04 H2 Verzamelingen

2.1 Verzamelingen

We kunnen afzonderlijke dingen samennemen en als één geheel beschouwen. Het elftal, de klas, het kaartspel, de colonne, het legioen, de inventaris. De afzonderlijke dingen heten dan de elementen van het geheel, en het geheel heet de verzameling.

Bijvoorbeeld: de getallen 0, 1 ,2, 3... enz. vormen samen de verzameling N der natuurlijke getallen. Notatie:

N = { 0,1,2,3,... }

De dingen die in de verzameling zitten heten de elementen van die verzameling, zo is 2 een element van N ("2 zit in N" ), en dit wordt geschreven als

2 ∈ N.

We gebruiken accolades om de elementen van een verzameling op te sommen. Zo is {1,2,5} de verzameling met als enige drie elementen de getallen 1,2 en 5. Dit is dezelfde als {2,1,5} en als {5,1,2}, de volgorde waarin we de elementen opschrijven verandert namelijk niets aan de verzameling.

 

Vraagstuk 1

Oefening: Verzamelingen

Start

Open bestand Feedback bij verzamelingen.docx

2.2 Het verschil tussen 1 en {1}

Let op: 1 en {1} zijn twee verschillende dingen: 1 is een getal, terwijl {1} een verzameling van getallen is, die toevallig maar een element heeft, namelijk het getal 1.

Wel geldt: dus 1 ∈ {1}, maar niet 1 = {1}.

Een ding kan element van veel verschillende verzamelingen zijn. Verzamelingen kunnen zelf weer element van verzamelingen zijn.Voorbeeld: "de teams in de competitie" is een verzameling van verzamelingen van spelers. Een speler is geen element van de competitie, maar een element van een elftal dat element is van de competitie.

Wel geldt dus {1} ∈ {{1},{2}}, maar niet 1 ∈ {{1},{2}}

Deelverzameling

Een verzameling A heet een deelverzameling van B als alle elementen van A in B zitten. Je kunt je de situatie zo voorstellen:

De voorwaarde om deelverzameling te zijn is dat alle elementen van A in B zitten. A mag ook álle elementen van B hebben. Bijvoorbeeld:N ⊆ N.

 

 

Vraagstuk 2

Oefening: Waar of niet waar?

Start

In een verzameling kun je dingen met een bepaalde eigenschap weer apart nemen om een deelverzameling te vormen. Bijvoorbeeld: sommige getallen zijn even, samen vormen zij een deelverzameling van N: we schrijven dat als volgt:

  • E = { x ∈N | x is even }

lees: "de verzameling van natuurlijke getallen x die even zijn."

Bij deze notatie zetten we voor de | in welke verzameling we kijken, en achter de streep de eigenschap waarin dingen uit die verzameling moeten voldoen om tot de deelverzameling toegelaten te worden.

Voorbeeld beweringen

De volgende beweringen zijn waar, leg steeds uit waarom.

De oplossingen van de beweringen vind je onder het knopje "plaats hier je muis", maar bekijk ze niet te snel.

a. 2 ∈ E

b. 3 ∈ { x ∈N | x is oneven }

klik hier

c. { x ∈ {1,2,3,4,5,6} | x is even } = {2,4,6}

klik hier

d. {2,4,8} ⊆ { x ∈ N | x <10}

klik hier

Is elk element van {2,4,8} ook element van { x ∈ N | x <10}?

De elementen van {2,4,8} zijn de getallen 2,4 en 8, die zijn alledrie kleiner dan 10, dus elementen van { x∈ N | x <10}

Vraagstuk 3

Oefening: Waar of niet waar?

Start

Dubbelzinnigheid van "is"

Bij begripsdefinities zien we de dubbelzinnigheid van het woordje "is". Deze speelt ook bij uitspraken over objecten. Vergelijk:

a) 2 is even

b) 2 is 1+1

Bij a) wordt een eigenschap van 2 gegeven, bij b) zijn twee dingen aan elkaar gelijk: 2 en 1+1. Het verschil komt goed tot uitdrukking als we de beweringen in formuletaal weergeven:

a) 2 ∈ E

b) 2 = 1+1

  • Het arrangement 04 H2 Verzamelingen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
    Laatst gewijzigd
    2014-11-29 21:23:07
    Licentie
    CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

    Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld  en getest in een SURF-project  (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student).  In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT.  In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo).  Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

    Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

    De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). 

    Gebruiksvoorwaarden:  creative commons cc-by sa 3.0

    Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

     

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
    Leerniveau
    VWO 6; VWO 4; VWO 5;
    Leerinhoud en doelen
    Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    e-klassen rearrangeerbaar
  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van