens geeft hij beschouwing van praktische problemen. Ook het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen en meetkundige verklaring voor oplossen van kwadratische vergelijking komen aan bod.
In een ander boek van zijn hand Liber Quadratum (1225) - Boek over kwadraten, beschrijft hij hoe verschillende soorten vergelijkingen en kwadraten opgelost dienen te worden op voorwaarde van gehele getallen als oplossing: zoektocht naar Pyhtagoreïsche drietallen als 32 +42 = 52 Ook loopt hij in het boek vooruit op en wijst in de richting van de werken van Fermat en Euler, ruim 400 jaar later.
Leonardo wordt algemeen beschouwd als de eerste westerse wiskundige die eigen werk publiceerde na de Griekse oudheid.
Het konijnenprobleem
Na de vele reizen in Noord-Afrika Leonardo weer terug in Pisa. Leonardo begon konijnen te fokken. Hij begon met twee konijnen, maar al snel had hij er drie. Na het bestuderen van het vermenigvuldigen van deze dieren kwam hij tot een reeks van konijnenparen in de populatie. Fibonacci gebruikte hiervoor de volgende regels:
- we starten zonder konijnenparen en in de eerste maand hebben we één jong paar
- een paar is volwassen vanaf de tweede maand
- een volwassen paar krijgt elke maand één nieuw paar nakomelingen
- de konijnen sterven niet
Het aantal aanwezige konijnenparen in een maand groeit dan precies volgens: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, .... Deze getallenrij heet de rij van Fibonacci en wordt ook wel de konijnenreeks genoemd.
Reeks van Fibonacci
Één van de opgaven in het boek "Liber Abaci", dat Leonardo schreef ging over de getallenrij 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,.. Deze rij zijn we zojuist tegengekomen bij het fokken van konijnen. Leonardo gebruikte de rij puur als illustratieve rekenoefening. De rij blijkt veel onverwachte eigenschappen te hebben. Zo geldt bijvoorbeeld dat als twee opeenvolgende getallen uit de rij bij elkaar opgeteld worden, dat je dan het volgende getal uit de rij krijgt. Enkele andere eigenschappen worden in de toets aan het einde van deze les behandeld besproken.
Gerelateerd domein in de wiskunde
Vlakke meetkunde: Gulden snede
Johannes Kepler, een Duitse astronoom en wiskundige, gaf voor het eerst in de geschiedenis een goede beschrijving van de beweging van de planeten. Rond 1600 ontdekte hij twee eigenschappen van de rij van Fibonacci. Waarschijnlijk zag hij als eerste het verband tussen de rij van Fibonacci en de gulden snede: het quotiënt van twee opvolgende getallen in de rij van Fibonacci komt steeds dichter bij de gulden snede verhouding te liggen. Later zijn veel meer verbanden gevonden tussen de rij van Fibonacci en de gulden snede, onder andere een directe formule voor de rij, waarin de gulden snede verhouding ook een belangrijke rol speelt. De Gulden snede ga je onderzoeken en verwoorden in de laatste opgave bij deze les.
Opgaven
Oefening: Opgaven reeks van Fibonacci
Start
