06 H4 Alle en sommige

4.1 Alle en sommige

Je mag niet generaliseren. Als je één domme Amsterdammer tegenkomt wil dat nog niet zeggen dat elke Amsterdammer dom is. Blijkbaar maken we duidelijk onderscheid tussen twee soorten uitspraken:

  • Sommige Amsterdammers zijn dom
    Alle Amsterdammers zijn dom.

alle

Uitspraken van de vorm:" Alle a's zijn b's" noemen we universele uitspraken. Natuurlijk hoeft de uitspraak niet letterlijk die vorm te hebben, het gaat erom dat er over alle dingen uit een bepaalde verzameling gezegd wordt dat ze een bepaalde eigenschap hebben. Noem A de verzameling van al die dingen waarover het gaat, en B de verzameling van alle dingen die de betreffende eigenschap hebben, dan wordt er met de uitspraak dus gezegd dat:

  • A⊆B

Voorbeelden van universele uitspraken:

  • Vogels zijn gewervelde dieren
    • A = verzameling van alle vogels
      B = verzameling van alle gewervelde dieren

    Elk viervoud is even
    • A = de verzameling van viervouden = {0,4,8,12,16,...}
      A⊆E

    het kwadraat van een even getal is even
    • B = de verzameling kwadraten van even getallen = {0, 4, 16, 36, 64, ....}
      B⊆E

sommige

Tegenover universele uitspraken staan existentiële uitspraken, dat zijn beweringen van de vorm "sommige a's zijn b". In zo'n geval is minstens één element van A ook element van B.
In het dagelijks taalgebruik denk je bij "sommige" aan "meerdere" dus een aantal van minstens 2, wij zijn echter al tevreden als er één is.
Voorbeelden van existentiële uitspraken:

 

  • "sommige vogels kunnen vliegen".
    • A = verzameling van alle vogels
      B = verzameling van alle dieren die kunnen vliegen.

    "De vergelijking x2 + 4x - 5 =0 heeft een gehele oplossing in de natuurlijke getallen."
    • A = N = natuurlijke getallen
      B = de verzameling van alle oplossingen van x2 + 4x - 5 =0. ={-5, 1}

Vraagstuk 1

Oefening: Exitentiele of Universele uitspraak

Start

Open bestand Feedback Existentieel.docx

Vraagstuk 2a

Hieronder staan universele uitspraken "alle a's zijn b" en existentiële uitspraken "sommige a' s zijn b". Kies steeds wat de bijbehorende verzamelingen A en verzameling B zijn.

Daarbij heb je de keuze uit:

M = { x∈N | x is een kwadraat }

E = { x∈N | 2 is een deler van x }

O = { x∈N | 2 is geen deler van x }

P = { x∈N | 3 is een deler van x }

Q = { x∈N | 3 is geen deler van x }

Let op, de bewering hoeft niet waar te zijn!

Klik hier

 

'niet alle' en 'sommige niet'

Om zeker te weten dat alle Amsterdammers dom zijn, zou je ze allemaal moeten onderzoeken. Zou je maar één Amsterdammer vinden die niet dom is dan was je vermoeden ontkracht. De ontkenning van "alle Amsterdammers zijn dom" is namelijk "sommige Amsterdammers zijn niet dom". En in het algemeen:

niet (alle a zijn b ) = sommige a zijn niet-b.

 

Omgekeerd is de ontkenning van een existentiële uitspraak een universele:

niet (sommige a zijn b) = geen a is b  
  = alle a's zijn niet-b

Vraagstuk 2b

Colofon

Het arrangement 06 H4 Alle en sommige is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur
Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-29 21:31:03
Licentie
CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

  • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
  • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
  • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld  en getest in een SURF-project  (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student).  In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT.  In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo).  Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). 

Gebruiksvoorwaarden:  creative commons cc-by sa 3.0

Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

 

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6; VWO 4; VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
e-klassen rearrangeerbaar
close
Colofon
thumb  
gemaakt met Wikiwijs van kennisnet-logo
06 H4 Alle en sommige
open