Enkele manieren om als-dan in een Nederlandse zin weer te geven:
Als het regent, dan word je nat.
Als het regent word je nat.
Regent het, dan word je nat
Je wordt nat als het regent
Zodra het regent word je nat.
(Wanneer het regent word je nat )
niet persé oorzaak en gevolg
In de wiskunde wordt met als-dan wat anders omgesprongen dan in het dagelijkse taalgebruik. We zullen vanaf nu voor het wiskundige als-dan het teken ⇒ gebruiken, dat implicatiepijl heet.
De betekenis van p⇒q kun je zo omschrijven:
In alle gevallen waarin p waar is, is q ook waar.
Met p⇒q wordt niet persé bedoeld dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen p en q, dus dat p de oorzaak is van q, en q het gevolg van p. In het dagelijks taalgebruik is dat trouwens ook zo. Bijvoorbeeld:
Als je in het ziekenhuis ligt, dan is er iets mis met je gezondheid.
Deze uitspraak is (als we een stage met nachtdienst uitsluiten) juist: in alle situaties waarin je in een ziekenhuis ligt zal er een medische reden zijn. Maar het feit dat je in het ziekenhuis ligt, is niet de oorzaak van het ziek-zijn. En niet iedereen die ziek is, wordt opgenomen.
als-dan als universele bewering
Een als-dan bewering is een universele bewering. Bijvoorbeeld: met als het regent word je nat, wordt eigenlijk gezegd:
alle momenten dat het regent zijn momenten waarop je nat wordt
Dus de verzameling van regenmomenten is een deelverzameling van de verzameling van nat-word-momenten.
Eigenlijk komt het teken ⇒ nooit alleen voor, altijd zijn er variabelen in p en q waarover een universele uitspraak wordt gedaan:
∀m
(op m regent het ⇒ op m word je nat)
Een wiskundiger voorbeeld: het vermoeden van Goldbach luidt:
Als een getal even is dan is het de som van hoogstens twee priemgetallen.
kun je schrijven als:
x is even ⇒ x is de som van hoogstens twee priemgetallen
of nog beter:
∀x∈Ν
(xis even ⇒ xis de som van hoogstens twee priemgetallen)
Er zijn twee flauwe manieren waarop p⇒q vanzelf waar wordt, terwijl er geen enkel verband tussen p en q hoeft te bestaan. Vooral hier wijkt p⇒q af van het dagelijkse als-dan.
GEVAL 1: P IS NOOIT WAAR
Dan is p⇒q vanzelf waar, immers met alle situaties dat p geldt zijn we gauw klaar: er zijn er gewoon geen. Dus je hoeft niets na te gaan. Bijvoorbeeld:
kun je rustig zeggen tegen iemand die toch nooit zal slagen. Je zult je belofte dan kunnen houden, zonder je hoed op te hoeven eten.
Ander voorbeeld: de bewering
wordt beschouwd als een ware bewering omdat 0=1 nooit gelden kan. In al die nooit voorkomendegevallen is een cirkel een vierkant.
"Als jij slaagt voor je rijexamen dan eet ik mijn hoed op."
"als 0=1 dan is een cirkel een vierkant."
GEVAL 2: Q IS ALTIJD WAAR
Als q altijd waar is, dan is q zeker ook waar in die situaties waarin p waar is. Dus als q altijd waar is, dan is p⇒q het ook.
Bijvoorbeeld de bewering
is waar, want in elke situatie waarin 6 even is, is 2 even, immers 2 is altijd even.
"Als 6 even is dan is 2 even."
Intuïtief zou je deze uitspraak misschien afkeuren, omdat het even zijn van 6 niets te maken heeft met het even zijn van 2.
Merk op dat in de twee gevallen hierboven je eigenlijk nooit een als-dan-bewering zou gebruiken. Als p nooit waar is, dan heeft het geen zin om te spreken over "als p...". En als q altijd waar is dan zeg je gewoon "q" in plaats van "als p dan q".
In wiskundig verband zijn deze gevallen echter wel van belang; ze duiken op als je bij bepaalde definities of stellingen consequent wil zijn.
Bijvoorbeeld: per definitie is A een deelverzameling van B als
∀x
x∈A⇒x∈B
Wat doe je als A geen elementen heeft? Op grond van geval 1 zeg je dan: situatie x∈A komt nooit voor, dus isx∈A⇒x∈B waar, dus is A een deelverzameling van B. Een tweede reden om dergelijke gevallen te bekijken heeft te maken met de methode van waarheidstafels die we verderop in hoofdstuk 8 gaan zien.
Stel dat alle sinaasappels oranje zijn, en stel je hebt een vrucht die niet oranje is. Dan weet je zeker dat het geen sinaasappel is, want dan zou hij oranje moeten zijn.
Dus: als een vrucht een sinaasappel is, dan is hij oranje. En dan weet je ook: als een vrucht niet oranje is, dan is hij geen sinaasappel.
Algemeen: als p⇒q waar is, dan is (niet q)⇒(niet p) het ook.
De bewering (niet q)⇒(niet p) heet de contrapositie van p⇒q.
Let op: p en q zijn omgewisseld en hebben een "niet" erbij.
Stelling: Als p⇒q dan (niet q)⇒(niet p) Bewijs: Er is gegeven: p⇒q, dus in alle gevallen dat p waar is, geldt ook q. Om te bewijzen dat: (nietq)⇒(niet p) beginnen we met alle gevallen dat niet q waar is.
Als nou in die gevallen p waar is, dan geldt (volgens het gegeven p⇒q) dat ook q waar is.
Dus we begonnen met alle gevallen dat niet q waar is, en vinden nu (via "als p waar") dat q waar is. Dat kan niet kloppen.
Dus is het niet p. Kortom als je niet q hebt, krijg je niet p.
QED
Vraagstuk 6
6.4 Een als-dan bewering weerleggen
Wat is de ontkenning van "Als het regent word je nat"?
Besef goed dat een als-dan bewering eigenlijk een universele bewering is:
In alle situaties dat het regent, word je nat.
De ontkenning is dan:
Er zijn situaties waarin het wel regent maar waarin je niet nat wordt.
Om p⇒q te weerleggen moet je dus een situatie aangeven waarin p wel geldt maar q niet.
Vraagstuk 7
Met wat voor tegenvoorbeeld kan de volgende bewering weerlegd worden:
(Druk pas op de "Klik hier" knop als je minstens 2 tegenvoorbeelden hebt genoemd)
Als een land een hoofdstad heeft waarvan de naam begint met een P, dan begint de naam van het land niet met een K.
Als in een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor delen dan zijn overstaande zijden gelijk.
Alstwee lijnen elkaar snijden, dan snijdt elke derde lijn minstens een van de twee.
De verbinding als-dan heeft te maken met hypothetisch redeneren: Met p⇒q bedoelen in de wiskunde meestal dat: als je p mag aannemen, dan volgt q vanzelf.
Een bewijs van p⇒q begint daarom altijd met "stel p" of "Neem aan dat p" of "Neem alle gevallen waarin p waar is"en het vervolg moet dan leiden tot q.
Stelling: p ⇒q
Bewijs:
Stel p,
dan heb je ook p' en omdat je ook nog weet p'' krijg je met F ook C. Nu weet je dat q en p' D geven. Kortom we hebben E. Passen we nu inductie toe op het gegeven p en E, dan volgt F. Tenslotte is het ook nog onmogelijk en dus met q' dat ook F. Volgens Stelling 2.1 geldt dat zodra F geldt,
ook q geldt,
immers we weten dat K en L.
Concluderen wij dat
dus q.
Kortom:p=>q
QED
Vraagstuk 8
Geef aan of je denkt dat je onderstaande beweringen moet bewijzen of weerleggen met een tegenvoorbeeld.
Als van een getal de som van de cijfers even is, dan is het getal even.
Als een getal eindigt op een 0 of een 5 dan is het een vijfvoud.
Als in een driehoek de som van de hoeken 180o is, dan is de driehoek gelijkbenig.
Als twee opeenvolgende natuurlijke getallen allebei priem zijn, dan is hun som een vijfvoud.
Het arrangement 08 H6 Als-dan is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-29 21:43:23
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 4;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Wiskundig redeneren;
Wiskunde D;
Inzicht en handelen;
Antwoord vraagstuk 5.docx
