06 H4 Alle en sommige

4.1 Alle en sommige

Je mag niet generaliseren. Als je één domme Amsterdammer tegenkomt wil dat nog niet zeggen dat elke Amsterdammer dom is. Blijkbaar maken we duidelijk onderscheid tussen twee soorten uitspraken:

  • Sommige Amsterdammers zijn dom
    Alle Amsterdammers zijn dom.

alle

Uitspraken van de vorm:" Alle a's zijn b's" noemen we universele uitspraken. Natuurlijk hoeft de uitspraak niet letterlijk die vorm te hebben, het gaat erom dat er over alle dingen uit een bepaalde verzameling gezegd wordt dat ze een bepaalde eigenschap hebben. Noem A de verzameling van al die dingen waarover het gaat, en B de verzameling van alle dingen die de betreffende eigenschap hebben, dan wordt er met de uitspraak dus gezegd dat:

  • A⊆B

Voorbeelden van universele uitspraken:

  • Vogels zijn gewervelde dieren
    • A = verzameling van alle vogels
      B = verzameling van alle gewervelde dieren

    Elk viervoud is even
    • A = de verzameling van viervouden = {0,4,8,12,16,...}
      A⊆E

    het kwadraat van een even getal is even
    • B = de verzameling kwadraten van even getallen = {0, 4, 16, 36, 64, ....}
      B⊆E

sommige

Tegenover universele uitspraken staan existentiële uitspraken, dat zijn beweringen van de vorm "sommige a's zijn b". In zo'n geval is minstens één element van A ook element van B.
In het dagelijks taalgebruik denk je bij "sommige" aan "meerdere" dus een aantal van minstens 2, wij zijn echter al tevreden als er één is.
Voorbeelden van existentiële uitspraken:

 

  • "sommige vogels kunnen vliegen".
    • A = verzameling van alle vogels
      B = verzameling van alle dieren die kunnen vliegen.

    "De vergelijking x2 + 4x - 5 =0 heeft een gehele oplossing in de natuurlijke getallen."
    • A = N = natuurlijke getallen
      B = de verzameling van alle oplossingen van x2 + 4x - 5 =0. ={-5, 1}

Vraagstuk 1

Oefening: Exitentiele of Universele uitspraak

Start

Open bestand Feedback Existentieel.docx

Vraagstuk 2a

Hieronder staan universele uitspraken "alle a's zijn b" en existentiële uitspraken "sommige a' s zijn b". Kies steeds wat de bijbehorende verzamelingen A en verzameling B zijn.

Daarbij heb je de keuze uit:

M = { x∈N | x is een kwadraat }

E = { x∈N | 2 is een deler van x }

O = { x∈N | 2 is geen deler van x }

P = { x∈N | 3 is een deler van x }

Q = { x∈N | 3 is geen deler van x }

Let op, de bewering hoeft niet waar te zijn!

Klik hier

 

'niet alle' en 'sommige niet'

Om zeker te weten dat alle Amsterdammers dom zijn, zou je ze allemaal moeten onderzoeken. Zou je maar één Amsterdammer vinden die niet dom is dan was je vermoeden ontkracht. De ontkenning van "alle Amsterdammers zijn dom" is namelijk "sommige Amsterdammers zijn niet dom". En in het algemeen:

niet (alle a zijn b ) = sommige a zijn niet-b.

 

Omgekeerd is de ontkenning van een existentiële uitspraak een universele:

niet (sommige a zijn b) = geen a is b  
  = alle a's zijn niet-b

Vraagstuk 2b

4.2 Bewijzen en weerleggen

Hoe bewijs je een universele bewering " alle a's zijn b's"?

  • Door van elke a aan te tonen dat hij een b is. Meestal doe je dat door je een willekeurige a voor te stellen, dus een a waarover je niets weet behalve dat hij in A zit. Al redenerend laat je dan zien dat die a een b moet zijn, hoe hij er verder ook uitziet.
    • Voorbeeld:
    • Bewering: Het kwadraat van een oneven getal is oneven.
      Bewijs:
      Stel x is een oneven getal, dan is er een natuurlijk getal n zodat x=2n+1.
      Dan x2 = (2n+1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2n)+ 1. Dus ook oneven.

      QED

Hoe weerleg je een universele bewering " alle a's zijn b's"?

  • Je laat een a zien, die niet b is. Zo'n a heet dan een tegenvoorbeeld.
  • Voorbeeld:
    • Bewering: Alle vijfvouden zijn oneven.
      Weerlegging: Het getal 10 is wel een vijfvoud maar niet oneven. Dus niet alle vijfvouden zijn oneven.

Hoe bewijs je een existentiële bewering "Sommige a's zijn b's "?

  • Je laat één of meerdere a's zien die b zijn. Eén is al genoeg.
  • Voorbeeld:
    • Bewering: Een drievoud kan even zijn.
      Bewijs: Het getal 6 is een drievoud en het is even.

Hoe weerleg je een existentiële bewering "Sommige a's zijn b's "?

Je laat zien dat geen enkele a een b is, oftewel je bewijst de universele bewering dat elke a niet-b is.

  • Voorbeeld:
    • Bewering: √(-1) bestaat,
      Oftewel er is een getal x zodat x2= -1.
      Weerlegging: Er zijn drie soorten getallen: positieve, negatieve en het getal 0. Als een getal positief is, dan is diens kwadraat ook positief, dus nooit -1.
      Ook als een getal negatief is, is diens kwadraat positief, dus niet gelijk aan -1.
      Het kwadraat van 0 is 0, dus ook 02 is ongelijk aan -1. Kortom van geen enkel getal is het kwadraat gelijk aan -1, dus -1 heeft geen wortel.

    QED

Vraagstuk 3

Hieronder staan een aantal uitspraken. Welke uitspraken kunnen in principe weerlegd worden met één enkel tegenvoorbeeld.

(i) Drievouden zijn altijd even.

(ii) Het kwadraat van een oneven getal is even.

(iii) Er betaat een drievoud dat even is.

(iv) Een drievoud kan geen kwadraat zijn.

(v) Het kwadraat van een oneven getal kan even zijn.

Open bestand Weerleggingen.docx

  • Het arrangement 06 H4 Alle en sommige is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
    Laatst gewijzigd
    2014-11-29 21:31:03
    Licentie
    CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

    Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld  en getest in een SURF-project  (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student).  In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT.  In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo).  Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

    Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

    De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). 

    Gebruiksvoorwaarden:  creative commons cc-by sa 3.0

    Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

     

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
    Leerniveau
    VWO 6; VWO 4; VWO 5;
    Leerinhoud en doelen
    Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    e-klassen rearrangeerbaar
  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van