Paragraaf 1; Formules en parabolen
We hebben tot nu toe gezien dat je bij een formule een grafiek kunt maken.
Deze paragraaf gaat over een speciale grafiek, de parabool.
De parabool krijg je alleen als er in de formule een kwadraat staat.
bijvoorbeeld:
Peter trapt een bal weg. In de grafiek zie je hoe hoog hij de bal schopt.
a. Hoe hoog komt de bal?
b. Hoeveel meter van Peter vandaan komt de bal weer op de grond?
Het punt (6, 12) ligt op de grafiek. Dat betekent: op 6 meter afstand van Peter is de bal 12 meter hoog.
Ellen staat 5 meter van Peter vandaan. De bal is recht boven haar.
c. Hoe hoog is de bal?
d. Neem de tabel over en vul in.
| afstand in meters |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| hoogte in meters |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
parabool tekenen
Naast veel gegevens aflezen uit een grafek kunnen we ook zelf een grafiek, in dit geval de parabool, zelf maken.
Je hebt altijd een woordformule of letterformule nodig om een grafiek te kunnen maken.
Deze paragraaf gaat het vooral over de parabool. Het voordeel van een parabool tekenen is, dat je altijd 2 controle punte hebt:
- De parabool is symmetrisch. Dit houd in dat als je hem dubbel vouwt er 2 delen op elkaar komen te liggen.
Dit kan je ook controleren met de tabel. Onderin de tabel moeten punten 2 keer voorkomen.
- Je kunt aan de formule zien of je een bergparabool of dalparabool moet tekenen.
Bergparabool: er staat een negatief getal voor de letter met het kwadraat. (zie stencil)
Dalparabool: er staat een positief getal voor de letter met het kwadraat. (zie stencil)
Het stappenplan om een grafiek zelf te tekenen:
1. Bepaal eerst of de formule hoort bij een dal of bergparabool.
2. Maak een tabel bij de formule.
3. Kies de juiste assen
4. Teken de grafiek bij de tabel. LET OP: de grafiek is altijd een vloeinde kromme
Oefenen:
gebruik het stappenplan om bij de volgende formule een grafiek te tekenen.
hoogte = 4a - a²
1. Is dit een berg op een dalparabool?
2. Maak een tabel bij de formule. Bepaal zelf de stapgrootte.
3. Kies de juiste assen.
4. Teken de grafiek.
Opgaven
opgave 1.
Korinde slaat in een gymzaal een volleybal over het net. Hierbij heeft de baan van de bal een vorm van een parabool. De formule is: h = -0,4 x² + 3,6
H is de hoogte van de bal in meters
x is de afstand vanaf Korinde in meters
a. Is de grafiek die bij de formule hoort een dal of bergparabool?
b. vul de tabel in:
c. Waarom stopt de tabel bij 3?
d. Teken de punten uit de tabel in een assenstelsel en teken een vloeiende kromme lijn. (vergeet de titel en assen niet)
e. Wanneer is de bal op zijn hoogts?
Het plafond is 5 meter hoog.
f. Wat is de kleinste afstand tussen de bal en het plafond?
opgave 2.
Bij de brug kan je een vorm van een parabool herkennen. De formule die hierbij hoort is:
y = - 0,8x² + 1,8
Hierbij is y de hoogte in meters boven het wateroppervlak en x in meters.
a. Hoort de formule bij een berg of dalparabool?
b. vul de tabel in.
| x |
-1,5 |
-1,0 |
-0,5 |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
| y |
|
|
|
|
|
|
|
c. Hoeveel is de grootste afstand tussen de boog en het wateroppervlak?
d. Hoe breed is de sloot onder de brug?
opgave 3.
Antwan wil op de kermis schieten in de schiettent. Hij kan met een balletje blikjes omschieten.
De baan die het balletje maakt heeft de vorm van een parabool. Hierbij hoort de formule:
h=a - 0,05a² + 1
a is de afstand vanaf Antwan in meters.
h is de hoogte in meters.
a. vul de tabel in
b. Teken de parabool in een assenstelsel die bij de baan van het balletje hoort.
Paragraaf 2; formules met wortels
In paragraaf 1 hebben we gewerkt met de grafieken en formules van kwadraten. De grafiek was een parabool.
Nu gaan we kijken naar formules met een wortel.
Belangrijk is de volgorde van de som.
Voorbeeld:
Oude zeerovers hadden een kraaiennest. Hoe hoger het kraaiennest hoe verder ze konden kijken. Hierbij hoort de formule:
afstand in km = 3,6 x √ hoogte
Hierin is de hoogte in meters.
Hoever kan je kijken als het kraaiennest op een hoogte zit van 9 meter?
De formule wordt dan:
afstand in km = 3,6 x √ 9
3,6 x 3
10,8 km kan je kijken
Hoever kan je kijken als het kraaiennest op een hoogte zit van 16 meter?
Wortelformule
In de formule: afstand in km = 3,6 x √ hoogte
komt een wortel voor. Deze formule heet daarom een Wortelformule.
De formule: kijkafstand = 4 x √ 2h is ook een wortelformule.
Vul je voor h = 7 in, dan krijg je,
kijkafstand = 4 x √ 2 x 7
kijkafstand = 14,97
controleer dit antwoord met je rekenmachine.
Het is namelijk belangrijk dat je de berekening onder de wortel tussen haakjes zet.
In je rekenmachine moet dus komen te staan: 4 x √(2x7)
Krijg je nu wel het goede antwoord?
Ook bij een wortelformule kan je een grafiek maken. Dit doe je weer door eerst een tabel te maken en daarna de grafiek te tekenen. Ook de grafiek bij een wortelformule is een vloeiende kromme.
Voorbeeld:
Teken de grafiek bij de formule: kijkafstand = 4 x √ 2h
kijkafstand in km
h: ooghoogte in meters
Aanpak:
vul de tabel in:
| h |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| kijkafstand |
0 |
5,7 |
8 |
9,8 |
11,3 |
12,6 |
13,9 |
Teken nu zelf de punten in een assenstelsel
Teken een vloeiende kromme door de punten
Zet de formule bij de grafiek en denk aan een titel en de assen.
Bij een kwadratische formule hoort een parabool als grafiek.
Krijg je bij een wortelformule ook een parabool?
zo nee, wat krijg je dan?
Opgaven
opgave 1.
Van een formule 1 auto is de snelheid te berekenen via de remweg. De formule die je daarbij gebruikt is:
snelheid = √175 x remweg (LET OP dat alles onder wortel tussen haakjes moet)
Snelheid is in km per uur.
Remweg in meters.
a. Welke snelheid hoort bij een remweg van 200 meter? Rond af op helen
b. Welke snelheid hoort bij een remweg van 80 meter?
c. Vul de tabel in.
| remweg |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
80 |
| snelheid |
|
|
|
|
|
|
|
d. Teken de grafiek
e. De politie meet een remweg van 60 meter. Hoeveel km per uur reed die auto? Rond af op helen.
f. Victor zegt; Als je twee keer zo hard rijdt, is je remweg twee keer zo lang. Heeft Victor gelijk?
Leg je antwoord uit.
Opgave 2.
Als je een steen in een put gooit, duurt het even voordat je de plons hoort.
Hoe verder het water onder de rand staat, hoe langer het duurt.
De formule die erbij hoort:
tijd = 0,45 x √d
tijd in seconden
d: diepte in meters
a. In een put staat het water 4 meter onder de rand. Jelle gooit een steen in de put.
Na hoeveel seconde hoort Jelle de plons?
b. Op een heuvel staat een diepe put. Manou laat haar ring erin vallen. De afstand tot het water is 36 meter.
Na hoeveel seconde hoort zij de plons?
Extra, kan het wel of kan het niet?
Tot nu toe heb je gewerkt met kwadraten en wortels.
Misschien ben je al tegen gekomen dat je rekenmachine syntax error aangeeft.
Dit komt omdat we niet van alle getallen de wortel kunnen berekenen.
Wat geeft je rekenmachine aan bij √-25?
Kan het wel of kan het niet?
Gegeven is de formule: y= 3 + √x
Bereken y of zet kan niet voor:
x=16 x=9 x=-16
Waneer je dus een syntax error in je rekenmachine ziet staan gaat er dus iets niet goed. De wortel van dat getal kan niet. Kijk zelf waar het ergens fout gaat. Voer je het juiste getal in onder de wortel?
Paragraaf 3; Formules met haakjes
Voorkennis
Rekenvolgorde:
1. Bereken wat tussen haakjes staat
2. Kwadraat en wortel van links naar rechts
3. Keer en gedeeld door van links naar rechts
4. optellen en aftrekken van links naar rechts
Gebruik de volgende site om hiermee te oefenen.
https://www.mijnrekensite.nl/
Inloggegevens zijn:
gebruikersnaam: Tessa
Wachtwoord: klas2DEF
1. Klik bovenin op getallen
2. Ga naar H14 rekenvolgorde bepalen
3. Maak 3.2, 4.1 en 4.2
Maak van elke paragraaf 10 sommen. Laat mij na de laatste som zien hoeveel procent je gescoord hebt.
Formules met haakjes
Niet alleen bij sommen is de volgorde belangrijk. Ook bij formules kan het voorkomen dat er haakjes in staan. Ook dan geldt dat alles wat tussen haakjes staat voor gaat.
Voorbeeld:
In sommige landen wordt de temperatuur ook wel eens gemeten in Fahrenheit.
Met een formule kan je deze temperatuur omrekenen naar graden celsius.
Temperatuur in graden C = 5 x (temperatuur in Fahrenheit - 32) : 9
Hoeveel graden komt overeen met 59 graden Fahrenheit.
T = 5 x (59 - 32) : 9
T = 5 x (27) : 9
T = 135 : 9
T = 15
59 graden Fahrenheit is 15 graden Celsius.
De stappen uit het voorbeeld maak je zelf ook bij elke som.
Je zet ALTIJD de nieuwe som eronder.
Reken nu zelf om van Fahrenheit naar graden Celsius met dezelfde formule als in het voorbeeld:
a. 85 graden F = ........... graden Celsius
b. 40 graden F = ........... graden Celsius
c. 12 graden F = ........... graden Celsius
d. -3 graden F = ........... graden Celsius
Opgaven
Maak alle opgaven met het stappenplan.
Opgave 1.
Een sneeuwboomkrekel is goed te gebruiken als thermometer.
Hoe warmer het wordt, hoe sneller de krekel gaat tsjirpen.
Dat gaat volgens de formule:
tamperatuur in graden= (n-40) : 7 + 10
n: aantal sjirpen per minuut
Een krekel sjirpt 82 keer per minuut.
Hoeveel graden is het? Laat dit met een stappenplan zien.
En als de krekel 145 keer per minuut sjirpt? En 124 keer per minuut?
Opgave 2.
Merel werkt in het weekend in bioscoop Astra. Zij heeft een contract voor 4 uur per weekend.
Zij verdient minimaal €23,80 per weekend.
Als Merel meer dan 4 uur werkt krijgt zij meer geld.
Zij kan haar verdiensten berekenen met de formule:
I = 23,80 + 6,50 x (t-4)
t is de tijd in uren
I is de inkomsten in euro per weekend
a. Hoeveel verdient Merel als zij in het weekend 8 uur werkt?
b. Hoeveel verdient Merel als zij in het weekend 12 uur werkt?
c. In het weekend van 15 en 16 december werkt Merel 4 uur.
In het weekend van 22 en 23 december werkt Merel 15 uur.
Hoeveel heeft zij in het totaal verdient in deze twee weekenden?
Opgave 3.
Sheila werkt in een kledingwinkel. Ze heeft een contract voor 6 uur per week.
Ze kan haar weekloon berekenen met de formule:
Inkomsten in € = 37,20 + 6,2 x (t-6)
t is de tijd in uren.
a. Hoeveel verdient Sheila als ze 6 uur werkt?
b. Hoeveel verdient ze als ze 30 uur werkt?
c. Vul de tabel in:
| tijd in uren |
6 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
36 |
| inkomsten in € |
|
|
|
|
|
|
|
Paragraaf 4; Formules met een deelstreep
Tot nu toe hebben we 3 verschillende formules gezien:
- formules met het kwadraat
- formules met de wortel
- formules met haakjes
Bij alle formules is het belangrijk dat je op de plaats van de letter een getal invult. Op deze manier maak je de tabel.
Daarnaast is het belangrijk dat je weet in welke volgorde je de berekening moet maken.
Bij formules met het kwadraat kan je, je rekenmachine gebruiken.
Bij formules met de wortel moet je de berekening onder de wortel tussen haakjes in je rekenmachine zetten.
Bij formules met haakjes moet je eerst uitrekenen wat er tussen haakjes staat. Voer deze haakjes ook in, in je rekenmachine.
Deze laatste paragraaf gaan we kijken naar formules met een deelstreep.
Formules met deelstreep
Wat is er belangrijk bij de formule met een deelstreep?
1. Bereken eerst alles boven de deelstreep
2. Bereken daarna alles onder de deelstreep
3. Maak nu pas de deling
Belangrijk in je rekenmachine:
Maak de 3 stappen 1 voor 1. Doe dit zo ook in je rekenmachine OF;
Zet haakjes om de som boven de deelstreep en de som onder de deelstreep.
Voorbeeld:
De formule gaat over het maandinkomen.
52 x weekloon in €
Maandloon in € = ————————
12
Cas verdient € 214,60 per week.
Hoeveel verdient hij per maand?
1. Vul op de plek van het weekloon het gegeven bedrag in
52 x 214,60
Maandloon in € = —————
12
2. Bereken nu de som boven de deelstreep:
52 x 214,60 = 11159,20
3. Maak als laatste stap de deling:
11159,20: 12 = €929,93
Je hebt nu de maandloon van Cas berekent.
In je rekenmachine: (52 x 214,60) : 12
Hannah verdient €485,20 per week.
Hoeveel verdienst zij per maand?
Laat dit zijn met dezelfde stappen als hierboven.
Nog een voorbeeld
We gaan aan de hand van nog een voorbeeld samen oefenen.
Hieronder is het stap voor stap uitgelegd.
Mocht je de formule met een deelstreep begrijpen dan hoef je niet meer alle stappen te doorlopen.
De moeder van Mirthe is 167 cm lang.
Haar vader is 197 cm.
Je kunt met de volgende formule berekenen hoe lang Mirthe zal worden:
v + m
Lengte meisje in cm = ——— - 2
2
Hoe lang zal Mirthe worden?
1. Vul de gegevens van de ouders in op de plak van de v (vader) en m (moeder)
167 + 197
———— -2
2
2. Bereken alles boven de deelstreep:
167 + 197 = 364
3. Maak de deling:
364 : 2 = 182
4. Maak de laatste som achter de deling:
182 - 2 = 180
Je hebt nu berekent dat Mirthe 180 cm zal worden.
De vader van Silke is 189 cm en de moeder 153.
Bereken op dezelfde manier hoe groot Silke wordt. Gebruik dezelfde formule.
LET OP!!!!
Je hebt nu 2 verschillende formules gezien met een deelstreep.
Een waarbij alleen boven en onder de deelstreep een som staat.
Een waarbij ook na de deelstreep nog een som staat. Let op dat je dit sommetje ook pas na de deelstreep doet.
Opgaven
Opgave 1.
Een Zeppelin vaart op een hoogte van 240 meter.
De zeppelin gaat naar een grotere hoogte.
Hierbij hoort de formule:
h - 240
tijd in seconden = ————
20
h = hoogte in meters
a. Hoeveel seconden duurt het om naar 320 meter te stijgen?
b. Hoeveel seconden duurt het om naar 410 meter te stijgen?
c. Hoeveel seconden duurt het om naar 1500 meter te stijgen?
d. Vul de tabel in
| h |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
| tijd in seconden |
|
|
|
|
|
|
e. Hoeveel meter stijgt de zeppelin per seconde?
Een andere zeppeling vaart op een hoogte van 50 meter.
Deze zeppelin gaat naar een grotere hoogte.
Hierbij hoort de formule:
h - 50
tijd is seconden = ————
10
h = hoogte in meters.
f. Hoeveel seconden duurt het om met deze zeppelin naar 180 meter te stijgen?
g. Vul de tabel in:
| h |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
| tijd in seconden |
|
|
|
|
|
|
|
h. Hoeveel meter stijgt deze zeppeling per seconde?
Opgave 2.
De schoolarts gebruikt voor het voorspellen van de lengte van jongens de volgende formule:
( m + 13 ) + v
Lengte jongeren = —————— + 4,5
2
m: lengte moeder in cm
v: lengte vader in cm
a. Gijs heeft een vader van 180 cm en een moeder van 172 cm. Wat voor voorspelling doet de schoolarts over de lengte van Gijs?
b. Ben heeft een vader van 172 cm en een moeder van 163 cm. Hoe lang wordt Ben volgens de huisarts?
c. Max heeft een vader van 2,10 meter en een moeder van 1,9 meter. Wat is de lengte van Max?
