In deze les volbrengt A Square zijn zelfopgelegde taak om alle mogelijke vormen van Flatland te achterhalen. Dit komt overeen met een belangrijk wiskundig resultaat: De classificatiestelling van gesloten oppervlakken. Je zult leren wat deze stelling inhoudt en hoe je hem kunt bewijzen.
Maak nu eerst de microtoets van Les 5.
6.1 Een vermoeden
A Square heeft sinds het bericht van Euler inmiddels helemaal in de gaten hoe hij de Eulerkarakteristiek van oppervlakken berekent. Hij is met name geïnteresseerd in oppervlakken zonder rand, aangezien hij vermoedt dat Flatland geen rand heeft. Onderstaand zie je alle kaarten die A Square bedacht heeft met als bouwplaat een vierkant. We hebben in Les 1 gezien dat dit alle mogelijkheden zijn voor een vierkante bouwplaat en een ruimte zonder rand.
Hieronder vind je de berekeningen van A Square van de Eulerkarakteristiek van deze kaarten.
Hij merkt op dat A,B en F dezelfde Eulerkarakteristiek hebben maar dat A verschilt van B en F omdat A oriënteerbaar is en B en F allebei niet. Verder merkt hij op dat C en E beide niet-oriënteerbaar zijn en bovendien dezelfde Eulerkarakteristiek hebben.
Hij weet nu dus zeker dat hij zijn kaarten als volgt kan indelen:
Oriënteerbaar
Niet oriënteerbaar
Eulerkarakteristiek 0
A
B, F
Eulerkarakteristiek 1
E, C
Eulerkarakteristiek 2
D
Maar hij vraagt zich af of B en F nu dan ook gelijk zijn of tóch verschillend. En net zo voor E en C weet hij het nog niet zeker.
Opdracht
Leg aan A Square uit hoe hij met knippen en plakken in kan zien dat B en F beide de fles van Klein zijn en dat E en C gelijk zijn aan het projectieve vlak.
Na jouw verhelderende uitleg bekijkt A Square zijn overige kaarten met meerdere zijden nogmaals. Na een heleboel geknip en geplak komt hij tot de conclusie dat al zijn kaarten uniek bepaald zijn door te bepalen of ze oriënteerbaar zijn en de Eulerkarakteristiek uit te rekenen. Hij vraagt zich af of dit voor alle oppervlakken waar is?
Hij heeft natuurlijk maar een eindig aantal kaarten getekend en bestudeerd. Hij kan niet met zekerheid zeggen dat er geen twee kaarten te vinden zijn die echt verschillende ruimten voorstellen maar wel dezelfde Eulerkarakteristiek hebben en ofwel beide oriënteerbaar zijn ofwel beide niet oriënteerbaar zijn.
Hij beschrijft zijn vermoeden als volgt:
"Wanneer twee oppervlakken beide orienteerbaar zijn en gelijke Eulerkarakteristiek hebben zijn ze ook daadwerkelijk gelijk. En net zo wanneer twee oppervlakken beide niet oriënteerbaar zijn en gelijke Eulerkarakteristiek hebben, dan zijn ze ook gelijk."
In deze les zul je inzien dat A Square gelijk heeft en zal het bewijs van zijn vermoeden geformuleerd worden. Daarmee wordt het vermoeden een stelling bekend als de classificatiestelling voor gesloten oppervlakken.
6.2 Eindige ruimte zonder rand
We hebben al veel oppervlakken met rand gezien, bijvoorbeeld de cilinder, cirkelschijf en Möbiusband. Als A Square in een cirkelschijf zou wonen dan zou hij in de randpunten merken dat “een richting afgesloten” is. (zie de illustratie hieronder)
Het is moeilijk voor te stellen om in een ruimte met rand te leven, hoe ziet deze rand eruit? Wat is er na de rand? Misschien heb je wel eens nagedacht over de vorm van het universum? Misschien is het wel oneindig groot? Maar dat lijkt onmogelijk, heeft het universum dan een rand, en hoe ziet dit er dan uit?
Er is echter ook een andere mogelijkheid, er zijn ook eindige ruimtes zonder rand.
Bij nette oppervlakken zonder rand staat iedere letter precies twee keer in het identificatieschema. Wanneer een letter drie keer voorkomt levert dit een lijn op waar drie vlakken bij elkaar komen. Dit is wiskundig geen (net) oppervlak.
Wanneer iedere letter twee of minder keer voorkomt in een woord, krijgen we een mooie ruimte, met of zonder rand.
6.3 De stelling
Tegen het eind van de negentiende eeuw hadden wiskundigen een steeds duidelijker beeld van oppervlakken. Zij kwamen tot de conclusie dat alle mogelijke geslotenoppervlakken netjes op te sommen zijn in twee oneindige rijen. Dit leidde tot de classificatie van gesloten oppervlakken. De twee rijen zijn:
De oriënteerbare oppervlakken: Dit zijn de sfeer S2 en vervolgens alle oppervlakken die worden gemaakt door handvatten toe te voegen aan de sfeer.
De oriënteerbare oppervlakken
De niet-oriënteerbare oppervlakken die kunnen worden gemaakt door kruismutsen aan de sfeer toe te voegen.
De niet-oriënteerbare oppervlakken
Het is verrassend dat elk oppervlak topologisch equivalent is aan een oppervlak uit een van deze twee rijen die zo eenvoudig vanuit de sfeer kunnen worden gemaakt.
Elk oppervlak? Hoe zit het de oppervlakken met rand, zoals de cilinder of de Möbiusband? En hoe zit het met bijvoorbeeld het oneindig vlak? Het is tijd om even stil te staan over wat er met oppervlak bedoeld wordt en welke oppervlakken we precies willen classificeren.
Gesloten oppervlakken
Wij gaan er vanuit dat een willekeurig oppervlak kan worden gemaakt door driehoekjes aan elkaar te plakken.Eerder is al genoemd dat elk oppervlak op deze manier gemaakt kan worden, ook als je de technische wiskundige definitie als uitganspunt neemt.
Vervolgens gaat de stelling over samenhangende, gesloten oppervlakken. Dit zijn per definitie samenhangende, compacte oppervlakken zonder rand.
Oppervlak
In de technische definitie van oppervlak is alles wiskundig heel precies opgeschreven en daardoor pas na behoorlijke wiskundige training goed te lezen. Maar het idee is als volgt: Stel dat een of ander wezen in een ruimte zou leven. Als dit wezen dan een klein stukje van de ruimte zou verkennen en hij dit kleine stukje niet kan onderscheiden van een stukje van het platte vlak leeft hij in een oppervlak. Maar pas op! Het wezen mag zijn expeditie in elk willekeurig punt beginnen. Dit betekent dus dat geen enkel stuk van de ruimte er lokaal uitziet als bijvoorbeeld een lijn of een geïsoleerd punt. Doordat het wezen maar een klein stukje verkent, ziet hij geen globale eigenschappen van de ruimte zoals dat de ruimte in zichzelf sluit zoals bijvoorbeeld een torus of sfeer doen.
Oppervlakken heten ook wel tweedimensionale variëteiten. Het woord variëteit drukt uit dat de ruimte er op elk punt hetzelfde uitziet, tweedimensionaal betekent dat het vanuit elk punt net het platte vlak lijkt. Als een ruimte vanuit elk punt op een lijn lijkt, noemen we het een eendimensionale variëteit. Een voorbeeld is de cirkel.
Rand We hebben al een aantal oppervlakken gezien die niet in elk punt op het platte vlak lijken, maar die een rand hebben. Op de rand lijkt het oppervlak op een stukje vlak waar de helft vanaf is geknipt. Normaal zou een wezen naar voren en achter kunnen, en naar links en naar rechts, maar op de rand is één van deze richtingen afgesloten.
Een klein stukje van de rand lijkt op een stukje lijn. De rand van een oppervlak is dus een eendimensionale variëteit. In één dimensie komt het begrip rand overeen met een eindpunt van een (stuk) lijn.
Samenhangend betekent dat het oppervlak uit een enkel deel bestaat. Als je als Flatlander in het oppervlak zou leven kun je in elk punt van het oppervlak komen. Eenvoudige voorbeelden van niet samenhangende oppervlakken zijn simpelweg twee of meer kopieën van een sfeer, of een sfeer en een torus etc, samen als één oppervlak gezien. Wiskundig is er niks mis mee ook deze niet-samenhangende objecten als oppervlak te zien, maar als je alle samenhangende oppervlakken hebt geclassificeerd weet je ook wat de niet-samenhangende oppervlakken zijn, namelijk alle combinaties van twee of meer samenhangende oppervlakken. Bovendien zijn niet samenhangende oppervlakken geen nuttig model voor Flatland aangezien A Square er nooit achter kan komen hoe het deel van Flatland eruitziet waar hij niet kan komen.
Gesloten is de wiskundige term voor eindig en zonder rand, of beter gezegd compact en zonder rand. Compact houdt in dat het oppervlak is gemaakt uit een eindig aantal driehoeken. Dit sluit bijvoorbeeld het oneindige vlak uit. De oppervlakken met rand worden uitgesloten omdat deze eenvoudig te maken zijn uit de oppervlakken zonder rand door cirkelschijfjes uit te knippen.
Als we een gesloten en getrianguleerd oppervlak hebben kunnen we de driehoeken altijd aan elkaar plakken tot een enkel veelhoek. Dit zal dan ook ons uitganspunt zijn om de classificatiestelling te bewijzen. De zijden van dit veelhoek zijn via een letterschema op de rand geïdentificeerd. Omdat het oppervlak geen rand heeft komt elke letter precies twee keer voor.
Zo kom je van een getrianguleerd oppervlak naar een bouwplaat en vervolgens naar een woord waarin alle letters precies twee maal voorkomen.
Het bewijs van de classificatiestelling laat in stappen zien dat we het woord dat bij de bouwplaat hoort kunnen reduceren tot een standaardvorm, waar “P2-delen”, bijvoorbeeld aa, afgewisseld worden met “T2-delen” van de vorm aba-1b-1. Daarmee wordt aangetoond dat het oppervlak homeomorf is aan de samenhangende som van P2’s en T2’s. Als er een P2 in voorkomt kunnen we T2 vervangen door P2 # P2 dankzij de gelijkheid P2 # T2 = P2# P2 # P2. Als er geen P2-stukken voorkomen hebben we de samenhangende som van tori met een identificatieschema met alleen maar stukken van de vorm aba-1b-1achter elkaar. De laatste mogelijkheid is dat deze ook niet voorkomen. Het woord is dan “leeg”, wat betekent dat het oppervlak homeomorf is met S2.
Bewijs:
Stap 1: Verwijder alle stukken van de vorm aa-1 uit het woord.
Stap 2: Ga over op een bouwplaat waarvan alle hoekpunten met elkaar zijn geïdentificeerd. Dit kan als volgt: Stel dat de hoekpunten van het veelhoek zijn geïdentificeerd zijn in twee groepen, groen (G) en paars (P). Ergens moeten er een groen en een paars punt naast elkaar liggen. Vervolgens kunnen we de volgende bewerking uitvoeren om een paars punt voor een groen punt in te ruilen:
Ga door totdat alle punten groen zijn. Verwijder alle aa-1stukken (dit kan nodig zijn om de laatste paarse punten weg te halen).
Stap 3: Voeg alle P2-achtige stukken samen. Dat wil zeggen, als er een letter twee keer met dezelfde oriëntatie voorkomt (als ...a...a... of als ...a-1...a-1...) kunnen we met knippen en plakken een P2-stuk in elkaar zetten:
De letters X en Y staan voor een willekeurig aantal randen met letters. Bijvoorbeeld X = bdb, Y = d.
Met deze plaatjes leiden we de regel aXaY = ccXY-1 af. We kunnen de c's nu eventueel weer veranderen in a's, aangezien dit slechts aangeeft dat deze randen op elkaar geplakt worden. Dan vinden we de regel; aXaY =aaXY-1. Pas deze regel zovaak mogelijk toe, totdat alle “aa-paren” zijn samengevoegd. Herhaal stap 1 als nodig.
Stap 4: Als laatste voegen we de T2-achtige stukken samen. Zoek naar zijden die voorkomen in de volgorde a ... b ... a-1 ... b-1 ... .
Deze stap heeft twee keer knippen nodig. We knippen langs c en plakken langs b. Vervolgens knippen we langsd en plakken langs a1. Het nieuwe veelhoek heeft geen zijdes met a en b meer, maar wel een sequentie cdc-1c-1zoals de torus.
Als we klaar zijn met deze stap hebben we een identificatieschema met alleen maar P2-stukken en T2-stukken gekregen. We hebben immers alle aa-paren samengevoegd, net als zijden van de vorm aba-1b-1. Het enige dat nog zou kunnen gebeuren is dat een a-a-1 paar slechts is gescheiden door paren van letters, bijvoorbeeld als inabba-1cc. Maar dan zijn niet alle hoekpunten geïdentificeerd, dus deze situatie is uitgesloten door stap 2.
Als de zijden a en a-1 alleen door identificatieparen worden gescheiden zijn niet alle hoekpunten geïdentificeerd.
Hier volgt nog eens een tabel met, per stap, de regel die is afgeleid in symbolen weergegeven.
Het arrangement 7 Les 6 De classificatiestelling is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-30 08:33:59
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 4;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Vormen en figuren;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Wiskunde D;
Meten en meetkunde;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
e-klassen rearrangeerbaar
7 Les 6 De classificatiestelling
nl
Bètapartners
2014-11-30 08:33:59
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
