Keuzedeel mbo Fysica (K0679)

Keuzedeel 'Fysica geschikt voor niveau 3'

Relevantie van het keuzedeel
Op de arbeidsmarkt is behoefte aan medewerkers met kennis en vaardigheden op het gebied van fysica. Ook voor doorstroom
naar niveau 4 hebben deze kennis en vaardigheden toegevoegde waarde. Beginnend beroepsbeoefenaars die dit keuzedeel hebben
gevolgd, zijn daarom kansrijker op de arbeidsmarkt. Bovendien verloopt de doorstroom naar niveau 4-kwalificaties soepeler voor
studenten die dit keuzedeel hebben gevolgd.

Beschrijving van het keuzedeel
Dit keuzedeel is gericht op kennis van de fysica (natuurkunde, mechanica, wiskunde). De inhoud heeft betrekking op de algemene
eigenschappen van materie, straling en energie. Het gaat om het onderzoeken en beschrijven van onderwerpen zoals kracht,
evenwicht en beweging, arbeid en vermogen voor zover hierbij geen scheikundige veranderingen optreden. Daarnaast zijn
wiskundige bewerkingen als het oplossen van vergelijkingen met twee onbekenden, merkwaardige producten en meetkunde
onlosmakelijk verbonden aan dit keuzedeel. Het keuzedeel sluit aan op het keuzedeel Fysica niveau 2.
De vakkennis en vaardigheden vormen een voorbereiding op doorstroom naar de werktuig(bouw)-kundige richtingen op niveau 4.

Branchevereisten

Aard van keuzedeel

Doorstroom
Verdiepend

uitwerking

Complexiteit
De beginnend beroepsbeoefenaar werkt volgens standaard en niet-standaard werkwijzen. Om vakkennis en vaardigheden op
gebied van fysica te kunnen toepassen, moet de beginnend beroepsbeoefenaar op een hoger abstractieniveau kunnen denken.
Factoren die de complexiteit mede bepalen zijn het soort materiaal en het type bewerking. Ook is de complexiteit afhankelijk van
het product zelf, de vorm en afmetingen.

Verantwoordelijkheid en zelfstandigheid
De beginnend beroepsbeoefenaar werkt zelfstandig en is verantwoordelijk voor de kwaliteit van zijn eigen werk. Eventueel
begeleidt hij minder ervaren collega's. Hij is verantwoordelijk voor zijn eigen veiligheid en is verplicht de voorgeschreven
veiligheidsmiddelen te gebruiken.

Vakkennis en vaardigheden
De beginnend beroepsbeoefenaar:

heeft kennis van wiskundige bewerkingen
heeft kennis van meetkundige bewerkingen
heeft kennis van krachtenleer
heeft kennis van bewegingsleer
heeft kennis van sterkteleer
heeft kennis van energieleer
heeft kennis van hydrostatica
heeft kennis van elektriciteitsleer

positionering

Het doel van dit keuzedeel is om een betere aansluiting te geven op de doorstroom naar een niveau 4 technische opleiding.
Een logisch vervolg op dit keuzedeel is 'Voorbereiding Wiskunde HBO voor de techniek' (K0205).

Om dit keuzedeel goed te kunnen volgen is een minimale instroom vanuit het vMBO op TL niveau noodzakelijk. Hiermee is ook veronderstelt dat het niveau van het keuzedeel 'Fysica geschikt voor niveau 2' (K0678) of een vmbo basis of kader diploma behaald is.

weblinks

Voor meer informatie bezoek de volgende websites:

Keuzedeel

Stichting Beroepsonderwijs Bedrijfsleven

Exameninstrument MBO

Wiskunde

vergelijkingen met 2 onbekenden

In de Wiskunde lessen van het voortgezet onderwijs zijn vergelijkingen behandeld. In het begin waren dit lineaire vergelijkingen en later werden dit kwadratische vergelijkingen. Deze laatste komen in de volgende paragraaf aan de orde en we gaan ons nu beperken tot de lineaire vergelijkingen.

In het plaatje hierboven is een plaatje van een lineaire vergelijking te zien. En we zien hier een lijn. Maar soms is het hebben van een plaatje niet handig. Zeker niet wanneer je verder moet rekenen. Een plaatje kan bijvoorbeeld wel een uitkomst zijn wanneer je snel een schatting bij een bepaalde waarde wilt hebben. Je kunt dan snel even kijken.
In het plaatje zien we een assenstelsel. Op de horizontale as (liggend) staat normaal de X-waarde en de Y-waarde staat dan op de verticale as (staand). Deze X-waarde is variabel en kan jezelf kiezen en de Y-waarde is de uitkomst van de vergelijking. Dat lijkt moeilijk maar wanneer we naar het plaatje kijken dan zien we dat bij X=0 een Y-waarde hoort van -4. Ook zien we dat bij X=3 een Y-aarde van 0 hoort. En door de punten (0,-4) en (3,0) is een rechte lijn getekend, we hebben hier dus een uitwerking vn een lineaire vergelijking. De bijbehorende vergelijking is 4/3 X - 4 = Y.

Maar met een enkelvoudige lijn is er weinig te vergelijken. Daarvoor heb je immers minimaal 2 vergelijkingen nodig.

In de afbeelding links zien we een twee lijnen die een snijpunt hebben. De vergelijkingen van de lijnen zijn x+2y=5 en 2x+y=4. Dit niet helemaal in de standaardvorm geschreven, maar wanneer we dat wel doen zien we -1/2x+5/2=y en -x+2=y. Beide notaties geven dezelfde gafiek zoals we links zien.
In deze grafiek kunnen we ook eenvoudig zien dat het snijpunt ligt op het punt (1,2). Maar kunnen we dit ook berekenen. Het antwoord is ja en wel met behulp van 2 verschillende methoden.

De eliminatiemethode.

Door een handige combinatie van twee vegelijkingen elimineer je (werk je weg) één van de variabelen, een X of een Y. Bijvoorbeeld onze 2 uit het voorbeeld:

x+2y=5	\|*2\|	=>	2x+4y=10
2x+y=4	\|*1\|	=>	2x+y=4
			------------- --
			3y=6 => y=2

Deze Y-waarde kun je invullen in één van de vergeijkingen. Je krijgt dan x+2*2=5 => x=1. Het snijpunt is dus het punt (1,2).

In het volgende voorbeeld staan de vergelijkingen in de standaardvorm. Maar de oplossingsmethode blijft wel gelijk.

Invullen van x geeft y = 6, dus het snijpunt van de twee lijnen is (1/2, 6)

Als beide vergelijkingen niet in de standaardvorm staan, dan kunnen we ze in de standaardvorm schrijven,
maar we kunnen het ook als volgt doen.

Invullen van x = 3 in één van de twee vergelijkingen geeft y = 2. Snijpunt (3,2).

De substitutiemethode.

Je maakt x vrij uit de ene vergelijking: x+2y=5 <=> x=5-2y. In de andere vergeijking vervang je de x door 5-2y en je berekent y. Dus 2(5-2y)+y=4 <=> 10-4y+y=4 <=> -3y=4-10 <=> -3y=-6 <=> y=2.
Nu vul je deze waarde voor y in in een andere vergelijking en je vindt een waar de x, dus x+2y=5 <=> x+2*2=5 <=> x+4=5 <=> x=5-4 <=> x=1. En daarmee hebben we dus weer hetzelfde snijpunt (1,2) gevonden.

Wanneer we het derde voorbeeld ook via substitutie oplossen krijgen we de volgende oplossing:

3x=2y+5 en 2x+y=8 we gebruiken de tweede vergelijking en halen hier een waarde voor y uit: 2x+y=8 <=> y=8-2x.
Dit vullen we in in de eerste vergelijking en er ontstaat: 3x=2y+5 => 3x=2(8-2x)+5 <=> 3x=16-4x+5 <=> 3x=21-4x <=> 7x=21 <=> x=3. En vullen we deze X-waarde weer in in een vergelijking geeft dat een Y-waarde van 2, waarmee het snijpunt op (3,2) zit.

Let op!

Er zijn ook combinaties van vergelijkingen die geen oplossing hebben of juist heel veel oplossingen.

x+y=2
x+y=1
--------- -
0=1

Hier is geen oplossing mogelijk.
De twee lijnen zijn evenwijdig.
Er is geen snijpunt.

2x-y=1
2x-y=1
--------- -
0=0

Hier zijn oneindig veel oplossingen
De twee lijnen vallen samen.
Ieder punt van de lijn is een
oplossing

Maak nu de opgaven.

--} opgaven

kwadratische vergelijking 1

Een kwadratische vergelijking, 'Wat moet ik er mee!'. Een veel gehoorde kreet en wanneer we zoeken op het internet dan vliegen ons de uitwerkingen om de oren. Maar het nut er van?
Stel je wilt weten wat de snelheid is van Max Verstappen bij de eerste bocht na de start in Monaco? Of wanneer de politieagent wil weten wat de snelheid van de auto was na het meten van een remspoor? Voor de eerste kunnen we volstaan met een de formule en enkele meetwaarde:

versnelling = het verschil in snelheden / het verschil in tijd

En met deze moeilijk uitziende formule kunnen we dan een kwadratische vergelijking opzetten. We kunnen er ook mee bewijzen hoe de eenheden ontstaan en waarom er een kwadraat in de tijd bij een versnelling zit.

Factoren en Dubbelproduct

Een kwadraat is een vermenigvuldiging van twee getallen, 1x3, 5x8 of 2x2. En alleen wanneer het linker en het rechter getal gelijk zijn noemen we dit ook wel een kwadraat.
Maar in de vorige paragraaf hebben we geleerd dat een getal ook een uitkomst kan zijn van een lineaire vergelijking. Bijvoorbeeld x+4=y en wanneer we dan x=-2 invullen krijgen we als antwoord een 2. Nu weten we dat we 2x2 ook mogen schrijven als 2² en dat daar 4 uit komt. Wanneer we nu nog een stapje verder gaan en dan de 2 gaan vervangen door x+4 mogen we dan ook schrijven (x+4)²?
Het antwoord is ja, mits we voor de x een -2 invullen! En dit gaan we uit werken.

Van (x+4)² weten we dat er 4 uitkomt dus (x+4)²=4 kunnen we ook herschrijven naar (x+4)*(x+4)=4.
En hiermee zien we dat het kwadraat bestaat uit twee factoren, een linker en een rechter, die eigenlijk ook nog een kleine lineaire vergelijking zijn. Dat de linker- en de rechterfactor in een kwadratische vergelijking gelijk zijn is niet altijd het geval.

Bij het uitwerken van deze vergelijking ontstaat dan een 'Dubbelproduct'.Om dit te begrijpen zal ik alle stappen laten zien:

(x*x+x*4)+(4*x+4*4)=4 -> ontstaat door de linker 'x' te vermenigvuldigen met de 'x' en de 4 uit de rechter factor.
(x²+4x)+(4x+4²)=4 -> netjes maken voor de volgende stap
x²+4x+4x+16=4
x²+8x+16=4 -> optellen wat je kunt op tellen en nu 4 veranderen in een 0
x²+8x+16-4=0
x²+8x+12=0 -> en dit is de eindstap nadat we het mini sommetje 16-4 hebben verwerkt.

Binnen deze uitwerking is hiermee '8x' dus het dubbelproduct van (x+4)².
Nog even checken wat de uitkomst is wanneer x=-2. De x invullen geeft (-2)²+8*(-2)+12=0 => 4-16+12=0 => 0=0. Dus het klopt nog steeds en we kunnen zeggen dat: Als x=-2 dan is (x+4)²=4.

Tweedegraadsvergelijking factoren zoeken en nul stellen

x²=3-2x is een tweedegraadsvergelijking die afhankelijk is van x. Het kwadraat van de x² is hierbij verantwoordelijk voor de naam. Om deze op te lossen moeten we eerst alles aan de linkerkant van de '=' zetten zodat er hier alleen maar een '0' overblijft. Dus x²=3-2x <=> x²+2x-3=0 <=> (x+3)*(x-1)=0.
Omdat het product van twee factoren alleen maar 0 kan zijn wanneer één van de factoren nul is kunnen we nu zoeken wanneer x+3=0 en x-1=0. Bij x=-3 krijgen we dan het sommetje (-3+3)*(x-1)=0 => 0*(x-1)=0 => 0=0. En bij x=1 krijgen we een soort gelijke oplossing. Dus x=-3 en x=1 zijn oplossingen. Hieronder volgen nog meer voorbeelden en zie hier de werkwijze te ontdekken:

Let op!

Niet goed is: x²+4x=0 => x+4=0. Je bent nu de oplossing x=0 kwijt! Wat wel goed is staat in voorbeeld 4.

Maak nu de opgaven.

Maar wat gaat er dan mis in de volgende ontbinding in factoren?

Wat gaat en waar gaat het hier in het voorbeeld links nu mis? Want in de zesde regel staat klink-klare-nonsens!
Maar we hebben ons gehouden aan alle regels van het ontbinden in factoren. Gelijken buiten de haakjes gehaald en gebruik gemaakt van het merkwaardig product. Allemaal ged en aardig maar de uitkomst is fout!

Waar gaat het fout en waarom?

--} opgaven

kwadratische vergelijking 2

De abc-formule kan een heel handig hulpmiddel zijn in het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Soms is het ontbnden in factoren lastig of zelfs helemaal niet mogelijk. Deze ingewikkeld uitzende formule kan dan je 'grootste vriend' zijn.
Zo is het ontbinden in factoren van 2x²+3x-2=0 <=> (2x-1)*(x+2)=0 misschien niet gemakkelijk. Maar nog moeilijker wordt het het x²-5x+1=0. In dit geval geeft de abc-formule je wel een uitkomst. Maar eerst de standaardvorm van een kwadratische vergelijking even uitleggen.

En wanneer we nu met deze drie waarden voor a, b en c de formule gaan invullen krijgen we de volgende uitwerking:

Dit zijn inderdaad lastige getallen te vinden en wanneer we dit dan weer terug zetten in factoren dan zien ook wel waarom: (x+0,21)*(x+4,79)=0.

Het deel onder het wortelteken: b²-4ac wordt in de wiskunde ook wel de discriminant genoemd. Of kortweg D. En de uitkomst van dit simpele rekenmmetje kan je veel werk besparen. Want aan de waarde van D kunnen we zien hoeveel oplossingen de vergelijking heeft.
Als D>0, dan zijn er 2 oplossingen.
Als D=0, dan is er één oplossingen.
Als D<0, dan zijn er geen oplossingen.

Controleren we bijvoorbeeld ons voorbeeld nog eens dan zien we dat 'onze' discriminant hier 4,58 was en daarmee groter dan 0. En dus moesten er 2 oplossingen zijn en die hebben we ook gevonden.

Voorbeelden

Let op!

Zet de vergelijkingen wel altijd in de goede standaarvorm!
Dus 2x-x²+1=5 <=> x²+2x-4=0

Maak nu de opgaven.

--} opgaven

Toetsen Wiskunde

Meetkunde

Martin Kindt begint met een hedendaags verhaaltje (rechts) over een jeep in de woestijn en de zon en de maan om een heel lastig onderwerp binnen de wiskunde uit te leggen. Alhoewel hij veel gestudeerd heeft en vele titels heeft is Martin Kindt altijd bezig geweest om wiskunde zo een voudig mogelijk uit te leggen. En zo dus ook met Goniometrie, of te wel Sinussen, Cosinussen en Tangens. Want hoewel het niet eenvoudig is zijn de voorbeelden en het gebruik heel natuurlijk en altijd om ons heen. Of je nu langs de kant van de weg staat te wachten op je bus, je aan het voetballen bent en via een omtrekkende beweging een mooi schot op het doel plaatst of als ijshockeyer hetzelfde doet maar dan in en cirkel, die sinussen en de cosinussen doen automatisch in je hersenen hun werk wanneer jij het winnende doelpunt schoort.

Goniometrie zit dus 'gewoon' in ons DNA verwerkt als eeuwenlang alleen hebben we dat wellicht nooit helemaal begrepen.

Wanneer we in de wiskunde beginnen met Goniometrie dan starten we altijd met de Tangens. Waarom? Omdat we ons hier iets bij voor kunnen stellen. De Tangens is een verhouding tussen de stijging en de afstand die we daarbij hebben gemaakt. Oftewel ik loop 100 meter vooruit en klim hiermee 10 meter ophoog.
Wanneer we dit uitrekenen krijgen we stijging / afstand, geeft: 10/100=0,10.

Sommige mensen zagen hierin een percentage cijfer want 10% is immers ook 0,10. En wanneer we nu een 'omgekeerde' bewerking uitvoeren krijgen we een hoek in graden van ongeveer 5,7^o.

hoeken 1

Cirkel - 360^o

Voor dat we beginnen met uit te leggen wat hoeken zijn moeten we eerst weten wat Graden zijn. In een ver verleden is er afgesproken dat een hele cirkel bestaat uit 360 graden. Of kort geschreven 360^o. Maar waar komt dat getal van 360 nu vandaan? En daarvoor moeten we heel ver terug...

De Babyloniërs hadden ontdekt dat het pad van de zon tussen de vaste sterren een cirkel was met de aarde als middelpunt, dat is de dierenriem. Zij wisten dat de maan en de planeten ook altijd in de buurt van de dierenriem staan. Zij verdeelden de dierenriem in 360 graden. Men vermoedt dat dat getal gekozen is, omdat men graag wilde dat de beweging van de zon in één dag ongeveer één graad is. Dan moet de hele cirkel dus ongeveer 365 graden zijn, en 360 is een veelvoud van 60 dat hier mooi in de buurt ligt. Omdat de Babyloniërs in het zestigtallig stelsel rekenden, werd elke graad in 60 minuten en elke minuut in 60 seconden verdeeld. Niet alleen de dierenriem naar ook elke andere cirkel kan in 360 gelijke delen verdeeld worden, en zo kun je ook een volledige omwenteling in 360 graden verdelen. Dit idee werd gebruikt voor het verdelen van de tijd. Het hemelgewelf draait namelijk in één dag om de aarde, om een denkbeeldige as door de poolster. Men verdeelde zo’n totale omwenteling (de moderne sterredag) in 360 ‘tijdgraden’, en uiteraard 1 tijdgraad in 60 tijdminuten, enzovoort. 1 ‘tijdgraad’ is dus de tijd die de hemel nodig heeft om 1 graad verder te draaien, en dit komt ongeveer overeen met 4 van onze klokminuten.

Na de verovering van Babylon door Alexander de Grote hebben de Griekse sterrekundigen de verdeling van de cirkel in 360 graden en de verdeling van de dag in 360 tijdgraden overgenomen.

Een andere mooie bijkomstigheid was dat het getal 360, binnen het 60-tallig stelsel van de Babyloniërs, op heel veel manieren te delen is:

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180

Tegenwoordig werken we niet meer met het 60-tallig stelsel maar met een 100-tallig stelsel (metrisch) en zouden we het misschien anders hebben gedaan. Tijdens de Franse Revolutie wilde men dit veranderen: een rechte hoek moest 100 graden zijn en een volledig cirkel 400. Iets wat nog wel in de moderne landmeetkunde wordt gebruikt (bij je rekenmachine te vinden onder de toets GRAD).

Rechte lijn - 180^o

Als we de cirkel door midden snijden dan ontstaat er een rechte lijn. Door midden snijden is dus eigenlijk delen door 2, oftewel $360^o/2=180^o$. Hiermee hebben we dus de definitie van de hoek van een rechte lijn. De benaming hiervoor is een gestrekte hoek.

Rechte hoek - 90^o

Wanneer we de halve cirkel nogmaal door midden snijden onstaan er twee rechte lijnen. Deze twee rechte lijnen snijden elkaar onder een rechte hoek. De cirkel delen we dus twee maal door twee: $360^o/2/2 = 360^o/4=90^o$. Een andere benaming voor deze rechte hoek is haakse hoek.

Scherpe hoek - <90^o

Alle hoeken die kleiner zijn dan 90^o, maar groter dan 0, noemen we een scherpe hoek. Denk aan een mespunt die ook scherp is. Ook herken je in de scherpe hoek het 'kleiner dan'-teken (<). Op een wiskundige manier geschreven 0 < scherpe hoek < 90^o.

Stompe hoek - >90^o

De enige hoeken die nu nog overblijven zijn de stompe hoeken. Dit zijn dus hoeken die groter zijn dan 90^o, maar kleiner dan 180^o. Op een wiskundige manier geschreven 90 < scherpe hoek < 180^o.

Wat bij de scherpe en stompe heken opvalt is dat de 'grenswaarden', 0, 90 en 180, niet meedoen. Maar hiervoor hadden we al andere definities gevonden, namelijk de 'rechte' en 'gestrekte' hoek.

Meten en tekenen van hoeken met geodriehoek

Om hoeken te meten met een geodriehoek, ga je als volgt te werk:

Je legt je geodriehoek op de hoek die je wilt meten
De 0 van de geodriehoek leg je op het hoekpunt en de lange kant van de geodriehoek leg je langs een lijn (been) van de hoek
Lees het aantal graden langs de rand van de geodriehoek af op het punt waar het andere lijn loopt.

Let op: als de driehoek die je wilt opnemen een stuk kleiner is dan je geodriehoek, dan kun je de grootte van de hoek niet goed aflezen. Je moet dan de lijnen van de driehoek doortrekken, zodat je wel goed het aantal graden van de hoeken kunt aflezen.

Met een geodriehoek kun je naast het meten van hoeken ook hoeken tekenen. Je gaat als volgt te werk:

Je tekent een punt en een been van een hoek
De lange kant van de geodriehoek leg je langs het been. De 0 leg je bij het hoekpunt.
Je loopt langs de boog tot het aantal gewenste graden. Daar zet je een stip.
Vervolgens kun je het tweede been tekenen door een lijn te trekken van het hoekpunt naar de stip.

Samengevat:

Cirkel - 360^o
Rechte lijn - 180^o
Rechte hoek - 90^o
Scherpe hoek - <90^o
Stompe hoek - >90^o

tangens

In de wiskunde verwoorden we de Tangens alsvolgt:
In een rechthoekige driehoek bestaat er een verband tussen de grootte van één van de scherpe hoeken en de verhouding van de rechthoekszijden. Die verhouding noemen we de tangens van die hoek.

De tangens van A is dus de lengte van B naar C gedeeld door de lengte van A naar B. In een formule uitgeschreven: tan A = BC / AB

En op deze wijze is ook de tangens van hoek C bekent. Die is immers: tan C = BA / CB.

Let op!
Er moet een rechte hoek, een hoek van 90^o in de driehoek ABC zitten. Want anders kunnen we deze werkwijze niet toepassen.

Wanneer we dit in een voorbeeld uitwerken en we nemen hiervoor een driehoek met gelijke rechthoekzijden van 4 cm dan weten we nu al dat we een hoek van 45^o gaan krijgen. De driehoek die ontstaat is immers één van de twee driehoeken die ontstaat wanneer we een vierkant over de schuine zijde (diagonaal) doorsnijden. Hiermee snijden we ook de 'haakse' hoek precies doormidden en dus moet de overgebleven hoek 45^o zijn.
De tangens van bijvoorbeeld punt D in de driehoek DCB zou dan zijn: tan D = DC / BC => tan D = 4 / 4 => tan D = 1.

Wanneer we de waarde van tangens D opzoeken in de figuur (links) dan zien we dat de bijbehorende hoek gelijk is aan 45^o. Ook zien we dat dit een stijgingspercentage van 100% betekent.

Met een rekenmachine kunnen we dit ook eenvoudig controleren.

Voor de uitleg maak ik gebruik van een standaard Casio fx82 rekenamchine en de bijbehorende knopjes. Wanneer we het voorbeeld van hierboven nemen hebben we dus tan D = 4 / 4, en dan de bijbehorende hoek?

Op de rekenmachine toetsen we dan: om vervolgens het antwoord 45 te krijgen. Let op, we hebben nu een omgekeerde bewerking van de tangens uitgevoerd. Met het sommetje 4 / 4 berekenen we de tangens (tan) en om de functie tan^-1 op de rekenmachine geeft de bijbehorende hoek.
Stel we weten de hoek van 16,70^o en we willen bijvoorbeeld weten welke hellingsbaan voor een rolstoelgebruiker hier bij hoort. Op de rekenmachine toetsen we en op het display verschijnt een hellingsgetal van 0,300014377. We weten nu dat de driehoek die hierbij hoort een zijde heeft van bijvoorbeeld 10 meter en dat we dan 3 meter omhoog. Dit is natuurlijk een belachelijke helling voor een mindervalide medemens in een rolstoel. Maar wat zou dan wel acceptabel zijn?

Indien we niet 3 meter maar 30 cm omhoog gaan dan krijgen we een andere tangens, namelijk 03, / 10 = 0,03. Om hier de bijbehorende hoek te berekenen toetsen we en op het display staat nu te lezen 1.71^o. En dit is een helling die prima te nemen is in een rolstoel.

Raadseltje:

Een timmerman heeft een groot rechthoekig raamkozijn gemaakt. Hoe kan hij door twee maal te meten, met een rolmaat of meetlint, de conclusie trekken dat alle hoeken 'haaks' (90^o) zijn?

sinus en cosinus

Nu het begrip tangens bekend is zijn er binnen de goniometrie nog twee over: de Sinus en de Cosinus. Deze gaan we allebei tegelijk behandelen. Dit kan omdat de uitleg vrijwel gelijk is.
Bij de sinus gaan we iets doen met de 'stijgende' zijde van de driehoek en bij de cosinus is het de 'liggende' zijde. Beide hadden we nodig voor de tangens om de hoek van de 'schuine' te kunnen bepalen. Maar met de sinus en de cosinus hebben we deze schuine-zijde nodig voor de verhouding van de hoek.

De hoek bij punt A noemen we Alpha (α), die bij punt B heet Beta (β) en bij punt C is het Gamma (ϒ). Verder moeten we afspreken dat de zijde tegenover de hoek de naam krijgt van de hoek in een kleine letter. Dus kort de zijde BC heeft als naam a en b is AC en daarmee is AB dus c. Deze afspraken zijn internationaal aanvaard en we gaan ons hier dus aan houden.

Hierdoor kunnen we nu heel eenvoudig het het volgende schema maken:

Voorbeelden

1	Hoek A is 27^o en de lengte van A is 5 cm. Wat zijn de overige lengten?
	De oplossing is relatief eenvoudig. Doordat we de hoek in A kennen is de overstaande zijde met behulp van de tangens te berekenen. Immers dit was de verhouding van de overstaande gedeeld door de aanliggende. Op de rekenmachine typen we nu geeft als uitkomst 0,509525449. De helingsgetal was O / A = tan 27^o => 0,509525449=O / 5 => 0,509525449 x 5 = O => O = 2,547627247. Wanneer we dit op 2 decimalen afronden krijgen we 2,55 cm. De schuine zijde kunnen we halen uit de cosinus van de aanliggende gedeeld door de schuine. Oftewel cos 27^o = 5 / Schuine. Maar we moeten dit eerst omschijven naar een formule die er uitziet als: Schuine = .... cos 27^o = 5 / S => S x cos 27^o = 5 => S = 5 / cos 27^o en op de rekenmachine geeft als lengte voor de schuine zijde 5,61 cm.

2	Hoek A is 27^o en de lengte van A is 5 cm. Wat zijn de overige hoeken?
	De hoek in B is bekend, want die moet 90^o zijn. Dus blijft de hoek in C, gamma over. En deze is gedefiniëerd door de overstaande gedeeld door de schuine. Nu moeten we goed opletten want in het vorige voorbeeld was de aanliggende zijde gegeven als 5 cm. Deze is in deze berekening nu de overstaande geworden. En nu weten we dat: O / S = sin Y => 5 / 5,61 = sinY => sin Y = 0,891265597 en wanneer we hiervan de inverse sinus nemen (omgekeerde van de sinus) dan krijgen we de hoek gamma. Dus typen we op de rekenmachine geeft 63,03271458 graden. Wanneer we dit afronden krijgen we 63^o. Hiermee kennen we dus alle hoeken A, B en C als 27^o, 90^o en 63^o,

Om dit allemaal wat makkelijker te onthouden is het ezelsbruggetje SOS - CAS - TOA misschien handig.
SOS van "Sinus-Overstaand-Schuin", CAS van "Cosinus-Aanliggend-Schuin" en TOA van "Tangens-Overstaand-Aanliggend".

Om goed met SosCasToa te kunnen werken gaan we strepen. In de Prezi presenttie hiernaast gaan we er staps gewijs door heen. Maar hieronder zullen deze stappen ook beschreevn worden.

Maak een tekening van de situatie en geef alle punten, hoeken en lijnen een naam.
Vul nu alle bekende gegevens in
Schrijf op: SOSCASTOA en streep alle letters waar je niets van weet weg.
Wat over blijft is je oplossingsmethode

SosCasToa en Pythagoras horen bij elkaar als het kip en het ei of donder en bliksem.

Let op: Er moet één rechte hoek in de driehoek aanwezig zijn wil je Pythagoras of SosCasToa kunnen en mogen gebruiken.

Voorbeeld 1.
Bereken het vraagteken in de driehoek hiernaast.
Het gaat om de hoek van 62º. De schuine zijde is die met het vraagteken (tegenover de rechte hoek). De zijde van 7 is dan de overstaande zijde (tegenover de hoek van 62º)
Het gaat dus om de schuine en de overstaande zijden, dus gebruiken we SOS.
sin(62º) = ⁷/_? dus ? = ⁷/_sin(62) ≈ 7,93

Voorbeeld 2.
Bereken het vraagteken in de driehoek hiernaast.
De zijde van 7 is de schuine zijde (tegenover de rechte hoek). Het gaat om de hoek met het vraagteken dus de zijde van 4 is dan de aanliggende zijde.
Met aanliggend en schuin gebruiken we CAS.
cos(?) = ⁴/₇ dus ? = cos^-1 (⁴/₇) ≈ 55,2º

--} opgaven

sinus- en cosinusregel

Voordat we met de theorie van deze twee regels aan de slag gaan moeten we eerst enkele afspraken maken.

Alle hoekpunten van een driehoek geven we namen A, B, C (hoofdletters)
De hoeken heten α, β en γ (Griekse letters, en bij hoekpunt A hoort hoek α, bij hoekpunt B hoek β, en bij hoekpunt C hoek γ)
De zijden heten a, b en c (kleine letters) waarbij een zijde dezelfde naam heeft als de hoek er tegenover.

De Sinus of de Cosinusregel gaan we alleen gebruiken wanneer er geen 'rechte' hoek in de driehoek aanwezig is.

Als we van een driehoek alle hoeken kennen en één zijde, dan kunnen we in principe de andere zijden berekenen.
Hiernaast zie je een driehoek ABC met hoeken zoals aangegeven en zijde AB = 8.

Als je daarin de hoogtelijn AD (de rode lijn, vanuit punt A loodrecht naar de overstaande lijn BC) tekent, dan kun je in driehoek ABD sos-cas-toa toepassen.
Dat geeft sin 68º = ^AD/₈ofwel AD = 8 • sin 68º

Maar die AD kun je nu weer gebruiken voor sos-cas-toa in driehoek ADC. Dat geeft sin 77º = ^AD/_AC ofwel AC = ^AD/_{sin 77º}
Met de al gevonden AD geeft dat AC = ^{8 • sin 68º}/_{sin 77º}

Dit was eigenlijk twee keer "SOS".
Maar als we de hoeken α, β en γ noemen en de zijden a, b en c, dan kunnen we de berekening hierboven automatiseren:

in driehoek ABD: sinβ = ^AD/_c dus AD = c • sinβ
in driehoek ADC: sinγ = ^AD/_b dus b = ^AD/_sinγ = ^{c • sinβ}/_sinγ

Als je nu "voor de mooiheid" sinβ naar de andere kant doet, dan staat er het prachtig symmetrische ^b/_sinβ = ^c/_sinγ.

En als je de driehoek draait, dan kun je natuurlijk precies hetzelfde nóg een keer doen!!! Dat zou dan geven ^C/_sinγ = ^A/_sinα
Samengevat vinden we de sinusregel:

Het is de moeite waard deze regel uit je hoofd te leren. Dan hoef je niet elke keer de afleiding hierboven weer te verzinnen.
Natuurlijk kun je deze sinusregel ook gebruiken als je een hoek niet weet, maar wel twee zijden.

Voorbeeld 1

Bereken de hoek met het vraagteken in de driehoek hiernaast.
De sinusregel geeft: ⁹/_sin(85) = ⁵/_sin(?)
Dus: sin(?) = ^{5 • sin(85)}/₉ ≈ 0,5534
Daaruit volgt ? = sin^-1(0,5534) ≈ 33,6º.

De sinusregel geldt ook voor driehoeken met een stompe hoek, maar er is een kleine complicatie.....
Zolang je de sinusregel gebruikt om lengtes van zijden uit te rekenen is er geen vuiltje aan de lucht. Maar zodra je probeert een hoek te berekenen krijg je wel eens een fout antwoord. Dat zit hem allemaal in die sin^-1-functie.

Neem de driehoek hiernaast.

De sinusregel geeft: ⁵/_sin27 = ⁸/_sin? dus sin? = ^{8 • sin27}/₅ ≈ 0,726

Dan geldt ? = sin^-1(0,726) ≈ 46,6º

Met de stelling van Pythagoras, en met sos-cas-toa en met de sinusregel kun je intussen al heel wat driehoeken "berekenen".

Maar er zijn twee gevallen waarbij zelfs die mooie sinusregel niet werkt. Hier zijn daar twee voorbeelden van:

Zie je al dat het niet wil met de sinusregel? Dat komt natuurlijk omdat je in deze twee gevallen nergens een hoek en de bijbehorende zijde ertegenover weet.

En toch kunnen we met wat kunst- en vliegwerk toch de andere hoeken en zijden van deze driehoeken berekenen.
Neem de linkerfiguur. Hiernaast is daar een hoogtelijn CD bij ingetekend

In driehoek ADC geldt dan cos70º = ^AD/₅ dus AD = 5 • cos70º
Pythagoras geeft dan: AD² + CD² = AC²
ofwel (5 • cos70º)² + CD² = 5² ⇒ CD² = 25 - 25 • (cos70º)²

Nu schakelen we over naar driehoek CDB.
DB = AB - AD = 7 - 5 • cos70º

En dan komt onze goede oude vriend Pythagoras ons weer helpen: DB² + CD² = BC²
Dat geeft met de gegevens hierboven: (7 - 5 • cos70º)² + 25 - 25 • (cos70º)² = BC²
Haakjes wegwerken: 49 - 70cos70º + 25(cos70º)² + 25 - 25(cos70º)² = BC²

Die stukken met (cos70º)² vallen tegen elkaar weg!!! Dan blijft over BC² = 49 + 25 - 70 • cos70º
Intoetsen geeft BC² ≈ 50,05 dus BC ≈ 7,07.

Die hele berekening kun je natuurlijk ook met letters doen. Vervang overal de 5 door b en de 7 door c en de 70º door α. Als je de berekening dan nog een keer opschrijft dan geeft dat de volgende prachtige formule:

a² = b² + c² - 2bc • cosα

Deze formule heet de cosinusregel.

--} opgaven

Bereken de grootte van het vraagteken in de driehoeken hieronder. Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.
Bereken de grootte van het vraagteken in de driehoeken hieronder. Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.
Een uitkijktoren is 50 m hoog en staat op een heuvel. Vanaf boven in de toren ziet de uitkijkpost een ridder aan komen rijden onder een hoek van 25º.
Een tweede uitkijkpost recht daar onder, aan de voet van de toren, ziet de ridder onder een hoek van 18º.
Bereken de hoogte van de heuvel en de afstand van de ridder tot de voet van de heuvel.
Nee maar! Kleine Karel ziet 's nachts vanuit zijn slaapkamerraam een vliegende schotel! Hij pakt natuurlijk direct zijn geo-driehoek en meet een kijkhoek van 27º ten opzicht van een horizontale lijn.
Dan rent hij naar beneden en meet op een plaats 6 meter lager een kijkhoek van 32º met een horizontale lijn.
Bereken de horizontale afstand van de schotel tot het huis van Kleine Karel.

hoeken 2

We hebben nu meerdere methoden om 'onbekende' hoeken te berekenen. Maar soms kun je of hoef je dat niet eens te doen. In enkele situatie kunnen we simpel zeggen dat het 'X-, F- of Z-hoeken' zijn. Helfde gaat op voor 'Middelpuntshoeken' en 'Omtrekshoeken' De bewijzen hiervoor zijn allemaal bekend en die hoeven jullie niet te kennen.
Belangrijk is dat je weet dat ze bestaan en hoe te gebruiken.

Dat gebruik komt bijvoorbeeld voor bij het landmeten maar ook in de techniek in vele vakgebieden. We zullen ze stuk voor stuk even bij langslopen.

X - hoeken

Ook wel overstaande hoeken genoemd.
Als twee lijnen elkaar snijden dan zijn de hoeken tegenover elkaar twee aan twee gelijk. Een controle die je hier kunt uitvoeren is dat je alle hoeken bij elkaar optelt. De uitkomst van deze som moet immers 306^o zijn want je bent volledig rond gegaan. Een een volledige cirkel heeft 360^o.

F - hoeken

Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de hoeken hiernaast gelijk.

Z - hoeken

Ook hier worden twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde, en zijn de hoeken hiernaast gelijk.

Voorbeeld 1

Er is gegeven dat AB evenwijdig is aan DE. Wat is de hoek van E?

Je aanpak zou er alsvolgt uit kunnen zien. Er zijn evenwijdige lijnen bekend, dus misschien kan ik iets met 'F'-hoeken of 'Z'-hoeken doen! Ik weet dat E tegenover A ligt maar dan op de andere evenwijdige lijn. Dus kan het geen F-hoek zijn en kan het mogelijk een Z-hoek zijn. Maar zie ik nu een 'Z' in dit figuur?
Een directe 'Z' niet maar wel een gespiegelde en dat mag ook. Dus hebben we hier te maken met Z-hoeken en weten we dat A=E. Dus E is ook 59 graden.

Ga nu voor je zelf eens na wat de waarde van B is? En is er ook iets te zeggen over C in de driehoeken ABC en DEC?

Voorbeeld 2

Hier is PQ evenwijdig aan AB. Wat zijn zijn de hoeken in A en Q?

Gebruik dezelfde redenatie van van voorbeeld 1. De oplossing ligt hier in de F-hoeken. Dus Q = B en A = P.
Kunje nu ook iets zeggen over C?

Middelpuntshoeken en omtrekshoeken

Dit zijn hoeken in en op cirkels. Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel. Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de benen gevormd worden door twee koorden. Een koorde is de wiskundige benaming voor het lijntje tussen P en C of P en D. De lijnen tussen M en A en M en B zijn dat eigenlijk ook maar deze noemen we stralen omdat ze beginnen in het middelpunt van de cirkel.

In 'nette' wiskundige taal zeg je dat de hoeken staan op een cirkelboog. Er wordt dan bedoeld dat de hoek tegenover het 'kromme' lijntje op de cirkel staat. Dat 'kromme' lijntje noemen we namelijk een boog. In dit geval boog AB of boog DC.
In het voorbeeld zien we middelpuntshoek α staan op cirkelboog AB en omtrekshoek β op cirkelboog DC.

Het zal duidelijk zijn dat wanneer we deze figuren laten draaien om het middelpunt M de hoeken α en β niet zullen veranderen zolang de lengte van de boog AB of DC gelijk blijft.

Er bestaan ook een relatie tussen de middelpuntshoek en de omtrekshoek. De middelpuntshoek is namelijk 2x zo groot als omtrekshoek. En dat kunnen we eenvoudig laten zien en meten. Het bewijs hiervoor gaat te ver en zullen we ook niet gaan behandelen.

In de afbeelding hiernaast zien we de twee figuren over elkaar heen. We kunnen een soortgelijke tekening zelf maken en dan met behulp van onze Geodriehoek nameten wat de diverse hoeken zijn. Je zult dan zien dat de hoek in M 2x de waarde heeft van de hoek in P.

Dit plaatje kent nog twee andere varianten en deze drie samen kunnen je helpen om de hoek in P te bepalen wanneer je de hoek in M kent en omgekeerd.

Complement

Het Complement van een hoek is dat deel dat ontbreekt waardoor de twee hoeken samen 90^o zijn. Of te wel je hebt een hoek van 31^o dan is het Complement wat hierbij hoort 59^o.

Suplement

Het Suplement van een hoek is het ontbrekende deel dat twee hoeken samen 180^o maakt.

zwaartepunten

Het zwaartepunt van een object is het punt ten opzichte waarvan de massa van dat object in evenwicht is. In dit punt wordt in de natuurkunde de zwaartekracht gedacht aan te grijpen, als zij wordt voorgesteld als een puntlast.

Een mooie omschrijving maar begrijpen we wat hier bedoeld wordt?

Stel je voor je neemt je geodriehoek en laat deze balanceren op de wijsvinger. Wanneer deze geodriehoek nu mooi netjes horizontaal ligt dan is het punt waar je vinger de geodriehoek raakt het zwaartepunt van deze driehoek.
Het totale gewicht van de driehoek rust dus nu op de wijsvinger. Omdat de geodriehoek heel plat is kunnen we dit punt eenvoudig zien. In een kubus of een cilinder zal dit punt ergens midden, binnen, in het voorwerp liggen en is het niet te zien.

Jullie moeten voor deze cursus de zwaartepunten van de volgende figuren kennen:

vierkant en rechthoek
driehoek
cirkel
en hun 3 dimensinale varianten

Vierkant en rechthoek

Om het zwaartepunt van een vierkant of een rechthoek te vinden kunnen we eenvoudig de diagonalen van deze rechthoek tekenen en het snijpunt van deze diagonalen is daarmee het zwaartepunt.

Door de diagonaal 'snij' je de rechthoek precies door midden en maak je twee even grote delen. Door dit twee maal te doen ontstaan er dus 4 even grote delen. Deze delen hebben allemaal het zelfde oppervlak gekregen.

Deze werkwijze werkt zowel voor een vierkant als een rechthoek. Immers een vierkant is ook een rechthoek met als bijzonderheid dat alle zijden van de rechthoek een gelijke lengte hebben.

Driehoek

Het principe van 'door midden' doen we hier ook. Alleen gaan we lijn die tegenover een punt ligt door midden snijden. Dus vanuit A precies door het midden van CB. En vanuit C naar het midden van AB. Dit geeft ook een snijpunt in O en ook dit is weer een zwaartepunt.

Bekijk de tekening hiernaast maar eens goed. Je ziet dat elke lijn de driehoek precies in 2 gelijkedelen verdeeld. En doordat we nu 3 zwaartelijnen hebben krijgen we uiteindeliojk 6 allemaal gelijke grote delen.

Cirkel

Het zwaartepunt van een cirkel kennen we allemaal als het middelpunt. Vanuit dit middelpunt is de afstand naar de rand van de cirkel overal even groot.

3 dimensionale figuren

Tot zo ver waren dit allemaal figuren in het platte vlak. De 3 dimensionale, ruimtelijke figuren hebben als extra een hoogte waarmee een inhoud ontstaat. Het bepalen van het zwaartepunt is hiermee ook heel simpel geworden. Want in het zwaartepunt voor een 3D figuur is gelijk aan het platte vlak alleen ligt deze 'de halve hoogte hoger'.

--} opgaven

Teken een rechthoek met een lange zijde van 6 cm en een korte van 2 cm. Waar zit het zwaartepunt?
Teken een driehoek met een rechte hoek en een zijde van 8 en 4 centimeter. Waar zit hier het zwaartepunt?
Er is een cilinder van 50 cm met een doorsnede van 5 cm. Waar zit het zwaartepunt?
Neem de driehoek van opgave 2 en geef deze een hoogte mee van 5 meter. Waar zit het zwaartepunt?

Krachtenleer

Sir Isaac Newton schreef van 1684 tot 1686 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica in het Latijn, beter bekend als de Principia. Hierin beschrijft hij wat nu de wetten van Newton heten, waarmee hij de grondlegger werd van de klassieke mechanica. De wetten van Newton definiëren de basisbegrippen impuls (hoeveelheid beweging, massa × snelheid), kracht en massatraagheid in hun onderlinge samenhang waarmee, anders dan in de fysica van bijvoorbeeld Aristoteles (Griekse geleerde 384-322 v. Chr.), een kwantitatieve beschrijving (experimenten met veel model opstellingen) en voorspelling van beweging mogelijk is. Het centrale idee van de zwaartekrachttheorie, dat lichamen met massa elkaar aantrekken, was volstrekt nieuw. Bovendien werden Newton's ontdekkingen wiskundig geformuleerd. Newton was niet alleen sterk in Natuurkunde maar ook heel goed in Wiskunde.

We gaan in deze paragraaf niet alle definities en afleidingen en bewijzen behandelen. Maar de belangrijkste komen zeker aanbod. Voor nu is het belangrijk dat je later begrijpt dat: In de mechanica een kracht de Oorzaak is van een verandering in een bewegingstoestand van een lichaam.

In dit paragraaf komen de volgende onderdelen aan bod:

Wat grootheden en eenheden zijn
Wat massa en gewicht is
Wat kracht is
Het samenstellen van krachten
Het ontbinden van krachten
Wat een moment is
Wat evenwicht is

grootheden en eenheden

Als je om je heen kijkt, kom je tot de ontdekking dat op elk gebied gemeten en gerekend wordt. Dat meten gebeurt met bepaalde afgesproken eenheden. Voorbeeld:

De lengte van een tafel is 2 meter.
Een lesuur duurt 50 minuten.
De temperatuur in de klas is 20 graden Celsius.

Internationaal is men overeengekomen de eenheden in alle landen van de wereld zoveel mogelijk gelijk te maken. Dit is vooral van groot belang voor de handel en de techniek. Daarom heeft men voor de natuurkunde en de mechanica het S.I.eenhedenstelsel ingevoerd,ook wel genoemd: Het internationale stelsel van eenheden.

Dit stelsel maakt onderscheid tussen grootheden en eenheden. Een grootheid kun je in een getalwaarde uitdrukken, bijvoorbeeld de lengte van onze tafel is 2 meter. Hierin is:

a - lengte de grootheid
b - meter de eenheid waarin je de lengte uitdrukt
c - 2 het aantal eenheden; dus het getal.

Het getal of de getalwaarde vind je door de grootheid te vergelijken met de eenheid. Dit vergelijken van de grootheid met de onvereenkomstige eenheid noem je meten. Dus:Een Grootheid=een getal x een eenheid.

Een grootheid heeft dus:

altijd dezelfde eenheid, maar
verandert in getalwaarde.

Het internationale stelsel van eenheden (S.I.eenhedenstelsel) kent een aantal basiseenheden. Deze basiseenheden noemt men grondeenheden. Drie van deze grondeenheden zijn:

de meter, de eenheid van lengte
de seconde, de eenheid van tijd
de kilogram, de eenhed van massa

Uit deze grondeenheden kan men een aantal nieuwe eenheden afleiden; we spreken dan van afgeleide eenheden. Bijvoorbeeld:

de 'vierkant meter' is afgeleid van de grondeenheid 'meter' en wordt gebruikt als eenheid van oppervlakte
de 'kubieke meter' is ook afgeleid van de grondeenheid 'meter' en wordt gebruikt als eenheid van volume
de 'meter per seconde' is afgeled van de grondeenheden 'meter' en 'seconde' en wrdt gebruikt als eenheid van snelheid

Voor het schrijven van grootheden en eenheden gebruikt men een verkorte vorm, namelijk een symbool. Een symbool is een vervanger van een woord of begrip door een letter. Bij afspraak gedt:

Symbolen voor grootheden staan schuin gedrukt
Symbolen voor eenheden staan rechtop gedrukt

Een voorbeeld hiervoor is l is 2 m.

Grootheid	Symbool	S.I.eenheid	Symbool
lengte	l	meter	m
tijd	t	seconde	s
massa	m	kilogram	kg
oppervlakte	A	vierkante meter	m²
volume	V	kubieke meter	m³
snelheid	v	meter per seconde	m/s

Voor het schrijven van decimale veelvouden en delen van de eenheid bestaan ook afspaken:

een decimale veelvoud van de meter kan een kilometer zijn
een decimaal deel van de meter is binvoorbeeld een millimeter

We zetten dus in beide gevallen voor de eenheid een voorvoegsel.

Voorvoegsel	Symbool	Factor
tera	T	10¹²	(biljoen)
giga	G	10⁹	(miljard)
mega	M	10⁶	(miljoen)
kilo	k	10³	(duizend)
hecto	h	10²	(honderd)
daca	da	10¹	(tien)
deci	d	10^-1	(tiende)
centi	c	10^-2	(honderdste)
milli	m	10^-3	(duizendste)
micro	u	10^-6	(miljoenste)
nano	n	10^-9	(miljardste)
pico	p	10^-12	(biljoenste)
femto	f	10^-15	(duizend biljoenste)
atto	a	10^-18	(triljoenste)

massa en gewicht

Massa wil niets anders zeggen dan een hoeveelheid stof of materie, dus een hoeveelheid moleculen. In de natuurkunde wordt elke hoeveelheid stof of materie een lichaam genoemd. Dus de hoeveelheid stof of materie van een lichaam noemen we massa.

De eenheid van massa is de kilogram. De massa van een lichaam bepaal je met een balans. Bij zo'n massa-bepaling vergelijk je het lichaam dan met andere lichamen waarvan de massa bekend is. Deze lichamen waarvan de massa bekend is, noemen we massastukken.

Als je bij de groenteman 5 kg aardappelen haalt, koop je een hoeveelheid materie, een hoeveelheid massa; m = 5 kg.

Deze hoeveelheid materie, deze massa, blijft waar je je 'ook op de aarde bevindt, steeds gelijk. Verplaats je een massa; een hoeveelheid moleculen, van de aarde naar de maan, dan is de hoeveelheid moleculen niet veranderd. De massa blijkt dus ook op de maan gelijk te zijn aan die op de aarde. In de natuurkunde zegt men dan ook: 'Massa is een onveranderlijke grootheid'.

Uit eigen ervaring weet je dat de aarde een aantrekkingskracht uitoefent op ieder lichaam. Nu blijkt dat deze aantrekkingskracht niet overal op de aarde gelijk is. Dat komt omdat de aarde geen ideale bolvorm heeft maar afgeplat is. De afstand tot het middelpunt van de aarde is dus niet overal even groot, 'De afstand van het middelpunt der aarde tot aan de noord- / zuidpool is ongeveer 6360 km, terwijl de straal van de evenaarcirkel ongeveer 6380 km is. En hoe verder we ons van de aarde af bewegen, des te kleiner wordt deze aantrekkingskracht. Op een gegeven ogenblik is de aantrekkingskracht van de aarde zelfs gelijk aan nul. Men spreekt dan van
'gewichtloosheid'.
Op de maan, die heeft een masse van ongeveer 1/6 van die van de aarde, is de zwaartekracht ook ongeveer 1/6 van de aarde. Op de maan kun je dan ook veel hoger springen dan op de aarde.

Onder gewicht bedoelen we nu de kracht die door de aarde op een bepaald lichaam wordt uitgeoefend. Newton heeft omstreeks 1700 veel onderzoek gedaan po dit gebied. Hij heeft ook het verband aangetoond tussen de onveranderelijke hoeveelheid masse en de variabele kracht gewicht. In het vakgebied van de mechanica gaan we hier veel verder op in, maar voor nu is het voldoende dat te weten dat de versnellin van de zwaartekracht hierbij een belangrijke rol speelt.
Deze versnelling varieert van 9,83 m/s² op de pool tot 9,78 m/s² op de evenaar. In Nederland is de versnelling van de zwaartekracht ongeveer 9,81 m/s² en we ronden dit vaak in berekeningen af op 10 m/s².

Om massa (lichaam) in beweging te brengen is een kracht nodig. Voor een klein lichaam is een kleine kracht nodig en voor een groot lihaam een grote kracht. Wil je een lichaam sneller in beweging brengen da zul je een grotere kracht moeten uitoefenen dan wanneer het lichaam langzamer in beweging komt.

De kracht die nodig is om een lichaam te laten bewegen is afhankelijk van:

de massa van het lichaam (m)
de versnelling die dat lichaam krijgt (a)

Zoals je ziet geven we de grootheid 'versnelling' aan met het symbool a. Onder versnelling verstaan we de toename van de snelheid (m/s) per seconden.

Een kracht geef je aan met het symbool F. De eenheid van kracht is de Newton, aangeduid met het symbool N.

Een newton ku je als volgt omschrijven: 'Een newton is de kracht die nodig is massa van 1 kg een versnelling te geven van 1 m/s².'
Je komt dan tot de volgende formule:

Newton ontdekte dat, wanneer je een lichaam van een hoogte laat vallen, dat lichaam een versnelling krijgt als gevolg van de aantrekkingskracht van de aarde, ook wel gewicht genoemd.
Deze versnelling geven aan met het symbool g, de beginletter va een lastig woord, namelijk: gravitatieversnelling. We noemen dit in het vervolg de zwaartekracht.

Deze 'kracht' is op aarde 9,81 m/s², vaak afgerond op 10 m/s².

Vooraf heb je gezien dat je krachten aanduidt met het symbool F. Hierop maken we een uitzondering; het gewicht geef je aan met het symbool G.

Voorbeeld:

Een brommer heeft een massa van 50 kg. Wat is het gewicht van deze brommer:

op aarde (g = 10 m/s²)
op de maan (g = 1,65 m/s²)
op de planeet Jupiter (g = 25,5 m/s²)
in de ruimte buiten de aantrekkingskracht (g = 0 m/s²)

Oplossing:

G = m * g

op aarde: 50 (kg) * 10 (m/s²) = 500 N
op de maan: 50 (kg) * 1,65 (m/s²) = 82,5 N
op Jupiter: 50 (kg) * 25,5 (m/s²) = 1275 N
in de ruimte: 50 (kg) * 0 (m/s²) = 0 N (dus gewichtsloos)

Uit dit voorbeeld kun je de volgende conclusie trekken: 'Gewicht is een veranderlijke grootheid.'

Wanneer je 'massa' en 'gewicht' met elkaar vergelijkt, dan zie je het volgende:

	Massa	Gewicht	-
Symbool	m	G
Eenheid	kg	N
Bepalen met	balans	krachtmeter,veerunster
Bijzonderheid	onveranderlijke grootheid	veranderlijke grootheid
Relatie tussen massa en	G=m x g
gewicht	G=m x g

kracht

Krachten kun je niet zien. Maar daar gaan we in de volgende paragrafen wel enkele 'trucjes' voor zien. En dat zijn 'trucjes' die we ook kunnen bewijzen in een klein prakticum.
Wat we vaker waarnemen zijn de gevolgen van een kracht. Wat kunnen de gevolgen van een kracht zijn?

Een voorwerp:

komt vanuit stilstand in beweging
komt vanuit beweging tot stilstand
blijft met dezelfde beweging bewegen
gaat versnellen
gaat vertragen
ondergaat een vormverandering van blijvende aard
ondergaat een vormverandering van tijdelijke aard

Een voorwerp zal niet zonder meer in beweging komen, we moeten er tegen schoppen, trekken, blazen etc.

Voorbeeld: Je schopt tegen een voetbal aan. De kracht tegen de voetbal aan, zorgt voor de beweging. We moeten dus een kracht aanwenden om een voorwerp wat in rust is in beweging te krijgen.

Afspraak
Een kracht geven we aan met het symbool F (force)
Een kracht druk je uit met de eenheid N (Newton), kN (kiloNewton), mN (milliNewton)

Maar in het begin van deze paragraaf openen we, dat krachten niet te zien zijn maar dat er wel een 'trucje' is. Om dit uit te leggen moeten we eerst enkele begrippen even uitleggen, namelijk:

Actie- en Reactiekracht
Vector

Actie- en Reactiekracht

Als we een stuk materiaal boven de grond loslaten, valt deze naar beneden. Er werkt dus een kracht.
Deze kracht lijkt op een magnetische kracht.

Deze kracht is de oorzaak dat alle voorwerpen vallen, men noemt dit de zwaartekracht (F_z). De zwaartekracht veroorzaakt het gewicht van het blokje.
Het gewicht is de kracht die het voorwerp uitoefent op het horizontale vlak waarop het eventueel steunt.

Actiekracht is het gewicht van het blokje (F_z).
Reactiekracht F is de normaalkracht, het is de reactiekracht van de vloer op het blokje. (F_n)

Dus bij evenwicht geldt Actie = Reactie

Bij deze toestand van evenwicht blijft het blokje in rust. Dus bij evenwicht van krachten heffen alle krachten die op het voorwerp
werken elkaar op.

Krachten kunnen in alle richtingen voorkomen. De F_z en de F_n kunnen we in het plaatje rechts elf wel intekenen. Maar bij een auto hebben we bijvoorbeeld ook horizontale krachten.
De motor van een auto ontwikkelt een voortstuwende kracht, men trapt op een gegeven moment de koppeling in en laat het gas los.

De auto komt binnen de kortste keren tot stilstand.

Deze snelheidsverandering wordt toegeschreven aan een kracht die optreedt bij het contact tussen de autoband en het wegdek.

Deze kracht wordt de wrijvingskracht genoemd (F_w)

F_w = wrijvingskracht
F_wi = windkracht

Wrijvingskracht treedt altijd op als twee lichamen met verschillende snelheden langs elkaar bewegen.

En in het bovenstaande staat ook een 'windkracht' genoemd. Dat komt omdat de lucht die de om de auto heen zit ook een lichaam is. Weliswaar een lichaam met een lage massa maar wel degelijk aanwezig. En lucht heeft ook een massa en dus is het ook onderhevig aan de zwaartekracht.

Vector

Vaak wil je een kracht toch voorstellen in een.tekening, dit doe je met behulp vàn een vector.
Een vector is een lijnstuk met een pijl en een aangrijpingspunt. Als je een vector wilt tekenen heb je drie gegevens nodig:

de grootte van de kracht (lengte van de pijl)
de richting van de kracht (stand van de pijl)
het aangrijpingspunt van de kracht (beginpunt van de pijl)

De stippellijn waar de kracht (vector) zich op bevindt (zie tekening boven) noemt men de werklijn van de kracht (vector).
Een kracht (vector) mag ook altijd op zijn werklijn verplaatst worden.

Trek je een blokje met behulp van een touw vooruit, dan maakt het geen verschil of je het touw op een meter afstand van het blokje vasthoud of op drie meter afstand.
Zelfs kun je het blokje aan de andere zijde met dezelfde kracht duwen.
Het touw is de werklijn van de kracht. Dat betekent dat je de kracht op haar werklijn mag verplaatsen.

Voordat we een kracht (vector) kunnen of moeten gaan tekenen, doen we er verstandig aan om gebruik te maken van een krachtenschaal indien nodig. Een krachtenschaal geeft de verhouding aan tussen de grootte van de kracht en de lengte van het lijnstuk.

( betekent: komt overeen met)

Een kracht van 60 N (Newton) wordt dan voorgesteld door een lijnstuk met een lengte van 60: 20 = 3 cm lang.
Op de pijlpunt vermeldt men F = 60 N

Een kracht (vector) heeft een waarde van 100 N. Als we de lijnlengte meten is de lengte 5 cm. Wat is nu de krachtenschaal?

100 (N) : 5 (cm) = 20 (N / cm) (20 Newton per centimeter)

We kunnen nu dus zeggen dat 1 cm lijnstuk gelijk is aan 20 N

Maak nu de opgaven.

--} opgaven

Opdracht

Maak de onderstaande tabel compleet:

Kracht	Krachtenschaal	Pijllengte
100 N	1 cm = 25 N
250 N	1 cm = 50 N
700 N		3,5 cm
2 kN		5 cm
	1 cm = 125 N	4 cm
	1 cm = 30 N	4,5 cm
800 N		2 cm
800 mN		8 cm
3,5 kN	1 cm = 500 N
	1 cm = 750 N	5 cm

Opgaven

1) Het gewicht wordt veroorzaakt door?

2) Door welke 3 gegevens word een kracht bepaald?

3) Wat verstaan we onder een werklijn van een kracht?

4) Een kracht kan uitgedrukt worden in?

5) De lengte van de pijl is de maat voor?

6) Een vierkante tafel met vier poten heeft een gewicht van 250 N. Als in het midden van de tafel een voorwerp wordt gelegd, neemt elke poot een kracht op van 125 N. Bereken het gewicht van het voorwerp?

samenstellen krachten 1

Bij het samenstellen van twee of meer krachten, ga je deze twee of meer krachten vervangen door een kracht, die hetzelfde resultaat heeft als de gegeven krachten.

Resultant (F_r)

Als twee of meer krachten F₁ en F₂ enz. een gemeenschappelijke (dezelfde) werklijn met elkaar delen, dezelfde richting in werken, zullen bij elkaar opgeteld hetzelfde resultaat opleveren als beide krachten afzonderlijk.

Dit resultaat noemen we de resultante (F_r)

Het resultaat (resultante F_r) in dit voorbeeld is 50 N + 100 N = 150 N naar rechts.

Is de richting tegengesteld, dan is het resultaat (resultante F_r) hetzelfde als deze twee krachten van elkaar worden afgetrokken. Hierbij geeft de resultante de richting aan van de grootste kracht.

De resultante F_R is in dit voorbeeld 100 N - 50 N = 50 N naar links.

Het samenstellen van twee of meer krachten die aangrijpen in hetzelfde punt, maar werken op verschillende werklijnen, kunnen we oplossen met behulp van:

een krachten-parallellogram
een krachtendriehoek

We zullen van allebei een voorbeeld laten zien, denk hierbij wel aan de krachtenschaal.

Oplossing met een krachten-parallellogram

Vanuit het snijpunt P worden de krachten F₁ en F₂ op schaal op hun werklijnen uitgezet. We noemen gemakshalve de werklijn van F₁, W₁ de werklijn van F₂, W₂ 1 cm = 25 N
We trekken nu een lijn evenwijdig aan W₂ vanuit pijlpunt F₁, we noemen deze lijn L₂. Dit doen we ook evenwijdig aam W₁ vanuit pijlpunt F2, en noemen deze lijn L₂ Er ontstaat nu een shijpunt dat we S noemen.
We trekken nu een lijn vanuit punt P naar snijpunt S, deze lijn noemen we de resultante F_r

Oplossing met een krachtendriehoek

We zetten de krachten in verhouding van 1 cm = 25 N op dezelfde manier uit als het vorige voorbeeld.
We verplaatsen F₂ op zijn werklijn zodat de pijlpunt aansluit bij punt P.
De resultante meet je hier ook weer op met hetzelfde resultaat.

Maak nu de opgaven.

--} opgaven

Opgaven

1) Op een handzaag worden twee krchten uitgeoefend F₁ = 100 N en F₂= 200 N.
Hoe groot is de resultante van deze krachten? (Denk aan de krachtenschaal)

2) Bepaal de resutante van de volgende figuren en geef aan welke de grootste resultante heeft. F₁ = 300 N en F₂ = 300 N.

3) Twee krachten maken een hoek van 90⁰. F₁ = 16 N en F₂ = 12 N. De resultante van deze kracht is?
4) Hoe groot is de resultante van deze gecombineerde krachen? F₁ = 4 N, F₂ = 28 N, F₃ = 14 N en F₄ = 4N.

samenstellen krachten 2

Voorbeeld 1

Op een voorwerp werken 2 krachten beide horizontaal naar rechts gericht. F₁= 300N en F₂= 200N.
Krachtenschaal: 1cm = 100N.
Teken en bereken de resultante.

	Oplossing:
	F_r= F_{1 +} F₂
	F_R= 300N - 200N
	F_R = 500N

Voorbeeld 2

Op een voorwerp werken 2 krachten. F₁= 16kN horizontaal naar links en F₂= 6kN horizontaal naar rechts gericht.
Krachtenschaal: 1cm = 4kN.
Teken en bereken de resultante.

	Oplossing:
	F_r= F₁- F₂
	F_R= 16kN - 6kN
	F_R = 10kN

In de volgende voorbeelden is er zowel een grafische oplossing als een analytische oplossing. Dus een getekende en een berekende oplossing.

Voorbeeld 3

Op een punt P werken 2 krachten onder een hoek van 90^o. F₁ = 600N, F₂ = 350N en hoek P = 90^o. De krachtenschaal is 1 cm = 100N. Gevraagd teken en bereken de resultante.

	Grafische oplossing:
F_r	= 6,9 cm x de krachtenschaal
	= 6,9 x 100N
F_r	= 690N
	Analytische oplossing:
	Volgens de Stelling van Pythagoras
F_r²	= F₁² + F₂²
	= 600² + 350² = 360000 + 122500
F_r²	= 482500
	hier de wortel van nemen geeft F_r
F_r	= 694,62N (afgerond op 2 decimalen)

Voorbeeld 4

Op een punt P werken 2 krachten F₁ = 240N en F₂ = 180N. Hoek P = 60^o. Krachtenschaal is 1cm = 60N.
Teken en bereken F_r.

	Grafische oplossing:
F_r	= 6 x 60 = 360N
	Analytische oplossing:
	Verleng de lijn PA.
	Teken een loodlijn vanuit C. Deze snijdt
	het verlengde van PA in D.
	∆ADC heeft zijden die zich verhouden
	als 1:√3:2
	AD = 1/2 AC = 180/2 = 90N
	DC = 90√3N
PD	= PA + AD
	= 240N + 90N
	= 330N
	Volgens de Stelling Pythagoras geldt
	in ∆PDC:
PC²	= PD² + DC² = 330² + (90√3)²
	= 108900 + 24300 = 133200
PC	= √133200 = 364,97N

Voorbeeld 5

Op een punt P werken de krachten F₁ = 60N en F₂ = 40N. De hoek tussen F₁ en F₂ is 135^o. De krachtenschaal is 1cm = 10N.
Teken en bereken de resultante.

	Gegevens:
	F₁ = 60N, F₂ = 40N, hoek P = 135^o
	Krachtenschaal 1cm = 10N
	Grafische oplossing:
F_r	= 4,3 x 10N
	Analytische oplossing:
	Teken vanuit C een loodlijn op PA. Deze lijn snijdt PA in D.
	∆DAC verhouden de zijden zich als 1:1:√2
AC	= F₂ = 40N en komt overeen met √2
AD	= 40/√2 = 40/√2 x √2/√2 = 40√2/2 = 20√2
AD	= CD
AD	= 20√2N
CD	= 20√2N
PD	= F₁ - AD = 60N - 20√2N = 60 - 28,284
PD	= 31,716N
	In ∆PDC geldt weer Pytthagoras, dus:
PC²	= PD² + DC²
	= (31,716)² + (20√2)² = 1005,9047 + 800 = 1805,9047
PC	= √1805,9047
	= 42,495
F_r	= 42,50N

	Maak nu de opgaven.

--} opgaven

Het is de bedoeling dat je beide oplossingsmethoden, grafisch en analytisch, gebruikt voor deze opgaven. Een mooie verdeling is bijvoorbeeld alle 'oneven' opgaven alleen grafisch en de 'even' opgaven met beide methoden.

Op dezelfde werklijn en in dezelfde richting (links) werken 2 krachten F₁ = 800N en F₂ = 500N. Krachtenschaal is 1cm = 200N.
Bepaal de resultante.
Dezelfde gegevens als opgave 1 maar nuj tegengesteld. F₂ naar rechts.
Bepaal de resultante.
Op een punt P werken de krachten F₁ = 300N en F₂ = 400N. De hoek tussen F₁ en F₂ is 120^o. Krachtenschaal is 1cm = 100N.
Bepaal de resultante.
Op een punt P van een lichaam werken de krachten F₁ = 120N en F₂ = 50N. De hoek P = 90^o. Krachtenschaal is 1cm = 20N.
Bepaal de resultante.
Op een punt P van een lichaam werken twee krachten F₁ = 200N en F₂ = 100N onder een van hoek 60^o. Krachtenschaal is 1cm = 40N.
Bepaal de resultante.
Op een punt P werken de krachten F₁ = 1000N en F₂ = 750N. De hoek tussen F₁ en F₂ is 90^o. Krachtenschaal is 1cm = 250N.
Bepaal de resultante.
Op een punt P werken de krachten F₁ = 60N en F₂ = 45N. De hoek P = 45^o. Krachtenschaal is 1cm = 10N.
Bepaal F_r.
Op een punt P werken 2 krachten met een hoek P = 45^o. F₁ = 1500N en F₂ = 900N. Krachtenschaal is 1cm = 300N.
Bepaal F_r.
Op een punt P werken de krachten F₁ = F₂ = 80N. De hoek P = 120^o. Krachtenschaal is 1cm = 20N.
Bepaal F_r.
Op een punt P werken de krachten F₁ = 250N en F₂ = 200N. De hoek tussen F₁ en F₂ is 90^o. Krachtenschaal is 1cm = 50N.
Bepaal de F_r.
Op een punt P werken de krachten F₁ = 70N en F₂ = 40N. De hoek tussen F₁ en F₂ is 120^o. Krachtenschaal is 1cm = 10N.
Bepaal de F_r.
Dezelfde gegevens als opgave 11 maar nu is de hoek 135^o.
Dezelfde gegevens als opgave 11 maar nu is de hoek 180^o.
Dezelfde gegevens als opgave 11 maar nu is de hoek 300^o.

ontbinden krachten

Nu we weten hoe we krachten kunnen samenstellen tot een resultante is het soms ook noodzakelijk om deze kracht weer uit een te rafelen. Dit is bijvoorbeeld nodig wanneer je bijvoorbeeld wilt weten hoeveel kracht een grote spoiler geeft en wat it aan vermogen kost. In de Formule 1 is dit van groot belang. Neerwaartse druk geeft bijvoorbeeld meer grip en dus meer snelheid in de bocht maar op het lange rechte eind van het circuit kost het snelheid.

Ontbinden van krachten is het splitsen van één kracht in twee of meerdere krachten zonder dat het resultaat verandert,

Voor het ontbinden van krachten is het belangrijk om te weten, in welke richtingen we moeten ontbinden.
Bij wandkrancn en staalconstructies gaan we eerst de staven of kabels denkbeeldig losmaken om zo de richtingen waarin we moeten ontbinden, te kunnen bepalen. Tevens kunnen we op deze manier bepalen of we te maken hebben met trek- of drukkrachten. Door het krachtenparallellogram te tekenen vinden we de ontbondenen. Als we de krachten F₁ en F₂ opmeten en vermenigvuldigen met de krachtenschaal dan vinden we de grootte van de ontbonden krachten.
In dit hoofdstuk gaan we de ontbonden krachten zowel grafisch als analytisch bepalen met behulp van de bekende wiskundige verhoudingen.

Bij het ontbinden van krachten moeten om de volgende regels denken:

Staven kunnen trek- en drukkrachten opnemen.
Touwen, kabels en kettingen kunnen alleen trekkrachten opnemen.
Bij een helling liggen de richtingen waarin we moeten ontbinden altijd vast, namelijk evenwijdig aan de helling en loodrecht op de helling.

Het ontbinden van krachten wordt toegepast bij:

laadbomen van schepen,
hijskranen,
de kabels van de bovenleiding van treinen,
staalconstructies,
overspanning van een koorddanser
enz.

Bij voorwerpen die zich op een helling bevinden moeten we het gewicht ontbinden om zo de kracht te bepalen die zorgt voor de beweging van het voorwerp en de kracht waarmee het voorwerp tegen de helling wordt aangedrukt.

Voorbeeld 1

Een last van 3500N hangt aan een wandkraan. Krachtenschaal is 1cm=1000N.
Bepaal de krachten in de delen AB en BC.

	Oplossing:
	Grafische oplossing:
F₁	= 4 x 1000N = 4000N (opgemeten)
F₂	= 2 x 1000N = 2000N (opgemeten)
	Analytische oplossing:
	∆BED is een rechthoekige driehoek met hoeken
	van 60^o en 30^o.
	De verhouding van de zijden is:
	BE:BD:ED = 1:√3:2
BD	= 3500N
BE	= 3500N / √3 = 3500 / 1,732 = 2020,73N
ED	= 2 x BE = 2 x 2020,73N = 4041,46N
F₁	= 4041,46N
F₂	= 2020,73N

Voorbeeld 2

Op een helling bevindt zich een voorwerp met een gewicht van 325N. Krachtenschaal is 1cm=1000N.
Bepaal de krachten F₁ en F₂ evenwijdig aan en loodrecht op de helling.

	Oplossing:
	Grafische oplossing:
F₁	= 1,2 x 100N = 120N (opgemeten)
F₂	= 3 x 1000N = 300N (opgemeten)
	Analytische oplossing:
	∆ABC is een rechthoekige driehoek met de zijde
	verhoudingen van 5:12:13. Dit is eenvouding met
	behulp van de Stelling van Pythagoras te berekenen.
	∆ZDE is gelijkvormig met ∆ABC. Hieruit volgt dus
	ED:ZD:ZE = BC:AB:AC
ZE	= 325
	Ingevuld:
	ED:ZD:325 = 5:12:13
	325 en 13 komen met elkaar overéén binnen de verhouding
	325/13 = 25, dus 325 is 25 maal zo groot als 13.
ED	= 25 x 5 = 125
ZD	= 25 x 12 = 300
	dus:
F₁	= 125N
F₂	= 300N

Voorbeeld 3

Bepaal door ontbinden de krachten in de delen AB en BC van de constructie van de onderstaande afbeelding. Krachtenschaal is 1cm=20kN en de Lengteschaal is 1cm=1m.

	Oplossing:
	F₁ = BC en F₂ = AB
	Grafische oplossing:
F₁	= 2,5 x 20N = 50kN (opgemeten)
F₂	= 3,5 x 20N = 70kN (opgemeten)
	Analytische oplossing:
	∆BDE is een rechthoekige driehoek met hoeken
	van 45^o en verhoudingen van 1:1:√2.
	DE = BD = F₁ = 50
F₁	= 50kN
F₂	=50√2 = 70,71kN

Maak nu de opgaven.

--} opgaven

Hieronder is het schema van een wandkraan getekend. De wandkraan hijst een last van 2000N. AC = 3m. Krachtenschaal 1cm = 500N en Lengteschaal 1cm = 1m.
Bepaal de krachten in de staven AB en BC.
Bepaal de krachten in de delen AB en BC van de onderstaande wandkraan. De last is 1800N en AC = 4m. Krachtenschaal 1cm = 600N en Lengteschaal 1CM = 1m.
Aan de kraan hieronder hangt een gewicht van 1200N. Bepaal de krachten in de staven AB en BC. In welke staaf werkt een trekkracht en in welke een drukkracht? Krchtenschaal 1cm=400N.
In de takel van een takelwagen hangt een last van 60kN. Krachtenschaal 1cm=20kN. Bepaal de krachten in de staven PQ en QR.
Twee stalen staven PR en QR zijn scharnierend met elkaar verbonden. In punt R werkt een horizontale kracht F. Ten gevolge van kracht F treedt in staaf PR een kracht op van 600N. Bepaal kracht F. KRachtenschaal 1cm=200N.
Twee evenlange stangen PR en QR zijn scharnierend verbonden en worden in R belast door een kracht F = 1000N, evenwijdig met het horizontale vlak. Krachtenschaal 1cm=250N. Bepaal de krachten in de stangen PR en QR.
Een slee met een gewicht van 1000N bevidt zich op een besneeuwde helling van 30^o. Bepaal de krachten evenwijdig aan en loodrecht op de helling. Krachtenschaal 1cm=1000N.
Een voorwerp met een gewicht van 260N bevindt zich op een hellend vlak. Bepaal de krachten evenwijdig aan en loodrecht op de helling. KRachtenschaal 1cm=100N
Op een hellend vlak ligt een blok met een gewicht van 100N. Ontbindt het gewicht in de richtingen evenwijdig aan en loodrecht op de helling. KRachtenschaal 1cm=25N.
Een voorwerp P bevindt zich op een vlak met een hellingshoek van 30^o. Het voorwerp P is via een koord en een katrol verbonden aan het blok Q. De blokken P en Q huden elkaar juist in evenwicht.
Blok Q heeft een gewicht van 50N. Bepaal het gewicht van blok P. Krachtenschaal 1cm=25N.
Een last hangt aan de staven AB en BC. BEpaal door ontbinden de krachten in de staven AB en BC. KRachtenschaal 1cm=2kN.
De slee heeft een gewicht van 350N en wordt voortgetrokken door een kracht van 150N. Krachtenschaal 1cm=30N. Bepaal:
- de kracht. die de sleevoortbeweegt
- de kracht, die op de sneeuw wordt uitgeoefend.

moment

Wanneer we een moer met behulp van een steeksleutel vastdraaien, dan oefenen we een kracht uit die wordt omgezet in een draaibeweging en zetten we daarmee de moer vast. Wanneer we de lengte van de steeksleutel langer maken dan lijkt het of we minder kracht hoeven te zetten en dat het vastdraaien van de moer gemakkelijker gaat. De kracht die we uitoefenen zal niet veel meer zijn geworden. Toch zegt ons gevoel dat het gemakkelijker gaat. Dus moet de lengte van de steeksleutel hier wel een belangrijke rol spelen.

Het sleutelwoord hier is 'Moment'. De definitie van een moment is:

Een moment ten opzichte van een punt is het product van de kracht en de arm, waarbij de hoek tussen de kracht en de arm 90^o moet zijn.

Verder spreken we nog iets af, namelijk: als de eventuele draaiing in de richting van de wijzers van de klok is dan noemen we dit een positief moment. Gaan we tegen de wijzers van de klok in dan is dit een negatief moment.

De formule die bij momenten hoort is:

Moment = kracht x arm
M = F x l
Nm = N x m

De toepassingen vinden we terug in:

het vast- en los draaien van bouten en moeren met steek- en ringsleutels
het openen van een deur met de kruk
de trappers op een fiets
het openen van een blik verf
de spil van een bankschroef
de momentsleutel

Voorbeeld 1

Met een steeksleutel wordt een moer vastgedraaid. De sleutel heeft een lengte van 22 cm. De kracht op de sleutel is 200 N.
Bereken het moment dat op de moer wordt uitgeoefend.

	Gegevens:
F	= 200 N
l	= 0,22 m
	Gevraagd:
	M?
	Oplossing:
M	= F x l
	= +200 N x 0,22 m
M	=+44 Nm

Voorbeeld 2

Op een staaf AB die in P (het draaipunt) ondersteund wordt, werken de krachten F₁ = 400 N en F₂ = 250 N.
Verder is bekend: AP = 30 cm, PC = 24 cm, AC = 18 cm en PB = 20 cm.
Bereken de momenten van F₁ en F₂ t.o.v. punt P.

Oplossing:

M_F1

= F₁ x l (PC)

= -400 N x 0,24 m

M_F1

= -96 Nm

M_F2

=F₂ x l (PB)

= +250 N x 0,2 m

M_F2

= +50 Nm

Opmerking:
Voor het moment van F₁ is PC de arm, want de hoek tussen de werklijn van de kracht en de arm moet 90^o zijn.

Voorbeeld 3

Op een staaf AD werken de volgendekrachten:

in A: F₁ = 110 N
in B: F₂ = 100 N
in C: F₃ = 75 N
in D: F₄ = 120 N

Staaf AD is 140 cm lang. AB = 40 cm en AC = 85 cm.

Bereken de momenten van F₁, F₂, F₃, F₄ ieder afzonderlijk t.o.v. punt A
Bereken de momenten van F₁, F₂, F₃, F₄ ieder afzonderlijk t.o.v. punt C

Oplossing t.o.v. A:

M_F1

= F₁ x l

= 110 N x 0 m

M_F1

= 0 Nm

M_F2

=-F₂ x l

= -100 N x 0,4 m

M_F2

= -40 Nm

M_F3

= -F₃ x l = -75 N x 0,85 m

M_F3

= -63,75 Nm

M_F4

= +F₄ x l = +120 N x 1,4 m

M_F4

= +168 Nm

Oplossing t.o.v. C:

M_F1

=- F₁ x l

= -110 N x 0,85 m

M_F1

= -93,5 Nm

M_F2

=+F₂ x l

= +100 N x 0,45 m

M_F2

= +45 Nm

M_F3

= F₃ x l = 75 N x 0 m

M_F3

= 0 Nm

M_F4

= +F₄ x l = +120 N x 0,55 m

M_F4

= +66 Nm

--} opgaven

Met een klauwhamer wordt een spijker uit een plank getrokken. De kracht F = 175 N en de lengte van de steel is 18 cm.
Bereken het moment waarmee de spijker uit het hout wordt getrokken.
Een werkstuk wordt met een kracht van 350 N in een bankschroefgeklemd. De lengte van de spil is 30cm.
Bereken het moment waarmee het werkstuk wordt vast geklemd.
Het werkstuk wordt nogmaals in de bankschroef geklemd, maar nu met een moment van 144 Nm.
Bereken de kracht waarmee dat wordt gedaan.
Met een haaksleutel wordt een borgring van een lager los gedraaid. De kracht F 180 N. De lengte van de sleutel is 16 cm.
Bereken het moment waarmee de borgring wordt losgedraaid.
Een riemoverbrenging oefent een moment uit van 12 Nm. De diameter van het kleine wiel is 12 cm.
Bereken de kracht F.
Als je een fietstocht tegen sterke wind in moet maken ga je wel eens op de pedalen staan. Welke stand geeft het beste resultaat? Anders gezegd: in welke stand is het moment het grootst?
In stand A, B, C of D? (Antwoord verklaren).
Op een hefboom werken de krachten Fl en F2.
- Bereken het moment van Fl t.o.v. het steunpunt.
- Bereken het moment van F2 t.o.v. het steunpunt.
Bereken de lengte van de haaksleutel als het moment 36,55 Nm is. De kracht F 215 N.
Op een staaf AD werken de krachten F1 en F2.
- Bereken de momenten van Fl en F2 afzonderlijk t.o.v. punt A.
- Bereken de momenten van Fl en F2 afzonderlijk t.o.v. punt D.
Nu andere staaf AD.
- Bereken de momenten van F1, F2 en F3 afzonderlijk t.o.v. punt A.
- Bereken de momenten van Fl, F2 en F3 afzonderlijk t.o.v. punt B.
De kracht F op het pedaal A is 750 N. De cranklengte AB = 18,4 cm. AC = BC = 13 cm.
Bereken het mmoment van F t.o.v. punt B.

momentstelling

In de vorige paragraaf hebben we geleerd krachten samen te stellen die evenwijdig aan elkaar werken.
Bij gelijk gerichte krachten vinden we de resultante door F₁ en F₂ op te tellen.
Wanneer de krachten tegengesteld gericht zijn, is de resultante gelijk aan het verschil tussen F₁ en F₂.
De plaats van de resultante vinden we met de regel:

Verwissel beide krachten van plaats en keer de kleinste om.

In het plaatje hierboven hebben we dat nog eens gedaan.

De resultante F_r is:

F_r	= F₁ + F₂
	= 50 N + 40 N
F_r	= 90 N

De gebruikte lengteschaal is 1cm = 25 cm, en dat geeft na meting en berekening:

AC	= 3,5 cm
	= 3,5 x 25
AC	= 87,5 cm

In plaats van de resultante meten en tekenen kunnen we deze ook berekenen. We gaan dan alsvolgt te werk.

Plaatsen we het gedeelte AB met daarop werkende krachten F₁ en F₂ op een balk, die bij P in de muur is ingeklemd, dan kunnen we het volgende zeggen:

PA = 75 cm, PB = 275 cm
Het moment van F₁ t.o.v. van P is:

M_F1	= + F₁ x l
	= +50 N x 0,75 m
M_F1	= +37,5 Nm

Het moment van F₁ t.o.v. van P is:

M_F2	= + F2 x l
	= +40 N x 2,75 m
M_F2	= +110 Nm

De resultante van F₁ en F₂ is F_r = 90 N.
Deze resultante gaat F₁ en F₂ vervangen, dus moet ook het moment van F₁ en het moment van F₂ vervangen worden door het moment van de resultante.

Kort samengevat kunnen we zeggen:

Moment F₁ + Moment F₂	= Moment F_r
+37,5 Nm + 110 Nm	= Moment F_r
Moment F_r	= +147,5 Nm

Het moment van F_r is ook:

Moment F_r	= F_r x l
+147,5 Nm	= +90 N x l
l	= +147,5 Nm / +90 N
l	= 1,64 m

AC	= l - PA
	= 1,64 m - 0,75 m
	= 0,89 m
AC	= 89 cm

In het vorige deel bepaalden we de afstand AC door opt meten, maar de bovenstaande methode kunncn we AC precies berekenen.
De methode waarmee we het aangrijpingspunt van de resultante van twee, maar ook van meerdere krachten die evenwijdig aan elkaar werken, berekenen, noemen we de momentenstelling.

De momentenstelling luidt als volgt:
De som van de momenten van enige krachten t.o.v. een willekeurig punt is gelijk aan het moment van de resultante van die krachten t.o.v. datzelfde punt.

Kort samengevat:

Moment F₁ + Moment F₂ + Moment F₃ + ... ... = Moment F_r

Toepassingen
Evenwijdige krachten komen in de techniek veel voor, zoals bij bruggen en viaducten, maar ook bij fundaties van gebouwen en machines. Door de resultante en de plaats van de resultante te berekenen, kunnen we de totale belasting bepalen, om zo te zorgen dat bruggen sterk genoeg zijn en fundaties niet bezwijken onder de zware belasting.

Voorbeeld 1
Een balk AB is in een muur bevestigd. De balk steekt 4m uit de muur. Op lm van de muur werkt een kracht Fl 100 N en op het einde van de muur in punt B werkt F2 20 N.
Beide krachten werken naar beneden.
Bereken de grootte en de plaats van de resultante.

	Gevraagd:
	Bereken F_r en het aangrijpingspunt
	Oplossing:
F_r	= F₁ + F₂
	= 100 N + 20 N
F_r	= 120 N

Moment F₁	+ Moment F₂	= Moment F_r
+100 N x 1 m	+20 N x 4 m	= 120 N x l
+100 Nm	+80 Nm	=120 N x l
l =	+180 Nm / +120 N
l =	1,5 m

De resultante F_r = 120 N en grijpt aan op een afstand van 1,5 m van A.

Voorbeeld 2
Op een balk AB werken drie krachten. F₁ = 40 N en F₂ 60 N werken loodrecht naar beneden op afstanden van 80 en 100 cm van A.
F₃ 20 N en werkt in B loodrecht omhoog. AB 120 cm.
Bereken de grootte en de plaats van de resultante.

	Gevraagd:
	Bereken F_r en het aangrijingspunt
	Oplossing:
F_r	= F₁ + F₂ - F₃
	= 40 N + 60 N - 20 N
F_r	= 80 N

Moment F₁	+ Moment F₂	- Moment F₃	= Moment F_r
40 N x 0,8 m	+ 60 N x 1 m	- 20 N x 1,2 m	= +80 N x l
32 Nm	+ 60 Nm	- 24 Nm	= +80 N x l
		+ 68 Nm	= +80 N x l
	l =	+ 68 Nm / +80N
	l =	0,85 m

De resultante F_r = 80 N en grijpt aan op een afstand van 0,85 m van A.

--} opgaven

Maak bij elke opgave een nette en duidelijke tekening en plaats daar alle gegevens in.

Op een bij A ingeklemde balk AB werken twee krachten F₁ = 50 N en F₂ = 90 N loodrecht naar beneden. AB = 1 m.
F_l werkt op een afstand van 0,2 m van A en de afstand van F₂ tot A is 0,7 m.
Bereken de grootte en de plaats van de resultante op 3 decimalen nauwkeurig.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 0,1 m.
Drie evenwijdig gelijk gerichte krachten F₁ = 60 N, F₂ = 20 N en F3 = 80 N werken op een bij A ingeklemde balk AB (alle drie naar beneden gericht). AB = 130 cm.
F₁ werkt op 40 cm van A, F₂ op 76cm van A en F₃ werkt op 121 cm van A.
Bereken de grootte en de plaats van de resultante op 2 decimalen nauwkeurig.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 0,1 m.
Op een bij A ingeklemde balk AB werkt de kracht F₁ 60 N loodrecht naar beneden op een afstand van 30cm van A. F₂ = 20 N en werkt loodrecht omhoog op een afstand van 70 cm van A. AB 100 cm.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 10 cm.
Bereken de grootte en het aangrijpingspunt van de resultante.
Op een bij A ingeklemde balk AB werkt de kracht F₁ = 20 N op een afstand van 30 cm loodrecht naar beneden. F₂ = 60N en is loodrecht omhoog gericht en werkt op een afstand van 70 cm. De balk AB 100 cm lang.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 10 cm.
Bereken de grootte, de richting en het aangrijpingspunt van de resultante.
Bereken de grootte en het aangrijpingspunt van de resultante van de krachten uit de afbeelding hieronder op 2 decimalen nauwkeurig.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 0,5 m.
Bereken de grootte en het aangrijpingspunt van de resultante van de krachten op 2 decimalen nauwkeurig.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 0,5 m.
Bereken de grootte en het aangrijpingspunt van de resultante van de krachten op 2 decimalen nauwkeurig.
Krachtenschaal: 1 cm = 20 N en Lengteschaal: 1 cm = 20 cm.
Bereken de grootte en het aangrijpingspunt van de resultante van de krachten op 2 decimalen nauwkeurig.
Krachtenschaal: 1 cm = 40 N en Lengteschaal: 1 cm = 2 dm.

evenwicht

Evenwichtsvoorwaarden met één steunpunt

In de vorige paragraaf hebben we met de momentstelling geleerd krachten, die evenwijdig aan elkaar werken, samen te stellen.

Wanneer op een balk AB twee krachten F₁ en F₂ werken dan vinden we de resultante F_r:

F₁	= F₁ + F₂
	= 500 N + 400 N
F₁	= 900 N

Passen we de momentstelling ten opzichte van A toe, dan kunnen we het aangrijpingspunt van de resultante berekenen.

M van F₁	+ M van F₂	= M van F_r
500 N x 0 m	+ 400 N x 2,7 M	= 900 N x AS
0 Nm	+ 1080 Nm	= 900 N x AS
	AS	= 1080 Nm / 900 N
	AS	= 1,2 m

De resultante F_r = 900 N en grijpt op een afstand van 1,2 m rechts van A in het punt S.
Willen we dat de balk AB in evenwicht is dan zal er in S een even grote maar tegengestelde kracht E 900 N moeten werken.

Stellen we de balk AB scharnierend op, zodat de balk draaibaar is, dan zullen we de balk in S moete ondersteunen om te zorgen dat de balk in evenwicht is.

Op de balk werken nu drie krachten namelijk:

in A: F₁ 500 N (naar beneden)
in S: E = 900 N (naar boven)
in B: F₂ = 400 N (naar beneden)

We spreken nu eerst af dat een kracht die omhoog werkt negatief (—) is en een kracht die naar beneden werkt positief (+) is.
Tellen we F₁, E en F₂ bij elkaar op dan zien we:

+F₁	-E	+F₂	=
+500 N	-900 N	+400 N	= 0

Hieruit volgt de regel:

bij evenwicht is de algebraïsche som van de verticale krachten gelijk aan nul.
$\sum Fv = 0$

$\sum$ betekent: de algebraïsche optelling van

F_v betekent: alle vertikale krachten.

Deze regel noemen we de eerste evenwichtsvoorwaarden.

Berekenen we de momenten van F₁, E en F₂ ten opzichte van S en tellen we die bij alkaar op dan zien we:

-M van F₁	+M van E	+M van F₂	=
-500 N x 1,2 m	+900 N x 0 m	+400 N x 1,5 m	=
-600 Nm	+0 Nm	+600 Nm	= 0 Nm

Berekenen we de momenten van F₁, E en F₂ ten opzichte van A en tellen we die bij alkaar op dan zien we:

+M van F₁	-M van E	+M van F₂	=
+500 N x 0 m	-900 N x 1,2 m	+400 N x 2,7 m	=
+0 Nm	-1080 Nm	+1080 Nm	= 0 Nm

We zien dat in beide gevallen de som van de momenten = 0. Hieruit volgt de regel:

bij evenwicht is de algebraïsche som van de momenten ten opzichte van elk willekeurig punt gelijk aan nul.
$\sum MtovP = 0$

Deze regel noemen we de tweede evenwichtsvoorwaarden.

De kracht in het steunpunt S is een reactie op de krachten F₁ en F₂, daarom noemen we de kracht in S ook wel R_s de reactiekracht in S.

In de tweede evenwichtsvoorwaarde stellen we dat de som van de momenten t.o.v. elk willekeurig punt gelijk is aan nul. In de meeste gevallen kiezen we echter het steunpunt als momentencentrum. Dit doen we, omdat in het steunpunt meestal een onbekende kracht werkt. Het moment van deze onbekende kracht is dan nul. Zodoende raken we in de vergelijking die we krijgen één van de twee onbekenden kwijt. Er blijft nog één onbekende over, die we gemakkelijk kunnen uitrekenen.

Het komt ook wel eens voor dat er op een balk naast vertikale krachten ook horizontale krachten werken. Dan geldt de derde evenwichtsvoorwaarde en die luidt:

bij evenwicht is de algebraïsche som van de horizontale krachten gelijk aan nul.
$\sum Fh = 0$

Deze regel noemen we de derde evenwichtsvoorwaarden.

Evenwichtsvoorwaarden met twee steunpunten

Hieronder is een balk met 2 steunpunten getekend. Het steunpunt A is vast gemonteerd. Hte steunpunt B heeft een roloplegging, waardoor het punt B kan verrollen om de uitzetting of krimp van de balk op te kunnen vangen.

Ook hier gelden alle evenwichtsvoorwaarden. $\sum Ma = 0$

M van R_a	+M van F	-M van R_b	= 0
R_a x 0 m	+120 N x 1 m	-R_b x 3 m	= 0
0 Nm	+120 Nm	-R_b x 3 m	= 0
		R_b x 3 m	= -120 Nm
		R_b	= -120 Nm / 3 m
		R_b	= -40 N

En de eerste evenwichtsvoorwaarde is hier ook geldig, $\sum Fv = 0$

-R_a	+F	-R_b	= 0
-R_a	+120 N	-40 N	= 0
-R_a	+80 N		= 0
		R_a	= 80 N

De reactiekrachten in de punten A en B zijn dus:

R_a = 80 N
R_b = 40 N

In de theorie hebben we het gewicht van de balk tot nu toe buiten beschouwing gelaten.
Wordt het gewicht van een balk gegeven dan grijpt dat in het midden (het zwaartepunt) van de balk aan.
Dit geldt echter alleen voor homogene balken. Homogeen wil zeggen dat de balk overal dezelfde doorsnede heeft en overal van hetzelfde materiaal gemaakt is.

Toepassingen

Evenwichtsvoorwaarden met één steunpunt vinden toepassing bij:

de wip
de koevoet
de nijptang
de hijskraan

Het is ook mogelijk dat het steunpunt zich niet in het midden, maar aan één van de uiteinden bevindt zoals:

de kruiwagen
de notenkraker
het veiligheidstoestel van bijvoorbeeld een stoomketel.

Evenwichtsvoorwaarden met 2 steunpunten worden toegepast bij:

een brug of een viaduct
een portaalkraan
het onderstel van de auto of de trein
de evenwichtsbalk bij de gymnastiek

Voorbeeld 1

Op een balk AB, die in S ondersteund wordt, werken de volgende krachten: F₁ = 60 N op 100 cm van S en de onbekende kracht F₂ op 150 cm van S. De balk is in evenwicht.
Bereken de krachten F₂ en E.

Gevr:	F₂ en E
Opl:	$\sum Ms = 0$
-M van F₁	+M van E	+M van F_a	= 0
-60 N x 1 m	+E x 0 m	+F₂ x 1,5 m	= 0
-60 Nm	+0 Nm	+F₂ x 1,5 m	= 0
		F₂	= 60 Nm / 1,5 m
		F₂	= 40 N
Opl:	$\sum Fv = 0$
+F₁	-E	+F₂	= 0
+60 N	-E	+40 N	= 0
	-E	+100 N	= 0
		E	= 100 N

Voorbeeld 2

Op een balk AB, lang 8 m, werken twee krachten F₁ = 6000 N op 1 m van A en F₂ = 4000 N op 4 m van A. De balk wordt in A en B ondersteund.
Bereken de grootte van de reactiekrachten R_a en R_b.

Gevr:	R_a en R_b
Opl:	$\sum Ms = 0$
M van R_a	+M van F₁	+M van F₂	-M van R_b	= 0
R_a x 0 m	+6000 N x 1 m	+4000 N x 4 m	-R_b x 8 m	= 0
0 Nm	+6000 Nm	+16000 Nm	-R_b x 8 m	= 0
		+22000 Nm	-R_b x 8 m	= 0
			-R_b x 8 m	-22000 Nm
			R_b	=-22000 Nm / -8 m
			R_b	= 2750 N
Opl:	$\sum Fv = 0$
-R_a	+F₁	+F₂	-R_b	= 0
-R_a	+6000 N	+4000 N	-2750 N	= 0
		-R_a	+7250 N	= 0
			R_a	=7250 N

Voorbeeld 3

Op een homogene balk AB van 6 m lengte, die bij A en B ondersteund wordt, werken twee krachten. F₁ = 100 N en werkt op een afstand van 1,5 m loodrecht naar beneden. F₂ = 20 N en werkt op 4,5 m afstand van A loodrecht omhoog. Tevens heeft de balk een gewicht van 40 N.
Bereken de steunpuntsreacties R_a en R_b

Gevr:	R_a en R_b
Opl:	$\sum Ms = 0$
M van R_a	+M van F₁	+M van G	-M van F₂	-M van R_b	= 0
R_a x 0 m	+100 N x 1,5 m	+40 N x 3 m	-20 N x 4,5 m	-R_b x 6 m	= 0
0 Nm	+150 Nm	+120 Nm	-90 Nm	-R_b x 6 m	= 0
				-R_b x 6 m	= -180 Nm
				R_b	= -180 Nm / -6 m
				R_b	= 30 N
Opl:	$\sum Fv = 0$
-R_a	+F₁	+G	-F₂	-R_b	= 0
-R_a	+100 N	+40 N	-20 N	-30 N	= 0
			-R_a	+90 N	= 0
				R_a	= 90 N

maak nu de opgaven

--} opgaven

Op een balk AB, die in S ondersteund wordt, werken de volgende krachten:
• F₁ = 120 N op 40 cm afstand van S
• F₂ op 60 cm van S
De balk in in evenwicht. Bereken F₂ en E.
Op een balk AB, die in S ondersteund wordt, werken de volgende krachten:
• F₁60 cm afstand van S
• F₂ = 30 N op 100 cm van S
De balk in in evenwicht. Bereken F₁ en E.
Een balk is in evenwicht en wordt in S ondersteund. De volgende gegevens zijn bekend:
• F₁ = 70 N
• F₂ = 110 N
• BS = 35 cm
Bereken E en AS.
Op een balk AB wordt in S ondersteund. De balk is in evenwicht. De volgende gegevens zijn bekend:
• F₁ = 51 N
• F₂ = 17 N
• AS = 21 cm
Bereken E en BS.
Een balk is in evenwicht en wordt in S ondersteund. De volgende gegevens zijn bekend:
• F₁ = 63 N
• E= 162 N
• AS = 66 cm
Bereken F₂ en BS.
Een in de uiteinden A en B ondersteunde balk is belast door een kracht F = 85 N.
Bereken de reachtiekracht R_a en R_b.
Een in de uiteinden A en B ondersteunde balk is belast door een kracht F₁ = 100 N en F₂ = 55 N.
Bereken de reachtiekracht R_a en R_b.
Op een homogene balk AB, die bij A en B ondersteund wordt, werken twee krachten F₁ = 440 N en F₂ = 100 N. De balk is 8 m lang en heeft een gewicht van 100 N.
Bereken de reachtiekracht R_a en R_b.
Op een homogene balk AB, die bij A en B ondersteund wordt, werken twee krachten F₁ = 400 N en F₂ = 100 N. F₁ werkt vertikaal naar beneden en F₂ vertikaal omhoog. De balk heeft een lengte van 8 m en een gewicht van 100 N. F₁ grijpt aan op 2 m van A en F₂ op 6 m van A.
Bereken de reachtiekracht R_a en R_b.
Op een homogene balk AB met een gewicht van 100 N werken drie krachten.
Bereken de reachtiekracht R_a en R_b.
Een zes meter lange homogene balk, die 600 N permeter weegt, wordt ondersteund in de punten A en B op 1 meter van de uiteinden (B ligt 4 m rechts van A). In het linkeruiteinde hangt een gewicht van 2400 N.
• Maak een duidelijke tekening met de ingeschreven maten. Neem 1 cm = 0,5 M en 1 cm = 1 kN als schalen.
• Bereken hoe groot de reactiekrachten zijn in A en B.
Een homogene 8 meter lange balk ABCD, die een gewicht heeft van 600 N is scharnierend opgelegd in B. De balk wordt in A belast door een kracht F₁ = 300 N. AB = BC = 2 m. In D werkt een kracht F₂ omhoog.
• Bereken F₂
• Bereken de reactiekracht in B
Een homogene balk AB is in A scharnierend bevestigd. In B is een koord vastgemaakt dat aan het plafond is bevestigd. Het gewicht van de balk F_g = 400 N. De kracht in B, die het koord op de balk uitoefent F₃ = 800 N. Op de balk werken nog twee krachten. Een onbekende kracht F₁ en een kracht F₂ = 800 N.
• Bereken de kracht F₁
• Bereken de reactiekracht in punt A van de balk en geef de richting aan.
Op een wagen staan kisten I en II. Het gewicht van de wagen is 5 kN. Het gewicht van kist I is 20 kN. Het gewicht van kist II is 10 kN.
Bereken:
• de reactiekracht op R
• de reactiekracht op L
Een springplank AC is scharnierend bevestigd in A. In punt B steunt de plank op een rol. Het gewicht van de springplank F_g = 1200 N. Bij punt C staat een persoon waarvan het gewicht F_g2 = 700 N is.

Ga er van uit dat de springplank niet doorbuigt. Bereken:
1. de reactiekracht in punt B, en geef de richting aan
2. de reactiekracht in punt A, en geef de richting aan

Men verplaatst nu de rol in de richting van A. De peroon blijft bij punt C staan.

De reactiekracht in punt A (maak een keuze en verklaar je antwoord)
1. wordt kleiner
2. blijft gelijk
3. wordt groter

Bewegingsleer

Kinematica of bewegingsleer is een onderdeel van de klassieke mechanica en houdt zich bezig met beweging. Van bewegende lichamen worden de chemische en fysische eigenschappen, met uitzondering van de afmetingen, buiten beschouwing gelaten, evenals de erop werkende krachten.
Binnen dit keuzedeel gaan we echter niet op alle onderwerpen in. We beperken ons tot eenvoudig onderzoek, de basisbegrippen en de eenparige versnellingen en vertragingen. Verder maken we ook een kort uitstapje naar de koppelingen van krachten bij de verschillende bewegingen.

Basisstof:

Beweging onderzoeken
Snelheid en versnelling
Eenparig versneld
Eenparig vertraagd

Uitbreiding en koppeling met Krachtenleer:

Voortstuwen en tegenwerken
Optrekken en afremmen
Kracht en arbeid

onderzoeken

Bewegingen vastleggen
Er zijn verschillende manieren bedacht om bewegingen in beeld te brengen. Een turntrainer gebruikt videobeelden om zijn turners
een nieuwe beweging aan te Leren. Een verkeersleider gebruikt radarbeelden om het vliegverkeer rond een luchthaven te regelen. Een jurylid gebruikt een ﬁnishfoto om te zien wie een atletiekwedstrijd qewonnen heeft.

Hieronder staan twee mogelijkheden om een beweging in beelden
vast te Leggen.

Stroboscopische foto's
Een stroboscopische foto wordt gemaakt in een verduisterde ruimte met als enige verLichting een stroboscooplamp. Dat is een lamp die met regelmatige tussenpozen een korte lichtflits geeft. De sluiter van het fototoestel staat gedurende de hele beweging open. Elke keer dat de stroboscooplamp een lichtflits geeft, wordt op de foto één momentopname van de beweging vastgelegd.

Video-opnames
Met een videocamera kun je een beweging filmen. Na aﬂoop kun je de beeldjes van de beweging één voor één bekijken en bestuderen.
Op een opname van een botsproef kun je bijvoorbeeld zien of een auto de inzittenden voldoende beschermt en zo niet, wat er dan precies misgaat. Autofabrikanten gebruiken dit soort beelden om auto's veiliger te maken.

Gegevens verzamelen uit een stroboscopische foto, In de afbeelding hiernaast, zie je een schematische weergave van een stroboscopische foto. Om gegevens uit zo'n stroboscopische foto af te kunnen lezen, moet je twee dingen weten:

hoe groot de tijdsduur is tussen 2 flitsen van de stroboscoop
hoe groot de afstanden op de foto in werkelijkheid zijn

Toen de foto in de afbeelding werd genomen ﬂitste de lamp met een frequentie van 5 Hz. De tijd tussen twee opeenvolgende opnames is dus 0,2 s. Langs het hellend vlak waarover de auto beweegt, is een meetlat gelegd. Daarop kun je de afgelegde afstand aflezen.

Voorbeeld
Hoe groot is de afstand die de auto aflegt in de eerste 0,6 seconden?
Ga ervan uit dat de eerste foto werd genomen toen de beweging begon.

De eerste foto is genomen op t₁ = 0s. De tweede foto is genomen op t₂ = 0,2s, de derde op t₃ = 0,4s en de vierde op t₄ = 0,6s. De neus van het autootje bevond zich op de vierde foto op 36 cm van het startpunt. De afgelegde afstand na 0,6 seconden is dus 36cm = 0,36m.

Een (s,t)-diagram maken
Je kunt de qeqevens uit een stroboscopische foto verwerken tot een (s,t)-diagram. Daarbij ga je als volgt te werk:

Lees uit de foto af hoe groot de afgelegde afstand (s) is op verschillende tijdstippen (t).
Noteer de gegevens over de tijd en de afgelegde afstand in een tabel: de tijd links en de afgelegde afstand rechts.
Teken het (s,t)-diagram met behulp van de gegevens in de tabel.

Hiernaast is het (s,t)-diagram getekend van het autootje langs de helling. Langs de horizontate as staat de tijd en langs de verticale as staat de afgelegde afstand. Controleer zelf of het (s,t)-diagram klopt met de gegevens die je uit de foto kunt aﬂezen.

De gemiddelde snelheid
Als je door een drukke stad ﬁetst, kun niet steeds dezelfde snelheid aanhouden. Je moet remmen, stoppen, wachten voor een
stoplicht, weer snelheid maken enzovoort. In afbeelding 2 zie je het (s,t)-diagram van zo'n beweging.

Vaak is het handig om je gemiddelde snetheid te kennen. Je krijgt dan een indruk hoe snelje eigenlijk vooruit gekomen bent, over de hele beweging gerekend. Je kunt de (V_gem) van een beweging berekenen met de formule:

$Vgem = \frac {s}{t}$

In dit geval kun je s en t aflezen uit het (s,t)-diagram. Als je s invult in meters en t in seconden, vind je de gemiddelde snelheid in m/s.
Wil je weten hoe groot de snelheid is in km/h, dan vermenigvuldig je de uitkomst met 3,6. Er geldt immers:

$1 \frac{m}{s} = \frac{1m}{1s} = \frac{3600 * 1m}{3600 * 1s} = \frac{3,6km}{1h} = 3,6\frac{km}{h}$

Voorbeeld
Jenny Wolf schaatste op 11 december 2009 een wereldrecord op de 500 meter. Haar tussentijd na 100 meter was 10,19s, de eindtijd 37,00s.
Bereken de gemiddelde snelheid in km/h over de eerste 100 meter en over de hele 500 meter.

$Vgem = \frac{s}{t} = \frac{100}{10,19} = 9,81...^m/_s = 35,3 \frac{km}{h}$

$Vgem = \frac{s}{t} = \frac{500}{37,00} = 13,51...^m/_s = 48,6 \frac{km}{h}$

--} opgaven

Tijdens een fietstocht wordt enkele keren gerust. Van die fietstocht is een (s,t)-diagram gemaakt.
Hoe herken je de rustpunten in dat (s,t)-diagram?
1. De lijn van de grafiek stijgt minder snel
2. De lijn van de grafiek loopt daar horizontaal
3. De lijn van de grafiek daalt daar
4. De lijn van de grafiek loopt daar over de horizontale as (is nul)
Beantwoord de volgende vragen
1. Noteer twee manieren om beelden van een beweging vast te leggen
2. Een stroboscoop flitst met een frequentievan 5 Hz. Hoe groot is dan de tijd tussen twee opeenvolgende flitsen?
3. In een opgave staat: "De foto is afgedukt op schaal 1:10.". Leg uit wat daarmee wordt bedoeld
4. Met welke formule kun je de gemiddelde snelheid van een beweging berekenen?

In de figuur zie je een stroboscopische foto van een autootje dat een helling afrijdt. De frequentie van de stroscooplamp is 5 Hz.

Hieronder is een begin gemaakt van een(s,t)-tabel. Neem deze over en vul hem verder in.

t(s)	s (cm)
0	0
0,2	2
0,4	9
0,6

Teken op ruimtjespapier het (s,t)-diagram van de beweging
Wat kun je zeggen over het verband tussen s en t?
A - Het verband is evenredig
B - Het verband is lineair
C - Het verband is kwadratich
D - Het verband is omgekeerd evenredig

Sietze wil onderzoeken hoe een wagentje beweegt. Om de beweging vast te leggen, gebruikt hĳ een tijdtikker. Dat is een apparaatje dat met regelmatige tussenpozen stippen zet op een strook papier.
Voor de proef maakt Sietze een strook papier vast aan het wagentje. Daarna geeft hij het wagentje een duw en laat het uitrijden tot het stilstaat. Het wagentje trekt de strook papier ondertussen door de tijdtikker, zodat er een serie stippen op het papier komt te staan.
In de figuur zie je het laatste gedeelte van Sietzes tikkerstrook. De tijdtikkér heeft een frequentie van 50 Hz. Dat betekent dat hij 50 stippen per seconde zet.

Vul de tabel verder in. Tip de afstand tussen de eerste twee stipjes (van links naar rechts) is 3,6 cm. Wanneer dit in jouw afbeelding niet het geval is bereken dan een verhoudingsgetal en vermenigvuldig hiermee al je metingen.

t (s)	s (cm)
0	0
0,02	3,6

Teken het (s,t)-diagram van de beweging en vul de getallen op de assen van de grafiek in.

Een deelnemer aan de triatlon legt de 3,8 km zwemmen af in 2 uur. De 180 km fietsen doet hĳ in 5 uur. Over de 42 km marathon doet hij 3 uur.
1. Bereken de gemiddelde snelheid voor elk van de drie onderdelen afzonderlijk.
2. Bereken de gemiddelde snelheid voor de hele triatlon.
Reken de volgende snelheden om van km/h naar ^m/_s

a Een gewone snelheid voor een wandelaar: 5 km/h.
b Een gewone snelheid voor een fietser: 18 km/h.
Reken de volgende snelheden om van m/s naar km/h.
1. De topsnelheid van een zwemmer: circa 2,0 m/s.
2. b De topsnelheid van een schaatser: circa 13 m/s.
Gert-Jan rijdt in zijn auto over de snelweg. Hij doet 25 minuten over de afstand Groningen-Drachten (34 km).
Bereken zijn gemiddelde snelheid in km/h. Rond af op twee decimalen.

snelheid en versnelling

Een (v,t)-diagram maken
Op de snelheidsmeter van een auto je zien, hoe snel de auto op een bepaald moment beweegt. Als je de snelheidsmeter met tussenpozen van 1 seconde fotografeert, krijg je een serie afbeeldibgenen. Op de afbeeldingen kun je aflezen hoe groot de snelheid is op t=0s, t=1s, t=2s enzovoort.

Met de bovenstaande gegevens kun je een (v,t)-diagram tekenen van de beweging. In de figuur hiernaast zie je hoe zo'n (v,t)-diagram eruitziet.
Langs de horizontale as van zo'n diagram staat de tijd (t), langs de verticale as de snelheid (v). Je ziet dat de snelheid toeneemt en vervolgens constant blijft.

Je kunt de beweging van de auto verdelen in twee delen:

Van t=0 tot t=4,0s is de beweging versneld. De auto begint te bewegen op t=0s en trekt daarna geleidelijk op.
Op t=4s heeft de auto de snelheid bereikt die de bestuurder wil: 40 km/h. De auto rijdt daarna met dezelfde snelheid verder. Zo'n beweging waarvan de snelheid niet verandert, noem je een eenparige beweging.

Let erop dat je een (v,t)-diagram (snelheid,tijd) niet verwart met een (s,t)-diagram (afstand,tijd). Kijk altijd goed naar de grootheden en eenheden die langs de assen staan, om te zien wat voor diagram het is.

Eenparige bewegingen
Bij een eenparige beweging is de snelheid constant. De snelheid stijgt niet en daalt ook niet. Dat betekent dat het (v,t)-diagram er zo uitziet als de linker figuur: de graﬁek een rechte lijn die horizontaal loopt.

Bij een eenparige beweging neemt de afgelegde afstand gelijkmatig toe: elke seconde komt er evenveel bij. Dat betekent dat het (s,t)-diagram er zo uitziet als de rechter ﬁguur: de graﬁek is een rechte lijn die schuin omhoog loopt.

Bij een eenparige beweging verandert de snelheid niet. Als je de gemiddelde snelheid kent, weet je meteen hoe groot de snelheid was op elk moment van beweging. Bij een eenparige beweging geldt dus:
$V = Vgem = \frac{s}{t}$

Voorbeeld
Bekijk de foto’s in bovenstaande afbeelding. De tijd tussen twee opeenvolgende opnames is 1,0 s.
Bereken hoe groot de snelheid van hardloper is.
$s = 9,0 - 3,0 = 6,0m$

$t = 2 * 1,0 = 2,0 s$
$v = \frac{s}{t} = \frac{6,0m}{2,0s} = 3^m/_s = 10,8 kmh$

Versnelde bewegingen
Hiernaast zie je een (v,t)-diagram uit het testrapport van een auto. De auto trekt tijdens de test op van 0 km/h naar 160 km/h. Als de auto een snelheid van 160 km/h heeft bereikt, neemt snelheid niet verder toe. De beweging is dan eenparig geworden.

In de linker afbeelding is het begin van de beweging ’vergroot' weergegeven. Je ziet dat de snelheid in de eerste twee seconden gelijkmatig toeneemt. Na één seconde is de snelheid 4 ^m/_s, na twee seconden 8 ^m/_s. Er komt dus elke seconde 4 ^m/_s bij. Zo'n beweging waarvan de snelheid gelijkmatig groter wordt, wordt een eenparige beweging genoemd.

De snelheidsverandering per seconde noem je de versnelling. Bij de beweging hierboven is de versnelling 4 m/s per seconde.
Dit wordt geschreven als 4 meter per seconde kwadraat (m/s²).
In formules wordt voor de versnelling de letter a gebruikt (van acceleratie). Als er staat a=4 m/s² lijkt dat misschien ingewikkeld.
Maar het betekent gewoon dat de snetheid elke seconde toeneemt met 4 m/s.

Bij veel versnelde bewegingen is de versnelling niet steeds even groot. De beweging is wel versneld, maar niet eenparig versneld. Dat geldt ook voor de beweging hier: de snelheid blijft niet steeds toenemen met 4 m/s². Na de eerste twee seconden wordt de versnelling steeds kleiner, tot de auto zijn topsnelheid heeft bereikt.

De versnelling berekenen
Tijdens een eenparig versnelde beweging neemt de snelheid gelijkmatig toe van de beginsnelheid (V_b) tot de eindsnelheid (V_e).
Je kunt de snelheidsverandering berekenen door de beginsnelheid af we trekken van de eindsnelheid: ∆V = Ve — Vb. Het symbool ∆ (spreek uit: 'delta’) betekent verandering. ∆V staat dus voor de snelheidsverandering.

Om de versnelling te berekenen, deel je de snelheidsverandering door de benodigde tijd. Zo vind je de snelheidsverandering per seconde:

$a = \frac{Ve-Vb}{t} $ of korter $a = \frac{∆V}{t}$
Vaak kun je ook zonder formule beredeneren hoe groot de versnelling is. Je vraagt je dan gewoon hoe groot de snelheidsverandering per seconde is.

Voorbeeld
Een auto wit een andere auto passeren. De auto die inhaalt, versnelt eenparig gedurende 4,0s. De snelheid neemt in die tijd toe van 54 km/h tot 90 km/h.
Beredeneer of bereken de versnelling.

Je rekent de begin- en eindsnelheid naar ^m/_s.
V_b = 54 km/h = 15 ^m/_s
V_e = 90 km/h = 25 ^m/_s
t = 0,4s

Beredeneren:		Berekenen:
De snelheid neemt toe met		∆V = 25 - 15 = 10 ^m/_s
10 ^m/_s (van 15 naar 25 ^m/_s)
De auto doet daar 4,0 over.		$a = \frac{∆V}{t} = \frac{10}{4} = 2,5 m/s^2$

De versnelling is dus:
10 / 4,0 = 2,5 m/s²

Extra - Versnellingen vergelijken

In autoblad en op internet vind je testrapporten van allerlei autotypes. In zo'n autotest kun je onder andere lezen hoe snel de geteste auto optrekt van 0 naar 100 km/h. Met deze gegevens kun je zelf berekenen hoe groot de gemiddelde versnelling tijdens het optrekken is.

Voorbeeld
Volgens een site met autotesten versnelt een VOlkwagen Polo in 9,7 seconden van 0 naar 100 km/h.
Bereken de gemiddelde versnelling in die 9,7 seconden?

$Vb = 0km/h = 0 m/s$
$Ve = 100 km/h=27,8 km/h$
$t = 9,7 s$

$∆V = 27,8 - 0 = 27,8 m/s$

$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}a = \frac{∆V}{t} = \frac{27,8}{9,7} = 2,9\frac{m}{s^2}$

Een sportive auto met een zware motor, zoals een Porsche of een snelle BMW, heeft natuurlijk een grotere versnelling. Kijk maar eens in de tabel hierboven.

--} opgaven

In het handboek wordt gesproken over een eenparige beweging.
Wat versta je onder een eenparige beweging?
1. een beweging waarbij de snelheid elke seconde evenveel groter wordt
2. een beweging met constante snelheid
3. een beweging waarbij de snelheid elke seconde evenveel kleiner wordt
4. een beweging langs een zuivere rechte lijn

In een (v,t)-diagram kun je weergeven hoe de snelheid verandert.
Welke grootheden staan langs de assen? Kies hetjuiste antwoord.

	horizontale as	-	verticale as
a.	snelheid	-	tijd
b.	tijd	-	snelheid
c.	afgelegde weg	-	tijd
d.	tijd	-	afgelegde weg

Bij sommige bewegingen neemt de snelheid toe.
Hoe noem je de snelheidstoename per seconde en wat is de eenheid?

	grootheid	-	eenheid
a.	versnelling	-	^m/_s²
b.	versnelling	-	^m/_s
c.	vertraging	-	^m/_s²
d.	vertraging	-	^m/_s

Beantwoord de volgende vragen.
1. Hoe noem je een beweging waarvan:
  - de snelheid steeds groter wordt?
  - de snelheid steeds even groot is?
2. Vul in:
  In een (v,t)-diagram:
  - staat de .. .. .. .. .. .. langs de horizontale as;
  - staat de .. .. .. .. .. .. langs de verticale as.
Hierna worden twee eenparige bewegingen beschreven.
Bereken de snelheid van elke beweging in km/h. Rond af op twee decimalen.
1. Jantina loopt in 10 minuten van school naar huis. De afstand tussen de school en haar huis is 800 m.
2. Nuri fietst over een weg waarlangs hectometerpaaltjes staan. Hij doet 19 seconden over de afstand tussen twee paaltjes (100 meter).
Kees uit Zwolle trimt regelmatig en legt dan in 50 minuten een trimparcours af. Het trimparcours is 8,4 km lang. Kees loopt niet met een constante snelheid. Een vereenvoudigd (s,t)-diagram van de beweging van Kees zie je hiernaast in de figuur.
1. Bereken welke afstand Kees heeft afgelegd (in km) na 20 min
2. en na 40 min.
Mike woont op 1,8 km van zijn werk. Normaal gaat hij op de fiets. Vandaag niet, want hij heeft een lekke band. Hĳ moet lopen. Als Mike fietst, is zijn snelheid 15 km/h. Als Mike loopt, is zijn snelheid 6 km/h.
Bereken hoeveel minuten Mike eerder van huis moet vertrekken om op dezelfde tijd op zijn werk te zijn als anders. Rond af op hele seconden.

eenparig versneld

Op je skivakantie sta je boven aan de helling en twijfel je tussen de gevorderde piste of de beginners piste. Want de versnelling en de snelheid zijn op beide pistes verschillend. Maar hoe bereken je dat en hoe komt dat?

De snelheid van moment tot moment

Hiernaast is het (v,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging getekend. Je ziet dat de snelheid gedurende elke seconde toeneemt met 2^m/_s. De versnelling (a) is dus 2^m/_s².

Als de beweging begint, is de snelheid (V_b) 3 ^m/_s
De snelheid na 1 seconde (V₁) is: 3 + 2 x 1 = 5 ^m/_s
De snelheid na 2 seconden (V₂) is: 3 + 2 x 2 = 7 ^m/_s
De snelheid na 3 seconden (V₃) is: 3 + 2 x 3 = 9 ^m/_s

Je kunt de snelheid na t seconden dus berekenen met de formule: V_e = V_b + a x t

In deze formule is V_b de beginsnelheid van de beweging, a de versnelling en V_e de snelheid na t seconden. Dit iijkt een nieuwe formule, maar eigenlijk staat er niets nieuws. Als je goed kijkt, zie je dat V_e = V_b + a x t dezelfde formule is als:

$a = \frac{V_e - V_b}{t}$

maar nu geschreven met V_e voor het is-gelijkteken.

Voorbeeld
Een auto rijdt met 45km/h een dorp uit. Na het bord dat het einde van de bebouwde kom aangeeft, beweegt de auto 5 seconden lang eenparig versneld met een snelheid van 2 ^m/_s.
Bereken de snelheid?

V_b = 45km/h = 12,5 ^m/_s
a = 2 ^m/_s²
t = 5 s

V_e = V_b + a x t = 12,5 + 5 x 2 = 12,5 + 10 = 22,5 ^m/_s (dit maal 3,6 geeft km/h is: 81 km/h)

Een proef met een luchtkussenbaan
Je kunt meer te weten komen over eenparig versnelde bewegingen door proeven te doen met een luchtkussenbaan. Het wagentje zweeft vlak boven de baan op een laagje lucht. Daardoor is er bijna geen wrijvingskracht. De baan een beetje schuin gezet, zodat het wagentje met een constante versnelling naar beneden beweegt.

Als het wagentje bij A wordt losgelaten, gaat de elektronische klok lopen. Bij B passeert het wagentje een lichtpoort. Het signaal van de lichtpoort stopt de klok weer. Op deze manier kun je heel precies bepalen hoe lang het wagentje over een bepaalde afstand doet.

Je kunt de Lichtpoort van een luchtkussenbaan op verschillende plaatsen neerzetten. Zo kun je het verband onderzoeken tussen de afgelegde afstand s en de tijd t.

Het (s,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging
In de tabel zijn de meetresultaten van zo'n proef weergegeven. De lichtpoort is eerst op 20cm van het startpunt neergezet en daarna op 40cm, 60cm, 80cm enzovoort. Elke keer is de tijd gemeten die voor het afleggen van de afstand nodig was.

Met de gegevens van tabel is het (s,t)-diagram getekend. Je ziet dat de graﬁek een kromme is die steeds steiler omhoog loopt: doordat de snelheii steeds groter wordt, neemt de afstand steeds sneller toe. Zo'n graﬁek wordt een (halve) dalparabool genoemd. Het (s,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging heeft altijd deze kenmerkende vorm.

De afgelegde afstand berekenen
Als een auto versneld beweegt, legt hij tijdens die beweging een bepaalde afstand af. Je kunt die afstand (zoals bij elke beweging)
berekenen met: s = V_gem x t

De vraag is alleen wat je voor V_gem moet invullen. De snelheid de auto verandert immers voortdurend.

Bij een eenparig versnelde beweging ligt de gemiddelde snelheid precies halverwege de beginsnelheid en de eindsnelheid. Als de beginsnelheid 10 ^m/_s en de eindsnelheid 16 ^m/_s, is de gemiddelde snelheid dus 13 ^m/_s.

Vaak kun je in één oogopslag zien hoe groot de gemiddelde snelheid is. Je hoeft geen berekening uit te voeren om te zien dat 13 precies tussen 10 en 16 in ligt. Als de getallen lastiger zijn, kun je de volgende formule gebruiken:

$Vgem = \frac{Vb + Ve}{2}$

Voorbeeld
De auto uit het vorige voorbeeld versnelde in 5 seconden van 45 km/h naar 81 km/h. Bereken de afstand die de auto in die tijd heeft afgelegd?
V_b = 45 km/h = 12,5 ^m/_s
V_e = 81 km/h = 22,5 ^m/_s
t = 5 s

$Vgem = \frac{Vb + Ve}{2} = \frac{12,5+22,5}{2} = \frac{35}{2} = 17,5 ^m/_s$
$s=Vgem *t=17,5*5=87,5m$

De valbeweging
Hiernaast zie je een stroboscopische foto van een vallende pingpongbal. Je ziet dat de bal onder invloed van de zwaartekracht versneld naar beneden beweegt. Als je de luchtweerstand mag verwaarlozen (ten opzichte van de zwaartekracht), geldt de volgende regel:

De valbeweging is een eenparig versnelde beweging met een versnelling van 9,8 ^m/_s².

Het maakt niet uit hoe groot (of klein) de massa van een voorwerp als de luchtweerstand verwaarloosbaar klein is, is de valversnelling altijd 9,8 ^m/_s². Voor deze valversnelling wordt de letter g gebruikt (en dus niet een a). In opgaven en voor het gemak wordt g afgerond tot 10 ^m/_s².

In veel gevallen kun je de luchtweerstand niet verwaarlozen. Denk bijvoorbeeld aan een blad dat door de lucht naar beneden dwarrelt. Je ziet meteen dat zo'n blad niet een versnelling van 9,8 ^m/_s² heeft.
Ook een parachutist heeft gelukkig geen valversnelling van 9,8 ^m/_s²

--} opgaven

Voor het onderzoeken van bewegingen kun je gebruik maken van een luchtkussenbaan.
Waarom is een luchtkussenbaan daarvoor geschikt?
1. Het wagentje ondervindt helemaal geen wrijving
2. Het wagentje ondervindt bijna geen wrijving
3. Het wagentje ondervindt geen luchtweerstand
4. Het wagentje heeft evenveel massa als de omringende lucht
Je kunt een (s,t)-diagram maken van een beweging.
Hoe ziet het (s,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging eruit?
1. Het is een halve bergparabool
2. Het is een hele bergparabool
3. Het is een halve dalparabool
4. Het is een hele dalparabool
Vul in:
1. Bĳ een eenparig versnelde beweging ligt de .. .. .. .. .. .. snelheid precies halverwege de .. .. .. .. .. .. en de .. .. .. .. .. ..
2. Als je het (s,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging tekent, krijg je een kromme die steeds .. .. .. .. .. .. omhoog loopt. Zo’n grafiek noem je een (halve) .. .. .. .. .. ..
3. Als je de .. .. .. .. .. .. kunt verwaarlozen, is een valbeweging een .. .. .. .. .. .. versnelde beweging met een versnelling van .. .. .. .. .. ..
4. Voor de valversnelling wordt de letter .. .. .. gebruikt in plaats van de letter α.
Het wagentje van een luchtkussenbaan ondervindt vrijwel geen wrijving.
Op welke manier is daarvoor gezorgd?
Een eenparig versnelde beweging heeft een beginsnelheid van 10 m/s en een eindsnelheid van 16 ^m/_s.
Hoe groot is de gemiddelde snelheid van deze beweging?
Peter en Belinda doen een practicum met de computer. Met een speciale sensor en een computerprogramma meten zij de beweging van een fietser gedurende 8 seconden. Op het beeldscherm hierboven zien Peter en Belinda het (v,t)-diagram van de beweging.
1. In welk tijdsinterval is de beweging eenparig versneld?
  A - tussen t=0 en t=2 s
  B - tussen t=2 en t=5 s
  C - tussen t=5 en t=7 s
  D - tussen t=7 en t=8 s
2. Met het computerprogramma kunnen Peter en Belinda van de beweging ook een (s‚t)-diagram maken. Je ziet drie grafieken. Wat is het correcte (s‚t)-diagram?
  A - grafiek A
  B - grafiek B
  C - grafiek C
Op een videofilm van ruimtevaartorganisatie NASA doet een astronaut een proef op de maan. Bij de proef laat de astronaut een hamer en een veer vallen. De twee voorwerpen worden tegelĳkertĳd op dezelfde hoogte losgelaten. Ze bereiken even later tegelijkertijd de maanbodem.
1. Hoe komt het dat de veer tegelĳk met de hamer de maanbodem bereikt, en niet langzaam naar beneden 'dwarrelt’ zoals op aarde?
2. Het lĳkt of de hamer en de veer in ’slow motion’ naar beneden vallen. Welke conclusie kun je trekken over de valversnelling op de maan?

eenparig vertraagd

De eenparig vertraagde beweging
In het (v,t)-diagram is de grafiek van een voor het stoplicht afremmende auto getekend. Je ziet dat de snelheid gelijkmatig afneemt tot dat de auto stilstaat: de beweging is eenparig vertraagd. Het (v,t)-diagram van zo’n beweging is een rechte lijn die schuin omlaag loopt.

Je kunt uit het (v,t)-diagram aﬂezen dat de beginsnelheid 12 ^m/_s is. Na 1 s is de snelheid 10 ^m/_s, na 2 s 8 ^m/_s, na 3 s 6 ^m/_s enzovoort. De snelheid neemt dus elke seconde af met 2 ^m/_s. De snelheidsafname per seconde noem je de vertraging.
Je schrijft: de vertraging is 2 ^m/_s² of a = 2 ^m/_s².

Zoals je ziet, gebruik je de letter a niet alleen voor vers nellingen, maar ook voor vertragingen. Het enige verschil is dat je bij een versnelling een snelheidstoename hebt, en bij een vertraging een snelheidsafname.

Hoe groter de vertraging, des te erder staat het bewegende voorwerp stil. Daarom hebben bijvoorbeeld straaljagers behalve gewone remmen ook een remparachute. De parachute maakt de vertraging zo groot dat de straaljager ook op en korte landingsbaan kan landen.

Voorbeeld
Een auto remt af voor een bocht. De auto beweegt 6 s lang eenparig vertraagd. In die tijd neemt de snelheid af van 81 km/h naar 27 km/h. Bereken de vertraging?

V_b = 81 km/h = 22,5 ^m/_s
V_e = 27 km/h = 7,5 ^m/_s

∆V = 22,5 - 7,5 = 15 ^m/_s

$a=\frac{∆V}{t}=\frac{15}{6}=2,5 \frac{m}{s^2}$

De vertraging is dus 2,5 ^m/_s²

Snelheid en afstand
Met de formule: V_e = V_b - a x t

kun je de snelheid berekenen tijdens een eenparig vertraagde beweging. De snelheid van de auto neemt bijvoorbeeld zo af:

V_e = V_b - a x t
V₁ = 12 - 2 x 1 = 12 - 2 = 10 ^m/_s
V₁ = 12 - 2 x 2 = 12 - 4 = 8 ^m/_s
V₁ = 12 - 2 x 3 = 12 - 2 = 6 ^m/_s
enzovoort

Je ziet dat de uitkomsten precies kloppen met het (v,t)-diagram.

De gemiddelde snelheid kun je net als bij de versnelde beweging berekenen met:

$Vgem = \frac{Vb + Ve}{2}$

En de afgelegde afstand is weer te bereken met: s = V_gem x t

Indien we dit verder uitwerken in een (s,t)-diagram van de beweging zie je dat de graﬁek een kromme is die steeds minder steil omhoogloopt: de snelheid wordt steeds kleiner en daardoor gaat de afgelegde afstand steeds langzamer omhoog. Zo’n graﬁek wordt een (halve) bergparabool genoemd. Hij is kenmerkend voor de eenparig vertraagde beweging.

De stopafstand berekenen
Als een automobitist ziet dat hij moet stoppen, remt de auto niet meteen. Het duurt even voor het rempedaal is ingetrapt en de remmen aanslaan. De tijd die daarvoor nodig is, noem je de reactietijd. Tijdens de ractietijd beweegt de auto verder zonder af te remmen. De afstand die de auto tijdens deze eenparige beweging aﬂegt, wordt de reactieafstand genoemd.

Nadat de remmen zijn ingetrapt, beweegt de auto eenparig vertraagd verder, tot hij stilstaat. De afstand die de auto tijdens deze eenparig vertraagde beweging aﬂegt, noem je de remweg. De totale stopafstand bestaat dus uit twee delen: de reactie-afstand en de remweg.

stopafstand = reactie-afstand + remweg

Hoe sneller iemand rijdt, des te groter zijn de reactie-afstand en de remweg, en dus ook de stopafstand.

Voorbeeld
Hiernaast een (v,t)-diagram van een auto die met 54 km/h een zebrapad nadert. Op t=0 s ziet de bestuurder iemand het zebrapad oplopen. Op t=0,8 s begint hij te remmen en op t=3,8 s komt hij tot stilstand. Bereken de stopafstand?

1	De reactieafstand berekenen
	V = 15 ^m/_s t = 0,8 s s = V x t = 15 x 0,8 = 12 m
2	De remweg berekenen
	V_b = 15 ^m/_s V_e = 0 ^m/_s t = 3,0 s $Vgem=\frac{Vb+Ve}{2}=\frac{15+0}{2}=\frac{15}{2}=7,5\frac{m}{s^2}$ s = V_gem x t = 7,5 x 3,0 = 22,5 m
3	De stopafstand berekenen
	stopafstand = reactieafstand + remweg = 12+22,5 =34,5 m

De auto komt dus na 34,5 meter tot stilstand.

Samengevat

*(v,t)-diagram*	*(s,t)-diagram*	formules
		*eenparig:* a = 0 ^m/_s² v is constant (verandert niet) s = v x t
		eenparig versneld: V_e = V_b + a x t $Vgem=\frac{Vb+Ve}{2}$ s = V_gem x t
		eenparig vertraagd: V_e = V_b - a x t $Vgem=\frac{Vb+Ve}{2}$ s = V_gem x t

--} opgaven

Welke grafiek is het (v,t)-diagram van een eenparig vertraagde beweging?
1. grafiek A
2. grafiek B
3. grafiek C
4. grafiek D
Vul in:
1. Als de snelheid van een beweging gelijkmatig afneemt, is de beweging .. .. .. .. .. .. vertraagd.
2. Als je het (s‚t)-diagram van een eenparig vertraagde beweging tekent, krijg je een kromme die steeds .. .. .. .. .. .. omhoogloopt. Zo’n grafiek noem je een (halve) .. .. .. .. .. ..
Als een automobilist ziet dat hĳ moet stoppen, remt de auto niet op hetzelfde moment al af.
1. Hoe noem je de tijd tussen het zien van het gevaar en het aanslaan van de remmen?
2. Hoe noem je de afstand die de auto in die tijd aflegt?
3. Hoe noem je de afstand die de auto tijdens het remmen aflegt tot hĳ stilstaat?
4. Hoe kun je de totale stopafstand berekenen?
Bart rijdt in zĳn auto door de stad. Op een gegeven moment ziet hij dat de verkeerslichten even verderop op rood springen. Hij haalt z’n voet van het gas en begint te remmen. Maar voordat de auto helemaal stil staat, springen de verkeerslichten alweer op groen. Bart geeft gas en rijdt verder.

In bovenstaande figuur zie je hoe de snelheid van Barts auto verandert.
1. Teken een (v,t)-diagram van deze beweging.
2. Tussen t= 3 en t= 8 s beweegt Barts auto vertraagd. Waaraan kun je zien dat de beweging niet eenparig vertraagd is?
3. Hoe beweegt de auto verder na t = 8 s?

In de krant stond een plaatje met de stopafstand.

In de tabel zie je de stopafstand en de remtĳd bĳ verschillende snelheden.

snelheid (km/h)	stopafstand (m)	remtijd (s)
30	10,2	1,24
50	22,7	2,07
55	26,6	2,28
60	30,7	2,49
80	50,2	3,32

Teken een grafiek van de snelheid afgezet tegen de stopafstand.

Bepaal met behulp van de grafiek de maximale snelheid waarbĳ een auto een
stopafstand van 15 m heeft.
Bij een snelheid van 50 km/h is de remweg 14,4 m. Laat met een berekening zien dat de reactietijd 0,6 s moet zijn geweest.

Rechts staat een (v,t)-diagram van een auto die plotseling moet stoppen voor een overstekende hond.
1. Hoe lang duurt het voordat de bestuurder reageert?
2. Bereken de reactieafstand.
3. Hoe lang duurt het remmen?
4. Bereken de remweg.
5. Bepaal de stopafstand van de auto.

+ voorstuwen en tegenwerken

Voortstuwende en tegenwerkende krachten
Als je tegen de wind in ﬁetst, moet je flink trappen om vooruit te komen. Jouw spieren leveren de voortstuwende kracht die nodig is om de ﬁets te laten bewegen.

Als je stopt met trappen, verandert dat. Je fiets verliest dan meteen snelheid. Dat komt doordat er verschillende tegenwerkende krachten op jou en je fiets werken. Die brengen je fiets in korte tijd tot stilstand.

Een van de tegenwerkende krachten is de luchtwrijving. Deze kracht ontstaat doordat je de lucht voor je steeds opzij moet duwen. De luchtwrijving is het grootst bij tegenwind, maar hij is er ook bij windstil weer. Alleen als je meewind hebt en de wind jou net kan bijhouden, valt de luchtwrijving weg.

Een andere tegenwelende kracht is de rolwrijving. De rolwrijving ontstaat doordat de banden en de ondergrond vervormen tijdens het rijden. Hoe groter die vervorming is, des te groter is de rolwrijving. Daarom is het zo zwaar om door mul zand te rijden: dat een ondergrond die sterk vervormt.

De tegenwerkende krachten verminderen
Er zijn verschillende manieren bedacht om tegenwerkende krachten kleiner te maken. Auto's en vliegtuigen hebben bijvoorbeeld een gestroomlijnde vorm, want dat vermindert de luchtwrijving. Om dezelfde reden zitten wielrenners voorovergebogen op hun fiets. Ze hoeven dan minder lucht opzij te duwen.

Ook de rolwrijving kan kleiner gemaakt worden. Als je over een hobbelige oppervlak fietst, is de rolwrijving groot. Je banden vervormen elke keer dat ze tegen een hobbel botsen. Wegen en ﬁetspaden hebben daarom een vlak wegdek. Wielrenners verminderen de rolwrijving door hun bander keihard op te pompen, zodat die moeilijk kunnen vervormen.

Tegenwerkende krachten ontstaan ook in je fiets, waar onderdelen langs elkaar wrijven. Denk bijvoorbeeld aan de schakels van een ﬁetsketting, die steeds langs elkaar scharnieen. Je kunt de wrijvingskrachten klein houden door je ketting af en toe te smeren.

De nettokracht
Op een bewegend voorwerp, auto of een fiets, werken verschillende krachten. Samen oefenen die kracht en één resulterende kracht op net voorwerp uit: de nettokracht of resultante. In de paragraaf 'Krachtenleer' heb je geleerd hoe je de nettokracht in verschiltende situaties kunt bepalen.

In de tekening zie je een auto die wordt geduwd. Op de auto werken vier krachten: de zwaartekracht F_z, de normaalkracht F_n, de duwkracht F_duw en de wrijvingskracht F_w. Om de tekening eenvoudig de houden, heeft de tekenaar alle krachten laten aangrijpen in het zwaartepunt Z.

De zwaartekracht en normaalkracht zijn even groot, maar werken in tegengestelde richtingen. Deze twee krachten heffen elkaar dus op. De duwkracht en de wrijvingskracht werken ook in tegengestelde richtingen, maar ze heffen elkaar niet op: de duwkracht is duidelijk groter. Dat betekent dat er een nettokracht: F_r werkt naar rechts.

De nettokracht laat de snelheid veranderen
Als je zachtjes tegen een auto duwt, gebeurt er niets. Dat komt doordat er dan tegenwerkende krachten ontstaan die even groot zijn als de duwkracht. De nettokracht blijft daardoor 0 N. Als je iets harder duwt, worden de tegenwerkende krachten ook iets groter. De nettokracht blijft 0 N.

Pas als je flink kracht zet, verandert dat. De tegenwerkende krachten kunnen jouw duwkracht dan niet meer compenseren. De nettokracht wordt nu voor het eerst groter dan O N. De auto begint daardoor te rollen en beweegt steeds sneller, in de richting van de nettokracht.
Onthoud:

Als de voortstuwende kracht groter is dan alle tegenwerkende krachten samen, beweegt het voorwerp versneld.

Als de auto de gewenste snelheid heeft, duw je iets minder hard. De voortstuwende kracht en de tegenwerkende krachten zijn nu weer even groot. De nettokracht wordt opnieuw 0 N. In deze situatie is er geen kracht die de beweging versnelt, maar ook geen kracht die de beweging afremt. Dat betekent dat het voorwerp met precies dezelfde snelheid verder beweegt:

Als de voortstuwende kracht even groot is als alle tegenwerkende krachten samen, verandert de snelheid niet.

Als de nettokrachtt 0 N is en het voorwerp beweegt al, dan beweegt het met dezelfde snelheid verder. Maar als de nettokracht 0 N is en het voorwerp staat stil, dan blijft dat zo. Het voorwerp komt dan niet in beweging.

Als je na een tijdje ophoudt met duwen, blijven alleen de tegenwerkende krachten over. De nettokracht wordt dan opnieuw groter dan 0 N. Aileen werkt deze nettokracht de andere kant op, tegen de bewegingsrichting in. Dat zorgt ervoor at de auto vertraagt en tot stilstand komt.

Als de voortstuwende kracht kleiner is dan alle tegenwerkende krachten samen, beweegt het voorwerp vertraagd.

De nettokracht laat de richting veranderen
De nettokracht kan een bewegend voorwerp niet alleen iaten versnellen of vertragen. De nettokracht kan het voorwerp ook van richting laten veranderen. Denk aan een situatie waarin er opeens een harde windstoot komt van opzij.

Als de nettokracht loodrecht op de bewegingsrichting staat, verandert alleen de richting van de beweging; de snelheid van het voorwerp blijft dan even groot. Als de nettokracht een andere hoek met de bewegingsrichting maakt, veranderen zowel de snelheid als de bewegingsrichting.

Voorbeeld
Hieronder zijn drie situaties 2 afgebeeld. Beredeneer hoe het voorwerp in elke situatie zal bewegen.

De antwoorden staan hier onder. Even door scrollen.

De raket beweegt versneld. Dat komt doordat voortstuwende kracht groter is dan alle tegenwerkende krachten samen. De nettokracht werkt in dezelfde richting als de beweging.

Het vliegtuig beweegt vertraagd. Dat komt doordat de voortstuwende kracht kleiner is dan alle tegenwerkende krachten samen. De nettokracht werkt tegen de bewegingsrichting in.

En als laatste verandert de auto van richting, doordat er opeens een hevige windstoot van rechts komt. De nettokracht laat de auto afbuigen naar de linkerkant van de weg.

+ optrekken en afremmen

De chauffeur is zich wild geschrokken. De stalen balk vloog vlak langs hem, dwars door de voorruit. Hoe kon dat gebeuren?

Rijden in een vrachtauto
Als een vrachtauto zwaar beladen is, komt hij maar langzaam op gang. Hoe groter de massa van de lading, des te kleiner is de versnelling (wanneer de chauffeur het gaspedaal steeds even ver intrapt).
Ook het afremmen duurt langer, als een vrachtauto zwaar beladen is. Hoe groter de massa van de lading, des te kleiner is de remvertraging (als de chauffeur steeds even hard remt).

De chauffeur van een zwaar beladen vrachtwagen moet ook voorzichtig zijn bij het nemen van bochten. Een volgeladen vrachtwagen vliegt gemakkelijker de bocht uit dan een lege.

Traagheid
Aan dit soort voorbeelden zie je dat de massa een rol speelt bij elke verandering van beweging. De massa heeft niet alleen invloed op de versnelling, waarmee je een voorwerp kunt laten optrekken. De massa bepaalt ook hoe moeilijk het is om het voorwerp te remmen of van richting te laten veranderen.

Je zegt daarom dat een voorwerp met een grote massa een grote traagheid heeft. Dat betekent dat het moeilijk is om de beweging van zo’n voorwerp te beïnvloeden. Er is een grote nettokracht voor nodig om de snelheid of de bewegingsrichting merkbaar te veranderen. De massatraagheid van een mammoettanker is enorm.

Een chauffeur die stalen balken vervoert, weet dat zijn lading een grote traagheid heeft. Hij let er daarom goed op dat de balken stevig worden vastgezet. Als hij remt, moeten de kabels een grote kracht op de balken uitoefenen. Anders zullen de balken verder bewegen, terwijl de vrachtauto tot stilstand komt.

Kracht, massa en versnelling
Je kunt het verband, is uitgebreid behandeld in de parargaaf Krachtenleer, tussen de nettokracht (resultante), de massa en de versnelling samenvatten in de formule:
$F=m * a$

Als je de massa m invult in kg en de versnelling a in ^m/_s², vind je de nettokracht F in newton (N).

Voorbeeld
Een auto trekt 4,0 seconden op van 0 km/h naar 54 km/h. Je mag aannemen dat de beweging eenparig versneld is. De auto heeft een massa van 800 kg.
Bereken hoe groot de nettokracht is die auto laat versnellen?

1	De versnelling berekenen
	V_b = 0 ^m/_s V_e = 54 km/h = 15 ^m/_s t = 4,0 s m = 800 kg $∆V=15-0=15\frac{m}{s}$ $a=\frac{∆V}{t}=\frac{15}{4}=3,75\frac{m}{s^2}$
2	De nettokracht berekenen
	$F=ma$ $F=8003,75=3000N=3,0kN$

De nettokracht is dus 3,0 kN. De kracht die de motor levert, is groter. Er zijn ook tegenwerkende krachten die overwonnen moeten worden.

De versnelling berekenen
Op de foto zie je een auto en een motor die voor een verkeerslicht staan. De massa van de auto is 900 kg, die van de motor 300 kg (inclusief de bestuurders). Als het verkeerslicht op groen springt, trekken de auto en de motor beide op. Op beide voertuigen werkt daarbij een nettokracht van 1,8 kN.

De motor krijgt daardoor een versnelling:

$a=\frac{F}{m}=\frac{1800}{300}=6\frac{m}{s^2}$

De auto krijgt daardoor een versnelling:

$a=\frac{F}{m}=\frac{1800}{900}=2\frac{m}{s^2}$

Je ziet: de nettokracht is voor beide voertuigen even groot. Toch is de versnelling van de motor veel groter. Dat komt doordat de massa en dus ook de traagheid - van de motor veel kleiner is dan die van de auto.

De remvertraging berekenen
Als een wielrenner moet remmen, doet hij twee dingen: hij stopt met trappen en hij knijpt in de remhendels. De voortstuwende kracht valt dan weg. Tegelijk ontstaat er een grote wrijvingskracht, doordat de remblokjes tegen de velgen worden gedrukt. Er werken dan alleen nog maar tegenwerkende krachten op de fiets. Hun nettokracht is zo groot dat de fiets snel afremt.

Je kunt de formule F= m * a gebruiken om de remvertraging of remkracht te berekenen. De letter a staat in dit geval voor de remvertraging (de snelheidsafname per seconde). De letter F staat voor de nettokracht: de totale remkracht die op het voertuig wordt uitgeoefend.

Voorbeeld
Een Opel Astra heeft een massa van 1300 kg. De remmen moeten voldoende remkracht kunnen leveren voor een remvertraging van minstens 5,2 ^m/_s².
Bereken hoe groot de remkracht op zijn minst moet zijn?

m = 1300 kg
a = 5,2 ^m/_s²

F = m * a = 1300 * 5,2 = 6760 N = 6,8 kN

De totale remkracht moet dus op zijn minst 6,8 kN zijn.

+ kracht en arbeid

Energie om te bewegen
Als je fietst, moeten je spieren voortdurend een voortstuwende kracht leveren. Dat kunnen je spieren niet zomaar; ze hebben daarvoor chemische energie nodig. Tijdens een lange fietstocht moet je regelmatig eten om de voorraad chemische energie voor je spieren op peil te houden.

Een automotor gebruikt de chemische energie in de benzine om de auto voort te stuwen. Als de benzine op is, levert de motor geen voortstuwende kracht meer. Door tanken, voorzie je de auto van nieuwe chemische energie.

Een elektrische locomotief krijgt elektrische energie via de bovenleiding. De locomotief heeft die energie nodig om de trein vooruit te trekken. Als de spanning op de bovenleiding uitvalt, komt de trein tot stilstand.

Een skiër die een helling afdaalt, maakt voor zijn beweging gebruik van zwaarte-energie. De zwaarte-energie die hij boven aan de helling heeft, wordt steeds verder opgebruikt, als hij naar beneden skiet.

Al deze voorbeelden maken duidelijk dat er energie nodig is om iemand of iets voort te stuwen.

Arbeid
Een motor kan maar een deel van de energie die hij opneemt, nuttig gebruiken. Je zegt dat dit deel van de energie wordt gebruikt om arbeid te verrichten. Hoe meer arbeid een motor moet verrichten, des te meer energie hij nodig heeft.

Hoeveel arbeid er verricht wordt, hangt af van de afgelegde afstand. Dat zie je bijvoorbeeld bij een elektrische locomotief die dertig wagons vooruit moet trekken. Om een afstand van 500 km af te leggen, heeft de locomotief twee keer zoveel energie nodig als om een afstand val 250 kilometer af te laggen. Als de afstand verdubbelt, verdubbelt de arbeid ook.

Ook de trekkracht is van belang. Als de trein niet uit dertig, maar uit zestig wagons bestaat, is de benodigde trekkracht twee keer zo groot.Je kunt aan die trekkracht komen door twee locomotieven voor de trein te zetten. Die twee locomotieven verbruiken tijdens de reis wet twee keer zoveel energie als één locomotief. Ook in dit geval verdubbelt de arbeid.

Je kunt de arbeid (W) berekenen door de afstand (s) en de geleverde kracht (F) te vermenigvuldigen.

$W=F * s$

Als je de kracht invult in newton en de afstand in meter, vind je de arbeid in newtonmeter (Nm).

Newtonmeter en joule
In het plaatje zie je het energie-stroomdiagram van een automotor. Van de chemische energie die de motor opneemt, wordt een derde gebruikt om arbeid te verrichten. De rest van de toegevoerde energie gaat verloren als afvalwarmte. De motor moet gekoeld worden om die afvalwarmte kwijt raken.

Zoals je in het plaatje ziet, is de verrichte arbeid gelijk aan de nuttig gebruikte energie. Voor elke joule energie die nuttig wordt gebruikt (en niet als afvalwarmte verloren gaat), verricht de motor precies 1 newtonmeter arbeid.

Je kunt voor de verrichte arbeid dus zowel de eenheid newtonmeter gebruiken als de eenheid joule. De eenheden joule en newtonmeter zijn zo gekozen dat dat geen verschil maakt: 1 Nm = 1 J.

Een voorwerp vooruit trekken
Er zijn allerlei situaties waarin een voorwerp vooruit getrokken of geduwd wordt. Denk bijvoorbeeld aan:

een paard dat een huifkar vooruit trekt
een duwboot die een bak met zand opduwt
een auto die een zware caravan sleept

Je kunt de arbeid die op zo'n voorwerp wordt verricht , berekenen met W= F * s. De kracht F is de trekkracht of duwkracht op het voorwerp.

Voorbeeld
Henk en Willemijn gaan op vakantie. Ze hangen hun caravan achter de auto en rijden daarna rustig naar de camping, 50 km verderop. De auto oefent daarbij een trekkracht van 1,2 kN op de caravan uit.
Bereken de arbeid die op de caravan wordt verricht?

F = 1,2 kN = 1,2 x 10³ N
s = 50 km = 50 x 10³ m

W = F * s = 1,2 x 10³ * 50 x 10³ = 6,0 x 10⁷ Nm (60 MJ)

Een voorwerp ophijsen
Je kunt de formule W = F * s ook gebruiken in situaties waarin een voorwerp omhoog gehesen of getild wordt. Denk bijvorbeeld aan:

een gewichtheffer die een halter omhoog duwt
een verhuizer die een kast in de vrachtwagen tilt
een hijskraan die een container uit een schip hijst

De benodigde hijs- of tilkracht F is niet steeds even groot. In het begin is F iets groter dan de zwaartekracht (het voorwerp beweegt dan versneld omhoog). Daarna zijn F en de zwaartekracht een tijd lang even groot (het voorwerp beweegt dan eenparig). Ten slotte is F iets kleiner dan de zwaartekacht (het voorwerp beweegt dan vertraagd).
Gemiddeld over de hele beweging is de hijs- of tilkraht F even groot als de zwaartekracht op het voorwerp.

Voorbeeld
Een hijskraan hijst een betonnen blok met een massa van 260 kg naar het dak van een flatgebouw van 45 meter hoog.
Bereken de arbeid die de hijkraan verricht?

m = 260 kg
g = 10 N/kg
s = h = 45 m

De hijskacht F is (gemiddeld) even groot als de zwaartekracht:

F = F_z = m * g = 260 * 10 = 2600 N

W = F * s = 2600 * 45 = 117.000 Nm (117 kJ)

De achtbaan
De wagentjes van een achtbaan hebben geen motor. Bij het begin van een rit worden ze naar het hoogste punt van de achtbaan gesleept. Daarna bewegen ze verder onder invloed van de zwaartekracht.

Als de wagentjes langs een een helling mlaag bewegen, wordt er zwaarte-energie omgezet in bewegingsenergie: de wagentjes bewegen dan steeds sneller. Als de wagentjesdaarna weer omhoog bewegen, wordt de bewegingsenergie weer omgezet in zwaarte-energie. De snelheid neemt dan af.

Hoe soepel de wagentjes ook lopen, er gaat ltijd energie verloren door luchtwrijving en rolwrijving. Daarom worden de toppen van de achtbaan steeds lager. hoe verder de wagentjes komen.

Voorbeeld
In figuur zie je een wagentje op een vlak stuk tussen twee hellingen. Het wagentje heeft net voldoende snelheid om punt B boven aan de helling te bereiken.
Bereken hoe groot die snelheid is. Verwaarloos de wrijving.

E_z (laagste punt) = E_z Ihoogste punt)
¹/₂m * V² = m * g * h
¹/₂m * V² = m * 10 * 24

Deel nu beide kanten door m en vermenigvuldig met 2. Je krijgt dan:

2 * ¹/₂m * V² = 2 * m * 10 * 24
V² = 2 * 10 * 24
V² = 480
V = √480 = 22 ^m/_s

In werkelijkheid is de snelheid van 22 ^m/_s iets te laag, omdat er geen rekening is gehouden met de tegenwerkende kachten. Maar een sneleid van 79,2 km/h is best hard als je dat alleen maar met de zwaartekracht haalt.

--} keuzeopdracht

Kies en werk 1 van de 4 opdrachten helemaal volgens de instructie uit:

1 - Bewegingen in actiefilms

Inleiding
In actiefilms worden stunts uitgehaald waarbij auto’s, motoren of mensen spectaculaire bewegingen beschrijven. Voor deze opdracht heb je een dvd of video nodig waarop zo’n beweging van begin tot eind in beeld wordt gebracht.

Doel
Je gaat zo veel mogelĳk gegevens over de beweging verzamelen door de beelden zorgvuldig te bestuderen. De onderzoeksvragen zĳn:

Welke baan beschrĳft de auto, de motor of de persoon?
Waar is de beweging versneld, waar eenparig en waar vertraagd?
Hoe groot is de snelheid op verschillende momenten van de beweging?

Uitvoeren en uitwerken
Doe het onderzoek en maak daarna een verslag. Leg in je verslag uit hoe je hebt gewerkt om de onderzoeksvragen te beantwoorden. Presenteer je onderzoeksresultaten en je conclusies. Zorg voor duidelijke illustraties.

2 - Reisplanner

Inleiding
Op internet vind je verschillende reisplanners. Deze programma’s stippelen een route voor je uit van plaats A naar plaats B. Ook geven ze aan hoe lang je over de reis doet (als alles meezit). Thea zegt: ”Die reistijd wordt berekend door voor elk soort weg een bepaalde gemiddelde snelheid aan te nemen.”

Doel
Heeft Thea gelijk? Kies een reisplanner op internet en zoek uit hoe het zit. De onderzoeksvraag is: Hoe berekent de reisplanner de reistĳd:

op wegen binnen de bebouwde kom?
op provinciale wegen?
op snelwegen?

Uitvoeren en uitwerken
Doe het onderzoek. Noteerje gegevens overzichtelijk in één of meer tabellen. Presenteer de uitkomsten van je onderzoek in een verslag.

3 - Welke rem is het beste

Inleiding
Fietsen kunnen een terugtraprem, velgremmen of trommelremmen hebben. Petra leest in een folder dat trommelremmen het beste zĳn. Ze vraagt zich af of dat echt waar is. Hoe kan ze daar achter komen?

Doel
Je gaat onderzoeken hoe goed verschillende soorten remmen werken. De onderzoeksvraag is:
Remmen trommelremmen inderdaad beter dan een terugtraprem of velgremmen?

Uitvoeren en uitwerken
Maak een werkplan en doe het onderzoek. Presenteer de uitkomsten in een onderzoeksverslag.

4 - Remmen in de regen

Inleiding
Johan zegt dat een fiets met velgremmen niet veilig is: ”Als het regent, doen de remmen het nauwelijks meer." Zo’n bewering vraagt om onderzoek. Doen velgremmen het altĳd slecht in de regen? Geldt dat alleen voor versleten remmen, of heeft Johan gewoon ongelijk?

Doel
Jij gaat uitzoeken hoe dit zit. De onderzoeksvraag is:
Hoe doen velgremmen het in de regen:

als ze nieuw zĳn?
als ze versleten zĳn?

Uitvoeren en uitwerken
Maak een werkplan en doe het onderzoek. Presenteer de uitkomsten in een onderzoeksverslag.

Sterkteleer

De sterkteleer is de tak van de mechanica die de effecten bestudeert van spanning en vervorming in een vervormbaar lichaam dat wordt blootgesteld aan een uitwendige belasting.

Een hele 'volzin' die je misschien niet helemaal zult begrijpen maar die we in ons dagelijks leven heel eenvoudig toepassen. Bijvoorbeeld:

wanneer we een extra tas om het eerder gekregen tasje doen wanneer we een sixpack bier kopen in de supermarkt,
of een extra elastiekje om een pakketje doen om te voorkomen dat deze knapt.

In de foto hiernaast zien we de Tacoma Narrows bridge in Seatle Amerika. Deze brug in op 7 november 1940 ingestort op een hele spectaculaire manier en heeft daar door de bijnaam Galloping Gertie gekregen. In 1950 is de brug herbouwd en sindsdien is er niets meer met deze brug gebeurd.
Deze brug kon instorten omdat er geen rekening was gehouden met de 'interne frequentie' van de brug. Door de storm is de brug in beweging gekomen, Iets wat heel normaal is en waar de ontwerpers ook rekening mee houden, maar deze beweging was dusdanig dat de brug zelf de bewegingen ging versterken met desastreuze gevolgen. Er zijn vele filmopnames van gemaakt en iedereen heeft deze wel eens gezien. Zo niet, dan is hieronderaan een mooi en origineel amerikaans filmpje van.

Door de jaren heen ontwikkelen we nieuwe materiaal. Deze zijn vaak sterker en beter dan de voorgangers. Ook spelen er soms andere belangen en is een breuk zelfs gewenst. Een zekering is hier een mooi voorbeeld van. Door de breuk in het stukje metaal is er geen geleiding meer en staat er dus geen spanning op een machine. Deze breuk kan veroorzaakt worden door de trekspanning die ontstaat door het oplopen van de kortsluiting van een electrische stroom. Het bewijst eens te meer dat de techniek niet stil staat en voortdurend in ontwikkeling is. Binnen het vakgebied Sterkteleer veranderen de basisbegrippen echter niet. Dus daar hadden de ontwerpers van de brug zich ook prima aan gehouden, maar een begrip als 'eigen frequentie' was voor hangbruggen in 1940 nieuw en is in de hedendaagse berekening een apart hoofdstuk.

Voor dit keuzedeel gaan we niet zover en zullen we ons beperken tot de volgende onderwerpen welke rechtstreeks uit de beschrijving van de S-BB komen:

kan de volgende begrippen omschrijven: trek, druk, afschuiving, buigbelasting, stuikbelasting, knikbelasting
kan berekeningen in enkel- en/of meervoudige doorsneden uitvoeren m.b.t. trek, druk, afschuiving, buigbelasting, stuikbelasting, knikbelasting
kan de wet van Hooke noemen
kan berekeningen uitvoeren m.b.t. elasticiteitsmodules, de specifieke verlenging/verkorting
kan berekeningen maken m.b.t. knik (Euler)

Video Galloping Gertie

Begrippen

In het vorige hoofdstuk 'Krachtenleer' zijn veel begrippen die in de 'Sterkteleer' ook gebruikt worden al eens voorbij gekomen. Echter binnen de 'Sterkteleer' gaan we kijken wat dit voor invloed heeft op het materiaal wat we gebruiken. We zullen hierbij de vraag stellen:

kan het materiaal deze kracht aan?
of hoeveel kan het materiaal hebben eer het bezwijkt?

Dit is dus heel anders dan bij 'Krachtenleer' waar we willen weten hoe groot de kracht is op de constructie. Bij 'Sterkteleer' moet deze constructie deze kracht ook kunnen opbrengen en niet bezwijken!.

Trek en Druk

Dit zijn tegenovergestelde krachten op een materiaal die langs dezelfde werklijn op het materiaal werken.
In de afbeelding rechts zien we 2 krachten op de auto werken. Deze twee krachten werken in de lengterichting van de auto en we noemen dit ook wel de werklijk van de kracht. De kracht F_motor is een reactiekracht in de carrosserie van de auto en is een trekkracht. De kracht F_wrijving is ook een reactiekracht en is een drukkracht. Een reactiekracht ontstaat in het materiaal wanneer er een andere kracht op wordt uitgeoefend. In de afbeelding rechts zijn dat respectievelijk de voorstuwende kracht van de motor en de tegenwerkende kracht van de wind en de banden.

Andere voorbeelden van een trek- of drukkracht vinden we bij het touwtrekken of bij een fundering onder een gebouw.

Wat de trek en drukkrachten wel gemeen hebben is dat ze afhankelijk zijn van het oppervlak van het materiaal dat we gebruiken. Een belangrijk begrip hiervoor is σ (sigma): normaalspanning (trek of druk) in N/mm². De formule hiervoor is:

$σ = {F \over A} =>{N \over mm^2}$

Met behulp van deze formule kunnen we berekenen wat de maximale kracht kan zijn die een materiaal kan hebben. Of kunnen we nagaan of een stalen W250x80 kolom voldoende is om een verdiepingsvloer te kunnen dragen.
In de tabel kunnen we voor dit profiel het oppervlak A opzoeken, 10200 mm². De vloer weegt in 5 ton. We kunnen nu uitrekenen wat de druk in de kolom wordt:
$σ = {F \over A} =>{5000 *10 \over 10200}={50000 \over 10200}=0,49{N \over mm^2}$
In de tabellen moet er nu gekeken worden wat de kolom van staal kan hebben qua drukkracht. In de tabellen staat deze informatie gegeven in MPa, oftewel megapascal. En dat is 1 N/mm². In ons geval kan de kolom 400 MPa verdragen dus de constructie blijft heel.

Een tweede begrip dat hier een rol speelt is ε(epsilon): Langsrek (verlenging per lengteëenheid), De bijbehorende formule is:

$ε={σ \over E}={F \over EA}$

De factor EA wordt rekstijfheid genoemd. Beide begrippen kunnen we voor diverse materialen gewoon in een tabel opzoeken.

Stel we gebruiken de kolom uit het vorige voorbeeld en laten de vloer er aan 'hangen'. Blijft alles dan ook nog heel? De gegevens die we nodig zijn:

F = 50000 N
E = 200 GPa
A = 10200 mm²

$ε={σ \over E}={F \over EA}={50000 \over 200 * 10^6 * 10200}={50000 \over 2040000000000}=0,000000025 N/mm^2$
En dat is ruim onder de critische waarde van 400 MPa.

Meerdere soorten σ en ε
In de tabellenboekjes en in de vakliteratuur vinden we meerdere soorten 'Normaalspanning'. Dit heeft te maken dat alle materialen verschillende stadia doorlopen voordat ze bezwijken. Het beste is dit te zien in een spanning-rek diagram hiernaast.

We zien hier dat 5 verschillende waarden zijn:

$\sigma_{prop}$
$\sigma_{v}$
$\sigma_{breuk}$
$\sigma_{trek}$
$\sigma_{waar\space max}$

En alleen de eerste is voor ons belangrijk. De redenen hiervoor is dat we willen dat er geen vervorming optreed in onze constructies.

$\sigma_{prop}=normaalspanning$ is dus de maximale spanning waarbij de constructie niet verandere van vorm. De vervorming en de kracht blijven proportioneel met elkaar.
Komen we boven deze spanningdan gaat het materiaal eerst plastisch worden, het gaat van vorm veranderen. Dit veranderen gaat in verschillende fasen en de eerste is vloeien. Tijdens deze fase zal het materiaal minder vormvast worden, oftewel het gaat rekken.

$\sigma_v=vloeispanning$ is de druk waarbij het materiaal van vorm gaat veranderen.In het materiaal gaan de moleculenl zich herschikken en treedt er een versteviging op, fase 2.

$\sigma_{trek}=trekspanning$ de maximale spanning waarbij er een overgang komt naar fase 3, de insnoering. Tijdens deze laatste fase zal het beschikbare oppervlak van het materiaal afnemen en daardoor dus ook de maximaal op te nemen kracht. Het materiaal wordt dus zwakker en uiteindelijk zal het materiaal dus kapot gaan.

$\sigma_{breuk}=breukspanning$.
, deze breukspanning is dus lager dan de trekspanning en kan dus ook alleen maar bereikt worden wanneer de trekspanning overschreden wordt. Wat de laatste 3 fasen allemaal wel gemeen hebben is dat de vorm van het materiaal is veranderd en dat willen we nu juist niet.
Daarom werken we dus met de normaalspanning om zo lang profijt van onze constructies te hebben.

Afschuiving

Loodrecht op de trek- en druk krachten staat een afschuivingskracht. Ook deze kracht is net als de trek en druk afhankelijk van het oppervlak van het materiaal. En in het verlengde hiervan kunnen we ook vrijwel dezelfde formules gebruiken, alleen noemen we deze nu de schuifspanning en de glijdingshoek.

In de afbeelding hier rechts zien we een deel van een ruggegraat met daarom de drie krachten die het dagelijke te verduren krijgt. Alle drie de krachten komen we ook binnen de Sterkteleer tegen. Compressie is een ander woord voor druk en trek, Evenals torsie wat een momentkracht is. Zo zien we maar weer eens dat techniek echt dagelijkse kost is en het dus in allerlei vormen her en der te vinden is.

Onderstaande vereenvoudigde formules zijn enkel toepasbaar voor klinknagels, bout- en lasverbindingen en andere situaties waar de dwarskracht rechtstreeks aangrijpen in het vlak van de afschuiving. De formule voor de schuifspanning τ (tau): schuifspanning in een punt in N/mm²:

$\tau = {F \over A} => {N \over mm^2}$

Voor de γ (gamma): glijdingshoek in radialen. En in formulevorm:

$\gamma = {\tau \over G}={F \over GA}$

De factor GA wordt ook wel de glijdingsmodulus genoemd en ook deze kunnen we in een tabellenboekje opzoeken voor de diverse materialen. In dit boekje vinden we diverse maximale waarden eer het materiaal bezwijkt onder de uitgeoefende druk.

De oplettende lezer ziet dus dat de formules voor de tau en de gamma gelijk zijn aan de sigma en de eta. Ofte wel de normaalspanning komt overeen met de schuifspanning en de rekstijfheid komt overeen met de slidingshoek.

Stel we willen weten of een enkele aluminium klinknagel met een contactoppervlak van 10 mm² een afschuiving met een kracht van 500 kilo kan doorstaan?
$\tau = {F \over A} =>{5000 \over 10}=500 {N \over mm^2}$
Uit de tabel lezen we dat de afschuifspanning voor aluminium legeringen 290 MPa is en dus zal de klniknagel onder deze last bezwijken.

Buigbelasting

In de vorige begrippen zijn we de begrippen 'normaalspanning' en 'rek' al eerder tegengekomen en hebben we gezien dat het oppervlak van het materiaal waarop de kracht werkt van groot en essentieel belang is. Bij buiging is dit in principe niet anders. Alleen komen de afmetingen van dit oppervlak niet zo duidelijk in de berekeningen terug.

Het berekenen van de 'normaalspanning' gaat bij buiging in 2 stappen. De formule voor σ: in een punt in N/mm²

$\sigma = {M_b*y \over I}$

M_b: buigmoment op de dwarsdoorsnede in Nmm
y: de afstand tot de neutrale vezel in mm,
I: oppervlaktetraagheidsmoment in mm⁴,

Het oppervlaktetraaghedsmoment is een aparte formule, een integraal. Het uitwerken van integralen valt buiten het bereik van deze opleiding en gaan we ook niet echt wiskundig uitwerken. We zullen ons hier beperkt mee bezig gaan houden. De 'I' is alsvolgt te berekenen:

$\int_A {y^2 dA}$

A: Oppervlakte van de dwarsdoorsnede in mm²,
y: de afstand tot de neutrale vezel in mm.

Er zijn ook enkele eenvoudige formules voor het berekenen van het traagheidsmoment, die we wel eenvoudig kunnen toepassen:

-	rechthoek met hoogte h en breedte b	$I={bh^3 \over 12}$
-	cirkel met straal r	$I={\pi r^4 \over 4}$
-	halve cirkel met straal r op de x-as	$I={\pi r^4 \over 8}$
-	kwart cirkel met straal r	$I={\pi r^4 \over 16}$
-	driehoek met basis b en hoogte h	$I={bh^3 \over 36}$

Het oppervlak van het materiaal wijzigd niet door de belasting maar het aangrijppunt van de kracht en daarmee het moment op het materiaal is wel variabel. Denk maar eens aan een auto die over een viaduct rijdt en wat dit voor een invloed heeft op de momenten in de constructie.

Wanneer de auto aan het begin van de brug staat, dan heeft de zwaartekracht van de auto een kleinere arm ten opzichte het beginpunt van de brug en is met moment van de auto op deze plaats kleiner dan wanneer deze auto in het middel van de brug zou staan. De afstand tot het beginpunt is dan het grootst en daarmee dus ook de arm van de zwaartekracht en dus het moment in de brug. Maak er maar eens een tekening van. Je zult zien dat er een driehoek ontstaat met een 'top' in het midden van de brug.

Knikbelasting
In de Sterkteleer zijn knik en buiging aparte vormveranderingen van een belaste kolom. Zij komen bijna altijd samen voor, omdat het praktisch onmogelijk is een kniklast precies boven het midden van een kolom te plaatsen. Er is echter ook een heel groot verschil tussen knikken en buigen.

Oftewel een knik is blijvend en een buiging veert terug naar zijn oorspronkelijke vorm. Dit laatste is ook iets wat we willen met onze constructies want die moeten lang meegaan. We willen echter wel weten wanneer een constructie gaat knikken of breken want dan weten we of een constructie berekent is op de taak waarvoor het gemaakt is.

In een volgende paragraaf wordt de theoretische Euler knik formule besproken. Deze formule is en blijft altijd puur theoretisch omdat voor het gebruik van de formule uitgegaan wordt van perfecte situatie. En helaas de praktijk is niet perfect want een kracht grijpt niet altijd precies in het midden aan en ook het gebruikte materiaal heeft grenswaarden waaraan het moet voldoen en daarmee is er dus een variatie in de kwaliteit.

Stuikbelasting (Extra)

Als voorbeeld de situatie hieronder waar 2 platen met elkaar verbonden zijn door middel van 3 bouten.

In deze situatie worden zowel de platen en de bouten belast. Voor de bouten:

trekbelasting als gevolg van het aandraaien van de bouten
Afschuifbelasting als gevolg van kracht F
momenten veroorzaakt door de krachten.

Als de 2 krachten nu verticaal zouden zijn, dan levert dit een extra trekbelasting op voor de bouten. Voor de platen:

stuikbelasting als gevolg van vlaktedruk
afschuifbelasting omdat door het aandraaien de moer/boutkop als het ware door de plaat gedraaid wordt.
trekbelasting veroorzaakt door kracht F en de reactiekracht van de bouten. Dit is ook van belang bij het berekenen van voorgespannen bouten.

Afschuifbelasting in bouten
Omdat bouten kleine onderdeeltjes zijn, zou in het geval van afschuiving volstaan kunnen worden met de gemiddelde schuifspanning. Toch zijn er speciale formules beschikbaar, welke weer afhankelijk zijn van de sterkteklasse van de bout.

Maar voor nu houden we het bij de eenvoudige formules voor de afschuiving zoals eerder in de theorie is behandeld.

Voor nog meer informatie kun je hier ook kijken Wikipedia - Sterkteleer

Wet van Hooke

Nu we begrippen als trek, druk en buiging kennen, kunnen we ook proberen te verklaren wat dit met een materiaal doet. Robert Hooke een engels sterrekundige en natuurkundige heeft in 1676 aangetoond wat spanningen met materialen doet. Een van zijn uitvindingen die we heden ten dage nog steeds gebruiken zijn de spiraalveren in bijvoorbeeld je matras.

De wet van Hooke luidt alsvolgt:

Een toename in spanning geeft een evenredige toename in rek.

In wiskundige termen geschreven krijgen we dan:

$\sigma=E * \varepsilon$

Hier vertegenwoordigt E de evenredigheidsconstante, die wordt aangeduid met de term elasticiteitsmodulus, ook wel Young's modulus genoemd - naar Thomas Young, die er in 1807 een uiteenzetting over publiceerde.
De є is de rek die optreedt wanneer er een kracht op het materiaal wordt uitgeoefend.

In de afbeelding zien we een spanning/rek diagram. We zien hierin ook dat de 'groene' lijn een rechte lijn is en dus evenredig. Dat betekent dat de E dus iets zegt over de helling die deze lijn maakt met de horizontale as.

Het betekent ook dat de E, elasticiteitsmodulus, op deze groene lijn overal gelijk is. en dus kun je, wanneer je alleen een diagram hebt, mooie getallen opzoeken in de grafiek om deze E te berekene. Verder in het diagram gaat deze evenredigheid niet meer op en is de wet van Hook ook niet meer geldig.

Als rekenvoorbeeld het volgende:

$\sigma=241MPa$ en $\varepsilon=0,0012 mm/mm$

$\sigma=E * \varepsilon=>E={\sigma\over{\varepsilon}}=>{241MPa \over 0,0012}= 2,01(10^5)MPa = 200GPa$

De elasticiteitsmodulus is een van de belangrijkste mechanische eigenschappen, maar bedenk dat E alleen kan worden gebruikt als een materiaal lineair-elastisch gedrag vertoont. Wanneer de spanning in het materiaal boven de evenredigheidsgrens komt, dan is het spanning-rek diagram geen rechte lijn meer en is de wet van Hooke dus ook niet meer geldig.

Lineair-elastisch is heel erg belangrijk voor de wet van Hooke. Immers alleen dan is de wet geldig. In de grafiek zien we ook duidelijk een 'rechte' lijn bij het stijgen van de spanning in een materiaal. Je kunt het ook heel simpel voorstellen door het volgende experiment:

neem een stukje elastiek van 25 cm,
hang hier een gewicht aan en meet nu de lengte van het stukje elastiek,
hang er nog eenzelfde gewicht bij en meet nu weer de lengte,
en hang er als laatste een derde zelfde gewicht bij en meet weer de lengte.

Wanneer je deze gegevens in een tabel plaatst dan krijg je misschien het volgende:

0 gram - 25 cm
100 gram - 30 cm
200 gram - 35 cm
300 gram - 40 cm

Uit de gegevens blijkt dat door een verzwaring van steeds 100 gram de lengte steeds 5 cm is. Dus 100 gram geeft 5 cm extra lengte. Dit gegeven noemen we lineair oftewel rechtlijnig.
Helaas is dit lineair elastische gedrag eindig en dat gaat het materiaal vloeien of knappen/breken. In de vorige grafiek is dit de 2^ezone. In het onderstaande YouTube filmpje zijn de verschillende stadia van de wet an Hook heel mooi te volgen.

Elasticiteitsmodules

De Elasticiteitsmodulus E (of ook Youngs modulus, naar de Engelse natuurkundige, dokter en egyptoloog Thomas Young), is een materiaalkundige eigenschap van een materiaal die een maat is voor de stijfheid of starheid van een materiaal en die ten dele de rek van het materiaal onder een trekbelasting bepaalt en de compressie onder een drukkracht.

Een moeilijk te begrijpen definitie maar laten we eens naar de verschillende onderdelen gaan kijken:

materiaalkundige eigenschap - een eigenschap die we specifiek aan een materiaal kunnen toekennen, bijvoorbeeld diamant is zeer hard of water is vloeibaar bij nul graden,
een maat is voor de stijfheid of starheid - zoals een kilometer een maat is voor een afstand is ook een liter een maat voor een inhoud, het geeft dus aan hoe stijf of star iets is en hoe hoger het getal des te sterker is het materiaal,
de rek of compressie - het langer worden van het materiaal (uitrekken) of korter worden (samenpersen) doordat er een kracht op wordt uitgeoefend.

Dus anders gezegd kunnen we stellen dat de elasticiteitsmodulus iets zegt over het verband tussen de uitgeoefende kracht en de rek van het materiaal.

In de vorige paragraaf hebben de wet van Hooke voorbij zien komen. Deze wet beschrijft de eerste fase van het kapot gaan van een materie onder invloed van een kracht. Deze is namelijk lineair tot een bepaalde grens. En juist deze grens is voor ons heel handig want we weten nu tot hoever we een constructie kunnen belasten voordat deze kapot gaan en dus instort.
Met de elasticiteitsmodulus kunnen we andere grenzen bepalen en aan de hand daarvan besluiten nemen over welk materiaal te gebruiken of dat we qua 'rek' binnen bepaalde marges blijven.

De elasticiteitsmodulus (E) komen we in verschillende formules tegen:

$ε={σ \over E}$ -> 'Epsilon' (rek) is de spanning gedeeld door de elasticiteitsmodulus,
$σ = E*ε$-> spanning is eleasticiteitsmodulus maal 'epsilon',
$ε={σ \over E}={F \over {E*A}}$-> 'epsilon' is de kracht gedeeld door de vermenigvuldiging van de elasticiteitsmodulus en het oppervlak.

De eenheid van elasticiteitsmodulus is een kracht op een oppervlak of N/m2 of Pa. Meestal gebruikt men de grotere eenheid N/mm² = MPa, zo heeft staal een E-modulus van 210000 MPa = 210GPa.

Voorbeeld

Aan een goed ingeklemde stalen staaf met een afmeting van 10x20 mm hangtr een gewicht van 4 ton. Kan deze staaf dit gewicht dragen en hoeveel wordt deze staaf langer?

Gegevens:

stalen staaf: E = 200 GPa en een lengte van 4 meter
4 ton = 40000 N
Oppervlak staaf = 10x20 = 200 mm²
σ_max = 250 MPa

De spanning als gevolg van het gewicht is $σ = { F\over A} = {40000 \over 200}=200$ en dat is onder σ_max, dus de staaf kan de last hebben.

Hoeveel wordt de staaf dan langer kunnen we berekenen met $ε={σ \over E}= { 200Mpa \over 200Gpa} = 0,001$

De uiteindelijke lengte van de stalen staaf met deze 4000 kilo er aan gaat dus 1 duizendste langer worden. Dus:

$4 meter -> 4000 mm * 0,001 = 4 mm $

Knikformule van Euler

Een knik is een ongecontroleerde, plaatselijke scherpe verbuiging (een plastische vervorming) in een rechte of licht gekromde staaf of balk, onder verlies van stabiliteit, veroorzaakt door een uitwendige kracht. Bij een knik blijft, in tegenstelling tot bij een breuk, het verband (gedeeltelijk) intact.
Bijvoorbeeld een rietje zal wanneer je tegen de uiteinden duwt zomaar ergens gaan uitbuigen en uiteindelijk gaan knikken waardoor de stevigheid totaal is verdwenen.

De theorie die hier achter zit is eigenlijk HBO materiaal en is standaard lesstof op de TU in Delft en Enschede. Ik zal proberen om duidelijk te maken dat we hier toch op een eenvoudige manier aan een kniklast op een kolom kunnen rekenen met de simpele formule. Maar daarvoor moet je wel weten hoe de theorie hierachter werkt omdat deze belangrijk is om de technische oplossingen te verklaren waarmee we knik kunnen voorkomen in onze constructies. En die oplossingen zijn heel simpel, maar zijn ze noodzakelijk voor onze constructie want elk extra stuk staal kost geld en dat willen de meeste opdrachtgevers niet betalen.

Knik gedraagt zich dus onverwacht en vervormd de constructie blijvend maar zonder te breken. De vervorming die in onderzoek en in de theorie naar voren komt lijkt op een een 'sinus-achtige' vorm.
In afbeelding 'a' zien we een kolom die scharnierend is bevestigd zodat er geen momenten in de bevestigingspunten zijn met een lengte 'L' en een druk 'P', die wordt veroorzaakt door een kracht F. Deze kolom is volledig recht en kan blijkbaar de druk prima aan. Wanneer we de kracht opvoeren naar F_kr (kritiek) zoals in afbeelding 'c' dan zien we hier de helft van een sinus vorm onstaan. Het tweede deel van de sinus zit dus onder het onderste bevestigingspunt en zien we dus niet. Maar zowel in de theorie als in de praktijk is deze er wel degelijk, maar daar komen we later op terug.
Het lijkt dus of er een andere kracht 'F' in het midden tegen de kolom aanduwt om deze door te laten buigen, afbeelding 'b'.

Doordat er bij deze doorbuiging in het midden van de kolom een moment gaat onstaan kunnen we dit via de 'momentenstelling' uit de paragraaf Krachtenleer gebruiken om via een 'nulstelling' uit de Wiskunde paragraaf de maximaal mogelijke druklast, P_kr, te bepalen. Dit levert dan een tweede-orde, lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficienten op:

${d^2v \over dx^2}+({F \over EI})v=0$
welke we kunnen omschrijven naar
$v =C_1sin(\sqrt{F \over EI}x)+C_2cos(\sqrt{F \over EI}x)$

Uiteindelijk heeft de Zwitserse wiskundige Leonard Euler in 1757 deze ingewikkelde formule vereenvoudigd, zodat wij eenvoudig er mee kunnen rekenen en geen moeilijke wiskundige kennis hoeven te gebruiken:

$F_{kr} ={\pi^2EI\over L^2}$

Verklaring voor de bovenstaande formule :

F_kr = Kritieke kracht, maximale kracht, voor dat de knik optreed,
E = Elasticiteitsmodulus,
I = Traagheidsmoment en is afhankelijk van het opppervlak van de dwarsdoorsnede van de kolom,
L = is de lengte van de kolom.

Knik is afhankelijk van de stijfheid van het materiaal, de lengte van de staaf en de weerstand tegen doorbuiging in een bepaalde richting:

hoe stijver een materiaal, des te minder kans op knik (bepalend is de elasticiteitsmodulus: hoe groter de elasticiteitsmodulus of E-modulus, des te kleiner de kans op knik; een stijf materiaal als staal heeft een E-modulus van ca. 200 terwijl hout een E-modulus van ca. 10 heeft en rubber van ca. 0,001),
hoe langer de staaf, des te groter de kans op knik,
hoe groter de weerstand tegen doorbuiging in een bepaalde richting, des te kleiner de kans op knik in die richting (bepalend is het oppervlaktetraagheidsmoment: hoe hoger dit traagheidsmoment, des te geringer de kans op knik).

Een mogelijkheid is dus ook om tussen kolommen die tot knik kunnen neigen, één of meer stalen trek/drukstaven aan te brengen om zo de "kniklengte" te verkorten. Hiermee vang je de denkbeeldige kracht 'F' uit afbeelding 'b' op en heeft deze geen invloed meer op de uitbuiging van de kolom. Nu de lengte dus korter is zal de sinus-vorm ook korter zijn en daarmee ook de uitwijking van deze sinus vorm. Een prettig voordeel hierbij is dat de F_kr dan ook weer omhoog gaat en de kolom dus meer gewicht kan hebben.

Een andere oplossing om de neiging tot knik van een I-profiel kan te verminderd is door er een kruiskolom van te maken (lassen van T-profielen aan de lijven van het profiel).

Voorbeeld

In een fabriekshal worden kolommen gebruikt van het profiel W200x46 van A36 staal als een scharnierende constructie voor een bovenliggende ligger. Bepaal de grootste belasting die deze kolom kan dragen voordat deze begint te knikken óf dat vloeien optreedt?

Oplossing

Opvallend is dat we voor deze opgave totaal niet weten wat de kracht is die deze kolom via de ligger moet gaan dragen. Dus dat betekent dat we uitgaan van het maximaal mogelijke en deze waarde gaan vergelijken met wat mogelijk iszonder dat er gevaarlijke situaties gaan ontstaan.

De eerste stap is het verzamelen van gegevens, veelal uit tabellenboekjes:

dwarsdoorsnede oppervlak A = 5890 mm²,
eleasticiteitsmodulus E = 200x10⁶ kN/m²,
traagheidsmoment I_x = 45,5x10⁶ mm⁴ en I_y = 15,3x10⁶ mm⁴.

Van de traagheidsmomenten zijn er twee, omdat er ook twee mogelijke assen zijn bij dit profiel. Om veiligheidsredenenen nemen we de kleinst mogelijke waarden voor het berekenen van de maximaal mogelijke druk.

Nu kunnen we de formule van Euler gaan invullen en krijgen we:

$P_{kr} ={\pi^2EI\over L^2}={\pi^2*200(10^6)kN/m^2*15,3(10^{-6})m^4 \over (4m)^2}={\pi^2 *3060\over 16}=1888kN$

Bij deze kritische druk is de gemiddelde drukspanning in de kolom gelijk aan:

$\sigma_{kr} = {P_{kr} \over A} => {1888(10^3)N \over 5890mm^2}=320MPa$

Omdat deze spanning hoger is dan de vloeigrens (250 MPa) wordt de druk P bepaald door de toelaatbare drukspanning:

$250MPa={P \over 5890{mm}^2}=>P=(250(10^6){N \over m^2})*5890(10^{-6})m^2=1472500N=1472kN$

Een veel lagere kracht dan we op basis van de knik kunnen hebben. Deze kolom zal dus niet gaan knikken in welke richting dan ook onder normale omstandigheden.

Andere zaken die we ons nu kunnen afvragen:

Wat gebeurd er wanneer we de lengte van de kolom gaan halveren?
Is het mogelijk om een kleinere kolom te gebruiken waardoor de kniklast en de maximale spanningsbelasting gelijk zijn?

Het antwoord op de eerste vraag is eenvoudig te geven. Wanneer we naar het laatste deel van de berekening kijken dan zien we dat er gedeeld wordt door de lengte in het kwadraat. Dit leverde de oorspronkelijke waarde van 16 op. Nu we de lengte gaan halveren naar 2 zal het kwadraat dus 4 worden en daarmee dus 4x zo klein. Het gevolg is dat de kritieke last dus 4x hoger gaat worden zodat we uit komen op 4 x 1888 kn = 7552 kN.

Een kleinere kolom is mogelijk maar dan zal ook de maximale draaglast minder worden. Immers een kleinere kolom betekend ook een kleiner oppervlak om de druk te verdelen en een kleiner traagheidsmoment voor de kniklast. Het is dus mogelijk door de beide formules gelijk te stellen tot:

$P_{kr} ={\pi^2EI\over L^2} $ en $\sigma_{kr} = {P_{kr} \over A}=> P_{kr}=\sigma_{kr}*A$ geeft dus $\sigma_{kr}*A ={\pi^2EI\over L^2} $

Maar het oplossen hiervan gaat voor dit keuzedeel te ver en gaan we dus niet doen.

Formules en tabellen

--} opgaven

Opgave 1
	Een houtenbalk heeft de volgende afmetingen 200x100 mm (breedte x hoogte). Wat is het bijbehorende traagheidsmoment in mm⁴.

Opgave 2
	Een houtenbalk heeft de volgende afmetingen 50x100 mm (breedte x hoogte). Wat is het bijbehorende traagheidsmoment in mm⁴.

Opgave 3	Wat valt je op wanneer je kijkt naar de uitkomsten van opgave 1 en 2 ten opzichte van de breedte van de houten balk? Geef in een duidelijk verslagje weer hoe je aan je antwoord komt.

Opgave 4
	Een houtenbalk heeft de volgende afmetingen 25x200 mm (breedte x hoogte). Wat is het bijbehorende traagheidsmoment in mm⁴.

Opgave 5	Wat valt je op wanneer je kijkt naar de uitkomsten van opgave 1 en 2 ten opzichte van de breedte van de houten balk? Geef in een duidelijk verslagje weer hoe je aan je antwoord komt.

Extra theorie	Soms beschik je niet over een boekje om de traagheidsmomenten even snel op te zoeken. Of is het profiel zo groot dat dit niet meer een standaard profiel is en daarom niet in een tabellenboekje voorkomt. Stel je hebt een koker profiel met een hoogte van 500 mm en een breedte van 250 mm en een bijbehorende wanddiskte van 25 mm. Wat is nu het traagheidsmoment in mm⁴. Hiervoor heb je geen formule beschikbaar. Maar er is een simpel trucje wanneer je bedenkt dat je een traagheidsmoment een massa nodig bent. Dus er moet materiaal zijn. Wanneer er geen materiaal is, is er ook geen traagheidsmoment. Dit wetende kunnen we dus het traagheidsheidsmoment van het grootste oppervlak berekenen en trekken we daarhet traagheidsmoment van de kleine van af. Wat we nu overhouden is het traagheidsmoment van het gevraagde kokerprofiel!

Opgave 6
	Stel je hebt een koker profiel met een hoogte van 500 mm en een breedte van 250 mm en een bijbehorende wanddiskte van 25 mm. Wat is nu het traagheidsmoment in mm⁴.

Opgave 7
	Van dit profiel is geen traagheidsmoment bekend. De diameter is 500 mm en de wanddikte is 10 mm. Wat is het traagheidsmoment in mm⁴.

Opgave 8
	We hebben hiernaast een I-profiel staan met een hoogte van 600 mm en een brensbreedte van 200 mm. De dikte van het lijf van het profiel is 30 mm en de flens is 50 mm dik. Wat is het traagheidsmoment van dit profiel?

Opgave 9

Een houtenbalk heeft de volgende afmetingen 200x100 mm (breedte x hoogte). Hier hangt in de lengterichting van de balk een gewicht aan van 1000 kilo. Wat is de bijbehorende trekspanning in N/mm⁴.

Opgave 10

Een houtenbalk heeft de volgende afmetingen 50x100 mm (breedte x hoogte). Hier hangt in de lengterichting van de balk een gewicht aan van 1000 kilo. Wat is de bijbehorende trekspanning in N/mm⁴.

Opgave 11

De σ_normaal voor het hout in opgave 9 & 10 is gesteld op 1,5 ^N/_mm2. Wat kunnen we over de spanningen in de opgaves 9 & 10 zeggen? Wat gebeurd er met het de houtenbalk?
Geef in een duidelijk verslagje weer hoe je aan je antwoord komt.

Opgave 12

Stel je hebt een koker profiel met een hoogte van 50 mm en een breedte van 20 mm en een bijbehorende wanddiskte van 5 mm. Hieraan rust een gewicht van 350 kg. De σ_normaal =6 ^N/_mm2.
Gevraagd de spanning in de koker en wat gebeurd er met de vorm van de koker?

Opgave 13

We hebben hiernaast een I-profiel staan met een hoogte van 600 mm en een brensbreedte van 200 mm. De dikte van het lijf van het profiel is 30 mm en de flens is 50 mm dik. Er hangt hier een gewicht aan van 250 ton en de σ_normaal =250 ^N/_mm2.

Gevraagd de spanning in het profiel en wat gebeurd er met de vorm?

Opgave 14

Aan een massieve staaf van 5 x 5 mm hangt een gewicht van 0,5 ton. De σ_normaal =5 ^N/_mm2. en de E= 200 ^KN/_mm2.
Wat is de relatieve rek voor deze massieve staaf?

Opgave 15

Aan een massieve ronde staaf met een straal van 5 mm hangt een gewicht van 0,5 ton. De σ_normaal =5 ^N/_mm2. en de E= 200 ^KN/_mm2.
Wat is de relatieve rek voor deze massieve staaf?

Opgave 16

De є is gegeven en is 0,03. De E = 50 ^N/_mm2. Wat is de bij behorende σ?

Opgave 17

Neem de gegevens van opgave 16 en als extra gegeven is het oppervlak van de dwarsdoorsnede van het materiaal. Deze is 25 mm².
Wat is de uitgeoefende kracht in kilo's?

Opgave 18

Hoe lang is het materiaal, uit opgave 16 & 17, met het gewicht er aan in mm wanneer je weet dat de oorspronkelijke lengte, zonder het gewicht, 100 cm is?

Opgave 19	Een stalen massieve staaf van 100 x 100 mm heeft een E = 200 x 10⁶ ^kN/_mm² en een lengte van 4 meter. Bereken de kritieke kniklast voor deze lange metalen staaf en hou goedde verschillende eenheden in het oog.

Opgave 20	Nu we de F_kr bekend is kan deze stalen staaf deze druklast ook daadwerkelijk doorstaan?

Opgave 21	Een kokerprofiel met de afmeting vierkant 20 mm en een lengte van 2 meter met een wanddikte van 2 mm, wordt samengedrukt met een kracht van 75 kilo. De bijbehorende materiaal gegevens zijn: E = 100 ^kN/_mm² σ_normaal = 5 ^N/_mm² Bereken de gevolgen voor dit kokerprofiel.

Opgave 22	Hoe kunnen we er voor zorgen dat het kokerprofiel de kracht uit opgave 21, indien noodzakelijk, kan dragen?

Energieleer

Tegenwoordig staat het woord 'Energie' op allerlei manieren in de belangstelling. We moeten onze maatschappij 'groen maken' met als doel dat we onze huidige wereld door kunnen geven aan de volgende generatie. Hoe we dit doen? Door allerlei technieken te gebruiken die de ruime hoeveelheid 'groene energie' te ontginnen. Eigenlijk wil dit zeggen weer terug naar de een soort van mijnbouw maar nu op energie vormen die al jaren opgeslagen liggen in onze aarde of die dagelijks op ons afkomen via straling. We moeten dan denken aan waterkracht, zonne-energie of warmte vanuit de aarde.
Maar geen fossiele brandstoffen die we eenvoudig uit de bodem halen. Deze zetten we om in energie maar we veranderen hiermee ook hun structuur en ze zijn hierdoor niet meer te hergebruiken. We vernietigen hier eigenlijk de energie voorraad mee en we krijgen dit nooit meer terug. Ons huidige energie gebruik is dus voornamelijk gebaseerd op een 'eindig' energiemodel. Want de voorraad aan olie raakt een keer op. Natuurlijk duurt dit nog jaren en gaan wij het einde hiervan de komen 50 jaar niet mee maken. Maar wanneer je bedenkt dat de olie in een periode van miljoenen jaren uit plantresten is gevormd, onder invloed van druk en warmte, tot ruwe olie en we nog maar 150 jaar de olie uit de grond halen dan besef je dat we sneller en meer olie verbruiken dan onze aarde kan maken.

Het bovenstaande geeft aan waar de meeste mensen aan denken bij het woord Energieleer. Maar achter deze gedachten gaat een theorie schuil die al veel ouder is dan het gebruik van bijvoorbeeld olie. De oude Grieken, Leonarda da Vincil en later onder andere Newton onderzochten met hun kennis al naar systemen om energie om te zetten naar beweging. De meest oudste is wel het omzetten van windenergie naar een beweging. Deze beweging kan dan ingezet worden voor ellerlei toepassingen. Bij voorbeeld da Vinci heeft hier hele gedetaileerde tekeningen van gemaakt.
Maar achter deze constructies zitten wetenschappelijke wetten verscholen en deze wetten behandelen de begrippen Arbeid, Potentiële en Kinetische energie. En dat gaan we in de volgende delen ook doen. Wat is arbeid en wat is het verschil in potentiëel en kinetisch. Een prachtig voorbeeld van een apparaat dat alle deze begrippen bevat staat hiernaast.

De catapult van Leonardo da Vinci. De Arbeid bestaat uit de inspanning die de soldaten moeten doen om de veer op spanning te brengen. Hierdoor komt er een potentiële energie in deze veer. Deze potentiële evergie kan dan weer gebruikt worden om als arbeid te dienen om de 'kogel' in de catapult de kinetische energie te laten produceren.
Misschien is het nu nog niet helemaal duidelijk maar dat gaat in de komende paragrafen duidelijk worden.

arbeid

Arbeid is in de fysica een begrip (maat) voor het werk dat gedaan wordt, of de inspanning die door een krachtbron geleverd wordt bij verplaatsing van een massa. Is de krachtbron een constante kracht F en wordt de massa verplaatst over een afstand in de richting van de kracht, dan is de arbeid W het product van de kracht en de afgelegde weg.

De verrichte arbeid kunnen we berekenen met de formule:
$W = F*s $
en met ingevulde eenheden:
$Nm = N * m$
Binnen deze eenvoudig ogende formule geldt:

W - de arbeid in Nm
F - de kracht in N
s - de afgelegde weg in m

De letter 'W' komt van het engelse woord 'Work' wat ook arbeid betekent binnen de engelse taal. Mooi toeval is dat de nederlanse en de engelse taal hierin niet verschillen en dus kunnen wij ook mooi de 'W' gebruiken.

De richting van de kracht is niet altijd dezelfde als de richting van de weg. De arbeid wordt in dit geval:
$W = F_h * s$
Uit de goniometrie (Meetkunde) weten we dat de cosinus van een hoek gelijk is aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde.
$cos \alpha = {aanliggende rechthoekszijde \over schuine zijde} = {a \over s}$

In ons voorbeeld:
$cos \alpha = {F_h \over F}$
Waaruit volgt dat:
$F_h = F * cos \alpha$
F_h is de kracht die in de richting van de weg werkt. Uit al het voorgaande blijkt nu dat we het volgende kunnen herleiden:
$W = F * s * cos\alpha$

Is de hoek die de kracht met de weg maakt 0^o, werkt de kracht dus in dezelfde richting als de verplaatsing, dan gaat de formule vanzelf over in:
$W=F*s*cos 0^o=F*s*1=F*s$
De kracht F_v verricht geen arbeid:
$W=F_v*s*cos90^0=F_v*s*0=0$

Een kracht die dus haaks op de verplaatsing staat levert dus geen arbeid aan deze verplaatsing.

vermogen

Onder vermogen verstaan we de verrichte arbeid per tijdseenheid.

Een andere bekende, maar verouderde, eenheid voor vermogen is de paardenkracht. Dat is oorspronkelijk het vermogen benodigd om een massa van 75 kg omhoog te trekken met een snelheid van een meter per seconde. Dit vermogen varieert met de zwaartekrachtversnelling, en dus met de plaats op aarde. Meestal rekent men een pk als 736 watt.

De hedendaagse formuleringen zijn niet afhankelijk van de plaats op aarde en kennen geen invloeden van cultuur. Want er is bijvoorbeeld een verschil tussen een paardekracht een britse paardekracht en de amerikaanse versie. Hierdoor is het uitwisselen van berekeningen niet eenvoudig en was er dus een universele eenheid noodzakelijk: de Watt.

$Vermogen={Arbeid \over Tijd}$
In formule vorm krijgen we dan:
$P={W \over t}$
en met ingevulde eenheden
$W={Nm \over s}$

Wanneer we in de formule voor Vermogen de formule van Arbeid invullen dan ontstaat:
$P={F*s*cos\alpha \over t}$,
verder weten we dat
$s=v*t => v={s \over t}$

Gaan we nu nog eens goed kijken naar onze eerdere formule voor P, dan zien we hier ook een combinatie van ${s \over t}$staan en dus we verder gaan met de formule te verbouwen:
$P={W \over t}={F*s*cos\alpha \over t}=F*{s \over t}*cos\alpha=F*v*cos\alpha$
en met ingevulde eenheden
$W={Nm \over s}$

Binnen deze formule geldt:

P - vermogen in W
F - de kracht in N
v - de snelheid in ^m/_s
$cos \alpha = { F_h \over F}$

potentiële energie

Om een voorwerp (lichaam) naar een bepaalde hoogte te brengen, moeten we arbeid verrichten.
Omgekeerd geldt hetzelfde.

Bevindt een lichaam zich op een zekere hoogte van het aardoppervlak, dan zit er in dit lichaam ten opzichte van dat aardoppervlak, een hoeveelheid arbeid opgehoopt. We noemen deze arbeid potentiële energie, afgekort E_p.
Deze energie komt vrij als het lichaam in staat wordt gesteld een vrije val te maken naar het aardoppervlak.

Het voorwerp is dus in staat arbeid te verrichten, maar behoeft dit niet te doen.
Alleen door de plaats (hoogte) van het voorwerp ten opzichte van de aarde is er potentiële energie in het voorwerp opgehoopt. We noemen de potentiële energie daarom ook wel arbeidsvermogen van plaats.
We weten dat de arbeid gelijk is aan het produkt van kracht en weg.

$W=F*s$

Omdat het gewicht ook een kracht is en dat de afstand tot de aarde een weg, mogen we voor arbeidsvermogen van plaats (potentiële energie) het volgende schrijven:

$E_p=G*h$
verder is
$G=m*g$
en wanneeer dit gaan combineren ontstaat er dus:
$E_p=G*h=m*g*h$
en met met de ingevulde eenheden
$Nm=kg*{N \over kg}*m$

In de volksmond spreken we hier ook wel van zwaarte-energie. Dus kunnen we E_p ook schrijven als E_z.

De zwaarte-energie kun je ook zien als een accu, een soort opslag van energie. Een mooi voorbeeld hiervan is bijvoorbeeld een stuwmeer of een watertoren in de stad.

kinetische energie

Laten we het voorwerp vallen dan zal de hoogte minder worden. De potentiële ebergie neemt dan af en wordt omgezet in bewegingsenergie.
Naarmate het voor verder valt wordt de potentiële energie minder en de snelheid, en daardoor de bewegingsenergie, groter.

Deze bewegingsenergie noemen we arbeidsvermogen Van beweging of kinetische energie, afgekort E_k.
In de mechanica kennen we de wet van behoud van energie, deze luidt:

De kinetische energie die een lichaam door zijn snelheid heeft is gelijk aan de arbeid die nodig is om dat lichaam die snelheid te geven.

Voor een lichaam dat van een hoogte h vrij valt, is de arbeid die het gewicht G op dat lichaam verricht gelijk aan:
$W=G*h$
verder is
$G=m*g$.
Verder is gegeven voor een vrijvallend lichaam de waarde van h gelijk is aan:
$h={1 \over 2}*g*t^2$
Gaan we dit samenvoegen:
$W=G*h=m*g*{1 \over 2}*g*t^2={1 \over 2}*m*g^2*t^2$
De snelheid van een vrij vallend voorwerp na t seconden is:
$v=g*t$.
Wanneer we nu links en rechts gaan kwadrateren, tot de macht 2 verheffen, ontstaat:
$v^2=g^2*t^2$

Gaan we nu onze 'nieuwe' vermogensformule gebruiken en de laatste kennis hierin verwerken dan:
$W={1 \over 2}*m*g^2*t^2={1 \over 2}*m*v^2$
Dit is dus de energie die nodig is om het voorwerp een bepaalde snelheid te geven. We noemen dit de kinetische energie E_k.
Met andere woorden:
$E_k={m*v^2 \over 2}$
en met ingevulde eenheden:
$Nm={N*{m^2 \over s^2} \over 2}$

We hebben gezien dat een vallend object, potentiële energie omzet in kinetische energie. Men noemt de potentiële energie en de kinetische energie samen de mechanische energie.

Volgens de wet van behoud van energie is deze mechanische energie altijd constant. In formule vorm kunnen we dan schrijven:
$E_p + E_k = constant$

Bij afname van E_p zal E_k evenveel toenemen.
$Afname E_p = Toename E_k$

Rendement
Geen enkel werktuig werkt zonder wrijving. Dit betekent dat het toegevoerde vermogen altĳd meer is dan het afgegeven vermogen. Willen we nauwkeurige berekeningen maken dan moeten we met dit verlies aan vermogen rekening houden.
Daartoe is het begrip rendement ingevoerd.
Onder het rendement verstaat men de verhouding tussen het afgegeven vermogen en het toegevoerde vermogen. Het rendement wordt meestal uitgedrukt in procenten.

$Rendement={Afgegeven \space vermogen \over Toegevoegd \space vermogen}=>n={P_{af} \over P_{toe}}*100^0/_0$

Het rendement is altijd lager dan 100%!

toepassingen

Men gebruikt de kinetische energie Ek van de lucht om windmolens aan te drijven.
De lucht stoot op de enigszins schuin geplaatste molenwieken en ontsnapt dan met verminderde snelheid.
De kinetische energie Ek die de luchtdeeltjes bij die snelheidsvermindering verliezen, wordt overgedragen aan de wieken.
Deze krijgen hierdoor een ronddraaiende beweging die we weer om kunnen zetten in andere vormen van energie, bijvoorbeeld elektrische energie.
De potentiële energie Ep dat het water vóór een waterval bezit, gebruikt men bij zogenaamde waterkracht centrales.

Deze komen veel voor in Zwitserland en Zweden. Al vallende zal de potentiële energie E_p die in het water aanwezig is worden omgezet in kinetische energie E_k.
Beneden aan de waterval zal de kinetische energie een soort schoepenrad doen ronddraaien. Een grote voorraad potentiële energie E_p kan men bereiken door het aanleggen van een stuwdam. Voor de dam zal het zich opstuwende rivierwater een kunstmeer vormen.

Een heimachine is ook een toepassing van potentiële energie. Is het heiblok eenmaal naar boven gebracht
dan zal deze potentiële energie zich omzetten in kinetische energie wanneer hij naar beneden valt.

Een opgeheven hamer bezit ook potentiële energie. Vlak voor de botsing (op de spĳker) is deze potentiële energie omgezet in kinetische energie, waarmee de spijker in het hout wordt geslagen.

Voorbeeld 1
Een voorwerp wordt door een kracht van 20N die onder een hoek van 40^o staat, horizontaal verplaatst over een afstand van 5 meter.

Bereken:

de daarvoor benodigde arbeid
het benodigde vermogen als de verplaatsing in 10 seconden plaats vindt

Gegeven:	F=20N	α=40^o	t=10s	s=5m
Gevraagd:	W en P

Oplossing:	W=	F *	s *	cos α
		20N *	5m *	cos 40^o
		100Nm *	0,7660
	W=	76,60Nm
	P=	W /	t
		76,60Nm /	10s
	P=	7,66W

Voorbeeld 2
Een hijswerktuig hijst een gewicht van 1600N in 8 seconden 10m op.

Bereken de verrichte arbeid
Hoe groot is het vermogen?
Hoe groot is het vermogen als het rendement van het hijswerktuig 80% is?

Gegeven:	F-1600N	s=10m	t=8s	n=80%
Gevraagd:	W, P en	P 80%

Oplossing:	W=	F *	s
		1600N *	10m
	W=	16.000 Nm
	P=	W /	t
		16.000Nm /	8s
	P=	2000W	= 2kW
	n=	P_af/ P_toe*	100%
	P_toe=	P_af * 100%	/ n
		2kW * 100%	/ 80%
	P_toe=	2,5kW

Voorbeeld 3
Een heiblok met een gewicht van 6000N wordt gebruikt, om betonnen palen in de grond te heien. Op een gegeven moment bevindt het blok zich 7 meter boven de bovenkant van de paal.
Hoe groot is nu de E_p ten opzichte van de paal?

Gegeven:	G=6000N	h=7m
Gevraagd:	E_p

Oplossing:	E_p=	G *	h
		6000N *	7m
	E_p=	42.000Nm

Voorbeeld 4
Een spaceshuttle heeft een massa van 40 ton en vliegt op een bepaald gedeelte van het traject met een snelheid van 3960 kmh.
Bereken de E_k die dan in de shuttle is opgehoopt.

Gegeven:	m=40t	v=3960 kmh
Gevraagd:	E_k

Oplossing:	v=	3960 * 1000m / 3600s	=1100 ^m/_s
	m=	40t	= 40.000kg
	E_k=	1/2 *	m *	v²
		1/2 *	40.000kg	(1100 ^m/_s)²
	E_k=	24.200.000.000Nm
	E_k=	*2,4210¹⁰Nm**

Voorbeeld 5
Een auto met een massa van 900kg heeft een snelheid van 72kmh.
Bereken de E_k van deze auto.

Gegeven:	m=900kg	v=72 kmh
Gevraagd:	E_k

Oplossing:	v=	72 * 1000m / 3600s	=20 ^m/_s
	E_k=	1/2 *	m *	v²
		1/2 *	900kg	(20 ^m/_s)²
	E_k=	180.000Nm
	E_k=	*1,810⁵Nm**

Voorbeeld 6
Een heiblok met een massa van 400kg valt van een hoogte van 5m op de kop van een heipaal.

Hoe groot is de kinetische energie op het moment van de botsing?
Bereken de snelheid waarmee het blok de kop van de heipaal raakt?

Gegeven:	m=400kg	h=5m	g=10
Gevraagd:	E_k en v

Oplossing:	E_p=	m *	g *	h
		400kg *	10 *	5m
	E_p=	20.000Nm

Alle potientiële energie is in kinetische enregie opgezet op het moment dat het heiblok dekop van de heipaal raakt. Hiermee is de hoogte 0m geworden en kunnen we dus zeggen dat E_k=E_p geworden en is E_k=20.000Nm.

Oplossing:	E_k=	¹/₂ *	m *	v²
	20.000 =	¹/₂ *	400kg *	v²
	v² =	20.000nM	/ 200kg
	v² =	100 ^m2/_s2
	v =	$\sqrt {100{m^2 \over s^2}}=10{m \over s}$

--} opgaven

Opgave 1
Een timmerman tilt de hamer op om een spijker in het hout te slaan.
Als hij de hamer in de hoogste stand houdt is er energie in de hamer opgehoopt. Welke soort energie is dat?
Waar is de energie vlak voor de botsing in omgezet?

Opgave 2
Een elektromotor hijst een liftkooi met gewicht van 3000N tot een hoogte van 10m op.

Hoeveel arbeid verricht de elektromotor?
Waarin is de elektrische energie van de motor omgezet?
Hoeveel potentiële energie bezit de liftkooi op die hoogte?

Opgave 3
In afbeelding hiernaast is een stuwmeer geschetst. Het hierin aanwezige water valt door een buis naar beneden en brengt een schoepenwiel in beweging.
De as van dit schoepenwiel drijft op zijn beurt een generator (dynamo) voor het opwekken van elektrische energie aan.

Welke soort energie bezit het water in A?
In welke energievorm is die omgezet bij B?
En bij C?

Opgave 4
Een stalen balk met een gewicht van 3000 N wordt door een lier in 15 seconden tot een hoogte van 20m gehesen.

Hoeveel arbeid is er verricht?
Bereken het vermogen in kW.
Hoe groot is de potentiële energie voor het hijsen?
En na het hijsen?

Opgave 5

Een voetbal met een massa van 0,5 kg wordt tot een hoogte van 8 m geschopt.

Hoe groot is dan de potentiële energie?
Wat gebeurt er daarna met deze potentiële energie?

Opgave 6
Iemand brengt een voorwerp op 10 m hoogte. In het voorwerp is dan 300 Nm aan potentiële energie opgehoopt.

Hoe groot is het gewicht van het voorwerp?
Hoe groot is de massa van het voorwerp?

Opgave 7
Een voorwerp wordt met een kracht van 400N over een afstand van 10 m verplaatst.
De hoek die de kracht met de weg maakt is 35°. De verplaatsing vindt in 8 seconden plaats.

Bereken de benodigde arbeid (2 decimalen).
Bereken het benodigde vermogen (2 decimalen).

Opgave 8
Een auto heeft een massa van 800 kg. Zijn snelheid is 54 kmh.

Bereken zijn snelheid in ^m/_s.
Bereken de kinetische energie.

De snelheid van de auto wordt nu opgevoerd tot 108 kmh.

Bereken de snelheid ^m/_s.
Bereken de kinetische energie.
Wat valt je op als je de antwoorden a en c en b en d vergelijkt?

Opgave 9
Een auto met een massa van 900 kg heeft bij een snelheid van 72 kmh een bepaalde hoeveelheid kinetische energie (zie afbeelding). Zou deze auto tegen een muur botsen dan wordt deze energie omgezet in botsingsenergie. De auto wordt hierdoor in elkaar gedrukt.

Van welke hoogte zou de auto moeten vallen om evenveel potentiële energie om te zetten in deze botsingsenergie?
Stel dat de auto een snelheid heeft van 144 kmh van welke hoogte zou hij dan moeten vallen?

Opgave 10
Een voorwerp met een gewicht van 1000 N valt. In B is de kinetische energie 20000 Nm

Hoe groot was de kinetische energie 15 m hoger, in A?
Met welke snelheid passeerde het voorwerp punt A?

Opgave 11
Een voorwerp met een massa van 2 kg laat men van een 80 m hoge toren vallen.

Hoe groot zijn de potentiële en de kinetische energie bij het begin van de beweging?
Welke weg wordt door het voorwerp in 2 seconden afgelegd?
Hoe groot is de snelheid na 2 seconden?
Hoe groot zijn de potentiële en de kinetische energie na die 2 seconden?
Uit antwoord d volgt de wet van behoud arbeidsvermogen. Hoe luidt deze?

Opgave 12
Een voorwerp met een massa van 1 kg beweegt zich 3 m boven de grond. Het voorwerp heeft een snelheid van 5 ^m/_s in horizontale richting.
Hoe groot is de potentiële energie ten opzichte van de grond en hoe groot is de kinetische energie van het voorwerp?

Opgave 13
Een lichaam met een massa van 30 kg bevindt zich op een hoogte van 6,05 m boven de grond.
Bereken de snelheid van het lichaam bij het op de grond komen, als het vrij valt. De beginsnelheid is 0 ^m/_s.

Opgave 14
Op een lichaam werkt een kracht van 600N onder een hoek a met een horizontaal vlak.
Na een verplaatsing van 8 m over dat horizontale vlak heeft deze kracht 3000 Nm arbeid verricht.
Bereken de hoek waaronder de kracht werkt (2 decimalen).

Opgave 15
Een hetelucht-ballon bevindt zich op een hoogte van 180 m.
Men laat uit de mand een zak zand met een massa van 5 kg vallen.
Wat is de kinetische energie van de zak op een hoogte van 140 m?

Opgave 16
Een voorwerp met een massa m = 20 kg bevindt zich boven de grond.
De potentiële energie E_p = 1000 J.
Met welke snelheid zal het voorwerp de grond treffen als het wordt losgelaten?

Opgave 17
Een helicopter bevindt zich op een hoogte 16 m boven de grond. De helicopter blijft op dezelfde plaats. De totale massa van de helicopter is 2500 kg.
Bereken:

de verticale kracht, die nodig is om de helicopter op een hoogte van 16 m te houden
de potentiële energie van de helicopter ten opzichte van de grond
de kinetische energie van de helicopter.

De helicopter vliegt nu gedurende 8 sin horizontale richting met een versnelling van 2,5 ^m/_s²
Bereken:

de kracht in horizontale richting om de helicopter deze versnelling te geven
de snelheid van de helicopter na 8 s
de afgelegde weg in 8 s
de kinetische energie van de helicopter na 8 s.

Opgave 18
Een voorwerp met een massa van 6 kg bevindt zich in punt P van een helling met een hellingshoek van 30°.
De afstand PQ is 8m.
Hoe groot is de potentiële energie van het voorwerp ten opzichte van het horizontale vlak door punt Q?

Hydrostatica

Hydrostatica beschrijft de toestand van vloeistoffen in een evenwichts toestand, aldus Wikipedia. Maar wat wordt hiermee dan bedoeld? Wanneer we de zin uit elkaar trekken dan vallen 3 woorden op: toestand, vloeistoffen en evenwicht. In de volgende paragrafen zullen deze drie woorden steeds weer terug komen. Even als 3 belangrijke wetten van 3 verschillende natuurkundigen.
In ons dagelijks leven vinden we talloze hydrostatische situaties om ons heen. Wanneer we de WC doorspoelen dan weten we dat door de 'zwanehals' achter de WC de rioollucht niet meer in huis komt. Een auto of vrachtwagen kan dankzij hydrostatica remmen en sturen. De koelkast is gebasseerd op enkele belangrijke hydrostatica begrippen. En hijskranen kunnen geweldige gewichten tillen danzij hydraulische cilinders.

Aggregatietoestanden
Eerder spraken we van vloeistoffen. Maar een vloeistof is één vorm van een willekeurig materiaal. Net als er verschillende soorten auto's zijn, blijven het allemaal auto's. Gelijk aan bijvoorbeeld laptops, PC of tablets en computers. Naast vloeistoffen kennen we ook een vaste stof en een gas van hetzelfde materiaal. Alle drie toestanden bij elkaar horen dus bij \één en hetzelfde materiaal.

Bijvoorbeeld van water kennen we allemaal de 3 verschillende vormen:

vast - noemen we ijs,
vloeibaar - noemen we water,
gas - noemen we stoom.

Maar zo kunnen we nog wel een paar voorbeelden verzinnen. Het eindresultaat is dat alle materialen dus 3 verschillende vormen kennen: Aggregatietoestanden.

De temperatuur speelt een belangrijke rol bij deze 3 aggregatiestoestanden. Door het steeds heter te maken gaat een vaste stof over in een vloeibare. IJs wordt weer water en staal wordt vloeibaar staal. Zelf steen wordt vloeibaar wanneer de temperatuur heel erg heet wordt. We krijgen dan lava. Maar bij de temperatuur van vloeibaar staal is het water al een gas geworden en bij de temperatuur van lava is koper al een gas.

In het schema rechts zie je alle toestanden en de namen die we aan de verschillende handelingen hebben gegeven. Door water te verwarmen gaat het een gas worden, dus verdampen. Wat ook opvalt is dat het een omkeerbaar proces is afhankelijk van de temperatuur.

Wanneer we goed kijken dan zien we dat er meer en meer warmte nodig is wanneer we een rondje 'met de klok mee lopen' en dat het steeds kouder wordt wanneer we 'tegen de klok in gaan'.

Wat ook bekend is dat het volume groter of kleiner wordt al na gelang de temperatuur stijgt of daalt. Drie natuur- en scheikundigen vonden dit ook opvallend en hebben geprobeerd hier patronen en wetmatigheden in te ontdekken.

Archimedes

Archimedes was een van de vele belangrijke Griekse wetenschappers die onze Aarde heeft grootgebracht. Veel van onze hedendaagse natuurkundige wetten berusten op deze oude beschaving. Onze schepen zouden niet kunnen varen zonder zijn ontdekking. Hierover is een leuk verhaal bekend.

Koning Hieroon van Syracuse wilde de goden een gouden krans aanbieden en gaf een kunstenaar opdracht er een te maken. Na ontvangst van de voltooide krans rees bij de koning de twijfel of de krans wel van puur goud was gemaakt. Misschien was deze wel gemaakt van een mengsel van zilver en goud, een truc waarvan valsmunters toentertijd gebruik maakten om munten te vervalsen. De koning vroeg aan Archimedes of deze kon vaststellen of de krans van puur goud gemaakt was. De krans mocht echter niet beschadigd worden.

In gedachten verzonken liep Archimedes naar huis en hij besloot ter ontspanning een bad te nemen. Terwijl Archimedes zich in het bad laat zakken realiseert hij zich dat hij lichter wordt. Goud (19,2 kg/dm³) heeft een hogere dichtheid dan zilver (10,5 kg/dm³) en een gouden krans heeft dus een kleiner volume dan een even zware zilveren krans. Uit de opwaartse kracht van het water zou hij dus het volume van de krans moeten kunnen bepalen en door dat te combineren met het gewicht van de krans zou hij kunnen vaststellen of de krans uit zuiver goud gemaakt was. Hij is zo blij dat hij het probleem heeft opgelost dat hij uit het bad springt en zonder zich aan te kleden naar de koning rent onder het uitroepen van "Eureka, Eureka!" (Ik heb het gevonden, ik heb het gevonden!)

Hierbij moet nog worden opgemerkt dat openbaar naakt in het oude Griekenland, hoewel niet gebruikelijk, maatschappelijk aanvaard werd.

De wet van Archimedes zegt ons dat:

De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof of gas ondervindt is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof of gas.

Mede door deze wet kunnen vissen, onderzeeboten en ballonnen stijgen en te dalen in water of lucht: als het volume van een voorwerp (in dit geval van de vis of de onderzeeboot) groter wordt, wordt ook de archimedeskracht groter. Als de archimedeskracht groot genoeg is stijgt het voorwerp. Vissen gebruiken hiervoor een zwemblaas. Duikboten werken met een gecompliceerd systeem van tanks. Luchtbalonnen verwarmen de lucht in de balon waardoor deze een grotere omvang(volume) krijgt.

Dankzij Archimedes kunnen we nu ook verklaren waarom een boot drijft en zinkt wanneer het te zwaar wordt.
Een boot is nooit tot de rand toe gevuld met lading. er blijft altijd een rand over aan de bovenkant van het 'lichaam' (boot). Hierdoor zal het lichaam altijd groter zijn dan het lichaam dat de lading inneemt. Kijk maar eens naar de figuur en vergelijk de buitenkant van rechthoek maar een met de blauwe rechthoek. Door dit grotere lichaam zal er dus ook meer opwaartse druk worden gegenereerd dan de neerwaartse druk van de lading en blijft de boot dus drijven. Dus F_a is altijd een heel klein beetje kleiner dan F_p.
Wanneer de boot zinkt dan zal er geen verschil meer zijn in de afmetingen van de lichamen en is dat hele kleine verschil tussen F_a en F_p verdwenen en zal de boot naar beneden gaan.

Pascal

Van de Franse wis- en natuurkundige Pascal is de volgende wet:

Een druk die wordt uitgeoefend op een vloeistof die zich in een geheel gevuld en gesloten vat bevindt, zal zich onverminderd in alle richtingen voortplanten.

Deze wet is de basis voor de hydrostatica en duidt erop dat in stilstaand water geen schuifspanningen optreden en dus ook dat de viscositeit, de dikte, bij stilstaand water geen rol speelt.
Maar wat wordt hiermee bedoelt? Wat kunnen we hiermee?

Neem bijvoorbeeld een ballon en vul deze met water. Maak er een knoop in zodat er geen lucht meer in de ballon zit. Nu hebben we een situatie die in de wet beschreven staat. 'Een vloeistof die zich in een gevuld en gesloten vat zit.' Wanneer je op een willekeurige plek op de ballon je vinger in de ballon steekt zul je een weerstand voelen. Het maakt niet uit op welke plek de kracht die je voelt is overal gelijk. En daarmee is het tweede deel van de wet, 'zal zich onverminderd in alle richtingen voortzetten.' Het gevolg van 'deze voortzetting' is een vorm verandering van de ballon. Nu hebben we met dit kleine experiment de wet verklaard en een beetje meer tastbaar gemaakt. De druk naar de ballon geeft een tegendruk uit de ballon.
Wat we hiermee kunnen is veel. We vinden dit principe terug bij boten en bij hydraulische cilinders.

Bij boten speelt hierbij ook de wet van Archimedes een rol. Immers de hoeveelheid verplaatst water geeft een even zo grote kracht omhoog. Hierdoor blijven boten drijven.
Wanneer we echter de boot helemaal vol zouden laten lopen met water dan zal deze uiteindelijk zinken. Dus de massa van de boot , lees zwaartekracht, kan dus groter worden dan de opwaartse kracht vanuit de vloeistof, water. Het is dus belangrijk dat de boot niet te zwaar op het water drukt.

Druk
De dumptruck hiernaast is erg zwaar. Toch kan hij over het zand rijden zonder erin weg te zakken. Dat komt doordat de banden groot en breed zijn. De banden verdelen de kracht die de vrachtwagen uitoefent over een groot oppervlak. Zo wordt voorkomen dat de druk op de bodem te groot wordt.

Je kunt de druk uitrekenen met de formule: $p={F \over A}$

In dit geval is F de kracht die de vrachtwagen op de bodem uitoefent en A het contactoppervlak van de banden met het zand.

Als je in de formule de verschillende SI -eenheden invult dan krijg je het volgende sommetje, $p={N \over m^2}$. Omdat deze eenheid zo veel wordt gebruikt, heeft hij een eigen naam gekregen: de Pascal (Pa). Onthoud dat 1 Pa het zelfde is als 1 N/_m².

1 Pa is maar heel weinig. Als je een kleine kracht (1 N) verdeelt over een groot oppervlak (1 m²), levert dat maar weinig druk op. Daarom wordt naast de N/_m ook de N/_cm² gebruikt. Bij een druk van 1 N/_cm² wordt een 1 N verdeeld over 1 cm². In allerdaagse situaties werkt de N/_cm² vaak gemakkelijker. De getallen worden hierdoor veel kleiner en dat maakt het rekenen eenvoudiger.

Voorbeeld
Bereken hoeveel druk de baksteen in het plaatje links uitoefent.

l = 7,5 cm
b = 5,6 cm
h = 18 cm
m = 2,1 kg

F_z = m * g = 2,1 * 10 = 21 N

A = l * b = 7,5 * 5,6 = 42 cm²

$p={F \over A} = {21 \over 42} = 0,5 N/cm^2$

Wanneer we de baksteen op zijn lange zijde leggen, zal de druk dan hoger over lager zijn?

De F blijft gelijk maar de A wijzigd in A = l * b = 18 * 7,5 = 135 cm².

$p={F \over A} = {21 \over 135} = 0,16 N/cm^2$

De druk wordt dus behoorlijk lager.

Dus door het oppervlak te vergroten kun je de druk kleiner maken. Dit kan soms handig zijn en we gebruiken dit ook. Denk bijvoorbeeld aan sneeuwschoenen. Die hebben een groot oppervlak en zakken daardoor minder diep in de sneeuw.
Of een extra as met wielen onder een vrachtwagen. Hierdoor kan een vrachtwagen meer lading meenemen of beter wegkomen op een drassige ondergrond, bijvoorbeeld een bouwput.

Een druk kun je dus op twee manieren groter of kleiner maken:

Door de kracht groter op kleiner te maken, een grotere kracht geeft een grotere druk.
Door het oppervlak kleiner of groter te maken, een kleiner oppervlak geeft een grotere druk.

Bar
De bar is een niet-SI-eenheid van druk, maar is wel een blijvend erkende eenheid die heel vaak in de industrie en het dagelijkse leven gebruikt wordt. De SI-eenheid is de pascal (Pa).

Een bar is precies gelijk aan 100.000 Pa = 100 kPa. Van deze eenheid kunnen decimale veelvouden en delen worden gevormd. Het meest gebruikelijke is de millibar (symbool: mbar = 100 Pa), vooral voor het aangeven van de atmosferische druk.

Eén bar betekent dat er 10 newton (bij benadering 1 kg) drukt op één vierkante centimeter. Dus 1 bar = 10 N/cm² = 100.000 N/m². Dit is ongeveer 1 kg/cm², wat ook ongeveer de atmosferische druk is. Dus bij benadering is 1 bar ≈ 1 atm ≈ 1 kg/cm² (wat soms foutief "1 kilo" druk genoemd wordt). In werkelijkheid verschilt 1 bar (100.000 Pa) van 1 atm (101.325 Pa).

Bij berekeningen van drukken met vaste stoffen geven we het antwoord vrijwel altijd in Pascal. Bij vloeistoffen en gassen binnen de technische sector meestal in bar. In laboratoria gebruiken ze liever de Pascal omdat de drukken daar relatief klein zijn en je met Pascal veel minder 'kommagetallen' krijgt wat fouten in de hand kan werken.

PSI

Waar wij in Europa werken met Bar en Pa voor drukken gebruikt men in Amerika en in binnen het Verenigd Koninkrijk de niet SI-eenheid PSI. Dit staat voor 'Poundforce per Square Inch'.
Het is ook de 23^e letter in het Griekse alfabet en wordt uitgesproken als 'psss'. Het klinkt dus als ontsnappende lucht.

Voor de berekeningen gebruiken de Britten en de Amerikanen exact dezelfde formules als wij doen en gebruiken voor deberekening van de druk gewoon de formule:
$Druk={Kracht \over Oppervlak}$
Alleen gebruiken ze andere eenheden dan wij binnen het SI stelsel. En daardoor krijg je dus ook andere getallen en dat kan best wel verwarrend zijn. Voor de fabrikanten omdat ze nu twee verschillende apparaten moeten maken en voor de gebruiker om het juiste apparaat te gaan gebruiken. De fabrikanten hebben het opgelost door de schalen voor de drkken te combineren tot één meter zodat zegeen 2 apparaten hoeven te maken. En de gebruiker is hier ook goed mee bediend want hij of zij leest gewoon de schaal af die bij het land hoort.

Maar hoeveel verschil is er dan?

één pound is ongeveer 0.458 kg, vermenigvuldigd met de valversnelling, in Verenigde Staten is dit gemiddeld 9.8066 m/s². Dus een pound-force is ongeveer 4,44822 N,
één inch is 2,54 cm en daarmee is een vierkante inch is 0,00064516 m2,
één psi is dus ${4,44822 \over 0,00064516} = 6894,754790 ^N/_{m^2} = 6,89 kPa$

De factor tussen Pascal en psi is dus ongeveer 6,9. Iets dat we ook terug kunnen zien op de meter op de foto. Want de waarden voor 3500 psi komt bijna overeen met 24000 kPa en wanneer we deze op elkaar delen krijgen we het sommetje:
$24000/3500 = 6,857143$
En dat komt aardig in de buurt.

Hydraulische systemen
Door nu de wetten van Archimedes en van Pascal te combineren en het feit dat we weten we dat een vloeistof zich niet laat samendrukken hoe groot de druk ook is, kunnen we dus een vloeistof gebruiken om de druk door te geven. Dat gebeurt bijvoorbeeld in een hydraulisch systeem.

Als je op cilinder A duwt, komt er druk op de vloeistof te staan. Cilinder B wordt dan door de vloeistof omhoog gedrukt.

Hydraulische systemen worden onder andere gebruikt in de remmen van een auto. De druk die de chauffeur uitoefent op het rempedaal, wordt door de remvloeistof doorgegeven aan de remmen. Als de chauffeur het rempedaal intrapt, duwt de vloeistof bij elk wiel de remblokken tegen de remschijf.

Een hydraulisch systeem kan de kracht vergroten die erop wordt uitgeoefend. Het systeem in dit voorbeeld maakt de kracht bijvoorbeeld 10x zo groot. Dat komt doordat de oppervlakte van cilinder B 10x zo groot is als het oppervlak van cilinder A. Als je een kracht van 100 N uitoefent op cilinder A, oefent de vloeistof een kracht van 1000 N uit op de cilinder B. Daar staat tegenover dat cilinder B een veel kleinere afstand aflegt: Je moet cilinder A 10 cm indrukken om cilinder B 1 cm omhoog te laten gaan.

Wanneer we kijken naar het bewijs via de wet van Pascal is het ook eenvoudig op een rekenkundige manier duidelijk te maken. De wet zegt over de druk: $p={F \over A}$ in cilinder A. Pascal zegt dat de druk zich in alle richtingen onverminderd voorzet. Dus de druk bij cilinder B is dezelfde druk als bij cilinder A. Op een wiskundige manier geschreven:

$p_a={F_a \over A_a} = {F_b \over A_b}$

We weten dat het oppervlak van cilinder B 10x groter is dan van cilinder A, dus:

$p_a={F_a \over A_a} = {F_b \over 10A_a} => {F_a * 10A_a \over A_a} = F_b => 10F_a = F_b$

en hieruit volgt dus dat de kracht in cilinder B dus 10x groter is dan de kracht in cilinder A.

Wet van de communicerende vaten
Dit is een direct afgeleide wet van die van Pascal. De wet leert ons dat wanneer we een aantal vaten (bakken) onderling met elkaar verbinden, op het laagste punt, het water niveau in alle vaten even hoog zal zijn. Waarom? Is eenvoudig met de wet van Pascal te verklaren die zegt dat de kracht van de vloeistoffen overal evenredig en onverminderd voortplant. Anders gezegd de druk in alle vaten is gelijk.

In de inleiding werd een toepassing van deze wet al genoemd in de vorm van een zwanehals. Deze zijn bedoeld als een stankafsluiter voor het riool. Wanneer je de WC doorspoeld dan ontstaat er een overdruk in het eerste vat en deze gaat zich verdelen over het andere vat totdat het weer stabiel is. Ondertussen heb je wel weer een schoon toilet.

Een andere mooie toepassing zijn de diverse watertorens die we in de stad vinden. Ook dit is een regelrechte toepassing van de wet van Pascal. Deze watertorens vinden we steeds minder in onze steden en worden veelal vervangen door pompen die op electriciteit werken. Maar deze 'oude' oplossingen zijn wel de 'groenste' voorziening in onze steden en ze worden nog steeds gebruikt.

Eiffeltoren
De Eiffeltoren rust op 16 grote zuigers met elk een oppervlakte van 30 m2 (de kleine zuigers hebben elk een oppervlakte van 300 cm2). Ze dienen om de invloed van windstoten te compenseren.

Uit de wet van Pascal weten we dat de drukken in de cilinders te berekenen is met $p = {F \over A}$, waarbij F in Newton en A in m². De druk is in de kleine en in de grote cilinder gelijk dus kunnen we schrijven $p = {F_{klein} \over A_{klein}} = {F_{groot} \over A_{groot}} = {F_{klein} \over 300 cm^2} = {F_{groot} \over 30 m^2}$.

Gaan we verder uitwerken dan zullen we zien dat de kracht in de grote zuiger een behoorlijke factor groter is dan in de kleine zuiger. Hoeveel?

${F_{klein} \over 300 cm^2} = {F_{groot} \over 30 m^2} => {F_{klein} \over 300 cm^2} = {F_{groot} \over 30 * 10000 cm^2 } => $

$ {F_{klein} \over 300 cm^2} = {F_{groot} \over 300000 cm^2 } => {300000 * F_{klein} \over 300} = F_{groot} => 1000 F_{klein}=F_{groot}$

De kracht die de windstoot doorgeeft aan de kleine zuiger wordt dus 1000x versterkt door de grote zuiger om zo de hele Eiffeltoren stabiel te houden tijdens een storm.

Boyle

De algemene gaswet bij constante temperatuur wordt de wet van Boyle genoemd, en vernoemd naar de Ierse filosoof en scheikundige Robert Boyle (1627-1691). Deze wet beschrijft het gedrag van ideale gassen bij constante temperatuur:

$p\,V = \textrm{constant}.$

Hierin is p de druk en V het volume van het gas. Deze wet stelt dat bij een constante hoeveelheid gas en een constante temperatuur de druk van een gas omgekeerd evenredig is met het volume.

Het bovenstaande is een mooie 'volzin' maar wat wordt er mee bedoeld? Het laat zich het best verklaren met behulp van een klein experiment. Wanneer je van een fietspomp de nippel goed afsluit en de zuiger omlaag duwt, neemt de druk in de pomp toe. Duwt je de zuiger zover omlaag dat de lucht in de pomp tot de helft van zijn oorspronkelijke volume is samengedrukt (en wacht men tot de lucht weer op de omgevingstemperatuur is gekomen), dan is de druk in de pomp tweemaal zo hoog geworden.

Combineren we deze kennis met die van Pascal over drukken dan is dit heel logisch. Immers de druk was ook afhankelijk van het beschikbare oppervlak. Dus wanneer we deze halveren dan zal de druk tweemaal zo groot gaan worden.
Een belangrijke opmerking hierbij is dat in het experiment staat dat we moeten wachten dat de temperatuur weer gelijk is met de omgevingstemperatuur. Wachten we daar niet op dan zullen we een hogere druk meten.

De franse scheikundige Gay-Lussac heeft jaren latere nog twee belangrijke wetten ontdekt en bewezen. Namelijk:

algemene gaswet bij constante druk ${V \over T}=constant$
waarbij V het volume is en T de temperatuur.
algemene gaswet bij constant volume ${p \over T} = constant$
waarbij p de druk is en T wederom de temperatuur.

Van deze twee wetten zou je kunnen denken dat deze te combineren zijn. Je hebt immers tweemaal een temperatuur en tweemaal een constante. Je moet je nu afvragen of deze Temperatuur en constante inderdaad gelijk zijn.
Bij de temperatuur zijn we snel klaar: Ja. We kennen immers maar één temperatuur op deze aarde en geven deze weer in Celsius of Kelvin. Beide lopen in gelijke stappen omhoog, dus er is maar één temperatuur mogelijk.
Voor de constante kunnen we niet een dergelijke redenatie bedenken. Dus moeten we aannemen dat het dus 2 verschillende constanten zijn.

Een derde italiaanse scheikundige Avogadro heeft de verschillende constantes een verdere verklaring gegeven. Deze constanten zijn namelijk per gassoort verschillende en afhankelijk van het gewicht van één molecuul gas.

Voegen we nu alles tesamen dan komen we op de algemene gaswet, ook wel idealegaswet of wet van Boyle en Gay-Lussac genoemd, beschrijft het gedrag van ideale gassen onder invloed van druk, volume, temperatuur en aantal deeltjes.

De wet $pV=nRT\,$

Daarin is:

p de druk in Pa (N/m²)
V het volume in m³
n de hoeveelheid gas in mol (= aantal moleculen gedeeld door de constante van Avogadro)
R de gasconstante (8,314472 J·K⁻¹mol⁻¹)
T de absolute temperatuur in K

Maar waarom is de wet, $p\,V = \textrm{constant}.$ , van Boyle dan gelijk aan deze de uitgebreide versie, $pV=nRT\,$ , van Gay-Lussac?
Wanneer we goed kijken naar de laatste formules dan valt op dat 'n = hoeveelheid gas' in de experimenten van Boyle altijd gelijk was. Hij gebruikte geen ander gas dan de lucht om hem heen. Daarmee is dit getal dus zeg maar; altijd hetzelfde en constant. Daarnaast deed hij ook niets met de Temperatuur en is dit dus ook een constante. De waarde voor 'R = gasconstante' kon Boyle nooit weten want deze is bedoeld om de wet voor alle gassen te laten gelden. Maar Dat betekent dat er in de formule van Gay-Lussac drie constanten met elkaar vermenigvuldigd worden en dat is ook weer een constante.
Dus staat er bij gelijke hoeveelheid gas en gelijkblijvende temperatuur gewoon de gaswet van Boyle $p\,V = \textrm{constant}.$ En aangezien Boyle eerder met deze wet kwam dan Gay-Lussac heeft hij de eer gekregen.

Toepassing
Met behulp van de uitgebreide wet kunnen we de werking van de Airco verklaren en we kunnen berekenen hoeveel koelmiddel er in een airco zit. Immers de apparaten geven aan dat er 400 gram koelmiddel uit het systeem is gehaald. Maar hoeveel gas is dat dan in liters en hoeveel ruimte heb ik hiervoor dan nodig om het te bewaren.
Met behulp van deze wetten kunnen we ook verklaren wat er gebeurd met de druk van het systeem als de temperatuur met 50 graden gaat stijgen. Ontstaat er dan een overdruk of gebeurd er niets? Of hoe profiteert een airco dan van deze wetten?

Die laatste kunnen we nu eenvoudig verklaren. Een airo bestaat uit een drukvat waar een gas in zit. Daarnaast is er een pomp om het gas samen te persen en een groter vat waarin het gas weer kan expanderen (omgekeerde van samenpersen). Deze vaten zien er meestal uit als een radiator zodat je hierdoor eenvoudig lucht langs kunt leiden die dan gekoeld of verwamd kunnen worden.
De wet die hier belangrijk is voor de verklaring is ${V \over T}=constant$

We hebben voor onze installatie de volgende gegevens:

een kleine radiator van 0,5 liter,
een grotere radiator van 2 liter,
een begin temperatuur van 20^oK.

${V \over T}=constant => {0,5 \over 20} = constant => 0,025$ is dus de stabiele beginsituatie en dit is dus de constante waar we de overige berekeningen voor deze situatie aan gaan toetsen. Door nu het aircogas van de kleine naar de grote radiator te laten stromen krijgen we de volgende berekening ${2 \over T}=constant$. De nieuwe temperatuur weten we nog niet maar de wetten zeggen dat de verhouding tussen het volume en de temperatuur constant is en blijft dus de begin en eind situatie zijn gelijk aan elkaar qua verhoudingen. We mogen dus zeggen:

${V_{begin} \over T_{begin}}={V_{eind} \over T_{eind}}=>{0,5 \over 20}={2 \over T}=>{0,5 \over 20}*T=2=>0,5*T=2*20=>$
$T={40 \over 0,5}=>T=80$

Er is dus een temperatuurverschil van 60^oK tussen de beide radiatoren noodzakelijk om de balans tussen de beide radiatoren te handhaven. Oftewel er is een koelcapciteit van 60^oK. Door hier nu de lucht langs te laten stromen ontstaat er dus een koele luchtstroom. Om gekeerd werkt het ook alleen zal de lucht dan langs de kleine radiator moeten worden geleid en dan krijg je een verwarming.

Toch wel komisch dat de werking van de verkoelende airco gebasseerd is op wetten die al ruim 400 jaar oud en bekend zijn.

Omdat Hydrostatica best wel een heel theoretisch hoofdstuk is geworden ben ik opzoek gegaan naar nog meer toepassingen. Een andere hele leuke en interessante toepassing van deze wetten vinden we ook terug in hydraulische motoren. Helemaal nu we wereldwijd met een transitie bezig zijn in de reductie van CO₂ gassen gaan deze motoren steeds belangrijker worden.

Hydraulische motor

Een hydromotor of hydraulische motor is een omzetter van hydraulische energie naar mechanische energie. De hydromotor wordt gebruikt in hydraulische en hydrostatische aandrijvingen, zoals het zwenksysteem van een kraan, maar ook de aandrijving van een zwaarlastvoertuig middels wielmotoren. Omzetters in hydrodynamische systemen noemt men turbines. Men onderscheidt onder andere:

Tandrad- of tandwielmotor
Schottenmotor
Axiale plunjermotor
Radiale plunjermotor

Hydromotoren die in hydraulische installaties gebruikt worden, zijn altijd van het verdringertype. Dit betekent dat het toerental een directe relatie heeft tot het slagvolume van de motor en de aangevoerde vloeistofstroom, terwijl het koppel een directe relatie heeft met het drukverschil over de motor en het slagvolume.

Er zijn veel toepassingen voor hydromotoren. Je kunt denken aan het verplaatsen van zware lasten, immers de hydrauliek vermenigvuldigd de uitgeoefend krachten veelvuldig en daardoor uitstekend geschikt voor zwaarwerk. Ook geven deze motoren de ontwerpers veel vrijheden bij het ontwerpen van machines. Er hoeven immers geen tandwielen of assen gebruikt te worden. Men kan eenvodig waar nodig een motor plaatsen.
Zoals ook al eerder aangegeven zijn we wereldwijd bezig met een transitie naar een groen energie verbruik om zo de CO₂ uitstoot te reduceren. In dat kader is de straatveger een prachtige toepassing die eenvoudig laat ombouwen van 'vies' naar schoon.

De gemeente Groningen heeft de ambitie om als inwoner van gas-provincie Groningen, de gevolgen van de aardbevingen te verminderen. Dat kan door de CO₂ uitstoot te verminderen. Daarvoor zijn er alternatieven noodzakelijk die, zonder dat de uit te voeren werkzaamheden er onder laten lijden.
En de straatveger past hier perfect. Daarom heeft het Hoogezandse bedrijf Holthausen een straatveger volledig omgebouwd naar een waterstof straatveger.

Onder de noemer van 'Broem naar Zoem" is zo'n stinkende, lawaaierige en langzaam door de straat bewegend vrachtwagentje om gebouwd naar een stille en milieuvriendlijke straatveger. De snelheid is helaas niet omhoog gegaan. Om ditte kunnen bereiken hebben ze de dieselmotor die de centrale hydraulische pomt aandrijft vervangen door een electromotor. Door een accupakket en meerdere brandstofcellen te combineren kunnen piekbelastingen worden opgevangen en kan bij normaal gebruik het accupakket zelfs worden opgeladen. En dit enige uitstoot van dit alles is zuiver water.

Een straatveger bevat heel veel verschillende hydraulische motoren op diverse plaatsen. Denk maar aan de gootvegers midden onder de auto of de zwenkarm voorop met een roterende borstel. Daarnaast zijn er allerlei interne motoren noodzakelijk voor transportbanden van opgezogen straatvuil en kiepmotoren voor het legen van de opvangbak.

In de onderstaande amerikaanse video komt de theorie deels terug en komen vele motoren en hun toepassingen voorbij.

Amerikaans lespakket

Hieronder staan 16 video's. Deze amerikaanse video geven een leuke en duidelijke uitleg over de theorie en de toepassing van de motoren. Hierin worden wel de amerikaanse eenheden zoals de pound en psi in plaats van de Newton en Pascal.

Afhankelijk van de internet snelheid kan het opbouwen van deze pagina iets meer tijd in beslag nemen dan je gewend bent. Heb dus even geduld.


Afl. 01 - Introductie (5:35) De wet van Pascal wordt uitgelegd. Ook wordt de formule druk=kracht/oppervlak op verschillende manieren omgebouwd om te worden gebruikt. Verder wordt in een voorbeeld uitgelegd dat de uitgeoefende kracht wordt vermenigvuldigd via hydraulica.		Afl. 02 - Voordelen van hydraulische systemen (3:56) Hydraulische motoren kennen een variabele snelheid, draairichting zijn omkeerbaar en kunnen op elk moment, zonder schade, worden stilgezet. Daarnaast beschikken ze over een overbelastingsbeveiliging n zijn ze klein van omvang.

Afl. 03 - Hydraulische vloeistoffen (1:01) De hydraulische vloeistoffen en hun eigenschappen.		Afl. 04 - Druk schalen (3:07) Er zijn verschillende druk schalen binnen de hydrostatica. Zo kennen we een atmosferische druk en waterdruk. We maken voor het meten van luchtdruk gebruik van een barometer. Maar hoe gaat dat?

Afl. 05 - Luchtdruk en pompen (4:13) De invloeden van de atmosfeer op hydraulische pompen en hun eventuele gevolgen.		Afl. 06 - Type pompen (2:59) Een overzicht van 2 typen en meest gebruikte pompen binnen de hydraulische wereld.

Afl. 07 - Hoe drukken ontstaan (4:36) Druk onder een belasting of door een beperking. Net als in de electronica kennen we in de hydraulica ook parallel en serie stromingen. Wat betekenen ze?		Afl. 08 - Drukregelaar (1:28) De werking van een drukregelaar (Orifice).

Afl. 09 - Meten en regelen (6:37) Het meten van stroming en snelheid. Maar wat gebeurt er bij een drukwisseling en welke verschillende stromingen zijn er. Welke invloeden hebben Bernouille's theorie en wrijving en snelheid op de druk?		Afl. 10 - Oppervlak en inhoud (1:16) Berekenen van cilinderoppervlak en inhoud.

Afl. 11 - Relatie snelheid en oppervlak (5:00) Welke relatie heeft het oppervlak van de drukcilinder met de snelheid van die cilinder?		Afl. 12 - De gevolgen (1:33) Welke gevolgen hebben snelheid, diameters en wrijving op druk en efficiëntie.

Afl. 13 - Leiding specificaties (3:09) De specficaties van hydraulische leiding en hun effecten.		Afl. 14 - Arbeid en Vermogen berekeningen (2:04) Hoe bereken we nu de Arbeid en het Vermogen in hydraulische systemen. Kunnen we ook Paardekrachten gebruiken in de hydraulica en eventueel omzetten naar Watt?

Afl. 15 - Afmetingen in- en uitstroom (2:33) Berekenen van de inlaat en de uitlaat openingen van een pomp.		Afl. 16 - De laatste loodjes (4:05) Nog even herhalen van diverse berekeningen.

video's


	Voorbeeld van de berekening van met de formule voor de druk.

	Uitleg van druk in een afgesloten vat voor de onderbouw van het vmbo

	Een uitgewerkt voorbeeld van de ideale gaswet

--} opgaven

Samenvatting wetten en formules:

Archimedes
De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof of gas ondervindt is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof of gas.
Pascal
Een druk die wordt uitgeoefend op een vloeistof die zich in een geheel gevuld en gesloten vat bevindt, zal zich onverminderd in alle richtingen voortplanten.
$p = {F \over A}$
Boyle
Bij een constante hoeveelheid gas en een constante temperatuur is de druk van een gas omgekeerd evenredig is met het volume.
$pV = constant$
Gay-Lussac
- ${V \over T} = constant$
- ${p \over T} = constant$
Ideale gaswet
$pV = nRT$
Molaire gasconstante
R = 8,3145 Jmol^-1K^-1
Bar en Pascal
1 Bar = 100.000 Pa of 1 mBar = 100 Pa of 1 Bar = 100 kPa

Opgave 1
Een stoel staat met vier poten op de grond. Elke poot heeft een oppervlakte van 0,005 m². De stoel heeft een massa van 5 kg. Op de stoel zit en persoon die een zwaartekracht op de stoel uitoefend van 600 N. Bereken de druk van één stoelpoot op de grond?

Opgave 2
Een voorwerp met een massa van 108 kg heeft een oppervlakte van 18 cm2.
Bereken de druk onder dat oppervlakte?

Opgave 3
Een voorwerp met een oppervlakte van 5 cm² veroorzaakt een druk van 79.2 N/cm².
Bereken de massa van dit voorwerp?

Opgave 4
Onderzoeksvraag: Wat is pijnlijker (en heeft dus een hogere druk): een olifant of een vrouw op naaldhakken?
Geef in een verhaaltje duidelijk een berekening en trek daaruit een conclusie.

Opgave 5
De druk is nu 100 Pa in een afgesloten vat. Een afgesloten vat betekent dat er geen stof meer bij of af gaat.j Dit vat wordt nu 4x kleiner. Wat is nu de druk?

Opgave 6
De druk is 10 Pa in een afgesloten vat. Je hebt te maken met een niet samen te drukken vloeistof. Kan de druk probleemloos verdubbeld worden? Verklaar je antwoord.

Opgave 7
De temperatuur worden aangegeven in ^oC en ^oK.

Wat is 0 ^oC in Kelvin en hoe schrijf je dit goed op?
En voor 27,3 ^oC?

Opgave 8
In een tank bevindt zich een gas onder een druk van 5 bar. De temperatuur was 20 ^oC en gaat met 5 graden omhoog. Wat wordt de druk?

Opgave 9
Beschrijf de werking van de airco. Gebruik hierbij de aggregatietoestanden van stoffen.

Uitgewerkte voorbeelden
Hoeveel Helium zit er in een tank van 200 liter. De druk in de tank is 30 bar en de temperatuur is 20 ^oC.

p * V = n * R * T => 30 * 10⁵ * 200 * 10^-3 = n * 8,31 * 293

De bovenstaande regel heeft een toelichting nodig. We zijn begonnen met het noteren van de ideale gaswet. Hierin komt de waarde voor 'n' in voor en deze kunnen we opzetten naar grammen in combinatie met de het massagetal van Helium. Dis trouwens 4 gram per mol.

De druk is gegeven in bar. Voor de formules moeten we echter alle drukken in Pascal gebruiken. Dus moeten we de bar omzetten naar Pascal. We weten dat 1 bar gelijk is aan 100000 Pa oftewel we moeten ded ruk vermenigvuldigen met 100000 (10⁵).
Het volume is gegeven in liters. We weten dat 1 liter bestaat uit een kubus van 10 bij 10 bij 10 cm. Maar berekeningen met gassen moeten in kubieke meters. Om van liters naar kubieke meters te gaan moeten we dus delen door 1000. In de wetenschappelijke notatie is dat 10^-3.
Als laatste is er nog de temperatuur. De temperatuur in Celcius gegeven moeten we omzetten naar Kelvin. Dus tellen we hier 273 bij op om uiteindelijk op 293 ^oK uit te komen.

n = (30 * 10⁵ * 200 * 10^-3) / (8,31 * 293) => n = 246 mol

De hoeveelheid Helium is nu bekend, namelijk 246 mol. Het massgetal van Helium kunnen we opzoeken in het Binas tabellenboek en is 4 g/mol. Dus het totaal gewicht aan Helium is:

246 * 4 = 985,7 g

De drukin een ruimte van 20 liter is 3,0 bar bij een temeperatuur van 17 ^oC. De temperatuur wordt verhoogd. De druk neemt toe tot 3,5 bar. Bereken de nieuwe temperatuur.

Wanneer we deze opgave goed bekijken dan hebben we twee situaties. In beide gevallen blijft de hoeveelheid gas gelijk. Hierdoor kunnen we de wetten van Gay-Lussac gebruiken en wanneer we beide gebruiken dan krijgen we de formule:

${p_1 \over T_1} = {p_2 \over T_2}$
Vullen we in wat we weten krijgen we:
${3,0 \over 290} = {3,5 \over T_2} => 3 * T_2 = 3,5 * 290 => T_2 = {1015 \over 3} => T_2 = 338,3 K$

De temperatuur in de tweede situatie in Celcius is dus 338,3-273 = 65,3 ^oC.

Opgave 10
In een tank van 1000 liter zit met een temperatuur van 30 ^oC een gas onder een druk van 30 bar. Dit gas, koelmiddel R134a, heeft een molmassa (massa getal) van 102 g/mol.

Hoeveel gewicht zit er in de tank?
In dezelfde tank, met dezelfde hoeveelheid gas, is het nu winter en is de buitentemperatuur nu 0 ^oC. Is het gewicht of de druk gewijzigd? Wat zijn dan de waarden hiervan?

Opgave 11
Stel een airco zal ook werken op Helium. Het systeem heeft een inhoud van 200 liter bij 20 bar en een temperatuur van 30 ^oC.

Hoeveel gram Helium is er dan aanwezig?
Wat is het gewicht indien er Waterstof is gebruikt?
En bij het koelmiddel R134a?

Opgave 12
Wat valt je op aan de gewichten bij de gassen He, H en R134a? Kun je hier een conclusie uit trekken?

Elektriciteitsleer

De simpele vraag 'wat is elektriciteit' kent helaas geen simpel, eenduidig antwoord, en leidt zelfs onder wetenschappers nog tot verwarring en tegenstrijdigheden.
Algemeen kun je echter zeggen dat elektriciteit beschrijft hoe bepaalde natuurkundige deeltjes op elkaar reageren wanneer ze bij elkaar in de buurt zijn. Om een beter beeld te krijgen van wat elektriciteit inhoudt, geven we hier enkele begrippen die met elektriciteit te maken hebben:

Elektrische lading. Dit is een fundamentele eigenschap van deeltjes die bepaalt hoe ze op elkaar reageren.
Lading is er in twee smaken: positief en negatief. Deeltjes met dezelfde lading stoten elkaar af, terwijl deeltjes met tegengestelde lading elkaar aantrekken.

Elektrische energie. Dit is een vorm van energie die voortkomt uit het gedrag van elektrisch geladen deeltjes. Dit is ook waarvoor je de maandelijkse elektriciteitsrekening betaalt.

Elektrische stroom. Dit is niets anders dan de beweging van elektrisch geladen deeltjes. In dit hoofdstuk gaan we uitgebreid in op elektrische stroom.

Simpel gezegd kun je het woord ‘elektrìcitelt' prima gebruiken als je met collega's een praatje maakt over je nieuwe beeldscherm of wasmachine.
In de wetenschap moet alles echter zo nauwkeurig mogelijk gedefinieerd zijn en wordt dit woord amper gebruikt; hier gebruikt men dan altijd begrippen zoals stroom, spanning, vermogen enzovoort.

Stroomkring

Stroom rond laten lopen
Elke keer dat je een apparaat aanzet, maak je een gesloten stroomkring. In het plaatje zie je een eenvoudig voorbeeld. Door op de schakelaar te drukken, sluit je de stroomkring. De stroom kan nu rond lopen: van de ene pool van de batterij door de draden, het motortje en de schakelaar naar de andere pool van de batterĳ.

De stroom loopt altĳd van plus naar min (van de pluspool van de spanningsbron naar de minpool). In een schakelschema kun je dat aangeven door pijltjes in de draden te tekenen.

Met een stroommeter kun je meten hoe sterk de stroom is. De stroomsterkte wordt gemeten in ampère (A) of milliampère (mA).
Je schakelt een stroommeter in serie met het apparaat waarvoor je de stroomsterkte wilt meten: de stroom door het apparaat moet ook door de stroommeter lopen.

Bij het aansluiten van een stroommeter moet je rekening houden met de stroomrichting. Je moet de pluskant van de meter verbinden met de pluskant van de spanningsbron. Anders loopt de stroom 'verkeerd om' door de meter, en beweegt de wijzer naar links in plaats van naar rechts.

Geleiders en isolatoren
Om een stroomkring te maken, heb je geleiders nodig. Dat zijn stoffen die de elektrische stroom goed doorlaten. Alle metalen zĳn geleiders van elektriciteit. Vooral koper wordt veel toegepast, omdat het beter geleidt dan veel andere metalen.
Een gesloten stroomkring wordt nergens onderbroken door een isolator. Isolatoren zijn stoffen waar geen elektrische stroom doorheen kan lopen, zoals plastic, rubber, glas en lucht.

Spanningsbronnen
In elke stroomkring vind je een spanningsbron. Je kunt een spanningsbron vergelĳken met de pomp van een cv-installatie. Een pomp laat water rondstromen door de buizen en radiatoren van de centrale verwarming. Een spanningsbron laat stroom rondlopen door de draden, lampjes, schakelaars enzovoort van een stroomkring.
Er zijn verschillende soorten spanningsbronnen: batterijen, accu's, zonnecellen, dynamo's en generatoren. Met een spanningsmeter kun je meten hoe groot hun spanning is. De spanning wordt gemeten in volt (V) of millivolt (mV).

Spanningsbron	Spanning
batterij	1,5 tot 6V = (gelijkstroom)
accu	6 tot 12V = (gelijkstroom)
dynamo fiets	6V ≈ (wisselstroom)
generator in centrale	10.000 tot 24.000V ≈ (wisselstroom)

Met een regelbare spanningsbron kun je de spanning in een stroomkring langzamerhand groter maken. De stroomsterkte wordt dan ook groter. Maar je kunt de spanning en de stroomsterkte niet onbeperkt groter maken; daar zĳn de schakelonderdelen niet tegen bestand. Op een gegeven moment zal er een onderdeel doorbranden en dan valt de stroom uit.

Weerstand
In de foto rechts zie je twee stroomkringen. De gebruikte batterijen leveren precies dezelfde spanning. Toch brandt lampje A minder fel dan lampje B. Dat komt doordat de weerstand van lampje A groter is dan de weerstand van lampje B. De stroom gaat moeilijker door lampje A dan door lampje B.

Om de weerstand van een lampje te bepalen, gebruik je de schakeling in de onderstaande afbeelding. Eerst meet je de stroomsterkte (door het lampje) en de spanning (over het lampje). Daarna gebruikje de formule: $R={U \over I}$

Als je de spanning U invult in volt (V) en de stroomsterkte I in ampère (A)‚dan vind je weerstand R in ohm (Ω).

De wet van Ohm
Je kunt de spanning over een draad langzaam opvoeren en telkens de stroomsterkte meten. In de tabel zie je de meetresultaten van zo’n proef. De gebruikte draad is van constantaan (een legering van koper, nikkel en mangaan). Ga zelf na dat je steeds dezelfde waarde voor R vindt, als je U door I deelt. Met andere woorden:

De weerstand van de draad is steeds even groot.

Deze regel wordt de wet van Ohm genoemd. Uit de wet van Ohm volgt, dat de spanning en de stroomsterkte evenredig zijn. Je kunt dat ook zien aan het (I,U)-diagram: de grafiek is een rechte lijn die begint in de oorsprong.

Plus
Allerlei electrische apparaten werken op oplaadbare batterijen. Denk aan zaklampen, fliters van fototoestellen, fietslampjes en kinderspeelgoed, Als je een betterij oplaadt, sla je er elektrische energie in op. Daarna kun je die energie gebruiken waar je maar wilt.

Op batterijen wordt vaak de capaciteit aangegeven. De batterij heeft bijvoorbeeld een een capaciteit van 1800 mAh. Dat beteket dat deze baterij:

18 uur lang 100 mA aan stroom kan leveren,
9 uur lang 200 mA aan stroom kan leveren,
6 uur lang 300 mA aan stroom kan leveren,
enzovoort.

De capaciteit is dus gelijk aan de stroomsterkte (in mA) x de tijd (in h). Of in letters: $C=I*t$

Voorbeeld
Een mp3-speler speelt 50 uur lang op een AA batterij van 2800 mAh.
Hoe groot is de stroomsterkte die de batterij dan levert?

C = 2800 mAh
t = 50 h

$C = I * t => 2800 = I * 50 => I = {2800 \over 50} => 56 mA$

Een ezelsbruggetje voor het gebruik van de formule van de wet van Ohm is een driehoek met daarin de drie onderdelen van de formule. Door het onderdeel dat je wilt berekenen met een vinger te bedekken, krijg je automatisch de juiste formule. Stel je weet de spanning en de weerstand en wilt de stroomsterkte berekenen. Je dekt de I af en houdt over U/R.
Oftewel $I={U \over R}$

Natuurkunde - Spanning (Basiskennis)

Elektrische energie

Chemische en elektrische energie
Een personenauto rijdt op benzine of dieselolie. Tijdens het rĳden verbruikt de motor chemische energie die door de brandstof geleverd wordt. Dat er iets verbruikt wordt, kun je zien: de voorraad benzine of dieselolie in de tank wordt steeds kleiner.

Een elektrische speelgoedauto heeft ook energie nodig om te kunnen rijden. Het elektromotortje werkt op elektrische energie die geleverd wordt door batterijen. Wat elektrische energie is, kun je je niet zomaar voorstellen. Toch merk je dat het motortje ‘iets’ verbruikt: na verloop van tijd raken de batterijen ‘leeg’.

Een personenauto heeft een tank met benzine (een voorraad chemische energie), een benzineleiding (die de chemische energie vervoert) en een motor (die de chemische energie verbruikt).

Bij een elektrische speelgoedauto zie je iets soortgelijks:

De batterijen leveren elektrische energie.
De verbindingsdraden vervoeren elektrische energie naar het motortje.
Het motortje verbruikt elektrische energie als de auto aan het rĳden is.

Elektrisch vermogen
De hoeveelheid elektrische energie die een spanningsbron per seconde levert, noem je het elektrische vermogen. Het elektrisch vermogen is evenredig met de spanning én met de stroomsterkte. Dat dat zo is, kun je nagaan door proeven te doen met enkele lampjes:

In proef 1 brandt een lampje op dejuiste spanning: 6 V. De stroomsterkte door het lampje is dan 1,0 A.
In proef 2 zijn twee lampjes in serie geschakeld. De spanningsbron is nu ingesteld op 12 V. Elk lampje brandt dan op de juiste spanning: 6 V. Je ziet: als de (totale) spanning verdubbelt, dan verdubbelt het vermogen ook: er branden nu twee keer zoveel lampjes als bij proef 1.
In proef 3 zijn twee lampjes parallel geschakeld. De spanningsbron is nu weer ingesteld op 6 V. Door elk lampje loopt een stroom van 1,0 A, zodat de totale stroomsterkte uitkomt op 2,0 A. Je ziet: als de (totale) stroomsterkte verdubbelt, dan verdubbelt het vermogen ook: er branden nu twee keer zoveel lampjes als bij proef 1.
In proef 4 branden vier lampjes op de juiste spanning. De (totale) spanning en de (totale) stroomsterkte zijn allebei verdubbeld, vergeleken met proef 1. Je ziet dat het geleverde vermogen nu vier keer zo groot is: in plaats van één lampje (bij proef 1) branden er nu vier lampjes. Anders gezegd: bij proef 4 wordt per seconde vier keer zoveel elektrische energie omgezet in licht en warmte als bij proef 1.

Het elektrisch vermogen berekenen
Je kunt het elektrische vermogen berekenen met de formule:
$P_{el} = U * I$

Als je de spanning U invult in volt (V) en de stroomsterkte I in ampère (A), dan vind je het vermogen P in watt (W).

Voorbeeld
In een zaklantaarn zitten drie batterijen van 1,5 volt. De batterĳen zijn in serie geschakeld. Door het lampje in de lantaarn loopt een stroom van 0,2 A.
Bereken het elektrisch vermogen dat de batterijen samen leveren.

U = 1‚5+1‚5+1‚5 = 4,5V
I = 0,2 A

$P_{el} = U*I => 4,5*0,2 => 0,9W$

De elektrische energie berekenen
Als je het vermogen van een spanningsbron kent, kun je berekenen hoeveel elektrische energie in een bepaalde tijd geleverd wordt. Daarvoor gebruikje de formule:
$E=P*t$

Als je het vermogen P invult in watt (W) en de tijd t in seconden (s), dan vind je de (elektrische) energie E in joule (J).
Omdat P_el: = U x I, kun je ook schrijven:

$E_{el}=U*I*t$

Voorbeeld
De zaklantaarn uit het vorige voorbeeld wordt 10 minuten gebruikt.
Bereken hoeveel elektrische energie de batterij in die 10 minuten levert.
P = 0,9 W
t = 10 min = 10 x 60 = 600 s

$E = P*t => 0,9*600 => 540J$

Plus - Zonnepanelen
Een zonnepaneel is een vlakke plaat waarop een aantal zonnecellen is gemonteerd. De zonnecellen zetten stralingsenergie in zonlicht voor een deel om in elektrische energie. Die elektrische energie kun je gebruiken om een apparaat te laten werken, zoals je telefoon.

Het elektrisch vermogen dat een zonnepaneel levert, is niet constant. Het elektrisch vermogen hangt af van de hoeveelheid stralingsenergie die op het paneel valt. Die hoeveelheid verandert steeds, doordat de zon niet steeds even fel schijnt en ook niet steeds even hoog aan de hemel staat.

Zelfs onder gunstige omstandigheden geeft één zonnecel maar een lage spanning. Om aan een hogere spanning te komen, wordt een reeks zonnecellen in serie geschakeld. Je kunt de totale spanning van zo'n reeks vinden door de afzonderlijke spanningen bij elkaar op te tellen. Als één zonnecel 2,0V levert, dan levert een reeks van zes in serie geschakelde zonnecellen 12V.

Eén reeks zonnecellen kan maar een beperkte hoeveelheid stroom leveren. Om de stroomsterkte op te voeren, worden er meerdere reeksen parallel geschakeld. Hoe groter het aantal parallel geschakelde reeksen, des te groter is de stroomsterkte en dus ook het vermogen.

Natuurkunde - Vermogen (Basiskennis)

Elektrische energie opwekken

De elektrische installatie van een auto
Een auto heeft allerlei onderdelen die op elektrische energie werken: de startmotor, de rem- en knipperlichten, de ruitenwissers, de achterruitvenvarming, de meters en lampjes op het dashboard enzovoort.
Wanneer de motor van de auto niet draait, wordt de benodigde elektrische energie geleverd door een accu. Een autoaccu bestaat uit zes 'cellen’ die in serie geschakeld zĳn. Samen leveren ze een Spanning van 6 x 2 = 12 volt (als de accu opgeladen is).
Vanaf de pluspool van de accu lopen draden naar de verschillende onderdelen. Om de stroomkring te sluiten, worden de onderdelen verbonden met het (goed geleidende) metaal van de auto zelf. In de autotechniek wordt dat metaal de massa genoemd. (Bij een fietsdynamo is het frame van je fiets de massa.) Het metaal van de auto is weer verbonden met de minpool van de accu.

De dynamo
Je start een auto met behulp van een elektrische motor: de startmotor. De startmotor brengt de benzine- of dieselmotor van de auto op gang. De elektrische energie die voor het starten nodig is, wordt geleverd door de accu.
Starten kost veel elektrische energie. Dat merk je als de motor van de auto niet wil aanslaan en je steeds doorgaat met starten. Na een paar minuten is de accu 'leeg’ (ontladen).

Als de motor van de auto is gestart, laat hĳ niet atleen de wielen draaien. De motor drijft ook een dynamo aan. Tĳdens het rijden levert de dynamo de elektrische energie die in de auto nodig is. Bovendien zorgt de dynamo ervoor dat de accu weer wordt opgeladen.

Een auto heeft dus twee spanningsbronnen: een dynamo en een accu. De dynamo wekt elektrische energie op als de auto rĳdt. De accu slaat die energie op. Dat is noodzakelijk om:

de motor van de auto te laten starten;
elektrische energie te leveren, als de motor stilstaat.

Dankzij de accu kun je de alarmlichten laten branden, als je auto met motorpech aan de kant van de weg staat.

Spanning opwekken
In afbeelding hiernaast zie je een eenvoudig model van een dynamo.
Je hebt er maar twee onderdelen voor nodig: een spoel en een permanente magneet (een stuk metaal dat blijvend magnetisch is gemaakt; permanent betekent ’blijvend'). Je kunt deze eenvoudige dynamo' spanning laten leveren door de magneet in de spoel heen en weer te bewegen.

In afbeelding 'a' wordt de magneet in de spoel geschoven. De stroommeter slaat daarbij uit naar rechts.
In afbeelding 'b' ligt de magneet in de spoel zonder te bewegen. Er loopt dan geen stroom door de stroomkring.
In afbeelding 'c' wordt de magneet weer uit de spoel gehaald. De stroommeter slaat dan naar links uit.

Uit dit soort proeven blijkt:
Als het magneetveld in een spoel verandert, ontstaat er een spanning tussen de uiteinden van de spoel. Als het magneetveld in een spoel niet verandert (zoals in afbeelding 'b'), wordt er ook geen spanning opgewekt en loopt er ook geen stroom.

Doordat het magneetveld steeds verandert, ontstaat er een steeds veranderende wisselspanning. Daardoor verandert ook de stroom steeds van richting. Er ontstaat een wisselstroom.

De werking van een dynamo
In het onderstaande plaatjes zie je hoe een fietsdynamo werkt. Een permanente magneet magnetiseert een kern die van weekijzer is gemaakt. Dat is ĳzer dat je gemakkelijk magnetisch kunt maken. Als je er een magneet hij houdt, wordt het snel magnetisch. Als je de magneet weghaalt, is de magnetisering ook weer even snel verdwenen.

Als de dynamo wordt aangezet, begint de magneet te draaien, Daardoor wordt het weekijzer steeds verschillend gemagnetiseerd. Dat zie je aan de veldlijnen die in de kern zĳn getekend. Het magneetveld in de spoel verandert steeds van grootte en richting. Zo wordt er een spanning opgewekt tussen de uiteinden van de spoel.

Er zijn ook dynamo's waarin de spoel ronddraait, terwĳl de magneet stilstaat. Ook in dat geval verandert het magneetveld in de spoel steeds van grootte en richting.

Een dynamo levert een wisselspanning. Dat komt door de manier waarop de spanning wordt opgewekt. In het plaatje zie je hoe de Spanning verandert. Een accu en een batterij leveren een constante spanning. Zo’n spanning noem je een gelijkspanning.

Plus - Massa in de autotechniek
In de autotechniek gebruik je het woord ‘massa' in een speciale betekenis. Een autotechnicus zegt bijvoorbeeld dat hĳ een autoradio aansluit 'aan de massa'. Dat betekent dat hij een stroomkring maakt door de radio te verbinden met het chassis (de metalen balken van de auto).

Het is handig om de massa te gebruiken. Dat maakt de elektrische bedrading in de auto veel eenvoudiger. Je hoeft maar één kabel naar elk onderdeel toe te leggen, omdat je de stroom via de massa terug kunt laten lopen naar de accu.

Schakelschema's voor de auto's zien er anders uit dan je gewend bent. Kijk maar eens hiernaast. Hier is links een schakeling getekend op de 'gewone' manier, die je bij natuurkunde altijd gebruikt.
Rechts is dezelfde schakeling getekend, maar nu zoals je dat in de autotechniek doet. De lijn van de plus naar de lamp is de aanvoerkabel. De korte lijn onder de lamp die eindigt met een dwarsstreep, is de massa.

Conclusie: In de natuurkunde zie je duidelijk de stroomkringen in de tekeningen terug. Bij de autotechniek is heel duidelijk de stroomrichting, van plus naar massa (min) te herkennen.

Elektrische energie vervoeren

Het elektriciteitsnet
De elektrische energie die je thuis verbruikt, komt uit een elektriciteitscentrale. Daar staan een grote dynamo’s die generatoren genoemd worden. De generatoren leveren een wisselspanning van 10.000 à 20.000 volt.

Het handige van een wisselspanning is dat hij gemakkelijk omgezet kan worden in een hogere of een lagere spanning. Je zegt dan dat de wisselspanning omhoog of omlaag wordt getransformeerd. Het apparaat dat de spanning transformeert, heet een transformator.De spanning van de generatoren wordt bij de centrale omhoog getransformeerd tot een hoogspanning van maximaal 400.000 V. De elektrische energie kan zo met het minste energieverlies vervoerd worden: hoe hoger de spanning, des te kleiner is het energieverlies in de leidingen.

Bovengrondse hoogspanningsleidingen vervoeren de elektrische energie naar verschillende verdeelstations. In die stations wordt de spanning weer naar beneden getransformeerd tot 10.000 V. Daarna wordt de elektrische energie via ondergrondse kabels vervoerd naar woonwijken en industrieterreinen.

In elke woonwijk staan één of meer transformatorhuisjes. In zo’n huisje wordt de spanning nog verder naar beneden getransformeerd: nu naar 230 volt. Daarna pas wordt de elektrische energie naar de woningen getransporteerd.

Transformatoren in huis
Het lichtnet levert een wisselspanning met een frequentie van 50 Hz. De spanning verandert volgens een golfpatroon dat zich 50 per seconde herhaalt: van 325 volt via 0 volt naar -325 volt en weer omhoog naar 325 V enzovoort.

Voor apparaten zoals een gloeilamp of een strijkijzer maakt het niet uit of ze op deze wisselspanning werken of op een gelijkspanning van 230 V. Daarom zeg je: de effectieve spanning van het lichtnet is 230 V.

Een (effectieve) spanning van 230 V is voor allerlei toepassingen nog te hoog. Daarom vind je in huis verschillende transformatoren die de spanning verder naar beneden brengen.

De werking van een transformator
In het plaatje zie je een eenvoudige transformator. De transformator bestaat uit een primaire spoel en een secundaire spoel die om een weekijzeren kern zijn bevestigd.

Als de primaire spoel wordt aangesloten op een wisselspanning, loopt er een wisselstroom doorheen. Daardoor wordt de primaire spoel een elektromagneet. Doordat de stroom steeds van grootte en richting verandert, doet het opgewekte magneetveld dat ook.
De weekijzeren kern wordt op deze manier gemagnetiseerd. De magnetiseri ng verandert mee met het magneetveld van de primaire spoeL
Het gevolg is dat er ook in de secundaire spoel een veranderend magneetveld ontstaat. Dit magneetveld wekt een wisselspanning op tussen de uiteinden van de secundaire spoel.

De elektrische energie die de primaire spoel opneemt, wordt door de secundaire spoel weer afgegeven. Toch loopt er geen stroom van de primaire naar de secundaire spoel. De energie wordt vervoerd door het magneetveld; daar komt geen elektriciteit aan te pas. Je zegt daarom dat de spoelen magnetisch aan elkaar gekoppeld zĳn.

Transformatoren en veiligheid

Transformatoren worden vaak gebruikt als veiligheidstransformator.
De beltransformator in het figuur hiernaast is een goed voorbeeld: hĳ zet de netspanning van 230 V om in een veilige spanning van 8 volt. De twee stroomkringen zĳn elektrisch helemaal van elkaar gescheiden. Wat je ook doet met de secundaire stroomkring, je kunt nooit in aanraking komen met 230 V.

De spanning waarop de primaire spoel aangesloten wordt, noem je de primaire spanning of U_p. De spanning die de secundaire spoel levert noem je de secundaire spanning of U_s.

Met een transformator kun je een spanning omhoog transformeren (dan is U_s groter dan U_p) of omlaag transformeren (dan is U_s kleiner dan U_p). Een beltransformator transformeert de spanning natuurlĳk naar beneden.

Of de spanning hoger of lager wordt, hangt af van het aantal windingen van de beide spoelen. Als de secundaire spoel meer windingen heeft dan de primaire spoel, wordt de spanning omhoog getransformeerd. Als de secundaire spoel minder windingen heeft dan de primaire spoel, wordt de spanning omlaag getransformeerd. Voor een transformator geldt:

${U_p \over U_s}={N_p \over N_s}$

In deze formule is N_p het aantal windingen van de primaire spoel, en N_s het aantal windingen van de secundaire spoel. Je ziet:

Als N_s 5x zo groot is als N_p, is U_s ook 5x zo groot als U_p.
Als N_s 5x zo klein is als N_p, is U_S ook 5x zo klein als U_p.

Enzovoort.

Het rendement van een transformator
Transformatoren hebben een hoog rendement. Van de opgenomen elektrische energie wordt maar een klein deel omgezet in warmte. De secundaire spoel geeft bijna evenveel elektrische energie af als de primaire spoel opneemt. Grote transformatoren hebben een rendement dat boven de 99% ligt

Bij het maken van berekeningen wordt vaak aangenomen dat een transformator een rendement heeft van 100%. Voor zo'n ideale transformator geldt:

door de primaire spoel		door de secundaire spoel
	=
opgenomen elektrisch vermogen		afgegeven elektrisch vermogen

In formulevorm:

$P_p=P_s$ of: $U_p*I_p = U_s*I_s$

Je ziet: als de spanning omhoog wordt getransformeerd, is de stroom in de secundaire spoel lager en omgekeerd.

Voorbeeld
Een lasapparaat wordt aangesloten op een stopcontact. De secundaire spanning is 48 V. Door de primaire spoel kan maximaal 16 A lopen (anders slaat de stop door).
Bereken hoe groot de secundaire stroom op zijn hoogst kan worden.

Gegevens primaire spoel	Gegevens secundaire spoel
U_p = 230V	U_s = 48V
_Ip = 16A	I_s = ...

P_p = U_p x I_p	P_s = U_s x I_s
P_p = 230 x 16 = 3680W	P_s = 48 x I_s
Voor een ideale transformator geldt:
P_p = P_s
3680 = 48 x I_s

$I_s = {3680 \over 48} =76,67A$

Plus - De adapter
Om een mobieltje op te laden, heb je een adapter nodig. Zo'n adapter is een transformator die netjes is opgeborgen in een plastic omhulsel. Je sluit de adpater met een snoer aan op het stopcontact. De adapter levert een veilige spanning van bijvoorbeeld 8 of 12 volt.

Voor het opladen van een mobieltje of een mp3-speler is een gelijkspanning nodig. De adapters voor deze apparaten bevatten daarom behalve een transformator ook een gelijkrichter. Dat is een speciale schakeling die van een wisselspanning een gelijkspanning maakt.

Adapters zijn niet geschikt om grote stroomsterktes te leveren. Dan zouden ze te heet worden. Het vermogen dat ze kunnen leveren, is dus beperkt.

Voorbeeld
Bereken het maximale vermogen dat de adapter hiernaast kan leveren.

Voor het geleverde vermogen moet je kijken naar de output:

U = 2,4V
I = 240mA = 0,24A

P_el = U x I = 2,4 x 0,24 = 0,58W

Elektrische energie gebruiken

De meterkast
Elk woonhuis is door een voedingskabel met het elektriciteitsnet verbonden. De kabel komt het huis binnen door de vloer van de meterkast. In de meterkast zie je verder, van onder naar boven:

de voedingskabel: hierdoor komt de elektrische energie het huis in;
de huis-aansluitkast: in dit kastje zit de hoofdzekering van de huisinstallatie;
de kilowattuurmeter (kWh-meter): deze meter houdt bij hoeveel elektrische energie er in het huis verbruikt wordt;
de groepenkast: in de groepenkast splitst de leiding zich in verschillende groepen, elk met een eigen zekering en groepsschakelaar;
één of meer aardlekschakelaars.

Het energieverbruik van een elektrisch apparaat
Het lichtnet levert energie aan de elektrische apparaten in huis. Die apparaten zijn energie-omzetters: ze zetten de elektrische energie van het lichtnet om in andere soorten energie: warmte, licht, bewegingsenergie en geluid.

Als eenheid van energie wordt bijna altĳd de joule (J) gebruikt.
Elektriciteitsbedrijven vormen wat dat betreft een uitzondering. Die gebruiken de kilowattuur (kWh) als eenheid van energie. De meter die het verbruik van elektrische energie bĳhoudt, wordt dan ook de kWh-meter genoemd.

Soms is het handig om een hoeveelheid energie om te rekenen van kilowattuur naar joule of omgekeerd. Je moet dan weten dat 1 kilowattuur gelijk is aan 3,6 megajoule: 1 kWh = 3,6 MJ. Reken zelf maar na: als een apparaat van 1000 W (1 kW) precies één uur (3600 s) aanstaat, verbruikt het:

E = P x t	E = P x t
= 1 kWh x 1 h	= 1000 W x 3600 s
= 1 kWh	= 3,6x10⁶ J = 2,6 MJ

Voorbeeld
Een gemiddeld Nederlands gezin verbruikt per jaar zo'n 3300 (3,3 x10³) kWh aan elektrische energie.
Reken dit energieverbruik om in joule.

1 kWh = 3,6 x10⁶ J
3,3 x10³ kWh = 3,3 x10³ x 3,6 x10⁶ J = 12 x10⁹ J (12 GJ)

Het opgenomen vermogen
Op veel elektrische apparaten is een typeplaatje aangebracht. Op dat typeplaatje kun je zien hoe groot het opgenomen vermogen van het apparaat is. Je weet dan hoeveel elektrische energie het apparaat per seconde opneemt. Een apparaat van 200 W neemt bijvoorbeeld elke seconde 200 J elektrische energie op.

Met de opstelling hiernaast kun je het vermogen van een elektrisch apparaat bepalen. Op de spanningsmeter (oranje) kun je zien of het apparaat op de juiste spanning aangesloten is. Op de stroommeter (geel) kun je aflezen, hoe groot de stroomsterkte door het apparaat is.
Vervolgens kun je het opgenomen vermogen berekenen met P = U x I.

Elektriciteit en veiligheid
Het gebruik van elektrische energie brengt twee gevaren met zich mee. Als draden te veel stroom moeten verwerken, kunnen ze zo heet worden dat er brand ontstaat. Als mensen en dieren iets aanraken waar een hoge spanning op staat, krĳgen ze een schok.

Om veilig gebruik te kunnen maken van elektrische energie, moet je dus voorkomen:
1 dat de stroomsterkte door apparaten en leidingen te groot wordt;
2 dat je onderdelen kunt aanraken waar een hoge spanning op staat.

Alle leidingen en elektrische apparaten in huis zĳn daarom geïsoleerd De isolatie voorkomt dat je een schok krĳgt, als je de leiding of het apparaat aanraakt.

Als de isolatie van een apparaat kapotgaat, kan er in het apparaat kortsluiting ontstaan. De stroom neemt dan een gemakkelijke weg, waardoor de stroomsterkte veel te groot wordt. De stroomsterkte kan ook te groot worden door overbelasting: er staan dan te veel apparaten tegelijk aan‚

Voorbeeld
Lees de informatie in afbeelding hiernaast.
Bereken hoe groot de stroomsterkte door de stekker op zĳn hoogst mag worden.

P_el = 2200 W
U = 230 V
P_el = U x I
2200 = 230 x I
I = 2200 : 230 = 9,6 A

Veiligheidsmaatregelen
De huisinstallatie is op verschillende manier beveiligd: met zekeringen, met een aardlekschakelaar en met aardleidingen.

Zekeringen
De groepszekeringen in de meterkast schakelen de stroom uit, als die boven een bepaalde waarde komt. Er zijn zekeringen van 10 A en van 16 A. Welke zekering je nodig hebt, hangt af van de stroomsterkte die de groep maximaal aankan.

Aardlekschakelaar
Een aardlekschakelaar controleert of er ergens in huis stroom 'weglekt', bĳvoorbeeld doordat de isolatie van een apparaat kapotgegaan is. In dat geval bestaat er een verschil tussen de stroom die het huis binnenkomt en de stroom die het huis verlaat. Als het verschil groter is dan 30 mA, schakelt de aardlekschakelaar binnen 0,2 s de stroom uit.

Randaarde
Sommige apparaten hebben een metalen buitenkant die onder spanning kan komen te staan, Daarom wordt de metalen buitenkant van zo’n apparaat geaard met een groengele aarddraad. De aarddraad loopt van de metalen buitenkant via het snoer naar de rand van het stopcontact (vandaar de naam randaarde). Van de rand van het stopcontact loopt de aarddraad verder naar de aardrail in de meterkast.

De aardrail is verbonden met een metalen pin die diep in de bodem is geslagen. Als de metalen buitenkant onder spanning komt te staan, loopt er via de aarddraad een grote stroom naar de aarde. Deze grote 'lekstroom’ zorgt ervoor dat de aardlekschakelaar de spanning meteen uitschakelt. In oude installaties zonder aardlekschakelaar sloeg de groepszekering dan door.

Dubbele isolatie
Elektriciteitsdraden worden altĳd geisoleerd met een laagje kunststof. Dit voorkomt dat je een schok krijgt of kortsluiting maakt. Sommige apparaten worden zelfs dubbel geïsoleerd. Bij deze apparaten is niet alleen de draad geïsoleerd, maar zit er om de draad nog een extra isolatie. Meestal is dat de kunststof buitenkant van het apparaat. Deze apparaten zijn te herkennen aan het symbool dat op het apparaat staat.

--} opgaven

De volgende opgaven hebben betrekking op de vorige 5 paragrafen. Je maakt een klein verslag van 1 A4 papier waarin je duidelijk en met bewijzen een antwoord geeft op de gestelde vraag. Dus dat kan een berekening zijn maar ook een goede redenatie. Je mag afbeeldingen gebruiken en tekst.

De lamp boven het bureau geeft veel meer licht dan de lamp op het nachtkastje. Hoe zou dat komen?

Meriks mp3-speler speelt acht uren op een nieuwe batterij, terwijl Naära's mp3-speler het met net zo'n batterije maar zes uren volhoudt. 'Hoe kan dat nou?' zegt Naära. Weet jij het?

De dynamo van een fiets wordt aangedreven door de band waar je hem tegenaan zet. Maar weet jij hoe een dynamo bij een auto aan het draaien wordt gebracht?

Een lasser werkt met heel grote stroomsterktes. Daardoor ontstaat zoveel warmte dat het metaal begint te smelten. Hoe zou je de stroomsterkte zo groot kunnen maken?

Bij Pim thuis is de aardlekschakelaar doorgeslagen. Wat is er dan precies lek? En hoe kan Pim erachter komen waar het lek zit?

Electronica

Tot nu toe hebben we het over 'Electriciteit' gehad. Er zijn enkele basisbegrippen en wetten en toepassingen voorbij gekomen. Eigenlijk is 'Electriciteit' een verzamelbegrip voor allerlei situaties waarbij energie wordt omgezet danwel overgedragen. En dan ook nog eens hele specifieke ebergie, namelijk elektrische energie. Wanneer we een handboor gebruiken om een gaatje te boren dan gebruiken we lichamelijke energie die we omzetten in mechanische energie. En die valt niet onder de verzamelnaam electriciteit. De elektrische variant echter weer wel, want hier wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie.

Het toepassen van elektriciteit in apparaten noemen we 'electronica'. in het begin ging dit met behulp van hele grote instrumenten. Deze zijn in de loop der jaren steeds kleiner en kleiner geworden en de verschillende onderdelen zijn nu zo klein geworden dat we nu een robotje kunnen maken die via je adren in je lichaam bloedstolsels kan opsporen en opruimen.

De toepassingen vinden we terug in allerlei vormen en apparaten. Of het nu om koffiezetapparaten, wasmachines, computers of auto's gaat overal vinden we de electronica terug. En de verschillende onderdelen voor deze apparaten kunnen we onderverdelen in drie hoofdgroepen:

weerstanden,
condensatoren,
transsistoren.

Componenten

Weerstanden
Een weerstand in de electronica doet niets anders dan iets tegenhouden. Dat lijkt misschien nutteloos maar bedenk dat je door het tegenhouden warmte kunt maken om te verwarmen. Of er ontstaat zoveel warmte dat het zelfs begint te gloeien en dat je licht krijgt.
Weerstanden zijn er in twee types, namelijk vast en variabel. Daarnaast zijn er vele uitvoeringen van licht tot heavy duty. Dit allemaal afhankelijk van de functie in het apparaat.

Voorbeeld - Stroom begrenzen
In het circuit hiernaast zie je hoe een batterij van 9 V een led (licht-gevende diode) van stroom voorziet. Het probleem met een led is dat het ding net een kind met een koektrommel is: een led weet van geen ophouden, en als je geen maatregelen neemt, trekt zij zoveel stroom dat zĳ kapot gaat. Hier kan een simpele weerstand uitkomst bieden door de stroom zo binnen de perken te houden, dat de led het netjes blijft doen.

In feite kunnen alle componenten kapot gaan als ze te veel stroom en/of een te hoge spanning te verwerken krijgen, en weerstanden kunnen dan een hoop schade voorkomen. Je moet natuurlijk wel opletten dat je de stroom niet te veel beperkt. Als je een weerstand van 1 MΩ in serie zet met een led, is de led weliswaar prima beschermd, maar brandt zij ook bijna onzichtbaar zwak.

Condensatoren
Wanneer je dorst hebt, kun je op twee manieren aan water komen: je zoekt een kraan op die op een waterleiding is aangesloten, of je koopt een flesje water. Elektriciteit werkt op een vergelijkbare manier. Je kunt elektrische energie direct van de bron (bijvoorbeeld een netadapter) betrekken, maar je kunt de benodigde energie ook halen uit een onderdeeltje dat deze energie tijdelijk kan opslaan: een condensator.

Net zoals flesjes water uiteindelijk ook weer worden gevuld uit een bron (of indirect via de waterleiding), worden condensatoren ook opgeladen door ze op een elektrische energiebron aan te sluiten. En net zoals water in een fles bewaard kan worden nadat je hem eenmaal hebt gevuld, kan een condensator de opgeslagen energie bewaren na het loskoppelen van de energiebron. In beide gevallen loopt de inhoud (water of energie) pas weer weg wanneer iemand of iets er gebruik van maakt - of het nu een dorstige elektronicus is of een component die even wat energie nodig heeft.

Het verschil tussen een condensator en een batterij
Het zal vast en zeker al bij je opgekomen zijn dat een condensator niet de enige component is die energie kan opslaan; in een batterij is immers ook energie opgeslagen, en bij een accu is het zelfs mogelijk om deze energie net zoals bij een condensator weer aan te vullen. Wat is dan eigenlijk het verschil met (en het nut van) condensatoren?
Zoals je eerder hebt kunnen lezen, levert een batterij of accu energie via een elektrochemische reactie, waardoor over de beide polen een ladingsverschil en dus een spanning wordt opgebouwd. In een condensator vindt helemaal geen reactie plaats, maar wordt de lading over de platen door een stroom van buitenaf opgebouwd. Hierbij wordt de ene plaat positief geladen en de andere negatief; en doordat tegengestelde ladingen elkaar aantrekken, willen deze ladingen graag bij elkaar blijven zitten.
Dit is dus een groot verschil met batterijen en accu’s, die chemisch werken. Condensatoren werken dan ook veel sneller en efficiënter dan accu's, maar hebben het nadeel dat ze veel minder energie kunnen opslaan. Ook lekt de opgeslagen energie meestal binnen een paar dagen weg, zelfs als er niets op een condensator is aangesloten.

Transsistoren.
Een transistor is, anders dan de weerstand en de condensator, een actief component. In basis is een transistor een schakelaar. Maar een transistor kan ook versterken. Het zit allemaal in de naam van het onderedeel. Transport en resistance (weerstand) geven samen 'Transistor'. Het schakelen komt overeen met het schakelen, oftewel doorvoer van een signaal of stroompje en de weerstand hoeft niet altijd groter te worden. Door deze juist te verkleinen treedt er een versterking van het signaal op.
Maar belangrijk hierbij is dat het ellemaal electronisch wordt aangestuurd en dat het om kleine stroomsterkes gaat.

Door meerdere transistoren samen te brengen in één behuizing krijg je meer komplexe schakelingen. De Integrated Circuits (IC) kunnen tesamen een tijdklokje vormen of een micro-processor in je computer of zelfs een komplete mobiele telefoon gaan worden. De onderdelen hierin zijn dan zo kleing geworden dat grote stroomsterktes hier absoluut taboe zijn. Wat dan ook wel weer heel prettig is want dan kan de batterij ook lekker lang meegaan.

Er zijn vele verschillende soorten transistoren. De bekensten zijn wel de diodes en de spanningsregulatoren.
Bij een diode wordt de richting van de stroom geregeld. Alleen de '+' wordt doorgelaten of juist tegengehouden. Dit kan soms ook licht opleveren. Dan noemen we een dergelijke diode: Light Emitting Diode (LED).
De spanningsregulator regelt de afgegeven spanning van een dynamo. Die is nooit exact 12 volt want die varieert een beetje. Een spanningsregulator geeft wel een exacte waarde af.

Basis schakelingen

Om de verschillende componenten goed samen te laten werken moeten we weten hoe we ze onderling verbinden. De stroom moet immers wel door de componenten heen kunnen lopen. We moeten een stroomkring maken waarmee we de functie krijgen waar we naar op zoek zijn en dat kan de componenten aan elkaar te verbinden met een:

serie schakeling
parallel schakeling
combinatie schakeling

Serie schakeling

In ons basiscircuit met een batterij en een ledje loopt de stroom van de positieve pool van de batterij achtereenvolgens door de weerstand, het led lampje en weer terug naar de negatieve pool van de batterij. Alles is dus achter elkaar geschakeld, en een dergelijke schakeling wordt dan ook een serieschakeling genoemd. De stroom loopt achtereenvolgens door iedere component.

Een serieschakeling heeft twee belangrijke eigenschappen:

door iedere component loopt dezelfde stroom;
de totale spanning van de spanningsbron wordt verdeeld (al dan niet evenredig) over de verschillende componenten. Wanneer je de spanningsval over de afzonderlijke componenten bij elkaar optelt, krijg je altijd de totale voedingsspanning.

Een serieschakeling heeft een belangrijke zwakte: wanneer één component kapot gaat en onderbroken raakt, stopt de stroom in het complete circuit. ledereen van minstens middelbare leeftijd heeft hier waarschijnlijk wel ervaring mee in de vorm van ouderwetse kerstboomverlìchtìng, waarbij een dozijn of meer lampjes in serie stonden: als er ook maar één lampje kapot was, bleef het donker. In moderne kerstboomverlichting zijn speciale onderdelen ingebouwd in ieder lampje, zodat de stroom toch kan blijven lopen als er een lampje kapot gaat.

Parallel schakeling
De oplossing voor de kwetsbare serieschakeling is simpel: sluit elke component afzonderlijk aan op de spanningsbron. Wanneer je dit doet met meerdere componenten, ontstaat er een parallelschakeling, zoals je kunt zien in het schema hiernaast. Bij een parallelschakeling gebeurt er niets als er een lampje kapot gaat; de andere lampjes blijven gewoon branden.

Bij een parallelschakeling zijn de rollen van stroom en spanning als het ware verwisseld in vergelijking met de serieschakeling: nu krijgen alle lampjes dezelfde spanning, maar trekt ieder lampje zijn eigen stroom. De totale stroom die de batterij moet leveren bestaat uit de stroom van alle afzonderlijke lampjes bij elkaar opgeteld.

Een parallelschakeling heeft twee belangrijke eigenschappen:

over iedere aftakking valt dezelfde spanning;
de stroom die de spanningsbron levert, wordt verdeeld over de verschillende aftakkingen. De som van de stromen in de verschillende aftakkingen is de totale stroom die de spanningsbron moet leveren.

Wanneer je dezelfde componenten zowel in een serie- als parallelschakeling uitprobeert, zul je merken dat er meer stroom wordt getrokken in de parallelschakeling. Dit is belangrijk wanneer je batterijen gebruikt om jouw circuits te voeden. Meer stroom betekent immers dat de batterij sneller leeg raakt. Een accu met een capaciteit van 1 ampère-uur houdt het 1 uur vol bij 1 ampère stroom, of 2 uur bij 0,5 ampère, of 10 uur bij 0,1 ampère enzovoort. En dan nog moet je er rekening mee houden dat deze waarde lager uitvalt naarmate je meer stroom trekt, en dat fabrikanten van accu’s de stroomcapaciteit soms optimistischer voorstellen dan deze in werkelijkheid is.
Om een lang verhaal kort te maken: kies een spanningsbron die geschikt is voor jouw circuit, waarbij je rekening moet houden met de stroom die getrokken wordt, en hoe lang je het circuit wilt kunnen gebruiken.

Combinatie schakeling
De meeste circuits bestaan uit allerlei combinaties van serie- en parallelschakelingen. De manier waarop deze circuits zijn opgebouwd, is afhankelijk van de functie. Kijk maar eens naar de schakeling hiernaast waar je een weerstand (het zigzaglijntje) in serie ziet staan met een batterij, met daarachter drie parallelle aftakkingen, die elk weer bestaan uit een schakelaar in serie met een lampje. Wanneer alle drie de schakelaars gesloten zijn, loopt de totale voedingsstroom eerst door de weerstand, om daarna verdeeld te worden over de drie lampjes. Wanneer alle schakelaars open zijn, is er geen gesloten circuit, en loopt er ook geen stroom. Wanneer één schakelaar gesloten is, loopt alle stroom door de weerstand en het ene lampje (oftewel een serieschakeling), maar zijn de andere lampjes uit. Wanneer je de schakelaars één voor één sluit en weer opent, zou je dit circuit kunnen gebruiken als verkeerslicht. Natuurlijk wordt het nog interessanter wanneer je de schakelaars automatisch laat bedienen door nog wat extra elektronica.

Daarnaast zullen er ook onderdelen onderhouden moeten worden en of vervangen moeten worden. Daarvoor kunnen we componenten samenvoegen, alleen weerstanden en condensatoren.

Natuurkunde - Serieschakeling vs. parallelschakeling (Basiskennis)

Vervangings waarden berekenen

Je zult bij het bouwen of repareren van een project soms tegen het probleem aanlopen datj e een weerstand nodig hebt die je niet in huis hebt. Je kunt dan natuurlijk weer op de fiets naar de elektronicawinkel, of online de gewenste spullen bestellen en vervolgens twee dagen niets doen totdat de bestelling arriveert, maar dat kost veel tijd.
Een ander probleem is dat weerstanden slechts in een beperkt aantal standaardwaarden worden gemaakt, en je zult zien dat wat jij nodig hebt daar niet tussen zit. Zo kun je lang zoeken naar een gewone weerstand van 25 kΩ; deze is domweg niet verkrijgbaar, ook al klinkt het als een heel logische waarde. Een waarde van 22 kΩ is echter wel een standaardwaarde. Zou je deze weerstand kunnen combineren met een of meer andere om de gewenste 25 kΩ te krijgen? Inderdaad, dat kan.

Door meerdere weerstanden in serie of parallel te schakelen kun je een equivalente, een gelijke en vervangende, weerstand krijgen die heel dicht in de buurt ligt van wat je nodig hebt. Bovendien is een kleine afwijking ook helemaal geen probleem, want een weerstand heeft immers sowieso al een tolerantie (mogelljke afwijking) van bijvoorbeeld 5% ten opzichte van de opgegeven nominale waarde.

Bij het combineren van een weerstand gebruik je bepaalde regels om vervangingsweerstanden te bepalen. Deze regels kun je niet alleen gebriken om zelf bepaalde gewenste weerstandswaarden te maken, maar ook om te zien wat er precies in bestaande circuits gebeurt.
Wanneer je bijvoorbeeld een weerstand in serie zet met een lamp, moet je weten wat de totale equivalente weerstand van de hele schakeling is voordat je kunt berekenen welke stroom er doorheen zal lopen.Weerstanden in serie schakelen
Wanneer je twee of meer weerstanden in serie schakelt, sluit je ze achter elkaar aan. Dit betekent dat dezelfde stroom door alle weerstanden loopt. Het gevolg is dat de stroom een beetje wordt beperkt door de eerste weerstand, nog wat meer door de tweede, nog weer wat meer door de derde enzovoort. Dit betekent dus dat de totale weerstand hoger wordt wanneer je weerstanden in serie schakelt.

Het berekenen van de equivalente weerstand van meerdere weerstanden in serie is simpel: je telt gewoon de waarden van de afzonderlijke weerstanden bij elkaar op:

$R_{serie}=R_1+R_2+R_3+R_4+...$

Hierbij staan R_l, R₂, R₃ enzovoort voor de afzonderlijke weerstanden, en staat R_serie voor de equivalente weerstand. Onthoud nogmaals dat dezelfde stroom door alle in serie geschakelde weerstanden loopt.

Je kunt dit principe van het optellen van weerstandswaarden gebruiken wanneer je een bepaalde benodigde weerstand niet hebt. Zo is er bijvoorbeeld geen standaardweerstand van 25 kΩ te koop. Wanneer je echter twee standaardweerstanden van 22 kΩ en 3,3 kΩ in serie schakelt, krijg je 25,3 kΩ. Dit is nog geen 2% hoger dan de gewenste waarde, oftewel ruim binnen de tolerantie van gewone weerstanden (5%).

Let bij het optellen van weerstandswaarden goed op de eenheden. Zo kun je ohms en kilo-ohms niet domweg bij elkaar optellen, maar moet je alle waarden eerst uitdrukken in dezelfde eenheden, bijvoorbeeld ohms. We maken dit wat duidelijkeraan de hand van het voorbeeld hierboven: wanneer je drie weerstanden met de waarden 1,2 kΩ, 680 Ω en 470 Ω in serie zet, moet je alle waarden omzetten in ohms en dan pas optellen:

$R_{serie}=1,2kΩ+680Ω+470Ω=1200Ω+680Ω+470Ω=2350Ω$
$R_{serie}=2350Ω=2,35kΩ$

De equivalente serieweerstand is altijd hoger dan welke van de afzonderlijke weerstanden ook. Dit kan van pas komen hij het ontwerpen van circuits.Wanneer je bijvoorbeeld de stroom wilt beperken die door een gloeilamp stroomt, maar je weet niet welke weerstand de lamp heeft, kun je een weerstand in serie met de lamp schakelen. Je weet dan zeker dat de stroom nooit groter kan worden dan de stroom die door deze serieweerstand loopt.
Om deze reden gebruik je ook een serieweerstand bij een potmeter (variabele weerstand), zodat de stroom beperkt blijft, ook al draai je de weerstand van de potmeter helemaal naar nul.

Weerstanden parallel schakelen
Wanneer je twee weerstanden parallel schakelt, verbind je beide uiteinden van de ene weerstand met beide uiteinden van de andere weerstand Dit betekent dat parallel geschakelde weerstanden dezelfde spanning krijgen, en niet dezelfde stroom zoals in serie geschakelde weerstanden. De ene weerstand beperkt de stroom weliswaar‚ maar er is nog een tweede pad waar ook stroom door loopt, namelijk het pad via de tweede weerstand. Bij twee parallelle weerstanden loopt er bij dezelfde spanning dus meer stroom dan door elke afzonderlijke weerstand, en de equivalente weerstand is dan ook lager dan elke alzonderlijke weerstand.

Met de volgende formule kun je de equivalente weerstand R_parallel berekenen van twee parallel geschakelde weerstanden R₁ en R₂:

$R_{parallel}={{R_1*R_2} \over {R_1+R_2}}$

Zo zijn in het voorbeeld twee weerstanden van 2kΩ parallel geschakeld. De vervangings (equivalente) weerstand bereken je dan alsvolgt:

$R_{parallel}={{2000Ω*2000Ω} \over {2000Ω+2000Ω}}={4000000Ω \over 4000Ω}=1000Ω$

dus $R_{parallel}=1kΩ$

In dit voorbeeld hebben we twee dezelfde weerstanden parallel geschakeld, met als gevolg dat de waarde van de vervangingsweerstand de helft is geworden van de oorspronkelijke waarden. Door elke weerstand loopt de helft van de totale stroom. Wanneer je ongelijke weerstanden parallel schakelt, zal door het pad met de laagste weerstand meer stroom lopen dan door het pad met de hoogste weerstand.

Door weerstanden parallel te schakelen, krijgt de equivalente weerstand ook een hoger vermogen. Als je bijvoorbeeld een weerstand van 1 W nodig hebt, maar je hebt alleen maar weerstanden van ¹/₂ W, kun je twee dezelfde weerstanden van ¹/₂ W parallel schakelen. Deze twee weerstanden moeten dan natuurlijk wel de dubbele weerstandswaarde hebben van de gewenste weerstand. Elk van deze weerstanden krijgt dan immers bĳ dezelfde spanning de helft van de stroom te verduren, en dus ook de helft van het vermogen (vermogen = spanning x stroom).

Wanneer je meer dan twee weerstanden parallel schakelt, wordt de formule al snel ingewikkelder, en is het gemakkelĳker om het geheel als een breuk te schrijven:

$R_{parallel}={1 \over{{1 \over R_1}+{1 \over R_2}+{1 \over R_3}...}}$

een andere schrijfwijze maar met exact dezelfde betekenis en uitkomst is:

${1 \over R_{parallel}}={{1 \over R_1}+{1 \over R_2}+{1 \over R_3}...}$

Bij meerdere parallel geschakelde weerstanden is de stroom die door elke weerstand loopt omgekeerd evenredig met de weerstandswaarde.
Met andere woorden: hoe hoger een weerstand, des te lager de stroom die er doorheen loopt.

In elektronische schema’s, formules en beschrijvingen wordt het symbool || vaak gebruikt om parallelle weerstanden aan te geven, bijvoorbeeld als volgt:

$R_{parallel}=R_1||R_2={{R_1*R_2} \over {R_1+R_2}}$

$R_{parallel}=R_1||R_2||R_3={1 \over{{1 \over R_1}+{1 \over R_2}+{1 \over R_3}...}}$

Even terughalen 'de wet van Ohm'

Door je duim op de letter te leggen die je wilt berekenen krijg je automatisch de formule die je moet gaan gebruiken. In de afbeelding hiernaast is dit heel mooi voor je uitgelegd. Deze kenneis gaan we daarna gebruiken in een voorbeeld uit de opleiding voor Bedrijfswagentechnicus. De berekening van het berekenen van een vervangingsweerstand wordt hier geheel met behulp van de wet van Ohm gedaan. Het geeft heel mooi weer dat er verschillende methoden zijn om tot een goed resultaat te komen.

De alternatieve berekening van een vervangingsweerstand:

Serie- en parallelweerstanden combineren
Omdat een serie- of parallelschakeling van meerdere weerstanden zich net zo gedraagt als één enkele weerstand, is er natuurlijk geen enkel bezwaar om serie- en parallelschakelingen te combineren, zodat je dus netwerken krijgt met bijvoorbeeld twee parallel geschakelde weerstanden, die weer in serie staan meteen derde weerstand. Zo zie je hieronder de twee weerstanden R2 en R3 (beide 2 k) parallel staan, maar daarmee in serie nog een weerstand Rl van 1 k. De equivalente weerstand bereken je als volgt:

$R_{totaal}=R_1+R_2||R_3=R_1+{{R_2*R_3} \over {R_2+R_3}}$
$R_{totaal}=1000+{{2000*2000} \over {2000+200}}=1000+1000$
$R_{totaal}=2000=2kΩ$

In dit circuit wordt de stroom die de batterij levert begrensd door de totale weerstand in het circuit, en die weerstand bedraagt 2 kΩ. De stroom loopt vanaf de positieve pool van de batterij door R₁, en splitst zich dan in tweeën, waarbij dus de helft van de stroom door R₂ loopt, en de andere helft door R₃. Aan de onderkant van R₂ en R₃ komen deze stromen weer bij elkaar en ontstaat weer de volledige stroom. die naar de negatieve pool van de batterij loopt.

Circuits hebben vaak nog ingewikkeldere combinaties van parallel en in serie geschakelde weerstanden, en het uitrekenen van de totale equivalente weerstand is dan ook lang niet altijd zo simpel als in ons voorbeeld.
Voor het doorrekenen van dergelijke netwerken wordt een soort wiskunde met de naam Lineaire algebra gebruikt, en dat gaan we hier zeker niet bespreken.

Vervangings condensator
Je kunt condensatoren net zoals weerstanden parallel en in serie zetten om een bepaalde gewenste waarde te bereiken. Het enige waar je goed op moet letten, is dat de regels voor parallel- en serieschakelingen van condensatoren precies tegenovergesteld zijn aan de regels die voor weerstanden gelden.

--} opgaven

Vraag 1
R₁ = 10 ohm

R₂ = 10 ohm

De overige weerstanden bestaan niet, en zijn geen verbindingen!

Wat is het aantal ampere in deze stroomkring?

Vraag 2
R₁ = 20 ohm

R₃ = 20 ohm

De weerstanden R_2,4 zijn simpele verbindingen en R₅ bestaat niet!

Wat is het aantal ampere in deze stroomkring?

Vraag 3
R₁ = 10 ohm

R₃ = 20 ohm

De weerstanden R_2,4 zijn simpele verbindingen en R₅ bestaat niet!

Wat is het aantal ampere in deze stroomkring?

Vraag 4
R₁ = 20 ohm

R₂ = 40 ohm

De overige weerstanden bestaan niet, en zijn geen verbindingen!

Wat is het aantal ampere in deze stroomkring?

Vraag 5
R_0,3,4 = 10 ohm

De weerstanden R_1,2 bestaan niet en alleen R₂ is een verbinding!

Wat is de totale vervaningsweerstand R_v tussen A en B?

Vraag 6
R_1,3 = 20 ohm

R_2,4 = 10 ohm

R₀ = 50 ohm

Wat is de totale vervaningsweerstand R_v tussen A en B?

Vraag 7
R_1,2 = 20 ohm

R₀ = 50 ohm

De weerstanden R_3,4 bestaan niet en over A en B is een spanningsbron aangesloten van 12V.

Wat is de totale vervaningsweerstand R_v tussen A en B en welke stroomsterkte wordt er gemeten?

Vraag 8
R_3,4 = 20 ohm

R₀ = 30 ohm

De weerstanden R_1,2 bestaan niet en over A en B is een spanningsbron aangesloten van 24V.

Wat is de totale vervaningsweerstand R_v tussen A en B en welke stroomsterkte wordt er gemeten?

Vraag 9
R₁ = 20 nF

R₂ = 10 nF

De overige condensatoren bestaan niet, en zijn geen verbindingen!

Wat is de capaciteit van de vervangingscondensator in deze stroomkring?

Vraag 10
R_1,3 = 200 nF

R_2,4 = 150 nF

R₀ = 500 nF

Wat is de totale vervangingscapaciteit van condensator C_v tussen A en B?

Vaardigheden student

Inleiding

Niet alleen in het examen maar ook in je latere carriere zul je opdrachten moeten uitvoeren. Vaak staan deze onder tijdsdruk. Dan is het van groot belang dat je dan niet alleen over je kennis (wat je weet), maar ook over belangrijke vaardigheden (wat je kunt) paraat hebt.
Bij die vaardigheden horen bijvoorbeeld: proefopstellingen bouwen, meetgegevens verzamelen, berekeningen uitvoeren, grafieken lezen en tekenen, verslag maken enzovoort. In deze WikiWijs gaan enkele van deze vaardigheden behandeld worden. Bij een goede voorbereiding zul je hier weinig nieuwe zaken tegen komen, maar misschien kunnen de verschillende tips je toch nog net even meer 'op scherp' zetten.

Examenopgave maken

Voorbeeld: Het centraal examen natuur- en scheikunde 1 bestaat uit ongeveer 40 opgaven.
Dit is een goede manier om die opgaven aan te pakken:

Kijk Wat het onderwerp is.
In het examen/opdrachten komen verschillende onderwerpen aan de orde. Meestal worden er over één onderwerp verschillende vragen gesteld. Aan de koppen die in het examen/opdrachten staan, zie je wanneer er een nieuw onderwerp aan de orde komt.
Ga na hoe de opgave is opgebouwd.
Veel opgaven zitten als de afbeelding hieronder in elkaar:
- een leestekst en/of een illustratie;
- een inleiding;
- de eigenlijke vraag of opdracht.

Een examenopgave bestaat uit verschillende onderdelen
Lees de opgave zorgvuldig door.
Lees de hele tekst, van begin tot einde. Bekijk foto's, tekeningen en graﬁeken nauwkeurig.
Stel vast wat je precies moet doen.
Sommige opgaven zijn vragen die je gewoon moet beantwoorden. Als er staat:
Wat is de functie van de transformator bij een deurbel?
schrijf je natuurlijk op wat de functie van zo'n transformator is.
Andere opgaven zijn opdrachten. Zoek in zo’n opgave eerst het opdrachtwoord op. Dat vertelt je wat je precies moet doen.

Opdrachtwoorden en hun betekenis
Bedenk Wat het antwoord moet zijn.
Twee tips, voor als je hierbij vastloopt.

Tip 1
Weet je niet welke formule je moet gebruiken?
- Kijk wetke grootheid je moet berekenen, en vertaal die in een letter.
- Zoek in Binas of Polytechnisch zakboek (tabellenboekjes) alle formules op waarin die letter voorkomt.
- Kijk welke van die formules het beste past bij de gegevens.
Tip 2
Mis je een gegeven datje voor de opgave nodig hebt?
In dat geval kunnen er drie dingen aan de hand zijn:

Je kunt het ontbrekende gegeven opzoeken in Binas.
Let op: dit wordt er niet bij gezegd. Je moet dat zelf bedenken.
Je kunt het ontbrekende gegeven aﬂezen uit een graﬁek, een tekening of een foto.
In de opgave zit een extra gegeven ’verstopt’. Dat is bijvoorbeeld zo als je de remweg van een auto moet berekenen. Uit het woord ’remweg’ kun je zelf de conclusie trekken dat de auto aan het einde van de beweging stilstaat. Je hebt dus één gegeven meer dan je misschien dacht: de eindsnelheid (v_e = 0 ^m/_s).

Schrijf het antwoord op.
Schrijf bij elke opgave iets op, ook al ben je niet zeker van je zaak. Voor een gedeeltelijk goed antwoord krijg je attijd nog een deel van de punten. Een meerkeuzevraag kun je, ook als je gokt, toch helemaal goed maken.
Controleer het antwoord.
Lees de vraag nog eens en controleer:

Geeft jouw uitwerking (volledig) antwoord op de vraag?
Heb je de gegevens goed (af)gelezen en opgeschreven?
Kloppen je berekeningen als je die nog eens narekent?

Onderzoek doen

Tijdens de opleiding zijn er een aantal ideeën voor onderzoek. Bij het uitvoeren van zo'n onderzoek kun je het beste stap voor stap te werk gaan.

Bedenk een onderzoeksvraag.
Soms staat de onderzoeksvraag al in de opdracht vermeld. Dan hoef je er alleen over na te denken hoe je die vraag kunt beantwoorden. Soms mag of moet je zelf een onderzoeksvraag bedenken. Wees daarbij niet te gauw tevreden; denk er goed over na of je vraag wel geschikt is.
Je moet al een idee hebben hoe je aan het antwoord kunt komen.
Maak een werkplan.
In je werkplan schrijf je op:

welke grootheden je gaat meten;
welke materialen en apparatuurje nodig hebt;
welke opstelling je gaat bouwen (maak een tekening);
welke metingen je gaat uitvoeren;
(eventueel) welke formules je gaat gebruiken.

Voorbeeld: Jermaine heeft als onderzoeksvraag gekozen:
Welk deel van de energie van een stuiterende bal gaat tijdens het stuiteren verloren?

Jermaine wil de zwaarte-energie van de bal berekenen, voor en na het stuiteren. Hij weet dat hij de beweging van de bal kan vastleggen met een videocamera.
Hij heeft bedacht dat hij een meetlat op de achtergrond mee kan ﬁlmen. Z0 kan hij de beginhoogte en de terugstuithoogte straks nauwkeurig bepalen. Verder heeft hij ook de massa van de bal nodig, maar die kan hij eenvoudig meten met een weegschaal of een balans.

Meten en verwerken
Je gaat nu metingen uitvoeren en uitwerken. Zie de vaardigheden Formules, Tabellen & Grafieken en Verbanden.
Conclusies trekken
Als alles goed gegaan is, kun je nu conclusies trekken. Probeer een antwoord te geven op je onderzoeksvraag. Vraag je ook af wat er in je onderzoek beter had gekund.
Een verslag maken
Tot slot maak je een verslag van je onderzoek.

Wil je nog meer weten over het opzetten van je onderzoek, kijk dan op de site van de onderzoekspraktijk.net. In 8 simpele stappen, met onderwerpen als: Verkennen, Opsporen, Bepalen, Formuleren, Verzinnen, Gegevens, Analyseren en Presenteren wordt je door het gehele proces geleid.

Formules

Bij natuur- en scheikunde moet je af en toe berekeningen maken. Dit is een goede aanpak:

Lees de opgave
Lees de opgave en schat in welke buurt de uitkomst zal liggen. In het voorbeeld hieronder moet je de tijd berekenen waarin een waterkoker een liter water opwarmt. Je verwacht dan een tijd van enkele minuten. Een paar seconden is duidelijk te weinig en een paar uur duidelijk te veel.
Noteer de gegevens
Vertaal alle gegevens in letters en cijfers, en noteer ze.
Een gegeven zoals '336 kJ warmte' noteer je bijvoorbeeld als: Q = E = 336 kJ.
Schrijf de formule(s) op
Sommige formules kun je op verschillende manieren opschrijven. Neem de vorm waarin de te berekenen grootheid voor het is-teken (=) staat. Je schrijft dus:

Het ombouwen of omwerken van formules is niet altijd even eenvoudig. Daarom nog een extra uitleg en een handige werkwijze waarmee het ombouwen altijd gaat werken.

Formules ombouwen

Vul de gegevens in
Werk de berekening uit
Noteer de uitkomst
De uitkomst is een getal + een eenheid. De eenheid moet kloppen met de gegevens:
als je het vermogen invult in watt (W) en de tijd in seconden (s), dan vind je de hoeveelheid energie in joule (J).
Controleer de uitkomst
Vergelijk de uitkomst met de schatting die je in het begin maakte. Ga ook na of je geen reken- of overschrijffouten hebt gemaakt.

Voorbeeld
Om een liter water van 20 ^oC aan de kook brengen, is 336 kJ warmte nodig.
Hoe lang doet een waterkoker van 2000 W erover deze hoeveelheid warmte te leveren?

Uitwerking voorbeeld

Machten van 10

Bij natuur- en scheikunde krijg je soms te maken met getallen die erg groot of juist erg klein zijn. Er is een handige manier bedacht om dat soort getallen op te schrijven. Voor grote getallen gebruik je positieve machten van 10. Voor kleine getallen gebruik je negatieve machten van 10.

positieve machten	negatieve machten
10¹ = 10	10^-1 = 1/10 = 0,1
10² = 10 x 10 = 100	10^-2 = 1/100 = 0,01
10³ = 10 x 10 x 10 = 1000	10^-3 = 1/1000 = 0,001
enzovoort	enzovoort

Soms is het handig om een macht van 10 te vervangen door een voorvoegsel. In plaats van "De afstand is 11,3x10³ m" kun je ook schrijven: "De afstand is 11,3 km". Het voorvoegsel k (kilo) betekent duizend, net als 10³.

voorvoegsels

Voorbeeld
De kerncentrale in Gravelines (Frankrijk) heeft een elektrisch vermogen van 5460 MW. In de praktijk wordt gemiddeld 75% van dit vermogen gebruikt. De overige 25% is niet beschikbaar. De reactoren van de centrale hebben regelmatig onderhoud nodig en kunnen dus niet altijd energie leveren. Bereken hoeveel kWh elektrische energie de kerncentrale in één jaar levert.

**kerncentrale Gravelines in Frankrijk**

75% van 5460 MW = 4095 MW
P = 4095 MW = 4095 x 10⁶ W = 4095 x 10³ kW
t = 365 x 24 = 8760 h

E = P x t
=> 4095 x 10³ x 8760
=> 3,5872 x 10⁹ kWh, en dat is ongeveer 36 x 10⁹ kWh

De centrale produceert elk jaar 36 miljard kWh elektrische energie.

Grootheden en Eenheden

Grootheid
Een grootheid is iets dat je kunt meten met een geschikt meetinstrument. Voorbeelden van grootheden zijn lengte
(afstand), massa en kracht. Meer grootheden zie je in onderstaande tabel.

Eenheid
Om een grootheid te kunnen meten, heb je een afgesproken maat nodig. Zo'n afgesproken maat noem je een eenheid.
Je meet je lengte in meters, je massa in kilogrammen en je spierkracht in newton. De meter is de eenheid van lengte, de kilogram de eenheid van massa en de newton de eenheid van kracht. Elke grootheid heeft een officiële internationale Sl-eenheid (SI staat voor Système International: het in 1960 ingevoerde internationale systeem van eenheden).

Voor het meten van je lengte is de meter heel geschikt. Maar voor de lengte van de spoorlijn van Amsterdam naar Rotterdam kun je beter een grotere eenheid gebruiken: de kilometer. Tijd meten we vaak in uren en niet in seconden. En voor temperatuur gebruiken we veel liever de graad Celsius dan de Kelvin. Het ligt dus aan de situatie welke eenheid wordt gebruikt.

In tabel vind je een overzicht van alle grootheden en hun eenheden die op deze site voorkomen. In de derde en vierde kolom staan de Sl-eenheden. Andere veelgebruikte eenheden staan in de laatste twee kolommen.

Tabellen & Grafieken

Veel onderzoeksvragen gaan over het verband tussen twee grootheden. Over een zonnecel kun je bijvoorbee[d vragen:
Hoe hangt de spanning van een zonnecel af van de hoek waaronder het zonlicht op de zonnecel valt?

Om deze vraag te beantwoorden, voer je een serie metingen uit. Je sluit een spanningsmeter aan op een paneel zonnecellen. Daarna zet je het paneel onder verschillende hoeken neer en meet je telkens de spanning. In een tabel noteer je de meetresultaten: links de hoek, rechts de bijbehorende spanning.

Verbanden worden duidelijker als je ze weergeeft in een grafiek. Zo'n grafiek maak je als volgt:

Werk alles uit in potlood. Anders kun je later niets meer verbeteren.
Teken een assenstelsel. In het werkboek op school was dat meestal al voor je gedaan. Helaas zullen je meeste metingen geen kant-en-klare werkbladen meer hebben.
Zet bij elke as een grootheid, met de eenheid waarin je hebt gemeten.
Bijvoorbeeld: temperatuur (^oC) en stroomsterkte (A).
Zet langs beide assen een geschikte schaalverdeling. Zorg ervoor dat al je metingen in de grafiek passen en dat je grafiek niet te klein wordt.
Teken de meetresultaten in als punten. Realiseer je daarbij dat er altijd kleine meetfouten in je meetresultaten zitten. Je mag er niet van uitgaan dat elk punt exact juist is.
Trek een rechte lijn als de meetpunten ongeveer op een rechte lijn liggen. Laat die lijn zo goed mogelijk bij de punten aansluiten. Je mag de punten niet een voor een met elkaar verbinden.
Teken een vloeiende kromme als de punten duidelijk niet op één lijn liggen. Laat de kromme zo goed mogelijk bij de punten aansluiten. Je mag de punten niet een voor een met elkaar verbinden.

Het geeft dus niet dat een rechte lijn of een kromme niet precies door alle meetpunten loopt.

Verbanden

Veel onderzoeksvragen gaan over het verband tussen twee grootheden. Neem bijvoorbeeld de onderzoeksvraag:
Wat is het verband tussen de kracht en de uitrekking bij een spiraalveer?
Bij deze vraag zijn de grootheden de kracht (op de spiraalveer) en de uitrekking (van de spiraalveer).

Hoe meet je nu zo'n verband? Een paar aanwijzingen:

Maak eerst een tabel waarin je de meetresultaten kunt noteren. Links de kracht, rechts de uitrekking.
Kies voor de grootheid in de linker kolom een serie 'mooie' getallen. Als je gewichtjes van 10 gram aan de spiraalveer hangt, krijgt de kracht bijvoorbeeld de volgende waarden (in N): 0 - 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,4 enzovoort.
Dat maakt het gemakkelijker om straks een grafiek te tekenen.

Meetwaarden noteren en uitwerken
Noteer de meetwaarden in de tabel: links de kracht (in N), rechts de uitrekking (in cm).
Verwerk je metingen tot een grafiek. In Tabellen & Grafieken kun je lezen hoe dat moet.
Zet de kracht langs de horizontale as en de uitrekking langs de verticale as.
Vergelijk jouw grafiek met afbeelding hieronder. Daarin zie je hoe een grafiek eruitziet:
- als het verband evenredig is;
- als het verband lineair is;
- als het verband kwadratisch is;
- als het verband omgekeerd evenredig is.
Het (kracht,uitrekking)-diagram van een spiraalveer is een rechte lijn door de oorsprong. Daaraan zie je dat het verband tussen de uitrekking en de kracht bij een spiraalveer evenredig is.

vier soorten verbanden

Verslag

Verslag maken Bij een onderzoek hoort een verslag. In dat verslag leg je uit hoe het onderzoek is verlopen. Iemand die er niet bij geweest is, moet precies kunnen begrijpen Wat er allemaal is gebeurd. Deel je verslag als volgt in:

Titelpagina
Hierop vermeld je: de titel van het onderzoek, de namen van de leerlingen in het onderzoeksgroepje, de naam van je docent, de datum en het jaartal.
§ 1 Onderzoeksvraag
In deze paragraaf leg je uit welke vraag je met je onderzoek wilde beantwoorden.
§ 2 Werkplan
In het werkplan staat:
- welke grootheden je hebt gemeten;
- welke practicumspullen je hebt gebruikt;
- wat voor opstelling je hebt gemaakt (maak een tekening);
- wat je precies hebt gedaan:
  - Welke metingen heb je uitgevoerd?
  - Hoe heb je de meetresultaten verwerkt (tekenen/berekenen)?
  - Welke berekeningen heb je uitgevoerd (inclusief formules)?
§3 Onderzoeksresultaten
Hierin vermeld je wat je hebt waargenomen of gemeten: in de vorm van tekst, tabellen, graﬁeken, foto's en dergelijke.
§ 4 Conclusies
Hierin staat het antwoord op de onderzoeksvraag. Ook schrijf je op wat er beter had gekund.

Een verslag hoort er goed uit te zien. Het gaat niet alleen om de inhoud van je verslag. Je moet die inhoud ook duidelijk en overzichtelijk presenteren.
Verslag voorzijde Een aantal aanwijzingen:

Maak je verslag als het even kan met een tekstverwerker.
Gebruik papier op A4-formaat.
Zorg dat er ruime marges overblijven: onder en boven, links en rechts.
Kies een goed leesbaar lettertype, met een goede lettergrootte.
Zet een vet kopje boven elke paragraaf. Sla daarna een regel over.
Zorg voor nette tekeningen, tabellen en graﬁeken. Zet er een nummer bij zodat je ernaar kunt verwijzen.

Taal en Rekenkaartje

De Taal en Rekenkaart zijn handige geheugensteuntjes voor elke ‘student die wel eens struikelt over het toepassen van d’s en t’s. Of die de Nederlandse grammatica en spelling nog aan het leren is.
De TaalKaart geeft spellingsregels rond werkwoordvervoegingen op een begrijpelijke en overzichtelijke manier weer aan de hand van uitgewerkte voorbeelden.De Rekenkaart doet dit met rekenen waar het gaat om volgorde van de bewerkingen en de meest gangbare formules voor omtrek, oppervlakte en inhoud van vlakken en diverse ruimtelijke opjecten.

Je kunt deze afbeeldingen afdrukken in kleur, klein afdrukken (ongeveer de grootte van een bankpas) en dan dubbelzijdig 'sealen'. Je hebt dan altijd deze handige kaartjes bij de hand.

Download de bestanden op originele grootte:

Boeken

Basisvaardigheden Wiskunde HTO

Auteur: Douwe-Jan Douwes en Jaap Grasmeijer

Uitgever: Noordhoff Uitgevers B.V.

Nederlandstalig
192 pagina's
9789001834159
april 2014

Samenvatting Basisvaardigheden Wiskunde

Wil jij je wiskundekennis snel op peil brengen? Kies dan voor Basisvaardigheden Wiskunde! Een bondige opfris- en bijspijkercursus wiskunde die je in korte tijd op het gewenste niveau brengt. De herziene editie is geactualiseerd en verbeterd. Er zijn 2 nieuwe hoofdstukken over integreren en vectoren toegevoegd. Met de unieke code bij het boek krijg je toegang tot de ondersteunende website www.basisvaardighedenwiskunde.noordhoff.nl. Hier vind je instaptoetsen, toetsen en uitwerkingen van de opgaven.

Basisvaardigheden Wiskunde maakt deel uit van de succesvolle Serie Basisvaardigheden. Een serie die studenten helpt achterstanden bij verschillende vakken weg te werken. Basisvaardigheden Wiskunde bestaat uit een compact boekje, aangevuld met een ondersteunende website waarmee je gemakkelijk je beginniveau en voortgang kunt toetsen. Ideaal en handig voor zelfstudie!

Het boekje presenteert de stof heel overzichtelijk: op de linker pagina vind je steeds de theorie en voorbeelden, op de rechterpagina opgaven. De theorie is opgedeeld in kleine stappen en wordt helder toegelicht met praktijkvoorbeelden.

In totaal komen bijna 70 wiskundige onderwerpen aan bod, waaronder machten, formules en grafieken, lijnen, tweedegraads functies, exponentiele en logaritmische functies, en differentiëren.

Basisvaardigheden Wiskunde is bedoeld voor alle hogere technische opleidingen en bewijst ook uitstekende diensten bij Summer schools. Alle havo-stof wiskunde wordt herhaald.

Waarom kiezen voor Basisvaardigheden Wiskunde:

beknopte opfriscursus alle benodigde wiskunde voor HTO;
zeer geschikt voor zelfstudie door instaptoetsen en voortgangstoetsen;
brengt je snel op het gewenste niveau - met handige online tools!

Het Grote Rekenboek

Auteur: Marijke van der Mark en Jolanda Kuiper

Uitgever: Scala Leuker Leren

Nederlandstalig
210 pagina's
9789491263408
februari 2015

Samenvatting Het Grote Rekenboek

Het Grote Rekenboek Overzicht is het meest complete naslagwerk over rekenen.
Het gaat uit van de stof voor de basisschool en breidt die uit met de referentieniveaus voor het voortgezet onderwijs en mbo. En is daarmee ook geschikt voor de rekentoets voor vo en mbo.

Leerlingen (en hun ouders) krijgen weer weer grip op de basisprincipes van het rekenen. Over de tekortkomingen van het huidigerekenonderwijs is de laatste tijd veel te doen.Dit boek is een uitkomst voor iedereen die wil kunnen terugvallen op de basis. Het Grote Rekenboek Overzicht is een onmisbaar hulpmiddel voor leerlingen, ouders, leerkrachten en (Pabo-)studenten.

Alle rekenonderdelen komen gestructureerd aan bod: getalsbegrip: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, breuken, kommagetallen, verhoudingen, procenten, meten en maten, geld, tijd, meetkunde, grafieken en diagrammen. Aangevuld met wortels, machten, formules, voorrangsregels.

Hoofdrekenen én cijferen
Per rekenonderdeel wordt de theorie volledig en helder uitgelegd. Stap voor stap, met veel voorbeelden. Leerlingen krijgen zo inzicht in de verschillende rekenstrategieën. Maar dit boek besteedt ook en vooral aandacht aan de techniek van het cijferen.

Voor school én thuis
Het Grote Rekenboek is een onmisbaar naslagwerk voor op school en biedt steun naast iedere methode die op school gebruikt wordt. Het geeft leerlingen, leerkrachten, IB'er en RT'er én ouders het overzicht bij dit belangrijke vak.

Overzich én oefenboek
Het Grote Rekenboek Overzicht is het overkoepelende naslagwerk. Daarbij hoort een oefenboek met duidelijke uitleg van de stof en vele afwisselende en doelgerichte oefeningen per onderdeel.

Wiskunde dat kun je begrijpen

Auteur: Martin Kindt en Ed De Moor

Co-auteur: E. de Moor

Uitgever: Bert Bakker

Nederlandstalig
269 pagina's
9789035138056

Samenvatting Wiskunde dat kun je begrijpen

Duizenden jaren geleden begon de wiskunde door streepjes op botten te kerven. Millennia verder is dit vak uitgegroeid tot een veelomvattende wetenschap. Zonder wiskunde zou er geen ruimtevaart, internet, gsm of mri-scan bestaan.

Hoewel de wiskunde zich in de loop der eeuwen heeft vertakt tot een systeem van velerlei specialismen, blijven enkele fundamentele begrippen, stellingen en theorieën de vaste basis voor iedereen die zich met wiskunde bezighoudt. In Wiskunde, dat kun je begrijpen! wordt een aantal van deze wiskundige kernideeën op heldere en aanschouwelijke wijze uiteengezet. Daarbij baseren de auteurs zich ook op de historische ontwikkeling van het vak dat voor velen een formeel denkspel is, maar dat van oorsprong vooral praktisch was.

In deze gereviseerde en sterk uitgebreide uitgave van het succesvolle boek Wiskunde in een notendop is de tekst van de oorspronkelijke hoofdstukken verdiept en aangevuld. Bovendien zijn er drie nieuwe hoofdstukken toegevoegd en is in elk hoofdstuk een aantal uitdagende vraagstukken voor de lezer opgenomen.

Martin Kindt (1937) en dr. Ed W.A. de Moor (1933) hebben beiden hun sporen verdiend als docent in het voortgezet en hoger onderwijs, maar ook als onderzoekers en ontwikkelaars van wiskundeonderwijs bij het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht. Beiden publiceren regelmatig over reken- en wiskundedidactiek en de historische aspecten daarvan.

Over Wiskunde in een notendop:
‘Helder, zakelijk, met af en toe een wat langere uitleg en een anekdote om de stof goed verteerbaar te houden, wordt de kern van het gedachtegoed van een paar duizend jaar voor de lezer uitgestald.’ natuur, wetenschap en techniek

De kleine Wiskunde voor Dummies

Auteur: Mary Jane Sterling

Uitgever: Voor Dummies

Nederlandstalig
160 pagina's
9789045351452
juli 2015

Samenvatting De kleine Wiskunde voor Dummies

Krijg jij knikkende knieën als je denkt aan wiskunde? Dan heb je het juiste boekje in handen! Hierin worden de basisbeginselen van wiskunde en algebra op heldere wijze uitgelegd. Van het rekenen met variabelen tot de stelling van Pythagoras en het oplossen van lineaire vergelijkingen. Niet alleen het 'hoe' van wiskundige regels, maar ook het 'waarom' komt daarbij aan bod, waardoor je alles veel gemakkelijker zult onthouden. De kleine Wiskunde voor Dummies is een must voor iedereen die zijn wiskundige kennis wil opfrissen.

Mary Jane Sterling doceert sinds 1979 wiskunde aan de Bradley Universiteit in Peoria, Illinois (VS).

De kleine Natuurkunde voor Dummies

Auteur: Steven Holzner

Uitgever: Voor Dummies

Nederlandstalig
159 pagina's
9789045350707
december 2014

Samenvatting De kleine Natuurkunde voor Dummies

Natuurkunde vind je overal om je heen. Dit toegankelijke boekje biedt je een prettige inleiding in de beginselen van de natuurkunde. De leukste onderwerpen uit je natuurkundelessen op school komen aan bod: van beweging tot zwaartekracht en van energie en thermodynamica tot magnetisme. Door de begrijpelijke uitleg en handige voorbeelden zul je deze leerzame reis door de natuurkunde niet snel vergeten! Steven Holzner doceerde meer dan tien jaar natuurkunde aan Cornell University. Hij gaf ook les aan MIT en schreef meer dan 95 boeken over programmeren.

NOVA

Auteur: R. Tromp,M Eijkelkamp, Th. Smits en medewerking van G. Altena

Uitgever: Malmberg

Nederlandstalig
263 pagina's
9789034566430
derde druk, eerste uitgave

Samenvatting NOVA

Dit schoolboek behandeld de basisstof en enkele plus-delen van de Natuurkunde en Scheikunde voor het vmbo-KGT 4e leerjaar.

Mechanica 2

Auteur: Th.H.F. Bernard, W.H.A Blok, J. Dekkers

Uitgever: Ten Brink

Nederlandstalig
143 pagina's
902483905
1986

Samenvatting Mechanica 2

Dit schoolboek behandeld de volledige leerstof voor het LTO en het MAVO onderwijsprogramma. Met behulp van eem groot aantal opgaven is getracht de leerling voldoende oefenstof te geven. Steeds weer blijkt dat alleen inzicht in een natuurkundig verschijnsel onvoldoende is om er in de techniek mee te kunnen werken.

Sterkteleer voor technici

Auteur: Russel C. Hibbeler

vertaling bewerkt door:

ir G. Dapper
ir G. Doornbos
ir Th. W. van der Heijden
ir L.G.K. Können
ir G. Wisse

Uitgever: Academic Service

Nederlandstalig
692 pagina's
9039505373
1997

Samenvatting Sterkteleer voor technici

De leerboeken in de serie 'Hibbeler' worden bij de werktuigbouwkunde-opleidingen in Nederland en België beschouwd als hét Nederlandstalige standaardwerk over mechanica en sterkteleer. Mechanica voor technici en Sterkteleer voor technici hebben een uitstekende reputatie als inleidende leerboeken over de mechanica vanwege:

de logische indeling, waarbij de mechanica in zijn samenhang wordt behandeld,
de precieze, heldere en compacte uitleg. Er wordt niet onnodig uitgeweid over bijzondere gevallen, waardoor de student door de bomen het bos niet meer ziet,
de aansprekende illustraties.

Door de grote zorg die is besteed aan de tekeningen, voelt de student zich gestimuleerd door:

het grote aantal voorbeelden en opdrachten,
het grote aantal opdrachten dat bedoeld is om met de computer te worden uitgewerkt.

Hoofdstukindeling:

Spanning,
Vormverandering,
Mechanische eigenschappen van materialen,
Axiale belasting,
Torsie,
Buiging,
Afschuiving in langs- en dwarsrichting,
Samengestelde belastingen,
Spanningstransformatie,
Vervormingstransformatie,
Het ontwerpen van balken en liggers,
Doorbuiging van balken en assen,
Knik van kolommen,
Energiemethoden,
Bijlagen:
1. Geometrische eigenschappen van een oppervlak,
2. Geometrische eigenschappen van constructieprofielen,
3. Hellingen en doorbuigingen van balken,
- Antwoorden,
- Trefwoordenregister.

Toetsen Fysica

Wiskunde

Toets: Wiskunde

Start

Meetkunde

Toets: Meetkunde

Start

Krachtenleer

Toets: Krachtenleer

Start

Bewegingsleer

Toets: Bewegingsleer

Start

Sterkteleer

Toets: Sterkteleer

Start

Energie-, Elektriciteitsleer en Electronica

Toets: Energie-, Elektriciteitsleer en Electronica

Start

Hydrostatica

Toets: Hydrostatica

Start

Het arrangement Fysica geschikt voor niveau 3 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur: Patrick Oosterhuis
Laatst gewijzigd: 2019-09-05 14:21:33
Licentie: Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting: Op de arbeidsmarkt is behoefte aan medewerkers met kennis en vaardigheden op het gebied van fysica. Ook voor doorstroom naar niveau 4 hebben deze kennis en vaardigheden toegevoegde waarde. Beginnend beroepsbeoefenaars die dit keuzedeel hebben gevolgd, zijn daarom kansrijker op de arbeidsmarkt. Bovendien verloopt de doorstroom naar niveau 4-kwalificaties soepeler voor studenten die dit keuzedeel hebben gevolgd. Dit keuzedeel is gericht op kennis van de fysica (natuurkunde, mechanica, wiskunde). De inhoud heeft betrekking op de algemene eigenschappen van materie, straling en energie. Het gaat om het onderzoeken en beschrijven van onderwerpen zoals kracht, evenwicht en beweging, arbeid en vermogen voor zover hierbij geen scheikundige veranderingen optreden. Daarnaast zijn wiskundige bewerkingen als het oplossen van vergelijkingen met twee onbekenden, merkwaardige producten en meetkunde onlosmakelijk verbonden aan dit keuzedeel. Het keuzedeel sluit aan op het keuzedeel Fysica niveau 2. De vakkennis en vaardigheden vormen een voorbereiding op doorstroom naar de werktuig(bouw)-kundige richtingen op niveau 4.
Eindgebruiker: leerling/student
Moeilijkheidsgraad: gemiddeld
Studiebelasting: 240 uur 0 minuten
Trefwoorden: fysica, mechanica, natuurkunde, wiskunde

Bronnen

Bron	Type
https://www.youtube.com/watch?v=QP-gY4hYI1Q https://www.youtube.com/watch?v=QP-gY4hYI1Q	Video
https://www.youtube.com/watch?v=uiyLXJEVmkU https://www.youtube.com/watch?v=uiyLXJEVmkU	Video
https://www.youtube.com/watch?v=9PoqPto_8TM https://www.youtube.com/watch?v=9PoqPto_8TM	Video
https://www.youtube.com/watch?v=SSfc3zkb12Q https://www.youtube.com/watch?v=SSfc3zkb12Q	Video
https://www.youtube.com/watch?v=ua_tozQSMUA https://www.youtube.com/watch?v=ua_tozQSMUA	Video
https://www.youtube.com/watch?v=QcF25PYwIaM https://www.youtube.com/watch?v=QcF25PYwIaM	Video
Toetsen Wiskunde https://maken.wikiwijs.nl/p/questionnaire/standalone/3538948	Link
https://www.youtube.com/watch?v=vz2cYR7txJY https://www.youtube.com/watch?v=vz2cYR7txJY	Video
https://vimeo.com/149565072 https://vimeo.com/149565072	Video
https://www.youtube.com/watch?v=e2fQmzxVr9s https://www.youtube.com/watch?v=e2fQmzxVr9s	Video
https://www.youtube.com/watch?v=wZdWVp-WPog https://www.youtube.com/watch?v=wZdWVp-WPog	Video
Galloping Gertie https://www.youtube.com/watch?time_continue=88&v=CsKKDLKYsVU	Video
https://www.youtube.com/watch?v=6ycbDCnoO8M https://www.youtube.com/watch?v=6ycbDCnoO8M	Video
https://www.youtube.com/watch?v=wJ6HnPeIPIM https://www.youtube.com/watch?v=wJ6HnPeIPIM	Video
Natuurkunde - Spanning (Basiskennis) https://www.youtube.com/watch?v=DMCX1yMTCbg	Video
Natuurkunde - Vermogen (Basiskennis) https://www.youtube.com/watch?v=kRne-MwItVg	Video
Natuurkunde - Serieschakeling vs. parallelschakeling (Basiskennis) https://www.youtube.com/watch?v=RJ8RnXwHxqc	Video

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

Oosterhuis, Patrick. (z.d.).

Fysica geschikt voor niveau 3

https://maken.wikiwijs.nl/99930/Fysica_geschikt_voor_niveau_3

Oosterhuis, Patrick. (z.d.).

Fysica toetsen

https://maken.wikiwijs.nl/105683/Fysica_toetsen

Oosterhuis, Patrick. (z.d.).

Vaardigheden student

https://maken.wikiwijs.nl/104190/Vaardigheden_student

Oosterhuis, Patrick. (z.d.).

Wiskundige bewerkingen

https://maken.wikiwijs.nl/105008/Wiskundige_bewerkingen

Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van

-	rechthoek met hoogte h en breedte b	\(I={bh^3 \over 12}\)
-	cirkel met straal r	\(I={\pi r^4 \over 4}\)
-	halve cirkel met straal r op de x-as	\(I={\pi r^4 \over 8}\)
-	kwart cirkel met straal r	\(I={\pi r^4 \over 16}\)
-	driehoek met basis b en hoogte h	\(I={bh^3 \over 36}\)