sinus en cosinus

Nu het begrip tangens bekend is zijn er binnen de goniometrie nog twee over: de Sinus en de Cosinus. Deze gaan we allebei tegelijk behandelen. Dit kan omdat de uitleg vrijwel gelijk is.
Bij de sinus gaan we iets doen met de 'stijgende' zijde van de driehoek en bij de cosinus is het de 'liggende' zijde. Beide hadden we nodig voor de tangens om de hoek van de  'schuine' te kunnen bepalen. Maar met de sinus en de cosinus hebben we deze schuine-zijde nodig voor de verhouding van de hoek.

De hoek bij punt A noemen we Alpha (α), die bij punt B heet Beta ) en bij punt C is het Gamma (ϒ).  Verder moeten we afspreken dat de zijde tegenover de hoek de naam krijgt van de hoek in een kleine letter. Dus kort de zijde BC heeft als naam a en b is AC en daarmee is AB dus c. Deze afspraken zijn internationaal aanvaard en we gaan ons hier dus aan houden.

Hierdoor kunnen we nu heel eenvoudig het het volgende schema maken:

Voorbeelden

1 Hoek A is 27o en de lengte van A is 5 cm. Wat zijn de overige lengten?
 

De oplossing is relatief eenvoudig. Doordat we de hoek in A kennen is de overstaande zijde met behulp van de tangens te berekenen. Immers dit was de verhouding van de overstaande gedeeld door de aanliggende. Op de rekenmachine typen we nu geeft als uitkomst 0,509525449. De helingsgetal was O / A = tan 27o => 0,509525449=O / 5 => 0,509525449 x 5 = O => O = 2,547627247. Wanneer we dit op 2 decimalen afronden krijgen we 2,55 cm.
De schuine zijde kunnen we halen uit de cosinus van de aanliggende gedeeld door de schuine. Oftewel cos 27o = 5 / Schuine. Maar we moeten dit eerst omschijven naar een formule die er uitziet als: Schuine = ....
cos 27o = 5 / S => S x cos 27o​ = 5 => S = 5 / cos 27o​ en op de rekenmachine geeft als lengte voor de schuine zijde 5,61 cm.

   
2 Hoek A is 27o en de lengte van A is 5 cm. Wat zijn de overige hoeken?
 

De hoek in B is bekend, want die moet 90o zijn. Dus blijft de hoek in C, gamma over. En deze is gedefiniëerd door de overstaande gedeeld door de schuine. Nu moeten we goed opletten want in het vorige voorbeeld was de aanliggende zijde gegeven als 5 cm. Deze is in deze berekening nu de overstaande geworden. En nu weten we dat: O / S = sin Y => 5 / 5,61 = sinY => sin Y = 0,891265597 en wanneer we hiervan de inverse sinus nemen (omgekeerde van de sinus) dan krijgen we de hoek gamma. Dus typen we op de rekenmachine geeft 63,03271458 graden. Wanneer we dit afronden krijgen we 63o. Hiermee kennen we dus alle hoeken A, B en C als 27o, 90o en 63o,

Om dit allemaal wat makkelijker te onthouden is het ezelsbruggetje SOS - CAS - TOA misschien handig.
SOS van "Sinus-Overstaand-Schuin", CAS van "Cosinus-Aanliggend-Schuin" en TOA van "Tangens-Overstaand-Aanliggend".

Om goed met SosCasToa te kunnen werken gaan we strepen. In de Prezi presenttie hiernaast gaan we er staps gewijs door heen. Maar hieronder zullen deze stappen ook beschreevn worden.

  1. Maak een tekening van de situatie en geef alle punten, hoeken en lijnen een naam.
  2. Vul nu alle bekende gegevens in
  3. Schrijf op: SOSCASTOA en streep alle letters waar je niets van weet weg.
  4. Wat over blijft is je oplossingsmethode

SosCasToa en Pythagoras horen bij elkaar als het kip en het ei of donder en bliksem. 

Let op: Er moet één rechte hoek in de driehoek aanwezig zijn wil je Pythagoras of SosCasToa kunnen en mogen gebruiken.

 

Voorbeeld 1.
Bereken het vraagteken in de driehoek hiernaast.
Het gaat om de hoek van 62º. De schuine zijde is die met het vraagteken (tegenover de rechte hoek). De zijde van 7 is dan de overstaande zijde (tegenover de hoek van 62º)
Het gaat dus om de schuine en de overstaande zijden, dus gebruiken we SOS.
sin(62º) = 7/?  dus  ? = 7/sin(62) ≈ 7,93

 

Voorbeeld 2.
Bereken het vraagteken in de driehoek hiernaast.
De zijde van 7 is de schuine zijde (tegenover de rechte hoek). Het gaat om de hoek met het vraagteken dus de zijde van 4 is dan de aanliggende zijde.
Met aanliggend en schuin gebruiken we CAS.
cos(?) = 4/7  dus  ? = cos-1 (4/7) ≈   55,2º