momentstelling

In de vorige paragraaf hebben we geleerd krachten samen te stellen die evenwijdig aan elkaar werken.
Bij gelijk gerichte krachten vinden we de resultante door F1 en F2 op te tellen.
Wanneer de krachten tegengesteld gericht zijn, is de resultante gelijk aan het verschil tussen F1 en F2.
De plaats van de resultante vinden we met de regel:

Verwissel beide krachten van plaats en keer de kleinste om.

In het plaatje hierboven hebben we dat nog eens gedaan.

De resultante Fr is:

Fr = F1 + F2
  = 50 N + 40 N
Fr = 90 N

 

De gebruikte lengteschaal is 1cm = 25 cm, en dat geeft na meting en berekening:

AC = 3,5 cm
  = 3,5 x 25
AC = 87,5 cm

 

In plaats van de resultante meten en tekenen kunnen we deze ook berekenen. We gaan dan alsvolgt te werk.

Plaatsen we het gedeelte AB met daarop werkende krachten F1 en F2 op een balk, die bij P in de muur is ingeklemd, dan kunnen we het volgende zeggen:

PA = 75 cm, PB = 275 cm
Het moment van F1 t.o.v. van P is:

MF1 = + F1 x l
  = +50 N x 0,75 m
MF1

= +37,5 Nm


Het moment van F1 t.o.v. van P is:

MF2 = + F2 x l
  = +40 N x 2,75 m
MF2 = +110 Nm

 

 

 

De resultante van F1 en F2 is Fr = 90 N.
Deze resultante gaat F1 en F2 vervangen, dus moet ook het moment van F1 en het moment van F2 vervangen worden door het moment van de resultante.

Kort samengevat kunnen we zeggen:

Moment F1 + Moment F2 = Moment Fr
+37,5 Nm + 110 Nm = Moment Fr
Moment Fr = +147,5 Nm


Het moment van Fr is ook:

Moment Fr = Fr x l
+147,5 Nm = +90 N x l
l = +147,5 Nm / +90 N
l = 1,64 m
AC = l - PA
  = 1,64 m - 0,75 m
  = 0,89 m
AC = 89 cm

 

In het vorige deel bepaalden we de afstand  AC door opt meten, maar de bovenstaande methode kunncn we AC precies berekenen.
De methode waarmee we het aangrijpingspunt van de resultante van twee, maar ook van meerdere krachten die evenwijdig aan elkaar werken, berekenen, noemen we de momentenstelling.

De momentenstelling luidt als volgt:
De som van de momenten van enige krachten t.o.v. een willekeurig punt is gelijk aan het moment van de resultante van die krachten t.o.v. datzelfde punt.

Kort samengevat:

Moment F1 + Moment F2 + Moment F3 + ... ... = Moment Fr

Toepassingen
Evenwijdige krachten komen in de techniek veel voor, zoals bij bruggen en viaducten, maar ook bij fundaties van gebouwen en machines. Door de resultante en de plaats van de resultante te berekenen, kunnen we de totale belasting bepalen, om zo te zorgen dat bruggen sterk genoeg zijn en fundaties niet bezwijken onder de zware belasting.

 

Voorbeeld 1
Een balk AB is in een muur bevestigd. De balk steekt 4m uit de muur. Op lm van de muur werkt een kracht Fl 100 N en op het einde van de muur in punt B werkt F2 20 N.
Beide krachten werken naar beneden.
Bereken de grootte en de plaats van de resultante.

  Gevraagd:
  Bereken Fr en het aangrijpingspunt
  Oplossing:
Fr = F1 + F2
  = 100 N + 20 N
Fr = 120 N
Moment F1 + Moment F2 = Moment Fr
+100 N x 1 m +20 N x 4 m = 120 N x l
+100 Nm +80 Nm =120 N x l
l = +180 Nm / +120 N  
l = 1,5 m  

De resultante Fr = 120 N en grijpt aan op een afstand van 1,5 m van A.

 

Voorbeeld 2
Op een balk AB werken drie krachten. F1 = 40 N en F2 60 N werken loodrecht naar beneden op afstanden van 80 en 100 cm van A.
F3 20 N en werkt in B loodrecht omhoog. AB 120 cm.
Bereken de grootte en de plaats van de resultante.

  Gevraagd:
  Bereken Fr en het aangrijingspunt
  Oplossing:
Fr = F1 + F2 - F3
  = 40 N + 60 N - 20 N
Fr = 80 N

 

Moment F1 + Moment F2 - Moment F3 = Moment Fr
40 N x 0,8 m + 60 N x 1 m - 20 N x 1,2 m = +80 N x l
32 Nm + 60 Nm - 24 Nm = +80 N x l
    + 68 Nm = +80 N x l
  l = + 68 Nm / +80N  
  l = 0,85 m  

 

De resultante Fr = 80 N en grijpt aan op een afstand van 0,85 m van A.