Pythagoras in de ruimte - 1
Als je in een ruimtelijk figuur de lengte van een lijnstuk wilt uitrekenen, kijk je goed in welk vlak het lijnstuk ligt.
Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{AD} = 3}\) en \(\small{\text{AE} = 4}\).
Bereken de lengte van lijnstuk \(\small{\text{BG}}\).
- Lijnstuk \(\small{\text{BG}}\) ligt in het zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\).
- Zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\) is een rechthoek van \(\small{3}\) bij \(\small{4}\).
- Bereken \(\small{\text{BG}}\) met de stelling van Pythagoras.
- Je vindt:
\(\small{\text{BG} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5}\)
Pythagoras in de ruimte - 2
Als je in een ruimtelijk figuur de lengte van een lijnstuk wilt uitrekenen, kijk je goed in welk vlak het lijnstuk ligt.
Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{AD} = 3}\) en \(\small{\text{AE} = 4}\).
Bereken de lengte van lijnstuk \(\small{\text{BD}}\).
- Lijnstuk \(\small{\text{BD}}\) ligt in het vlak \(\small{\text{ABCD}}\).
- Vlak \(\small{\text{ABCD}}\) is een rechthoek van \(\small{6}\) bij \(\small{3}\).
- Bereken \(\small{\text{BD}}\) met de stelling van Pythagoras.
- Je vindt:
\(\small{\text{BD} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} \approx 6\text{,}7}\)
Pythagoras in de ruimte - 3
Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{BC} = 3}\) en \(\small{\text{CG} = 4}\).
Bereken de lengte van lijnstuk \(\small{\text{BH}}\).
- Lijnstuk \(\small{\text{BH}}\) ligt in het vlak \(\small{\text{ABGH}}\).
- Vlak \(\small{\text{ABGH}}\) is een diagonaalvlak.
- Bereken nu eerst \(\small{\text{BG}}\).
Je vindt:
\(\small{\text{BG} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5}\)
- Vlak \(\small{\text{BGHA}}\) is een rechthoek van \(\small{6}\) bij \(\small{5}\).
- Bereken \(\small{\text{BH}}\) met de stelling van Pythagoras.
Je vindt:
\(\small{\text{BG}= \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61} \approx 7\text{,}8}\)
Tangens, sinus en cosinus in de ruimte - 1
Als je in een ruimtelijk figuur een hoek moet uitrekenen, kijk dan goed in welk vlak de hoek ligt.
Voorbeeld
Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{AD} = 3}\) en \(\small{\text{AE} = 4}\).
Bij hoekpunt \(\small{\text{B}}\) is de hoek \(\small{\angle \text{CBG}}\) aangegeven.
Bereken de grootte van \(\small{\angle \text{CBG}}\) in graden nauwkeurig.
- \(\small{\angle \text{CBG}}\) ligt in zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\).
Zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\) is een rechthoek van \(\small{3}\) bij \(\small{4}\).
- Vanuit \(\small{\angle \text{CBG}}\) weet je de lengte van de overstaande rhz en aanliggende rhz.
Gebruik de tangens.
\(\small{\tan = \angle \text{CBG} = \frac{\text{CG}}{\text{BC}} = \frac{4}{3}}\) geeft \(\small{\angle \text{CBG} \approx 53^\circ}\)
Tangens, sinus en cosinus in de ruimte - 2
Voorbeeld
Je ziet de piramide \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{T}}\) met een vierkant grondvlak. \(\small{\text{S}}\) is het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak. De top \(\small{\text{T}}\) ligt recht boven punt \(\small{\text{S}}\). Alle ribben zijn \(\small{\text{6}}\).
Bereken \(\small{\angle \text{SAT}}\) in graden nauwkeurig.
- \(\small{\angle \text{SAT}}\) ligt in de rechthoekige driehoek \(\small{\text{AST}}\).
- Bereken \(\small{\text{AS}}\) met de stelling van Pythagoras.
Je vindt:
\(\small{\text{AS} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4\text{,}24}\)
- Vanuit \(\small{\angle \text{SAT}}\) weet je nu de aanliggende rhz en de schuine zijde.
- Gebruik de cosinus:
\(\small{\cos \angle \text{SAT} = \frac{\text{AS}}{\text{AT}} \approx \frac{4\text{,}24}{6} \approx 0\text{,}71}\) geeft \(\small{\angle \text{SAT} \approx 45^\circ}\)
