Met dit webarrangement ga je kennis maken met de wereld van een cirkel. Doormiddel van het maken van opdrachten met behulp van de informatie dit wordt gegeven weet je aan het eind van dit arrangement bijvoorbeeld hoe je de omtrek en de oppervlakte van een cirkel kunt berekenen, wat pi is en waar pi vandaan komt.
succes
cirkels
Wat is een cirkel precies? Hoe kunnen we die in woorden vangen?
Algemene definitie: een cirkel is een verzameling van alle punten die een gelijke afstand hebben tot één zelfde punt M.
Dit punt M noemen we het middelpunt van de cirkel. De afstand van het middelpunt tot een punt op de cirkel noemen we de straal (r). De diameter is twee keer de straal.
Opdracht1 Voorwerpen meten
Je krijgt van de docent een meetlint. Gebruik dit meetlint om de omtrek en diameter van enkele cirkelvormige voorwerpen te meten. Zoek minimaal 5 voorwerpen op die je meet. Probeer kleine voorwerpen te zoeken (bijvoorbeeld een muntstuk), maar ook grote voorwerpen (bijvoorbeeld een bloempot).
Neem de tabel over in je schrift.
Vul de eerste drie kolommen in en bereken in de laatste kolom omtrek gedeeld door diameter.
Als je goed naar de laatste kollom van opdracht 1 hebt gekeken zou je het volgende hebben moeten opvallen.
Conclusie: Er is een vaste relatie tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Deze verhouding noemen we pi. De omtrek is ongeveer drie keer zo groot als de diameter. pi is dus ongeveer 3.
We weten nu ook dat de diameter x pi is de omtrek van een cirkel .
Je mag dus ook zeggen 2 x straal x pi is gelijk aan de omtrek. Deze schrijfwijze gebruiken we verder in dit boekje
Cirkelomtrek: 2 π r
Historie van het getal pi
Al eeuwenlang hebben mensen geprobeerd om het getal p (de verhouding tussen omtrek en diameter) exact uit te rekenen. Eerst waren geleerden er hun hele leven lang mee bezig, tegenwoordig is dat gemakkelijker met computers te berekenen. Toch blijft het een mysterieus getal.
Wij starten met de Bijbelse tekst over de beschrijving van het bad van Koning Salomo.
Koning Salomo’s bad
Omdat de cirkel een veelvoorkomend figuur is vind je al in oude culturen waarden voor het getal p. Ook in het oude testament van de Bijbel, zo rond 950 v. Christus, staat dat in de tempel van Salomo een bad van gietijzer gemaakt werd.
Dit bad was 10 el (1 el is ongeveer 70 cm) van rand tot rand (de diameter), terwijl er een meetsnoer van 30 el omheen gespannen kon worden.
Als we aannemen dat het bad cirkelvormig was, dan was de omtrek dus 3 keer de diameter, dus werd p berekend met 30/10. In de Bijbel was de waarde van pi dus het getal 3
Bijbelse tekst
De oude egytenaren
Oude Egyptenaren:
Achter de komma rekenen konden ze al in 1650 v.Chr. Toen schreef een Egyptische priester, die Ahmes heette, over pi (p) in de Rhind Papyrus (dit was een soort papieren rol met 87 wiskundige problemen en hun oplossingen) het volgende:
De oppervlakte van een cirkel met een diameter van 9 eenheden = aan de oppervlakte van een vierkant met een zijde van 8 eenheden.
Hieruit kon hij pi (p) berekenen met de volgende formule:
Als je p dan uitrekent dan wordt de waarde van pi (p): 3,16046.
De oude Grieken
Oude Grieken:
Archimedes was een Griekse wiskundige die leefde van 287 – 212 voor Christus. In een van zijn geschreven boeken vertelt hij over “het opmeten van de cirkel”. In dit boek laat Archimedes zien, dat de exacte waarde van de omtrek van een cirkel met diameter 1 ligt tussen de en de .
Hij berekende dit resultaat door de cirkel in te sluiten met behulp van regelmatige veelhoeken (met 96 zijden) kleiner en groter dan een cirkel.
Archimedes vond nu dat de waarde van π lag tussen 3,140845 < p < 3,142857 (zonder computer).
Archimedes van de grondlegger van het idee hoe je π moest berekenen. Later berekenden steeds meer wiskundige geleerden meer decimalen achter de komma. In deze tijd met computers gaat het steeds sneller om nog meer getallen achter de komma uit te rekenen. Maar men gebruikt voor π gewoon het getal 3,1415925.
Opdracht 3: regelmatige veelhoek van Archimedes
Maak de volgende opdrachten op papier.
Teken een cirkel met een diameter van 1 decimeter.
a. Wat is de straal? _________
b. Construeer hierin een zeshoek (zie filmpje hieronder als je niet weet hoe dat moet)
c. Meet de omtrek van deze zeshoek in centimeters.
d. Construeer de middelloodlijn op de zijden van de zeshoek. Teken nu een 12-hoek.
e. Meet de omtrek van deze 12-hoek in centimeters.
f. Maak op dezelfde manier een 24 hoek van je twaalfhoek. Meet de omtrek.
Extra: maak ook nog de 48 hoek en de 96 hoek.
Kloppen je metingen met de verhouding tussen straal en omtrek, zoals je dit bij opdracht 1 gedaan hebt?
Wikipedia Pi
Op deze site kun je onder andere de eerste 1000 decimale getallen van pi vinden
Oppervlakte van een cirkel
Opdracht 5
Teken op 2 cirkels met een straal van 5 cm op een ruitjespapier. We gaan op 2 verschillende manieren het oppervlakte van de cirkels bepalen.
De eerste manier:
Knip de eerste cirkel uit en plak hem in op je werkblad. Tel het hele aantal hokjes, schat de hokjes aan de zijkant. Hoeveel heb je er ongeveer geteld? ________ Wat is dus het oppervlakte? ____
Denk aan de eenheden.
De tweede manier:
Knip de tweede cirkel uit en knip taartpuntjes uit van 15 graden. Als het goed is heb je dan 24 taartpuntjes. Schuif de taartpuntjes tegen elkaar aan op een manier zodat je het oppervlakte van de rechthoek kunt berekenen. Je had een cirkel! Dus je weet nu ook de oppervlakte van de cirkel.
Voor de oppervlakte van een cirkel gebruiken we een formule. Welke heb je in het filmpje gehoord?
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Het arrangement Wiskunde: de cirkel is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
bas ghijssen
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-06-29 12:40:04
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
opdracht 1: voorwerpen meten
.
