We hebben nu meerdere methoden om 'onbekende' hoeken te berekenen. Maar soms kun je of hoef je dat niet eens te doen. In enkele situatie kunnen we simpel zeggen dat het 'X-, F- of Z-hoeken' zijn. Helfde gaat op voor 'Middelpuntshoeken' en 'Omtrekshoeken' De bewijzen hiervoor zijn allemaal bekend en die hoeven jullie niet te kennen.
Belangrijk is dat je weet dat ze bestaan en hoe te gebruiken.
Dat gebruik komt bijvoorbeeld voor bij het landmeten maar ook in de techniek in vele vakgebieden. We zullen ze stuk voor stuk even bij langslopen.
X - hoeken
Ook wel overstaande hoeken genoemd.
Als twee lijnen elkaar snijden dan zijn de hoeken tegenover elkaar twee aan twee gelijk. Een controle die je hier kunt uitvoeren is dat je alle hoeken bij elkaar optelt. De uitkomst van deze som moet immers 306o zijn want je bent volledig rond gegaan. Een een volledige cirkel heeft 360o.
F - hoeken
Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de hoeken hiernaast gelijk.
Z - hoeken
Ook hier worden twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde, en zijn de hoeken hiernaast gelijk.
Voorbeeld 1
Er is gegeven dat AB evenwijdig is aan DE. Wat is de hoek van E?
Je aanpak zou er alsvolgt uit kunnen zien. Er zijn evenwijdige lijnen bekend, dus misschien kan ik iets met 'F'-hoeken of 'Z'-hoeken doen! Ik weet dat E tegenover
A ligt maar dan op de andere evenwijdige lijn. Dus kan het geen F-hoek zijn en kan het mogelijk een Z-hoek zijn. Maar zie ik nu een 'Z' in dit figuur?
Een directe 'Z' niet maar wel een gespiegelde en dat mag ook. Dus hebben we hier te maken met Z-hoeken en weten we dat A=
E. Dus
E is ook 59 graden.
Ga nu voor je zelf eens na wat de waarde van B is? En is er ook iets te zeggen over
C in de driehoeken ABC en DEC?
Voorbeeld 2
Hier is PQ evenwijdig aan AB. Wat zijn zijn de hoeken in A en Q?
Gebruik dezelfde redenatie van van voorbeeld 1. De oplossing ligt hier in de F-hoeken. Dus Q =
B en
A =
P.
Kunje nu ook iets zeggen over C?
Middelpuntshoeken en omtrekshoeken
Dit zijn hoeken in en op cirkels. Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel. Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de benen gevormd worden door twee koorden. Een koorde is de wiskundige benaming voor het lijntje tussen P en C of P en D. De lijnen tussen M en A en M en B zijn dat eigenlijk ook maar deze noemen we stralen omdat ze beginnen in het middelpunt van de cirkel.
In 'nette' wiskundige taal zeg je dat de hoeken staan op een cirkelboog. Er wordt dan bedoeld dat de hoek tegenover het 'kromme' lijntje op de cirkel staat. Dat 'kromme' lijntje noemen we namelijk een boog. In dit geval boog AB of boog DC.
In het voorbeeld zien we middelpuntshoek α staan op cirkelboog AB en omtrekshoek β op cirkelboog DC.
Het zal duidelijk zijn dat wanneer we deze figuren laten draaien om het middelpunt M de hoeken α en β niet zullen veranderen zolang de lengte van de boog AB of DC gelijk blijft.
Er bestaan ook een relatie tussen de middelpuntshoek en de omtrekshoek. De middelpuntshoek is namelijk 2x zo groot als omtrekshoek. En dat kunnen we eenvoudig laten zien en meten. Het bewijs hiervoor gaat te ver en zullen we ook niet gaan behandelen.
In de afbeelding hiernaast zien we de twee figuren over elkaar heen. We kunnen een soortgelijke tekening zelf maken en dan met behulp van onze Geodriehoek nameten wat de diverse hoeken zijn. Je zult dan zien dat de hoek in M 2x de waarde heeft van de hoek in P.
Dit plaatje kent nog twee andere varianten en deze drie samen kunnen je helpen om de hoek in P te bepalen wanneer je de hoek in M kent en omgekeerd.
Complement
Het Complement van een hoek is dat deel dat ontbreekt waardoor de twee hoeken samen 90o zijn. Of te wel je hebt een hoek van 31o dan is het Complement wat hierbij hoort 59o.
Suplement
Het Suplement van een hoek is het ontbrekende deel dat twee hoeken samen 180o maakt.