De kleinste 'deeltjes' die wij kennen zijn niet te beschrijven als deeltjes en ook niet als golven. Het zijn 'dingen' die eigenschappen hebben van allebei. We noemen ze golffuncties.
Een golffunctie is een wiskundige golf. Zolang hij niet is waargenomen beschrijft het kwadraat van deze golf de kans om ergens een deeltje aan te treffen. Dit heeft een vreemd gevolg. Als je namelijk een meting doet, weet je waar het deeltje op dat moment zit. Omdat (het kwadraat van) de golffunctie beschrijft waar je het deeltje aan kan treffen, verandertde golffunctie dus op dat moment. Er blijft alleen een kleine piek over op de plek waar jij het deeltje hebt aangetroffen. De kans om het deeltje ergens anders aan te treffen wordt 0.
Golffuncties kunnen onder andere elektronen voorstellen en op elektronen werken krachten. Bijvoorbeeld: op een elektron werkt een elektrische kracht als er ergens in de buurt een positief geladen deeltje is. De invloed van deze krachten wordt zichtbaar als je je voorstelt dat de golffunctie beweegt langs een lijn waarbij de potentiële energie niet overal even groot is. Bijvoorbeeld: als een elektron weg wil bewegen van een positief geladen deeltje, dan kost hem dat (kinetische) energie. Deze wordt omgezet in potentiële energie. Als je een grafiek maakt van de potentiële energie rond dat positieve deeltje, dan krijg je een grafiek die in het midden (de plaats van het positieve deeltje) heel laag is, maar steeds hoger wordt verder bij het deeltje vandaan.
In de les heb je uitleg gehad over hoe dit werkt. Om de opdrachten hierna goed te kunnen maken, moet je dit goed begrijpen. Daarom volgen hier een paar vragen over potentiële energie grafieken.
Het blijft moeilijk om je voor te stellen hoe dit er uit ziet. Deze opdracht gaat je daarbij helpen.
We gaan kijken naar een simulatie van golffunctie. Start de simulatie via deze link:
Blijf klikken totdat het programma is gestart. Het scherm ziet er nu als volgt uit:
Energie en snelheid
Deze simulatie simuleert een quantumsysteem. Dit systeem bestaat uit een golffunctie, die zich beweegt in een bepaal gebied (de horizontale as). Om op een bepaalde plek op deze as te kunnen komen is energie nodig. Dit is de zogenaamde potentiële energie. Hoe hoger de potentiële energie op een bepaalde plek, hoe meer energie de golffunctie moet inleveren om er te komen. De simulatie berekent wat er met die golffuncties gebeurt in de tijd.
In het bovenste diagram staan twee zaken aangegeven.
- De totale energie in het systeem (groen). Deze kan niet worden veranderd
- De potentiële energie (paars). Deze geeft aan hoeveel energie een deeltje moet hebben om op een bepaalde plek te zijn.
In het middelste diagram staat de waarde van de golffunctie (verticaal) uitgezet tegen de plaats (horizontaal).
In het onderste diagram staat de kans om een deeltje aan te treffen (verticaal) uitgezet tegen de plaats (horizontaal).
Aan de rechterkant kan je de grafiek van de potentiele energie verschillende vormen geven. Hiervoor gebruik je het pull-down menu Potentiaal.
Opdracht:
- Verander de grafiek van de potentiële energie in een horizontale lijn. Kies hiertoe de optie 'konstant' in het menu 'Potentiaal'
- Verander 'vorm golffunctie elektron' in een 'golf'
Als het goed is ziet de middelste grafiek er nu zo uit:
In de onderste grafiek staat de waarschijnlijkheid om een deeltje ergens aan te treffen (dus de golffunctie in het kwadraat). Op dit moment is die grafiek een horizontale rechte lijn.
Opdracht:
- Varieer de hoogte van potentiële energie een paar keer door de paarse grafiek op en neer te slepen.
Met behulp van de volgende vragen gaan we proberen erachter te komen waarom er een verband is tussen de potentiële energie en de golflengte van de golffunctie.
In de bovenste grafiek staan twee zaken aangegeven:
De totale energie in het systeem (groene lijn)
Hoeveel daarvan potentiële energie is (paarse lijn)
De totale hoeveelheid energie (groene grafiek) hebben we niet veranderd. Echter, we hebben wel de potentiële energie veranderd. Potentiële energie kan je hier begrijpen als de hoeveelheid energie die nodig is om op een bepaalde plek te komen. Als je een heuvel beklimt kost dat energie. Daal je af, dan krijg je er energie bij. Bij afname van de potentiële energie heeft het elektron minder energie nodig om op een bepaalde plek te zijn. Eén van de belangrijkste wetten uit de natuurkunde is dat energie behouden is. Als de hoeveelheid potentiële energie afneemt, dan moet er ergens anders dus energie bijkomen.
Opdracht:
- Verander de 'Vorm golffunctie elektron' weer in een golfdeeltje. Zet de simulatie op 'pauze'. Controleer of je voor het golfdeeltje hetzelfde waarneemt als voor de golf bij verandering van de potentiële energie.
Het 'golfdeeltje' bestaat uit heel veel golven, die elkaar op een specifieke plek versterken. Hierdoor wordt hij een beetje 'deeltjesachtig'. Hij is niet over de hele ruimte verspreid, maar bevindt zich binnen een beperkt gebied. De waarschijnlijkheidsverdeling is nu een bergje, in hetzelfde gebied als de golffunctie.
Quantummetingen
Conclusie vorige sectie:
- Hoe hoger de potentiële energie, hoe lager de kinetische energie, hoe langer de golflengte.
Door op de knop 'maak kwantummeting' te drukken ga je meten waar het elektron zich precies bevindt.
Opdracht:
- Zet de simulatie op pauze (de afspeelknop)
- Klik op de terugspoelknop (naast de afspeelknop onderaan).
- Klik op de knop 'Maak kwantummeting' en kijk goed wat er gebeurt.
- Laat de simulatie weer verder gaan en kijk weer goed wat er gebeurt.
Opdracht:
- Spoel de simulatie weer terug. De simulatie moet niet op pauze staan. Voer nu meerdere kwantummetingen uit achter elkaar.
Conclusie vorige sectie:
- Kwantummetingen maken van een golffunctie één piek (deeltje). Daarna verspreid hij zich weer als golf.
Opdracht:
- Verander de Potentiaal in een 'trede' (via het menu rechtsboven).
- Verander de 'Vorm golffunctie elektron' weer in een golf.
Opdracht:
- Verander de 'Vorm golffunctie elektron' weer in een golfdeeltje.
De waarschijnlijkheidsverdeling kan je als volgt lezen. Als de waarde '1' is, dan is de kans 100% dat je het deeltje daar zal treffen. Is hij 0,50, dan is de kans 50%, enzovoort.
Opdracht:
- Heb je iets veranderd aan de hoogte van de potentiële energie of de plaats van de trede? Klik dan voor de zekerheid op 'alles resetten' en kies opnieuw voor de Potentiaal 'Trede'.
- Spoel de simulatie terug en speel af tot 20 femtoseconden. Zet dan op pauze.
- Zoom de waarschijnlijkheidsverdeling zoveel mogelijk in.
Barrière
Conclusie vorige sectie:
- Zolang de positie van een object niet wordt gemeten is zijn golffunctie 'golfachtig'.
- Als je de positie van een object meet, verandert zijn golffunctie in een smalle piek (meer 'deeltjesachtig').
- Het kwadraat van de golffunctie (voor de meting) geeft voor iedere plek de kans dat de smalle piek daar ontstaat.
Opdracht:
- Klik op 'alles resetten'.
- Zet de potentiaal op 'barriere/put'
- Zet de vorm van de golffunctie op een 'golf'.
- De groene streep in het bovenste venster staat voor de totale energie van het deeltje. Sleep deze omlaag tot hij onder het niveau van de barrière zit.
Als het goed is ziet het bovenste venster er nu zo uit:
Als je naar de golffunctie kijkt (middelste scherm), dan zie je dat voor quantum kennelijk andere regels gelden. De golffunctie heeft na de barrière wel degelijk een amplitude. Ook de waarschijnlijkheidsverdeling is na de barrière niet nul. Dit betekent dat er een (kleine) kans is, dat het deeltje de barrière wel passeert, ondanks dat hij te weinig energie heeft.
Opdracht:
- Zoom in in het onderste venster. Kijk of de waarschijnlijk om het deeltje rechts van de barrière te treffen inderdaad niet nul is.
Opdracht:
- Zet de vorm van de golffunctie weer op 'golfdeeltje' en zorg dat de simulatie weer loopt.
- Doe kwantummetingen, net zo lang tot je het deeltje een keer rechts van de barrière treft. Reset, indien nodig, de simulatie als het elektron uit beeld raakt.
Opdracht:
Hoe groter de amplitude van de golffunctie, hoe groter de kans om het deeltje op die plek aan te treffen. We gaan nu proberen hoe de grootte en breedte van de barrière effect heeft op de kans op tunnelen.
- Zet de vorm van de golffunctie weer op 'golf'
- Maak de potentiële energie van de barrière nét iets hoger dan de totale energie
- Onderzoek wat het effect is van de hoogte van de barrière op de amplitude rechts van de barrière.
- Onderzoek wat het effect is van de breedte van de barrière op de amplitude rechts van de barrière.
Put
Conclusies vorige sectie:
- Elektronen kunnen een barrière passeren zonder energie te verliezen. Dit heet het 'tunneleffect'.
Opdracht:
- Zet de simulatie op pauze.
- Versleep de grafiek tot hij er zo uit ziet als in de figuur hieronder (een put met als bodem -0,5 eV en wanden hoger, dan de totale energie).
- Speel nu de simulatie weer af.
Opdracht:
- Zet de simulatie op pauze en spoel terug.
- Verplaats de put, zodat hij rondom de beginpositie staat van het elektron, zoals aangegeven in onderstaand figuur.
- Speel de simulatie weer af.
Staande golven blijven (in tegenstelling tot lopende golven) op hun plek. Doordat een staande golf ontstaat, wordt de kans om het elektron in de put te treffen het grootst.
In de natuur gebeurt dit ook. De 'putten' worden hier gevormd door atoomkernen. Het kost een elektron energie om weg te komen bij een positief geladen elektron, dus de vorm van de Epot,x - grafiek wordt een put. Doordat elektronen staande golven vormen in deze putten blijven ze gebonden aan de atoomkernen.
Opdracht:
- Controleer of de staande golf nog te zien is en de lopende golf uit beeld is verdwenen. Klopt dit niet, reset dan de simulatie en wacht tot dit wel zo is.
- Doe een paar quantummetingen. Ga door, totdat je een meting doet die buiten de energie put valt.
Wat je zojuist hebt gezien komt ook voor in de natuur. Elektronen kunnen bijvoorbeeld, de put waar ze in zitten verlaten door het tunneleffect. Hierdoor kunnen ze over springen naar een ander atoom. Op het niveau van atoomkernen komt het ook voor. Dan tunnelen er bijvoorbeeld alfa- of bètadeeltjes de kern uit.
Samenvatting en test
In de vorige secties heb je het volgende kunnen zien:
- Een vrij elektron gedraagt zich als een klein golfpakketje.
- Een meting zorgt ervoor dat dit golfpakketje één piek wordt. Dit gedrag past bij een deeltje.
- Na de meting verspreid hij zich weer als golf.
- Een lagere potentiële energie geeft meer kinetische energie voor het elektron en dus meer snelheid. Hierdoor wordt zijn golflengte korter, want:
\(\lambda=\frac{h}{mv}\)
- Het golfpakketje gaat voor een deel toch door als hij een barrière in de potentiële energie tegenkomt. Hierdoor weet je niet zeker of je hem voor of voorbij de barrière aan zal treffen. Dit noemen we het tunneleffect.
- Hoe hoger en breder de barrière, hoe kleiner de amplitude en dus hoe kleiner de kans om het deeltje na de barrière aan te treffen.
- Na tunneling is de golflengte, dus ook de snelheid en kinetische energie van het deeltje, gelijk. Tunnelen kost dus geen energie.
- In een potentiaalput gaat het golfpakketje met zichzelf interfereren en vormt een staande golf. De kans blijft daardoor het grootst dat het elektron in de put blijft. Dit zie je in de natuur bij elektronen die gebonden zijn aan een atoom.
- Een deel van de golffunctie kan de put verlaten als de wanden niet te hoog zijn. Er is dus een kans dat je het deeltje buiten de put treft met een kwantummeting.
Het arrangement Golffuncties is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Onne Slooten
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2023-02-13 20:45:57
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Een serie opdrachten die leerlingen helpen om te begrijpen hoe golffuncties in de quantumwereld zich gedragen en hoe je ze moet interpreteren.
Leerniveau
VWO 6;
Leerinhoud en doelen
Energie;
Eenvoudig model van het quantum-tunneleffect, minimaal in de contexten Scanning Tunneling Microscope (STM), alfa-verval;
Quantumverschijnselen in termen van de opsluiting van een deeltje en onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg;
Quantumfysica;
Natuurkunde;
