sinus- en cosinusregel

Voordat we met de theorie van deze twee regels aan de slag gaan moeten we eerst enkele afspraken maken.

De Sinus of de Cosinusregel gaan we alleen gebruiken wanneer er geen 'rechte' hoek in de driehoek aanwezig is.

 

Als we van een driehoek alle hoeken kennen en één zijde, dan kunnen we in principe de andere zijden berekenen.
Hiernaast zie je een driehoek ABC met hoeken zoals aangegeven en zijde AB = 8.

Als je daarin de hoogtelijn AD (de rode lijn, vanuit punt A loodrecht naar de overstaande lijn BC) tekent, dan kun je in driehoek ABD sos-cas-toa toepassen.
Dat geeft  sin 68º = AD/8  ofwel  AD = 8 • sin 68º

Maar die AD kun je nu weer gebruiken voor sos-cas-toa in driehoek ADC. Dat geeft  sin 77º = AD/AC  ofwel  AC = AD/sin 77º
Met de al gevonden AD geeft dat  AC = 8 • sin 68º/sin 77º  

 

Dit was eigenlijk twee keer "SOS".
Maar als we de hoeken α, β en γ  noemen en de zijden a, b en c, dan kunnen we de berekening hierboven automatiseren:

 

Als je nu "voor de mooiheid"  sinβ naar de andere kant doet, dan staat er het prachtig symmetrische b/sinβ = c/sinγ.

En als je de driehoek draait, dan kun je natuurlijk precies hetzelfde nóg een keer doen!!! Dat zou dan geven  C/sinγ = A/sinα
Samengevat vinden we de sinusregel:

 

 

Het is de moeite waard deze regel uit je hoofd te leren. Dan hoef je niet elke keer de afleiding hierboven weer te verzinnen.
Natuurlijk kun je deze sinusregel ook gebruiken als je een hoek niet weet, maar wel twee zijden.

 

Voorbeeld 1

Bereken de hoek met het vraagteken in de driehoek hiernaast.
De sinusregel geeft:  9/sin(85) = 5/sin(?)
Dus:   sin(?) = 5 • sin(85)/9 ≈ 0,5534
Daaruit volgt   ? = sin-1(0,5534)  ≈ 33,6º.

 

 

 

De sinusregel geldt ook voor driehoeken met een stompe hoek, maar er is een kleine complicatie.....
Zolang je de sinusregel gebruikt om lengtes van zijden uit te rekenen is er geen vuiltje aan de lucht. Maar zodra je probeert een hoek te berekenen krijg je wel eens een fout antwoord. Dat zit hem allemaal in die sin-1-functie.

Neem de driehoek hiernaast.

De sinusregel geeft:  5/sin27 = 8/sin?  dus  sin? = 8 • sin27/5  ≈ 0,726

Dan geldt  ? = sin-1(0,726) ≈ 46,6º

 

Met de stelling van Pythagoras, en met sos-cas-toa en met de sinusregel kun je intussen al heel wat driehoeken "berekenen".

Maar er zijn twee gevallen waarbij zelfs die mooie sinusregel niet werkt. Hier zijn daar twee voorbeelden van:

Zie je al dat het niet wil met de sinusregel? Dat komt natuurlijk omdat je in deze twee gevallen nergens een hoek en de bijbehorende zijde ertegenover weet.

En toch kunnen we met wat kunst- en vliegwerk toch de andere hoeken en zijden van deze driehoeken berekenen.
Neem de linkerfiguur. Hiernaast is daar een hoogtelijn CD bij ingetekend

In driehoek ADC geldt dan  cos70º = AD/5  dus  AD = 5 • cos70º
Pythagoras geeft dan:  AD2 + CD2 = AC2
ofwel  (5 • cos70º)2 + CD2 = 52   ⇒ CD2 = 25 - 25 • (cos70º)2

Nu schakelen we over naar driehoek CDB.
DB = AB - AD = 7 - 5 • cos70º

En dan komt onze goede oude vriend Pythagoras ons weer helpen:  DB2 + CD2 = BC2
Dat geeft met de gegevens hierboven:  (7 - 5 • cos70º)2 + 25 - 25 • (cos70º)2 = BC2
Haakjes wegwerken:   49 - 70cos70º + 25(cos70º)2 + 25 - 25(cos70º)2 = BC2

Die stukken met (cos70º)2 vallen tegen elkaar weg!!!    Dan blijft over  BC2 = 49 + 25 - 70 • cos70º
Intoetsen geeft  BC2 ≈ 50,05  dus  BC ≈ 7,07.

Die hele berekening kun je natuurlijk ook met letters doen. Vervang overal de 5 door b en de 7 door c  en de 70º door α. Als je de berekening dan nog een keer opschrijft dan geeft dat de volgende prachtige formule:

 

a2 = b2 + c2 - 2bc • cosα

 

Deze formule heet de cosinusregel.