Wat is de gravitatiewet van Newton, en hoe zijn daarmee bewegingen in ons zonnestelsel te verklaren?
Isaac Newton heeft met zijn theorie over de beweging van voorwerpen onder invloed van krachten de basis gelegd voor ons huidige beeld van het zonnestelsel. Met deze theorie was Newton in staat de bewegingen van de hemellichamen (de planeten, manen en kometen) in ons zonnestelsel te verklaren en voorspellen. In 1687 verscheen zijn beroemde werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Webopgave 82 - Eventjes opzoeken....(1)
In Binas tabel 31 staan gegevens over de planeten van ons zonnestelsel. In die tabel staan onder andere de afstand r tot de zon en de omlooptijd T rond de zon.
Zet in een diagram de omlooptijd T (verticaal) uit tegen de afstand r (horizontaal) van de verschillende planeten.
Teken in dit diagram met een kromme lijn het verband tussen T en r.
Geef in woorden zo goed mogelijk weer wat het verband is tussen T en r.
De afstand r tot de zon is de straal van de (cirkel)baan van een planeet rond de zon. De snelheid v van een planeet in zijn baan rond de zon is dan te berekenen uit de omtrek van de (cirkel)baan en de omlooptijd:
Bereken de snelheid v waarmee elk van de planeten in zijn baan rond de zon beweegt. Zet in een diagram deze snelheid v (verticaal) uit tegen de afstand r (horizontaal) van de verschillende planeten. Teken in dit diagram met een kromme lijn het verband tussen v en r. Geef in woorden zo goed mogelijk weer wat het verband is tussen v en r.
De verbanden tussen T en r en tussen v en r in de twee getekende diagrammen zien er - ondanks de kromme lijnen - vrij regelmatig uit.
Zou dit toeval zijn, of zou er een verklaring voor die regelmaat moeten zijn?
Samenvatting Voor de omlooptijd T van satellieten die in een cirkelbaan met een straal r rond een object met een grote massa bewegen geldt de derde wet van Kepler: r3/T2 = K
De baansnelheid v bij een eenparige cirkelbeweging met baanstraal r en omlooptijd T wordt gegeven door: v = 2.π.r/T
Een eenparige cirkelbeweging vindt plaats onder invloed van een middelpuntzoekende kracht F . Deze kracht is gericht naar het middelpunt van de cirkelbaan, en staat dus loodrecht op de baansnelheid. De grootte van de middelpuntzoekende kracht hangt af van de massa m, de baansnelheid v en de baanstraal r: Fmpz= m.v2/r
De middelpuntzoekende kracht is de resultante van de krachten op het in een cirkelbaan bewegende voorwerp.
Volgens welke wetten bewegen de planeten?
Newtons belangrijkste werk is de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, meestal kortweg de Principia genoemd. Dit boek heeft een grote invloed gehad op de ontwikkeling van de natuurkunde en de sterrenkunde. De gravitatiewet wordt in het laatste deel van het boek behandeld. Daar paste Newton zijn theorieën en wetten die gelden voor aardse voorwerpen ook toe op de beweging van de maan, planeten en sterren.
Hier zie je een bladzijde uit dit beroemde boek. Je ziet onder andere een tabel met waarnemingen die door Cassini en Borelli gedaan zijn. 'Distantiae Satellitum a centro Jovis' betekent: afstanden van de satellieten (manen) ten opzichte van Jupiter. Klik hier voor de vertaling....
In deze hypothese uit de Principia noemt Newton een evenredigheid die ontdekt is door Kepler en die daarom tegenwoordig de derde wet van Kepler wordt genoemd die voor alle planeten en manen in ons zonnestelsel geldt.
De derde wet van Kepler
Je oefent nu eerst met de derde wet van Kepler.
Webopgave 85 - Oefenen met deze formule....r3/T2= K(1)
Gebruik gegevens uit BINAS of van internet...
Bereken de grootte van de constante K voor de beweging van Jupiter om de zon.
Bereken ook de waarde van K voor de beweging van de aarde om de zon.
Als een planeet in een bepaalde tijd van A naar B gaat, bestrijkt zijn baanstraal een bepaalde oppervlakte (met blauw aangegeven). Gaat de planeet van C naar D (met grotere snelheid, maar in een even lange tijd), dan is de bestreken oppervlakte even groot.
3. De derde wet: de derde macht van de baanstraal van een planeet is evenredig met het kwadraat van de omlooptijd om de zon.
Bij een eenparige cirkelbeweging is de grootte van de baansnelheid v constant, maar de richting natuurlijk niet. Die verandert steeds tijdens een rondje.De richting van de baansnelheid v wordt gegeven door de raaklijn aan de cirkel.
Webopgave 88 -Invullen.....
Gebruik deze animatie om onderstaande vragen te beantwoorden. Je kunt de verschillende grootheden zichtbaar maken door de juiste hokjes aan te vinken.
Webopgave 89
Je kunt met deze animatie ook de derde wet van Kepler controleren door de getallen uit het scherm in te vullen. Hoe groot is hier de K?
Webopgave 90 - Even oefenen......
Gebruik BINAS of internet net om uit te rekenen met welke snelheid de aarde om de zon draait.
Als je een plankje aan een touwtje rondslingert werkt er ook een middelpuntzoekende kracht. Je kunt er een blik op zetten en dat valt niet van de plank ook niet als het boven in de cirkelbaan is. Bekijk het filmpje:
Als een auto door een bocht wordt gestuurd, voelen de inzittenden een kracht. De auto en de inzittenden willen eigenlijk rechtdoor (eerste wet van Newton), maar de wrijvingskrachten uitgeoefend door het wegdek op de banden zorgen ervoor dat de auto in het spoor blijft. Als je goed in de gordel zit, dan duwt de auto je mee door de bocht. In het geval dat de bocht (een deel van) een cirkel is en de snelheid constant is, dan voelen de inzittenden een constante kracht uitgeoefend door de auto. Die constante kracht is gericht naar het middelpunt van de cirkel. Dit is de middelpuntzoekende kracht die nodig is om een eenparige cirkelbeweging uit te voeren.
Webopgave 92
Wat zou er met een auto gebeuren als er géén middelpuntzoekende kracht zou werken?
Webopgave 93 - Oefenen met deze formule...
Bekijk het videofragment. Stel dat een wagentje met personen een massa van 400 kg heeft en de achtbaan heeft een hoogste punt van 15 m boven de grond. Meet de omlooptijd van de eerste looping met een stopwatch en bereken met deze gegevens de kracht die nodig is om zo'n achtbaanwagentje rond te laten gaan.
3.2 De grevitatiewet van Newton vervolg
Samenvatting Voor de gravitatiekracht F waarmee twee massa’s m en M op een onderlinge afstand r elkaar aantrekken geldt: Fgrav =G.m.M/r2 In deze formule is G de gravitatieconstante. Volgens de derde wet van Newton is dit de gravitatiekracht die de twee massa’s op elkaar uitoefenen. Uit de formule F = m·g voor de zwaartekracht en de formule voor de gravitatiekracht volgt een formule voor de valversnelling g van een voorwerp op een afstand r van het midden van een hemellichaam met een massa M: Fz = Fgrav dus g = G.M/r2 Uit de formule F = m·v /r voor de middelpuntzoekende kracht en de formule voor de gravitatiekracht volgt een formule voor de baansnelheid v van een hemellichaam in een cirkelbaan met een straal r rond een ander hemellichaam met een massa M: Fmpz = Fgrav dus v2 = G.M/r Met de baansnelheid v is de omlooptijd T van het hemellichaam te berekenen: T = 2.π.r/v Door de laatste twee formules met elkaar te combineren, vinden we de derde wet van Kepler: r3/T2 = K =G.M/4.π2
Hoe is met de gravitatiekracht van Newton de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel te verklaren?
Lees eerst de lesstof. Maak daarna de vragen op deze pagina.
De gravitatiewet van Newton stelt dat alle voorwerpen met massa in het heelal elkaar aantrekken. Op aarde kennen we deze kracht als dezwaartekracht.
Voor de grootte van de gravitatiekracht geldt:
Hoe verder de voorwerpen van elkaar verwijderd zijn, des te kleiner is de gravitatiekracht.
Hoe groter de massa’s van de voorwerpen zijn, des te groter is de gravitatiekracht.
In formulevorm: Fgrav=G.m.M/r2
Webopgave 93 - Oefenen met deze formule ...(1)
Stel dat je een voorwerp met een massa van een kg in je handen hebt. Dan kun je makkelijk uitrekenen hoeveel gewicht daar bij hoort.
Zou je met Newtons gravitatiewet dezelfde uitkomst krijgen?
Uit Newtons formule blijkt dat de valversnelling g niet afhangt van de massa van een voorwerp. Dat heeft tot gevolg dat in een omgeving waar geen luchtwrijving is, voorwerpen met een even grote massa ook even snel vallen. Kijk maar.
Webopgave 96 - Een videofragment bekijken
Bekijk het filmpje hieronder met het 'Galileo experiment' en zie wat er gebeurt, als je op de maan een licht en een zwaar voorwerp tegelijk laat vallen....de astronaut Scott laat een hamer en een veer van een (amerikaanse natuurlijk...) adelaar vallen.
De gravitatiekracht houdt ook de maan en de planeten n hun baan. Als we weten dat de nodige middelpuntzoekende kracht geleverd wordt door deze gravitatie, vinden we:
Webopgave 97 - Meerkeuzevraag
Webopgave 98 - Het planetarium van Eise Eisinga ...(1)
Een planetarium is een werkend model van ons zonnestelsel. Een eeuwen oud planetarium is dat van Eise Eisinga. (kijk opdeze website)
Je kunt daar goed zien dat hoe groter de straal van een planeetbaan is, des te groter is de baansnelheid van de planeet.
Zoek in het planetarium twee planeten waarvan de baanstralen ongeveer een factor 4 verschillen.
Controleer of de snelheid van de planeten (ongeveer) een factor 2 verschillen. Noteer de namen van jouw planeten en de waarden die je vindt in je werkdocument of schrift.
Tips:
- bepaal de straal van de baan (bijv. in cm),
- bereken de omtrek,
- meet de omlooptijd (stopwatch, horloge) in s,
- bereken de baansnelheid (bijv. in cm/s).
Planeetbanen voorspellen
Lees eerst de lesstof. Maak daarna de vragen op deze pagina.
Maar nu kun je dus je eigen planeet in een baan om de zon brengen! Als je maar de juiste snelheid en afstand kunt berekenen.
In onderstaande animatie kun je de waarde van de halve lange as variëen van 0.5 AE tot en met 1.5 AE. Geef de planeet jouw naam en vul een willekeurige waarde tussen de 0.5 en 1.5 in. Klik daarna op het 'start' knopje om de planeet in de baan te laten lopen.
Webopgave 99 - Opdracht
Kies een waarde voor de halve lange as, waar je de rest van de opdracht mee gaat werken. Kies nu een snelheid tussen de 6 en 35 km/s. Je zult zien dat niet alle snelheden bij alle waardes voor de halve lange as in de animatie passen. Dat geeft de animatie aan. Kies in dat geval een nieuwe waarde voor de snelheid. Als je een snelheid hebt gevonden, waarbij de animatie loopt, noteer je de waarden in je werkdocument. Controleer de formule:
3.3 Opgaven
3.3 - Opdrachten paragraaf 3.1
Maak de volgende opgaven in je schrift of in je Word document.
Webopgave 100 - Derde wet van Kepler
De omlooptijd van de aarde rond de zon en de afstand zon-aarde zijn bekend (zie Binas).
Laat met een berekening met deze gegevens zien dat voor de constante K in de derde wet van Kepler geldt:
K = 3,36·1018 m3/s2.
De omlooptijd van de planeet Mars rond de zon is 687 dagen.
Bereken met de derde wet van Kepler de baanstraal van Mars.
Controleer je antwoord met Binas.
De baanstraal van de planeet Neptunus is 4,5·109 km.
Bereken met de derde wet van Kepler de omlooptijd van Neptunus om de zon.
Controleer je antwoord met Binas.
Webopgave 101 - Omlooptijden
De planeten Jupiter en Saturnus hebben een omlooptijd die veel groter is dan een jaar.
Verklaar dit met de derde wet van Kepler.
Webopgave 102 - De manen van Jupiter
Geldt de derde wet van Kepler ook voor de vier manen van Jupiter?
Leg uit waarom wel of niet.
Webopgave 103 - Eenparige cirkelbeweging
Een stalen kogel is vastgemaakt aan het uiteinde van een touw. Alice gaat met het touw in de rondte slingeren zoals weergegeven in onderstaande figuur. Het touw oefent een middelpuntzoekende kracht uit op de kogel.
Hoeveel keer zo groot wordt deze middelpuntzoekende kracht als Alice de kogel met een tweemaal zo grote snelheid in dezelfde cirkelbaan gaat rondslingeren?
Hoeveel keer zo groot wordt deze middelpuntzoekende kracht als Alice de kogel met dezelfde snelheid in een cirkelbaan met een tweemaal zo grote straal gaat rondslingeren?
Op het punt P geeft breekt plotseling het touw, heel dicht bij de bal.
Als dit van bovenaf bekeken wordt, zoals in de figuur te zien is, welke baan zal de bal dan gaan volgen vanaf het moment dat het touw breekt?
Webopgave 104 - Bewegend voorwerp
In de figuur hieronder geven de stippen telkens de plaats aan van een voorwerp dat van P via Q, R en S naar T beweegt.
De tijdsduur waarin het voorwerp van de ene stip naar de volgende stip beweegt is constant. Op het voorwerp werkt bij Q slechts één kracht: FQ. In S werkt er op het voorwerp ook slechts één kracht: FS. Welke richtingen hebben de krachten FQ en FS?
Webopgave 105 - Middelpuntzoekende kracht op aarde
De aarde beweegt in een cirkelbaan rond de zon. Daarvoor is een middelpuntzoekende kracht op de aarde nodig.
Bereken de grootte van deze middelpuntzoekende kracht. Aanwijzing – Gebruik Binas voor de benodigde gegevens.
Welke kracht levert deze middelpuntzoekende kracht?
3.3 - Opdrachten paragraaf 3.2
Webopgave 106 - Aantrekkingskracht
In onderstaande figuur staan twee personen met massa’s van 50 en 60 kg op een afstand van 2,0 m.
Bereken de gravitatiekracht die deze twee personen op elkaar uitoefenen.
Vergelijk deze gravitatiekracht met de zwaartekracht op één van de twee personen.
Hoeveel keer zo groot is die zwaartekracht?
Leg uit waardoor die zwaartekracht zoveel groter is dan de gravitatiekracht die de twee personen op elkaar uitoefenen.
Webopgave 107 - Gravitatiekracht op de aarde
De zon en de aarde oefenen een gravitatiekracht op elkaar uit.
Bereken de gravitatiekracht van de zon op de aarde. Aanwijzing – Gebruik Binas voor de benodigde gegevens.
Vergelijk deze gravitatiekracht met de middelpuntzoekende kracht die nodig is om de aarde rond de zon te laten bewegen (zie opgave 41).
Welke kracht levert de middelpuntzoekende kracht die nodig is om de aarde rond de zon te laten bewegen?
Webopgave 108 - De omlooptijd van de maan
De massa van de aarde en de afstand aarde-maan zijn bekend (zie Binas).
Bereken met deze gegevens de baansnelheid van de maan in haar baan rond de aarde. Aanwijzing – Stel de formules voor de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht aan elkaar gelijk.
Bereken met behulp van deze baansnelheid de omlooptijd van de maan rond de aarde.
Controleer je antwoord met Binas.
Webopgave 109 - De massa van de zon
De omlooptijd van de aarde rond de zon en de afstand aarde-zon zijn bekend (zie Binas).
Bereken met deze gegevens de baansnelheid van de aarde.
Bereken met behulp van deze baansnelheid de massa van de zon. Controleer je antwoord met Binas. Aanwijzing – Stel de formules voor de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht aan elkaar gelijk.
Is de massa van de zon op deze manier ook te bepalen uit de baangegevens van de andere planeten in ons zonnestelsel?
Leg uit waarom wel of niet.
Webopgave 110 - De massa van Jupiter
De baangegevens (omlooptijd en afstand) van de vier manen van Jupiter zijn bekend (zie Binas).
Bereken met deze gegevens de massa van Jupiter.
Controleer je antwoord met Binas. Aanwijzing – Ga op dezelfde manier te werk als in opgave 45.
Van welke andere hemellichamen in ons zonnestelsel is op deze manier de massa te bepalen? Leg uit hoe.
Webopgave 111 - De 'weging' van de aarde
Zo’n tweehonderd jaar geleden (in 1798) woog de Engelse natuur- en scheikundige Henry Cavendish als eerste de aarde. Hij deed dat door met een torsiebalans de gravitatiekracht te meten tussen twee loden bollen met bekende massa op een bekende afstand. Uit die metingen kon hij de gravitatieconstante G berekenen: G = 6,754·10-11 Nm2/kg2. In die tijd waren de waarden van de valversnelling g bij het aardoppervlak en de straal R van de aarde al bekend: g = 9,80 m/s2 en R = 6,38·103km. Met behulp van deze gegevens kon Cavendish de massa en de dichtheid van de aarde bepalen.
Leg uit hoe Cavendish de gravitatieconstante G uit zijn metingen kon berekenen.
Hoe groot was volgens Cavendish de massa van de aarde? Aanwijzing – Stel de formules voor de zwaartekracht en de gravitatiekracht aan elkaar gelijk.
Hoe groot was volgens Cavendish de dichtheid van de aarde?
Hoeveel procent wijken deze waarden af van de op dit moment bekende waarden van de massa en dichtheid van de aarde?
Webopgave 112 - Valversnelling
Voor de valversnelling g bij het aardoppervlak geldt: g = 9,80 m/s2. Die valversnelling wordt volgens de gravitatiewet van Newton bepaald door de massa M en de straal R van de aarde:
Geef de afleiding van deze formule voor de valversnelling bij het aardoppervlak.
Deze formule geldt ook voor de valversnelling op de maan en op andere planeten.
Bereken de valversnelling bij het oppervlak van de maan en bij het oppervlak van Jupiter.
Zie Binas voor de benodigde gegevens.
Webopgave 113 - De derde wet van Kepler
In deze opgave ga je de derde wet van Kepler afleiden uit de gravitatiewet van Newton.
Voor een planeet in een cirkelbaan rond de zon moet de middelpuntzoekende kracht gelijk zijn aan de gravitatiekracht van de zon op de planeet. Leg uit waarom.
Stel de formules voor de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht aan elkaar gelijk, en geef de afleiding van de volgende formule:
In deze formule is M de massa van de zon en r de afstand zon-planeet.
Geef de formule voor het verband tussen de baansnelheid v en de omlooptijd T bij een cirkelbeweging.
Combineer de twee formules en geef daarmee de afleiding van de derde wet van Kepler. Aanwijzing – Je kunt de twee formules combineren door de formule voor de baansnelheid (vraag c) in te vullen in de andere formule (vraag b).
De constante K in de derde wet van Kepler hangt af van de gravitatieconstante G en de massa M van de zon.
Geef een formule voor de constante K.
Laat met een berekening zien dat voor de planeten die rond de zon draaien geldt:
K = 3,36·1018 m3/s2.
De derde wet van Kepler geldt onder andere ook voor de manen van Jupiter, maar dan heeft de constante K een andere waarde.
Bereken de constante K voor de manen die rond Jupiter draaien.
Het arrangement 05 H3 Beweging in het zonnestelsel is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2015-05-08 15:10:46
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Zonnestelsel en heelal' voor havo 4 en 5 voor het vak natuurkunde.
Leerniveau
HAVO 4;
HAVO 5;
Leerinhoud en doelen
Cirkelbewegingen met constante baansnelheid;
Zonnestelsel en heelal;
Gravitatiewisselwerking minimaal in de contexten maan, planeet, satelliet;
Ruimte;
Natuurkunde;
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
hoofdstuk 3.docx
Webopgave 83 - 
Webopgave 86 - 
Webopgave 87 - 
Eenparige cirkelbeweging ........
Webopgave 88 -
Webopgave 89
Webopgave 90 - 
Bekijk het filmpje:
Webopgave 91 -
Bekijk het videofragment. Stel dat een wagentje met personen een massa van 400 kg heeft en de achtbaan heeft een hoogste punt van 15 m boven de grond. Meet de omlooptijd van de eerste looping met een stopwatch en bereken met deze gegevens de kracht die nodig is om zo'n achtbaanwagentje rond te laten gaan.
Webopgave 93 - 
Webopgave 95 - 
Webopgave 96 - 
Bekijk het filmpje hieronder met het 'Galileo experiment' en zie wat er gebeurt, als je op de maan een licht en een zwaar voorwerp tegelijk laat vallen....de astronaut Scott laat een hamer en een veer van een (amerikaanse natuurlijk...) adelaar vallen.
Webopgave 97 - 
Webopgave 98 - Het planetarium van Eise Eisinga ...(1)
Webopgave 99
Webopgave 101 -
Webopgave 102 -
Webopgave 103 -
Webopgave 104 -
Webopgave 106 -
Webopgave 107 -
Webopgave 108 -
Webopgave 109 -
Webopgave 110
Webopgave 111 -
Webopgave 112 -
Webopgave 113 -
