evenwicht

Evenwichtsvoorwaarden met één steunpunt

In de vorige paragraaf hebben we met de momentstelling geleerd krachten, die evenwijdig aan elkaar werken, samen te stellen.

Wanneer op een balk AB twee krachten F1 en F2 werken dan vinden we de resultante Fr:

F1 = F1 + F2
  = 500 N + 400 N
F1 = 900 N

 

 

 

 

 

Passen we de momentstelling ten opzichte van A toe, dan kunnen we het aangrijpingspunt van de resultante berekenen.

M van F1 + M van F2 = M van Fr
500 N x 0 m + 400 N x 2,7 M = 900 N x AS
0 Nm + 1080 Nm = 900 N x AS
  AS = 1080 Nm / 900 N
  AS = 1,2 m

De resultante Fr = 900 N en grijpt op een afstand van 1,2 m rechts van A in het punt S.
Willen we dat de balk AB in evenwicht is dan zal er in S een even grote maar tegengestelde kracht E 900 N moeten werken.


Stellen we de balk AB scharnierend op, zodat de balk draaibaar is, dan zullen we de balk in S moete ondersteunen om te zorgen dat de balk in evenwicht is.

Op de balk werken nu drie krachten namelijk:

We spreken nu eerst af dat een kracht die omhoog werkt negatief (—) is en een kracht die naar beneden werkt positief (+) is.
Tellen we F1, E en F2 bij elkaar op dan zien we:

+F1 -E +F2 =
+500 N -900 N +400 N = 0


Hieruit volgt de regel:

betekent: de algebraïsche optelling van

Fv betekent: alle vertikale krachten.

Deze regel noemen we de eerste evenwichtsvoorwaarden.

Berekenen we de momenten van F1, E en F2 ten opzichte van S en tellen we die bij alkaar op dan zien we:

-M van F1 +M van E +M van F2 =
-500 N x 1,2 m +900 N x 0 m +400 N x 1,5 m =
-600 Nm +0 Nm +600 Nm = 0 Nm

 

Berekenen we de momenten van F1, E en F2 ten opzichte van A en tellen we die bij alkaar op dan zien we:

+M van F1 -M van E +M van F2 =
+500 N x 0 m -900 N x 1,2 m +400 N x 2,7 m =
+0 Nm -1080 Nm +1080 Nm = 0 Nm


We zien dat in beide gevallen de som van de momenten = 0. Hieruit volgt de regel:

Deze regel noemen we de tweede evenwichtsvoorwaarden.

De kracht in het steunpunt S is een reactie op de krachten F1 en F2, daarom noemen we de kracht in S ook wel Rs de reactiekracht in S.

In de tweede evenwichtsvoorwaarde stellen we dat de som van de momenten t.o.v. elk willekeurig punt gelijk is aan nul. In de meeste gevallen kiezen we echter het steunpunt als momentencentrum. Dit doen we, omdat in het steunpunt meestal een onbekende kracht werkt. Het moment van deze onbekende kracht is dan nul. Zodoende raken we in de vergelijking die we krijgen één van de twee onbekenden kwijt. Er blijft nog één onbekende over, die we gemakkelijk kunnen uitrekenen.

Het komt ook wel eens voor dat er op een balk naast vertikale krachten ook horizontale krachten werken. Dan geldt de derde evenwichtsvoorwaarde en die luidt:

​​Deze regel noemen we de derde evenwichtsvoorwaarden.

 

Evenwichtsvoorwaarden met twee steunpunten

Hieronder is een balk met 2 steunpunten getekend. Het steunpunt A is vast gemonteerd. Hte steunpunt B heeft een roloplegging, waardoor het punt B kan verrollen om de uitzetting of krimp van de balk op te kunnen vangen.

Ook hier gelden alle evenwichtsvoorwaarden.

M van Ra +M van F -M van Rb = 0
Ra x 0 m +120 N x 1 m -Rb x 3 m = 0
0 Nm +120 Nm -Rb x 3 m = 0
    Rb x 3 m = -120 Nm
    Rb = -120 Nm / 3 m
    Rb = -40 N

 

 

 

En de eerste evenwichtsvoorwaarde is hier ook geldig,

-Ra +F -Rb = 0
-Ra +120 N -40 N = 0
-Ra +80 N   = 0
    Ra = 80 N

 

De reactiekrachten in de punten A en B zijn dus:

In de theorie hebben we het gewicht van de balk tot nu toe buiten beschouwing gelaten.
Wordt het gewicht van een balk gegeven dan grijpt dat in het midden (het zwaartepunt) van de balk aan.
Dit geldt echter alleen voor homogene balken. Homogeen wil zeggen dat de balk overal dezelfde doorsnede heeft en overal van hetzelfde materiaal gemaakt is.

Toepassingen

Evenwichtsvoorwaarden met één steunpunt vinden toepassing bij:

  1. de wip
  2. de koevoet
  3. de nijptang
  4. de hijskraan

Het is ook mogelijk dat het steunpunt zich niet in het midden, maar aan één van de uiteinden bevindt zoals:

  1. de kruiwagen
  2. de notenkraker
  3. het veiligheidstoestel van bijvoorbeeld een stoomketel.

Evenwichtsvoorwaarden met 2 steunpunten worden toegepast bij:

  1. een brug of een viaduct
  2. een portaalkraan
  3. het onderstel van de auto of de trein
  4. de evenwichtsbalk bij de gymnastiek

 

Voorbeeld 1

Op een balk AB, die in S ondersteund wordt, werken de volgende krachten: F1 = 60 N op 100 cm van S en de onbekende kracht F2 op 150 cm van S. De balk is in evenwicht.
Bereken de krachten F2 en E.

Gevr: F2 en E    
Opl:    
-M van F1 +M van E +M van Fa = 0
-60 N x 1 m +E x 0 m +F2 x 1,5 m = 0
-60 Nm +0 Nm +F2 x 1,5 m = 0
    F2 = 60 Nm / 1,5 m
    F2 = 40 N
Opl:    
+F1 -E +F2 = 0
+60 N -E +40 N = 0
  -E +100 N = 0
    E = 100 N

 

Voorbeeld 2

Op een balk AB, lang 8 m, werken twee krachten F1 = 6000 N op 1 m van A en F2 = 4000 N op 4 m van A. De balk wordt in A en B ondersteund.
Bereken de grootte van de reactiekrachten Ra en Rb.

Gevr: Ra en Rb      
Opl:      
M van Ra +M van F1 +M van F2 -M van Rb = 0
Ra x 0 m +6000 N x 1 m +4000 N x 4 m -Rb x 8 m = 0
0 Nm +6000 Nm +16000 Nm -Rb x 8 m = 0
    +22000 Nm -Rb x 8 m = 0
      -Rb x 8 m -22000 Nm
      Rb =-22000 Nm / -8 m
      Rb = 2750 N
Opl:      
-Ra +F1 +F2 -Rb = 0
-Ra +6000 N +4000 N -2750 N = 0
    -Ra +7250 N = 0
      Ra =7250 N

 

Voorbeeld 3

Op een homogene balk AB van 6 m lengte, die bij A en B ondersteund wordt, werken twee krachten. F1 = 100 N en werkt op een afstand van 1,5 m loodrecht naar beneden. F2 = 20 N en werkt op 4,5 m afstand van A loodrecht omhoog. Tevens heeft de balk een gewicht van 40 N.
Bereken de steunpuntsreacties Ra en Rb

Gevr: Ra en Rb        
Opl:        
M van Ra +M van F1 +M van G -M van F2 -M van Rb = 0
Ra x 0 m +100 N x 1,5 m +40 N x 3 m -20 N x 4,5 m -Rb x 6 m = 0
0 Nm +150 Nm +120 Nm -90 Nm -Rb x 6 m = 0
        -Rb x 6 m = -180 Nm
        Rb = -180 Nm / -6 m
        Rb = 30 N
Opl:        
-Ra +F1 +G -F2 -Rb = 0
-Ra +100 N +40 N -20 N -30 N = 0
      -Ra +90 N = 0
        Ra = 90 N

 

maak nu de opgaven