09 H7 Dubbele implicaties

7.1 Dubbele implicatie

Als p⇒ q en q⇒ p allebei waar zijn, dan schrijven we p ⇔ q en dat wordt wel uitgesproken als:

p dan en slechts dan als q

p desda q
p is gelijkgeldig met q

Een uitspraak van de vorm p⇔q heet ook wel: een dubbele implicatie of equivalentie.
Het betekent: in alle gevallen dat p geldt, geldt ook q, en ook omgekeerd: in alle gevallen dat q geldt, geldt ook p. Er is een precieze overlap tussen de gevallen dat p geldt en dat q geldt.

Voorbeeld

Bij een driehoek met zijden a, b en c:

als a2=b2+c2, dan heeft de driehoek een rechte hoek tussen zijden b en c.
als de driehoek een rechte hoek heeft tussen zijden b en c, dan a2=b2+c2.

Dus bij een driehoek met zijden a, b en c:
voor zijden a, b en c geldt a2=b2+c2⇔ er is een rechte hoek tussen zijden b en c.

Voorbeeld

Voor een natuurlijk getal x:

als x een zesvoud is, dan is x zowel even als een drievoud.
als x zowel even als een drievoud is, dan is x een zesvoud.

Dus voor een natuurlijk getal x:
x is een zesvoud⇔ x is zowel even als een drievoud.


Nodige en voldoende voorwaarde

Een kenmerk p heet een nodige voorwaarde voor q, als q niet kan optreden zonder dat p op-treedt. Dus zodra q optreedt heb je altijd p, dus q⇒p.
Kenmerk p heet een voldoende voorwaarde voor q als, om q te krijgen het voldoende is om p te hebben. Dus zodra je p hebt, krijg je q, dus p⇒q.
Een voorwaarde is nodig en voldoende als hij gelijkgeldig is met q.
Bijvoorbeeld:

"gelijke zijden" is een nodige voorwaarde voor een vierhoek om vierkant te zijn, maar die voorwaarde is niet voldoende.

Vraagstuk 1

Hieronder staan vier voorwaarden.
Per voorwaarde kun je aangeven of hij nodig is, voldoende is, allebei of geen van beide.
Plaats een X bij de juiste voorwaarde.

 

klik hier

7.2 Pijlen bij het oplossen van vergelijkingen

Bij het oplossen van vergelijkingen worden vaak pijltjes gebruikt.

  • x2 - 5x + 6 = 0 ⇔ (x - 2) (x - 3) = 0 ⇔ x - 2 = 0 of x - 3 = 0 ⇔ x = 2 of x = 3

Daarmee is de vergelijking opgelost. Het idee is namelijk dat je laat zien dat

x2 - 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 of x = 3

Wil x dus voldoen aan de vergelijking links, dan moet x voldoen aan de vergelijking rechts. Dus x is een oplossing als x=2 of als x=3. Andersom als x gelijk aan 2 of 3 is, dan voldoet hij aan de vergelijking.

Sommige stappen in het oplossen van vergelijkingen zijn echter niet omkeerbaar. Bekijk de volgende uitwerking:

x+2=x⇒(x+2)2=x2⇔x+2=x2⇔x2−x−2=0⇔   x = -1 of x = 2

Hierin is de eerste stap niet omkeerbaar. Voor x=−1 is x+2=x niet waar, want er staat dan 1=−1 , terwijl(x+2)2 wel waar is, want dat komt neer op 1 = 1.
De serie stappen levert wel:

  • x+2=x
  • ⇒ x=-1 ∨ x = 2

Hier staat dat áls x een oplossing is, x gelijk aan -1 of 2 is. Maar of -1 en 2 wel echt oplossingen zijn, moet je nog controleren. En dan blijkt dat -1 vals is.

Bij het oplossen van een vergelijking met een wortel is het vaak handig beide leden te kwadrateren. Maar let op, door het kwadrateren verlies je equivalentie en zul je de gevonden mogelijke oplossingen moeten controleren.

x=y⇒x2=y2 maar niet x2 = y2 ⇒ x = y

Als twee getallen gelijk zijn, dan zijn hun kwadraten ook gelijk. Maar als de kwadraten van twee getallen gelijk zijn, dan zijn het nog geen gelijke getallen, bijvoorbeeld (-1)2 = (1)2 is waar, maar 1 = -1 is niet waar.

Vraagstuk 2

Onderzoek welke implicatiepijl(en) ingevuld kunnen worden zodat er een ware bewering ontstaat. Als de dubbele implicatie mag, kies die dan. De variabelen x,y en c staan voor willekeurige reële getallen.

klik hier

Vraagstuk 3

Wat is er precies fout aan het onderstaande 'bewijs'?
Vervang de foute dubbele implicatie door de juiste enkele pijl.

Stelling : 2 = 3

Bewijs : 4 -10 = 9 -15

  •          ⇔4−10+254=9−15+254
             ⇔22−2⋅2⋅(52)+254=32−2⋅3⋅(52)+254
             ⇔(2−52)2=(3−52)2
             ⇔2−52=3−52
             ⇔2=3                                  QED

klik hier

7.3 Begripsdefinities en de dubbele implicatie

Begripsdefinities en desda

Vergelijk:

  1. Een bakker is een mens,
  2. Een bakker is iemand die beroepshalve brood bakt.

Bij 1 wordt iets over bakkers verteld, bij 2 wordt uitgelegd wat een bakker is. Zin 2 is een definitie van het begrip bakker. Het verschil is in dagelijkse taal niet aan te geven, in de wiskunde met pijlen wel:

  1. x is een bakker ⇒ x is een mens
  2. x is een bakker ⇔ x is iemand die beroepshalve brood bakt.

Bij een goede definitie gaat het altijd om desda: het begrip dat je definieert moet altijd kunnen vervangen worden door waar het mee gedefinieerd wordt.

Dubbelzinnigheid van "is"

Bij begripsdefinities zien we de dubbelzinnigheid van het woordje "is". Deze speelt ook bij uitspraken over objecten. Vergelijk:

  1. 2 is even
  2. 2 is 1+1

Bij a) wordt een eigenschap van 2 gegeven, bij b) zijn twee dingen aan elkaar gelijk: 2 en 1+1. Het verschil komt goed tot uitdrukking als we de beweringen in formuletaal weergeven:

  1. 2∈Ε
  2. 2 = 1 + 1

Vraagstuk 4

Oefening: Wel of geen definitie

Start

Vraagstuk 5

Oefening: Gelijkheid of verzameling

Start

Vraagstuk 6

Soms proberen mensen het probleem met de dubbele pijlen te omzeilen door het woordje "dus" te gebruiken. Maar ook dan kan het misgaan.

Welk woordje "dus" is in het onderstaande bewijs niet terecht:

klik hier

  • Het arrangement 09 H7 Dubbele implicaties is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
    Laatst gewijzigd
    2014-11-29 21:48:38
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

    Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld  en getest in een SURF-project  (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student).  In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT.  In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo).  Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

    Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

    De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). 

    Gebruiksvoorwaarden:  creative commons cc-by sa 3.0

    Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

     

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
    Leerniveau
    VWO 6; VWO 4; VWO 5;
    Leerinhoud en doelen
    Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    e-klassen rearrangeerbaar

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Wel of geen definitie

    Gelijkheid of verzameling

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van