H24. Goniometrie

H24. Goniometrie

Inleiding

Inleiding

Toets: Inleiding

Start

Achtergrond

Vervolgens kun je doorgaan en een heel net van driehoeken maken. Het driehoeken-netwerk van Snellius is op een oude prent afgebeeld. 
In de loop der tijden zijn er steeds nauwkeuriger instrumenten gekomen om hoeken en afstanden te meten.

 

 

 

 

 

 

 

Een instrument om nauwkeurig hoeken te meten is een theodoliet.
Wegwerkers gebruiken een theodoliet om de loop van een weg nauwkeurig te bepalen.

 

Tekenen op schaal

Tekenen op schaal

Toets: Tekenen op schaal

Start

Driehoeken tekenen

Driehoeken tekenen

In het vervolg gebruiken we de volgende voor de handliggende termen in een rechthoekige driehoek, zie plaatje.

  • overstaande rechthoekszijde van een hoek,
  • aanliggende rechthoekszijde van een hoek,
  • schuine zijde.

Een rechthoekige driehoek ligt dus vast als twee van de volgende vier dingen kent: schuine zijde, aanliggende rechthoekszijde, overstaande rechthoekszijde, hoek. In de applet "rechthoekige driehoek tekenen" vink je de twee dingen die je weet aan. Met de schuif leg je de juiste waarden af. De rest kun je dan aflezen.
Kijk even hoe het werkt.

Toets: Driehoeken tekenen

Start

Driehoeken verdieping

Toets: Driehoeken - verdieping

Start

Rechthoekige driehoeken

Verhoudingen

Toets

Start

De tabel

De tabel die we gemaakt hebben, kunnen we uitbreiden tot een tabel voor alle hoeken tussen 0 en 90 graden. Die staat hieronder.

Voorbeeld 1

Hiernaast staat een tekening op schaal van driehoek ABP van opgave over de Brug in het leerobject "Tekene op schaal". Daar heb je de lengte van AB gemeten.
Je kunt die lengte ook met behulp van de tabel berekenen. In de tabel zie je bij hoek 39° dat de breuk \({overstaande\;rechthoekszijde} \over aanliggende\; rechthoekszijde\) = 0,810,  dus AB = 200 ⋅ 0,810 ≈ 162.
Vergelijk dat met jouw antwoord voor de afstand tussen de twee peilers in opgave 2.
Merk op dat je met de tabel sneller en nauwkeuriger werkt: je hoeft geen tekening te maken.

Voorbeeld 2

In het leerobject 'Driehoeken tekenen' 7 heb je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 24 en 35 mm getekend.
De hoeken van die driehoek kun je met de tabel berekenen!
Voor het gemak geven we de hoekpunten van de driehoek namen: zie plaatje.
Voor hoek BAC geldt: \({overstaande\;rechthoekszijde} \over aanliggende\; rechthoekszijde\)= 24/35 ≈ 0,686.
In de tabel kun je de bijbehorende hoek terugzoeken: tussen de 34 en 35 graden.
We houden het op 34 graden ( 0,675 ligt het dichtst bij 0,686).
Dus ∠BAC ≈ 34° en dan is ∠ABC ≈ 90 − 34 ≈ 56°.

De tabel gebruiken

Toets: De tabel gebruiken

Start

Sinus, cosinus en tangens

Definitie van sinus, cosinus en tangens

Definitie van sinus, cosinus en tangens

De verhouding \({overstaande\;rechthoekszijde \over aanliggende\; rechthoekszijde}\) heet tangens van de hoek,

De verhouding \({overstaande\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde}\) heet sinus van de hoek,

De verhouding \({aanliggende\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde}\) heet cosinus van de hoek.

We korten sinus af met sin, cosinus met cos en tangens met tan.

sin α = \({overstaande\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde} ={a \over c}\)

cos α = \({aanliggende\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde}={b \over c}\)

tan α = \({overstaande\;rechthoekszijde \over aanliggende\; rechthoekszijde} ={a \over b}\)

 

Voorbeeld
In Het leerobject "de tabel gebruiken" heb je berekend: α = 37°. Dus (kijk nog eens naar het plaatje bij die opgave):
sin 37° = 3/5 = 0,6
cos 37° = 4/5 = 0,8
tan 37° = 3/4 = 0,75

Tabel sinus, cosinus en tangens

Voor elke scherpe hoek kun je de bijbehorende sinus, cosinus en tangens bepalen. Dat zou bijvoorbeeld kunnen door met nauwkeurige tekeningen van grote rechthoekige driehoeken te werken. Wiskundigen doen dat anders. De resultaten zijn in de volgende tabel bij elkaar gebracht.

Historie sinus, cosinus en tangens

Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125 vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165), Aryabhata (476–550), Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische werken in de 12e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en Hipparchos de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen te bepalen.

Voorbeelden sinus, cosinus en tangens

Voorbeeld 1

We gaan terug naar de opgave met de slagboom.

De breuk \({overstaande\;rechthoekszijde} \over schuine\; zijde\) van de draaihoek CAB kun je uitrekenen in driehoek ABC. Dat is de sinus van hoek CAB. We noemen die hoek α.
Je vindt: sin α = \({BC \over AC} = {3{1 \over 2}\over 6}\) ≈ 0,583.
In de tabel zoek je terug dat α ≈ 36°.

 

Voorbeeld 2

In de opgave met de ballon moest je de hoogte van de ballon bepalen met behulp van een precieze tekening op schaal. Je kunt de hoogte van de ballon nauwkeurig bepalen met de tabel.
Hoek CAB noemen we α.
Er geldt: sin α = BC/AC, dus sin 72°= BC/30.
In de tabel vind je: sin 72° = 0,951, dus 0,951 = BC/30,
dus BC = 30 ⋅ 0,951 ≈ 28,53 meter.
Als je het antwoord in decimeter nauwkeurig moet geven, rond je af op één decimaal, want het eerste cijfer na de komma geeft het aantal dm aan.

 

Voorbeeld 3
Voor de gegevens, zie het plaatje.
De vraag is om a en b te berekenen.
Oplossing
Als je niet weet welke van de drie je moet hebben, sinus, cosinus of tangens, schrijf je ze alledrie op.
Dan kijk je waar je mee verder kunt.
In de tabel vind je:
sin 32°  ≈ 0,530, cos 32° ≈ 0,848 en tan 32° ≈ 0,625.
Dit geeft: ba ≈ 0,530, 10a ≈ 0,848 en b10 ≈ 0,625.
Met ba ≈ 0,530 kun je niet verder.
Met 10a≈  0,848 kun je a uitrekenen en met b10 ≈ 0,625, kun je b uitrekenen.
Dit geeft: a ≈ 10/0,848 ≈ 11,79... ≈1 1,8 en
b ≈ 10 ⋅ 0,625 ≈ 6,25 ≈ 6,3.

Over nauwkeurigheid
In de voorbeeld 2 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord af op één decimaal.
In voorbeeld 3 moet je op één decimaal afronden. Daarvoor moet je de tweede decimaal ook weten.
Is die kleiner dan 5, dan rond je naar beneden af, anders naar boven, dus 6,24 rond je af op 6,2 en 6,25 op 6,3.

 

Met je rekenmachine
De getallen in de tabel staan ook in je rekenmachine.
Hoe je de sinus, cosinus en tangens van een hoek van 54° te voorschijn tovert, hangt af van het merk rekenmachine.
Op veel rekenmachines gaat het zó.

Tik in In het venster krijg je
sin 54 0,8090169
cos 54 0,5877852
tan 54 1,3763819


Let op: je rekenmachine moet in de stand DEG staan! Moderne rekenmachines werken vaak anders. Vraag je leraar hoe je rekenmachine werkt of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.

Als je machine anders werkt, moet je de handleiding bekijken. Misschien kan je leraar je helpen. Omgekeerd kun je ook bij een gegeven verhouding de grootte van de hoek vinden (te vergelijken met terugzoeken in de tabel).
Je weet bijvoorbeeld dat tan α = 0,85, dan vind je α zo:

Tik in In het venster krijg je
shift tan 0,85 40,364536


Maar je bent meestal ook wel met minder cijfers achter de komma tevreden. Als je op één decimaal af moet ronden, krijg je α = 40,4° en als je op twee decimalen af moet ronden, krijg je α = 40,36°.

Op andere typen rekenmachines komt in plaats van “shift sin” wel voor: 2nd sin of sin‐1.

 

Zie plaatje.
In plaats van de definities van sinus, cosinus en tangens worden vaak de volgende formule gebruikt.
a = c⋅sin α
b = c⋅cos α
a = b⋅tan α

 

We geven nog twee voorbeelden.

Voorbeeld 4
Voor de gegevens zie plaatje. We gebruiken formule 1:
x = 10⋅sin 54° ≈ 8,1.
Let op dat de rekenmachine in de stand DEG staat!

Voorbeeld 5
Zie plaatje.
tan α = \(17 \over 20\).
Met de rekenmachine in de stand DEG:
shift tan(17 : 20) = geeft: 40,364536... ,
dus α ≈ 40,4°.

Opgaven

Toets: Opgaven sinus, cosinus en tangens

Start

Gemengde opgaven

Gevarieerde opgaven

Toets: Gevarieerde opgaven

Start

Driehoeken met roosterpunten

Toets: Driehoeken met roosterpunten

Start

De ruimte in

Toets: De ruimte in

Start

Gemengde opgaven - Verdieping

Toets: Gemengde opgaven - verdieping

Start

Eindpunt

Eindpunt

sin, cos, tan

sin α =\({overstaande\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde}\) = ac

cos α = \({aanliggende\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde}\) = bc

tan α = \({overstaande\;rechthoekszijde \over aanliggende\; rechthoekszijde}\) = ab

Dus:

  1. a = c⋅sin α
  2. b = c⋅cos α
  3. a = b⋅tan α

voorbeelden

Gegevens zie plaatje.
Bereken a en c.
Oplossing
Om a te berekenen gebruik je formule 3.
Dit geeft: a = 10⋅tan 23° ≈ 4,24.
Om c te berekenen gebruik je formule 2.
Dit geeft: 10 = c⋅cos 23°, dus
c = 10/cos 23° ≈ 10,86


Gegevens zie plaatje.
Bereken r en q.
Oplossing
Om r te berekenen gebruik je formule 2.
Dit geeft: r = 15⋅cos 56° ≈ 8,39.
Om q te berekenen gebruik je formule 1.
dit geeft: q = 15⋅sin 56° ≈ 12,44.

 


Gegevens zie plaatje.
Bereken de scherpe hoeken van driehoek XYZ.
Oplossing
We gebruiken tangens van een hoek =\({overstaande\;rechthoekszijde \over aanliggende\; rechthoekszijde}\).
Dit geeft: tan ∠XZY=23.
Met de rekenmachine vind je ∠XZY ≈ 33,7° en dus ∠ZXY ≈ 56,3°.

 

 

Gegevens zie plaatje.
Bereken δ en ε.
Oplossing
We gebruiken cosinus van een hoek = \({aanliggende\;rechthoekszijde \over schuine\; zijde}\)
Dit geeft: cos δ =12/15.
Met de rekenmachine vind je δ ≈ 36,9° en dus ε ≈ 53,1°.

Extra opgaven

Aarde, zon en maan

Toets: Aarde, zon en maan - moeilijk

Start

Gemengd

Toets: Gemengde extra opgaven

Start

Toets: Gemengde extra opgaven - moeilijk

Start